Là ngời thầy giáo nên đa học sinh tìm chân lý đa chân lý đến cho học sinh LuyÖn Thi vµo líp 10 Tµi liƯu lu hµnh néi bé Không có học sinh học mà có học sinh học cha phơng pháp Chuyên đề 1: Biến đổi đẳng thức - Phân tích đa thức thành nhân tử A biến đổi đẳng thức I Các đẳng thức mở rộng (a b)2 = a2  2ab + b2 a2 - b2 = (a + b)(a - b) (a  b)3 = a3  3a2b + 3ab2  b3 a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2) a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab +b2) (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc (a - b - c)2 = a2 + b2 + c2 - 2ab - 2ac + 2bc an - bn = (a - b)(an-1 + an-2b + + abn-2 + bn-1), mäi n lµ sè tù nhiªn an + bn = (a + b)(an-1 - an-2b + - abn-2 + bn-1), mäi n lỴ II Bài tập Bài So sánh hai số A B biết: A = 2004.2006 B = 20052 Giải Ta cã A = (2005 - 1)(2005 + 1) = 20052 - < 20052 =B VËy A < B Bài So sánh hai số A B biết: A = (2 + 1)(22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1) B = 232 Giải Ta có A = (2 - 1)(2 + 1)(22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1) = 232 -1 < 232 = B Vậy A < B Bài So sánh hai số A vµ B biÕt: A =(3 + 1)(32 +1)(34 + 1)(38 + 1)(316 +1) B =332 -1 Giải Ta cã 2A = (3 - 1)(3 + 1)(32 +1)(34 + 1)(38 + 1)(316 +1) = 332 - = B VËy A < B Bµi Chøng minh r»ng: (m2 + m - 1)2 + 4m2 + 4m = (m2 + m + 1)2, víi mäi m Gi¶i VT: (m2 + m - 1)2 + 4m2 + 4m = m4 + m2 + + 2m3 - 2m2 - 2m + 4m2 + 4m = m4 + 2m3 + 3m2 + 4m + VP: (m2 + m + 1)2 = m4 + m2 + +2m3 + 2m2 + 2m = m4 + 2m3 + 3m2 + 2m +1 Bµi Chøng minh r»ng: a3 + b3 + c3 -3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab -ac -bc) Gi¶i Ta cã a3 + b3 = (a + b)3 - 3ab(a + b) thay vµo VT VT = (a + b)3 - 3ab(a + b) + c3 -3abc = [(a + b)3 + c3] - 3ab(a + b +c) = (a + b +c)[(a + b) + c2 c(a + b) -3ab] = (a + b +c)(a2 + b2 + c2 + 2ab - ac - bc - 3ab) = (a + b + c)(a + b2 + c2 - ab - ac bc) = VP Bµi Cho ab = Chøng minh r»ng: a5 + b5 = (a3 + b3)(a2 + b2) - (a + b) Trang - Vâ Văn Lý - Giáo án luyện thi vào lớp 10 -: 0972946242 Không có học sinh học mà có học sinh học cha phơng pháp Giải (a3 + b3)(a2 + b2) - (a + b) = a5 + a3b2 + a2b3 + b5 - (a - b)= a5 + b5 +a2b2(a + b) - (a - b) = a5 + b5 Bµi Cho a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc = Chøng minh r»ng: a = b = c Hìng dÉn Tõ: a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc =  2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2ac - 2bc =  (a - b)2 +(a - c)2 + (b - c)2 = a = b = c.(đpcm) Bài Cho a, b, c đôi khác nhau, thoả mÃn: ab + bc + ca = CMR Hìng dÉn Ta cã: T¬ng tù: (a  b)2 (b  c)2 (c  a)2 1 (1  a )(1  b )(1  c2 ) + a2 = ab + bc + ca +a2 = b(a + c) + a(a + c) = (a + c)(a + b) + b2 = (b + a)(b + c) + c2 = (c +a)(c + b) Thay vào suy (đpcm) Bài Cho a > b > 0, tho¶ m·n: 3a2 + 3b2 =10ab Chøng minh r»ng: a b a b Giải Đặt P = a b P > nên P = a b P2 2 2 Ta cã P2 = a  b  2ab  3a  3b  6ab 10ab  6ab  VËy P = 1/2 a  b  2ab 3a  3b  6ab 10ab  6ab Bµi 10 Cho a + b + c = vµ 1   0 Chøng minh r»ng: a2 + b2 + c2 =1 a b c Gi¶i Tõ: a + b + c =  a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc) =  a2 + b2 + c2 = 1- 2(ab + ac + bc) Mặt khác: 1 ab  ac  bc   0  0  ab  ac  bc 0 VËy: a2 + b2 + c2 =1 a b c abc Bµi 11 Cho 1 1 1   2 (1) vµ a + b + c = abc Chøng minh r»ng:   2 a b c a b c Gi¶i (1)  1 1 1 1 a b c    2(   ) 4     2( ) 4 a b c ab ac bc a b c abc Thay a + b + c = abc vµo ta cã 1 1 1    4    2 a b c a b c Bài 12 - Võ Văn Lý - Giáo án luyện thi vào lớp 10 -: 0972946242 Trang Không có học sinh học mà có học sinh học cha phơng pháp Cho a b c x y z x2 y2 z2   1 (1), vµ   1 (2) CMR: A    1 x y z a b c a b c Gi¶i x2 y2 z2 xy xz yz xy xz yz cxy  bxz  ayz    2(   ) 1  A 1  2(   ) 1  2( ) a b c ab ac bc ab ac bc abc : (2) cxy  bxz  ayz 0 VËy A = xyz Bµi 13 1 1 1   0 (1) Chøng minh r»ng:    a b c a b c abc Gi¶i Cho (1)  1 1 1 1 1 1 1  (  )   (   (  )   [   ( )] a b c a b c bc b c a b c bc a 1  3 3 a b c abc Bµi 14 Cho a + b + c = vµ a2 + b2 + c2 =14 Chøng minh r»ng: a4 + b4 + c4 = 98 Gi¶i Tõ: a + b + c =  a = -(b + c)  a2 = (b + c)2  a2 = b2 + c2 +2bc  a2 - b2 - c2 = 2bc  (a2 - b2 - c2)2 = 4b2c2  a4 + b4 + c4 - 2a2b2 - 2a2c2 + 2b2c2 = 4b2c2  a4 + VËy b4 + c4 = 2a2b2 + 2b2c2 + 2a2c2  2(a4 + b4 + c4) = a4 + b4 + c4 + 2a2b2 - 2b2c2 + 2a2c2 2(a4 + b4 + c4 ) = (a2 + b2 + c2 )2 = 142 =196 VËy a4 + b4 + c4 = 98 Bµi 15 Cho xyz = 1, Chøng minh r»ng: 1   1  x  xy  y  yz  z  zx Gi¶i Ta cã: = 1    x  xy  y  yz  z  zx  z x    z  xz  xyz x  yx  xyz  z  zx z x z 1 x z 1 xz       z  xz  x  yx  1  z  zx  x  xz x  xy  1  x  xz xz  xyz  z z 1 xz z   xz    1  x  xz xz   z  x xz B Phân tích đa thức thành nhân tử Bài Phân tích tam thức bậc hai x2 - 6x + thành nhân tử Giải Trang - Võ Văn Lý - Giáo án luyện thi vào líp 10 -: 0972946242 Kh«ng cã häc sinh häc kÐm mà có học sinh học cha phơng pháp Cách 1: Tách hạng tử không đổi thành hai hạng tử đa đa thức dạng hiệu hai bình phơng x2 - 6x + =(x - 3)2 - = (x - - 1)(x - + 1) = (x - 4)(x - 2) C¸ch 2: Tách hạng tử bậc thành hai hạng tử dùng phơng pháp nhóm hạng tử đặt nhân tö chung x2 - 6x + = x2 - 2x - 4x + = x(x - 2) - 4(x - 2) = (x - 2)(x - 4) Bµi Phân tích đa thức x3 + 3x2 - thành nhân tử Giải Nhẩm thấy x = nghiệm đa thức chứa nhân tử x - ta tách hạng tử đa thức làm xt hiƯn nh©n tư x - C1: x3+ 3x2- =x3-x2+4x2- 4=x2(x - 1)+4(x2-1)=(x-1)(x2 + 4x + 4)=(x-1)(x+2)2 C2: x3+3x2- =x3-1+3x2- = (x-1)(x2+x+1)+ 3(x-1)(x+1) = (x-1)(x2+ 4x + 4) Bài Phân tích đa thức (x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+15 thành nhân tử Giải (x +1)(x +3)(x +5)(x +7) +15 = [(x +1)(x +7)][(x +3)(x +5)] +15 = (x2 +8x+7)(x2+8x +15) +15 Đặt: t = x2+8x+7 x2+8x+15 = t +  ta cã: t(t + 8) +15 = t2 + 8t +15 =(t + 4)2 - = (t + + 1)(t + - 1) = (t + 5)(t + 3) VËy: (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 = (x2 + 8x + 12)(x2 + 8x + 10) = (x2 + 6x + 2x + 12)(x2 + 8x +10) = (x + 6)(x + 2)(x2 + 8x + 10) BTVN Bµi Cho x > y > vµ 2x2 + 2y2 = 5xy, Tính: P xy (tơng tự 9) x y Bµi Cho x + y + z = 0, Chøng minh r»ng: x3 + y3 + z3 = 3xyz (tơng tự 13) Bài Cho a + b + c = 0, Chøng minh r»ng: a4 + b4 + c4 = (a + b2 + c2 )2 (tơng tự 14) Bài Cho a, b, c khác không a + b + c = 1  2 2 2 0 2 a  b  c b  c  a a  c  b2 Tõ: a + b + c =  a = - (b + c)  a2 = (b + c)2  a2=b2 + c2 + 2bc  b2 + c2 - a2 = - 2bc Bµi Phân tích đa thức sau thành nhân tử a/ 4x2 - 3x - b/ x3 + 6x2 + 11x +6 c/ (x-y)3 + (y-z)3 + (z-x)3 Hìng dÉn: x + y + z =  x3 + y3 + z3 = 3xyz Trang - Võ Văn Lý - Giáo án luyện thi vào lớp 10 -: 0972946242 Chøng minh r»ng: Kh«ng cã häc sinh häc mà có học sinh học cha phơng pháp Chuyên đề 2: Bất đẳng thức - Giá trị lớn nhất, nhỏ A Bất đẳng thức I Một số tính chất bất đẳng thức 1/ a > b vµ b > c  a > c (t/c bắc cầu) 2/ a > b a + c > b + c (t/c céng vµo hai vÕ cïng mét sè) ac  bc nÕu c  3/ a > b (t/c nhân hai bđt với số âm, dơng) ac bc c 4/ a > b vµ c > d  a + c > b + d (t/c céng hai bất đẳng thức chiều) a b 5/  c  d   ac  bd (t/c nhân hai bất đẳng thức dơng chiều) a n  b n 6/ a > b > n (n nguyên dơng) a n b 7/ a a   a, b, c  R  a b a bc a c a a c c      a, b, c, d  R  b d b b d d 9/ Nếu a, b, c cạnh tam giác ta có: */ a > 0, b > 0, c > 8/ */ b - c < a < b + c; a - c < b < a + c; */ NÕu a > b > c A > B > C II Bài tËp a - b < c < a + b Bµi Cho sè a, b, c, d, e bÊt kú CMR: a2 + b2 + c2 + d2 + e2  a( b + c + d + e)(1) Gi¶i (1)  4a2 + 4b2 + 4c2 + 4d2 + 4e2 - 4ab - 4ac - 4ad - 4ae   (a - 2b)2 + (a - 2c)2 + (a - 2d)2 + (a - 2e)2  (đpcm) Bài Cho a + b = 1,Chứng minh r»ng: a/ a2 + b2  1/2, b/ a3 + b3  1/4, c/ a4 + b4  1/8 Gi¶i a/ Tõ (a - b)2   a2 + b2  2ab  2(a2 + b2)  a2 + b2 + 2ab = (a + b)2 = VËy a2 + b2  1/2 b/ Ta cã a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2) = a2 - ab + b2   2(a3 + b3) = 2a2 - 2ab + 2b2 = (a - b)2 + a2 + b2  a2 + b2 mµ a2 + b2  1/2  2(a3 + b3)  1/2  a3 + b3  1/4 (®pcm) c/ Tõ (a2 - b2)2   a4 + b4  2a2b2  2(a4 + b4)  a4 + b4 + 2a2b2 = (a2 + b2)2  a4 + b4 (a2 + b2)2 (1) Mặt khác: (a - b)2   a2+ b2  2ab  2(a2 + b2)  a2 + b2 + 2ab = (a + b)2 = Trang - Võ Văn Lý - Giáo án luyện thi vào lớp 10 -: 0972946242 Không có học sinh học mà có học sinh học cha phơng pháp a2 + b2  1/2  (a2 + b2)2  1/4 thay vµo (1) ta cã a4 + b4  Bµi Cho a,b > 0, vµ a + b = Chøng minh r»ng: 1 a/ (1  )(1  ) 9 ; a b Gi¶i b/ 1   a 1 b 1 1 a 1 b 1 ab  a  b  a/ (1  )(1  ) 9  ( )( ) 9  9   9  a b a b ab ab 1  4ab  (a + b)2  4ab ®óng  (®pcm) 1   3(a + + b +1)  4(a + 1)(b + 1)   4(ab + a + b + 1) a 1 b 1   4ab +   4ab  (a + b)2  4ab ®óng  (đpcm) b/ Bài Cho a, b, c R+ Chøng minh r»ng:  a b c   2 a b b c ca Gi¶i a  a a  b  a  b  c  b  b a b c     1  b  c a  b  c a  b b  c c  a  c  c c a  a  b  c Mặt khác: c a ac a a  b  c  a  b  a  b  c  a b b a a b c  b       2  bc a b c a b b c c a b  c a b c b c  c c  a  b  c a  a  b  c  VËy:  a b c   2 a b b c ca Bµi Cho a, b, c, d  R+ CMR:  a b c d    2 a bc bcd cda da b Gi¶i - Vâ Văn Lý - Giáo án luyện thi vào lớp 10 -: 0972946242 Trang Kh«ng cã häc sinh häc kÐm mà có học sinh học cha phơng pháp a a a  a  b  c  d  a  b  c  a  c  c c c    a  b  c  d c  d  a c  a a b c d  1    2  b b b a b c b cd cd a d a b    a  b  c  d b  c  d b  d  d d d    a  b  c  d d  a  b d  b Bµi Cho a,b,c cạnh tam giác, CMR: ab + bc + ca  a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) Gi¶i */ CM: ab + bc + ca  a2 + b2 + c2 , nhân hai vế với ta có: 2ab + 2bc + 2ca  2a2 + 2b2 + 2c2  (a-b)2 + (a-c)2 + (b-c)2  0, ®óng  (®pcm) */ CM: a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca), Do a, b, c lµ ba cạnh tam giác nên ta có: a < b + c  a2 < ab + ac b < a + c  b2 < ab + bc c < a + b  c2 < ac + bc  a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) VËy: ab + bc + ca  a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) Bµi Chøng minh r»ng: ab a b  ab víi a > 0, b > Gi¶i  4  b 0  a  b 2 ab  2 ab  ab a b ab a b III/ Bất đẳng thức Côsi (trung bình cộng lớn trung bình nhân) */ Với số thực a, b không ©m ta cã: a 4  a b  ab , dÊu b»ng x¶y  a = b */ Với số thực a, b, c không âm ta cã: a bc  abc , dÊu b»ng x¶y  a = b = c */ Với n số thực a1, a2, an không âm ta cã: a1  a   a n n  a1a a n , dÊu b»ng x¶y  a1 = a2 = = an n IV/ Bất đẳng thức Bunhiacôpxki */ với sè thùc a, b, c, d ta cã: (ab + cd)2  (a2 + c2)(b2 + d2), dÊu b»ng x¶y  Trang a c  b d - Võ Văn Lý - Giáo án luyện thi vào líp 10 -: 0972946242 Kh«ng cã häc sinh häc kÐm mà có học sinh học cha phơng pháp */ Víi sè thùc a, b, c, d, e, f ta cã: (ab + cd + ef)2  (a2 + c2 + e2)(b2 + d2 + f2), dÊu b»ng x¶y  a c e   b d f */ víi n cỈp sè thùc a1, a2, an, b1, b2, bn ta cã: (a1b1 +a2b2 + + anbn)2  (a12 + a22 + + ann)(b12 + b22 + + bnn) DÊu b»ng x¶y  a1 a a    n b1 b bn Bµi Cho x, y, z số dơng, Chứng minh rằng: a/ (x + y)(y + z)(z + x)  8xyz b/ 1   x y xy 1    x y z xy z Gi¶i c/  x  y 2 xy   a/  y  z 2 yz  (x + y)(y + z)(z + x)  8xyz    z  x 2 xz  x  y 2 xy 1 1 1     (x  y)(  ) 4 mµ  1 b/  (x  y)(  ) 4 x y xy x y x y x  y  xy  c/ 1 1     (x  y  z)(   ) 9 (làm tơng tự) x y z xyz x y z B/ Giá trị lớn nhất, nhỏ Bài Tìm giá trị lớn của: P = 2x2 4x  x  2x  Gi¶i Ta cã: P= 2x  4x  2(x  2x  2)  1  2  2  2 x  2x  x  2x  x  2x  (x  1)2  P lín nhÊt   lín nhÊt, muèn vËy (x - 1)2 + ph¶i nhá nhÊt (x  1)2  mµ (x - 1)2 +   (x - 1)2 + nhá nhÊt b»ng  x = Khi ®ã P = VËy Pmax = x = Bài - Võ Văn Lý - Giáo án luyện thi vào lớp 10 -: 0972946242 Trang Không có học sinh học mà có học sinh học cha phơng pháp Cho x2 + y2 = 1, tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: p = x + y Gi¶i Tõ (x - y)2   x2 + y2  2xy  2(x2 + y2)  x2 + 2xy + y2 = (x + y)2 VËy  (x + y)2   x  y   Pmax= 2; 2x=y= Pmin= -  x = y = - 2 Bµi Cho x, y > vµ x + y = 1, Tìm giá trị nhỏ của: P = (1  1 )(1  ) x y Gi¶i P = (1  = 1 (x  1)(y  1) (x  1)(x  1)(y  1)(y  1) xy(x  1)(y  1) )(1  )    x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 xy(x  1)(y  1) (x  1)(y  1) x  y  xy    1  (thay x - = - y, y - = - x)  ta 2 x y xy xy xy cã P nhá nhÊt  xy nhá nhÊt  xy lín nhÊt Mµ xy = x(1 - x) = - x2 + x = -(x - 1/2)2 + 1/4  1/4  xy lín nhÊt = 1/4 x = 1/2  y = 1/2 VËy Pmin = 1 1 2 9 x = y = 1/2 Bài 2 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ của: P = (x  1) x 1 Gi¶i 2 2 P = (x  1)  x 42x  1  2x x 1 x 1 x4  Do (x2 - 1)2   x4 +  2x2  2x 1  P   Pmax=  x =  x4 1 2x Do 2x2  0, x4 +   2x  P   P =   0  x = x4  x4  Bài Cho a, b > Tìm giá trị nhá nhÊt cña; P = (x  a)(x  b) , víi x > x Gi¶i Ta cã: P = (x  a)(x  b)  x  ax  bx  ab a b  x  ab  P a  b  ab x x x Trang 10 - Võ Văn Lý - Giáo án luyện thi vào lớp 10 -: 0972946242 ... b/ B =   48  10  (  1)  2   12  18  128 c/ C =   13  48 6 Gi¶i a/ Ta cã:  (2  3)2   10   10( 2  3)  20  10  48  10  48  20  10 28  10 (5  48  10  5(5  VËy... x - 5 + x- 10? ?? Hìng dÉn Ta cã: P = x - 5 + x - 10? ?? = x - 5 + ? ?10 - x (x - 5) + (10 - x) = ¸p dông a + b = a + b  ab  VËy Pmin =  (x - 5) (10 - x)     x  10 Bµi Cho x,... 1)2 1   2 d/ Do D > nªn D =  15   8 7  1   2 71  1  D2 D =   10    10   8  (4  10  )(4  10  )   8   8    8  (  1)2 8   6  VËy: D =   (  1)2  