Hướng dẫn giải bài toán lớp 9 - Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

13 161 0
Hướng dẫn giải bài toán lớp 9 - Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Nội dung của tài liệu trình bày các bài toán và phương pháp giải toán hệ thức lượng trong tam giác vuông, hệ thức về cạnh và đường cao. Đây là tài liệu tham khảo hữu ích cho các em học sinh, phục vụ công tác ôn luyện củng cố kiến thức môn Toán lớp 9.

CHƯƠNG 1­ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VNG Hệ thức về cạnh và đường cao KIẾN THỨC CƠ BẢN Khi giải các bài tốn liên quan đến cạnh và đường cao trong tam giác vng, ngồi việc nắm vững các  kiến thức về định lý Talet, về các trường hợp đồng dạng của tam giác, cần phải nắm vững các kiến  thức sau: Tam giác  A BC  vng tại  A , đường cao  A H , ta có: A 1)  a = b2 + c 2)  b2 = a.b '; c = a c ' b c 3)  h = b '.c ' 4)  a h = b.c B h b' H c' C a 1 5)  = + h b c 6)  b ' b2 =                                                                                                                               Chú ý: Diện  a a tích tam giác vng:  S = ab Ví dụ 1. Cho tam giác  A BC  vng tại  A , đường cao  A H  Biết  A B : A C = :  và  A B + A C = 21cm a) Tính các cạnh của tam giác  A BC b) Tính độ dài các đoạn  A H , BH ,CH A Giải: a). Theo giả thiết:   A B : A C = : ,  suy ra  B H C AB AC AB +AC = = =  Do đó  A B = 3.3 = ( cm ) ;  A C = 3.4 = 12 ( cm ) 3+4 Tam giác  A BC  vng tại  A , theo định lý Pythagore ta có: BC = A B + A C = 92 + 122 = 225 , suy ra  BC = 15cm b) Tam giác  A BC  vng tại  A , ta có  A H BC = A B A C , suy ra  A H = A B A C 9.12 = = 7, ( cm ) BC 15 A H = BH HC  Đặt  BH = x ( < x < 9)  thì  HC = 15 - x , ta có: ( 7, 2) = x ( 15 - x ) ᅴ x - 15x + 51, 84 = ᅴ x ( x - 5, 4) = 9, ( x - 5, 4) = ᅴ ( x - 5, 4) ( x - 9, 6) = ᅴ x = 5,  hoặc  x = 9,  (loại)                                  Vậy  BH = 5, 4cm   Từ đó  HC = BC - BH = 9, ( cm ) Chú ý: Có thể tính  BH  như sau: A B = BH BC  suy ra  BH = AB2 92 = = 5, ( cm ) BC 15 Ví dụ 2: Cho  tam giác cân  A BC  có đáy  BC = 2a , cạnh bên bằng  b(b > a) a) Tính diện tích tam giác  A BC b) Dựng  BK ^ A C  Tính tỷ số  AK AC Giải: a). Gọi  H  là trung điểm của  BC  Theo định lý Pitago ta có: A H = A C - HC = b2 - a Suy ra  S A BC = A 1 BC A H = a b2 - a 2 K ᅴ A H = b2 - a 1 b). Ta có  BC A H = BK A C = S A BC 2 Suy ra  BK = H B C BC A H 2a = b - a  Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông  A KB  ta có:  AC b ( b2 - 2a 4a 2 2 2 A K = A B - BK = b - b - a = b b2 ( b2 - 2a AK = AC b2 ) )  Suy ra  A K = b2 - 2a b  do đó  Ví dụ 3: Cho tam giác  A BC  với các đỉnh  A , B ,C  và các cạnh đối diện  với các đỉnh tương ứng là:  a, b, c   a) Tính diện tích tam giác  A BC  theo  a b) Chứng minh:  a + b2 + c ᅴ 3S Giải: A a). Ta giả sử góc  A  là góc lớn nhất của tam giác A BC ᅴ B ,C  là các góc nhọn. Suy ra chân  đường cao hạ từ  A  lên  BC  là điểm  B H  thuộc cạnh  BC H C Ta có:  B C = BH + HC  Áp dụng định lý Pi ta go cho các tam giác vng  A HB , A HC  ta có: A B = A H + HB , A C = A H + HC Trừ hai đẳng thức trên ta có: 2 c - b2 = HB - HC = ( HB + HC ) ( HB - HC ) = a ( HB - HC )   ᅴ HB - HC = c - b ta cũng  a có:  HB + HC = a ᅴ BH = a + c - b2  Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông  2a ᅴ a + c - b2 ᅴᅴ2 ᅴ a + c - b2 ᅴᅴᅴᅴ a + c - b2 ᅴᅴ ᅴᅴ = ᅴᅴc ᅴᅴ ᅴc + ᅴᅴ A HB ᅴ A H = c - ᅴᅴᅴ ᅴᅴᅴᅴᅴ ᅴᅴ 2a 2a 2a ᅴᅴ ᅴᅴ ᅴᅴᅴ 2 ᅴ 2 ᅴ( a + c ) - b   =ᅴ ᅴ  2a ᅴᅴ  thì  A H = S = 2ᅴ ᅴ2  ᅴb - ( a - c ) ᅴ ( a + b + c ) ( a + c - b) ( b + a - c ) ( b + c - a ) ᅴ = ᅴ Đặt  2p = a + b + c   ᅴ ᅴ 2a 4a ᅴᅴ ᅴᅴ 16p ( p - a ) ( p - b) ( p - c ) 4a ᅴ AH = BC A H = p ( p - a ) ( p - b ) ( p - c ) p ( p - a ) ( p - b) ( p - c ) a  Từ đó tính được  b). Từ câu  a )  ta có:  S = p ( p - a ) ( p - b) ( p - c )  Áp dụng bất đẳng thức Cơ si ta có:  ᅴ p - a + p - b + p - c ᅴᅴ p3 ᅴ ᅴ ( p - a ) ( p - b) ( p - c ) ᅴ ᅴᅴ ᅴ = 27  Suy ra  S ᅴ ᅴ ᅴᅴ S ᅴ S ᅴ ( a + b + c) 12 p p3 p2  Hay  = 27 3 2 ( )  Mặt khác ta dễ chứng minh được:  ( a + b + c ) ᅴ a + b2 + c  suy ra  ( a + b2 + c 12 ) ᅴ a + b2 + c ᅴ 3S Dấu bằng xảy ra  hki và chỉ khi tam giác  A BC  đều Ví dụ 4. Cho tam giác nhọn  A BC  đường cao CK ;  H  là trực tâm của  ? MB = 900   S , S 1, S   tam giác. Gọi  M  là một điểm trên CK  sao cho  A theo thứ tự là diện tích các tam giác  A MB , A BC  và  A BH  Chứng minh  rằng  S = S 1.S A Giải: Tam giác  A MB  vng tại  M  có  M MK ^ A B  nên  MK = A K BK   (1) H D A HK : D CBK  vì có  B D K ? ? H = KCB ?   A? KH = CKB = 900 ;  KA (cùng phụ với  A? BC ). Suy ra  AK HK  , do đó  A K KB = CK KH    (2) = CK BK Từ (1) và (2) suy ra  MK = CK HK  nên  MK = CK HK ;  1 1 S A MB = A B MK = A B CK HK = A B CK A B HK = S 1S 2 2 Vậy  S = S 1.S Ví dụ 5. Cho hình thang  A BCD  có  ? = 900 , B? = 600 , CD = 30cm , CA ^ CB  Tính diện tích của hình  A? = D thang Giải: C ? D = A? BC = 600  (cùng phụ với CA ? B ), vì thế trong tam giác vng  A CD  ta có  A C = 2A D Ta có CA Theo định lý Pythagore thì:  A C = A D + DC  hay  ( 2A D ) = A D + 302 Suy ra  3A D = 900 ᅴ A D = 300  nên  A D = 10 ( cm ) ? =H ? = 900 , suy ra  Kẻ CH ^ A B  Tứ giác  A HCD  là hình chữ nhật vì có  A? = D A H = CD = 30cm ;CH = A D = 10 ( cm ) CH Tam giác  A CB  vng tại C , ta có: CH = HA HB , suy ra  HB = = HA ( do đó  A B = A H + HB = 30 + 10 = 40 ( cm ) 1 S A BCD = CH ( A B + CD ) 10 ( 40 + 30) = 350 cm 2 ( ) Vậy diện tích hình thang  A BCD  bằng  350 3cm Tỉ số lượng giác của góc nhọn KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Các tỉ số lượng giác của góc nhọn  a  (hình) được định nghĩa như sau: sin a = AB AC AB AC ; cos a = ; t an a = ; cot a = B BC BC AC AB + Nếu  a  là một góc nhọn thì  < sin a < 1; < cos a < 1; t an a > 0; cot a > Cạnh đối A Cạnh huyền α Cạnh kề  C 2. Với hai góc  a, b  mà  a + b = 900 ,  ta có:  sin a = cos b; cos a = sin b; t an a = cot b; cot a = t an b Nếu hai góc nhọn  a  và  b  có  sin a = sin b  hoặc  cos a = cos b  thì  a = b 3.  sin a + cos2 a = 1; tga cot ga = 10 30 ) = 300 ,  = 10 ( cm ) 30 4. Với một số góc đặc biệt ta có:  sin 300 = cos 600 = ; sin 450 = cos 450 = 2 cos 300 = sin 600 = ; cot 600 = t an 300 = t an 450 = cot 450 = 1; cot 300 = t an 600 = Ví dụ 1. Biết  sin a =  Tính  cos a, t an a  và  cot a 13 Giải: C Cách 1. Xét  D A BC  vng tại  A   AC Đặt  B? = a  Ta có:  sin a =   = BC 13 α A AC BC suy ra  = = k , do đó  13 B A C = 5k , BC = 13k  Tam giác  A BC  vuông tại  A  nên:  2 A B = BC - A C = ( 13k ) - ( 5k ) = 144k , suy ra  A B = 12k Vậy  cos a = AB 12k 12 AC 5k AB 12k 12 ;  t an a = = = = = ; cot a = = = BC 13k 13 AB 12k 12 AC 5k Cách 2. Ta có  sin a = 25  suy ra  sin a = , mà  sin a + cos2 a = , do đó  13 169 cos2 a = - sin a = - t an a = 25 144 12 , suy ra  cos a = = 169 169 13 sin a 12 13 cos a 12 12 13 12 = : = = ;  cot a = = : = = cos a 13 13 13 12 12 sin a 13 13 13 5 Ở  cách giải thứ nhất ta biểu thị độ dài các cạnh của tam giác  A BC  theo đại lượng  k  rồi sử dụng  định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn để tính  cos a, t an a, cot a  Ở cách giải thứ hai, ta sử dụng   để tính  sin a  rồi tính  cos a  từ  sin a + cos2 a =  Sau đó ta tính  t an a  và  13 cot a  qua  sin a  và  cos a giả thiết  sin a = Ví dụ 2. Cho tam giác nhọn  A BC  hai đường cao  A D  và  BE  cắt nhau  tại  H  Biết  HD : HA = :  Chứng minh rằng  tgB tgC = A Giải: E H B D C Ta có:  tgB = AD AD   ; tgC = BD CD Suy ra  t an B t an C = A D2    (1)  BD CD ? ? D  (cùng phụ với  A ? CB );  HDB ? HBD = CA = A? DC = 900 Do đó  D BDH : D A DC  (g.g), suy ra  t an B t an C = DH BD , do đó  BD DC = DH A D   (2). Từ (1) và (2) suy ra  = DC AD HD HD A D2 AD   (3). Theo giả thiết   hay  = =  suy ra  = A H + HD +1 AH DH A D DH HD 3HD = , suy ra  A D = 3HD  Thay vào (3) ta được:  t an B t an C = =3 AD DH Ví dụ 3. Biết  sin a cos a = 12  Tính  sin a, cos a 25 Giải: Biết  sin a cos a = sin a  hoặc  cos a 12  Để tính  sin a, cos a  ta cần tính  sin a + cos a  rồi giải phương trình với ẩn là  25 Ta có:  ( sin a + cos a ) = sin a + cos2 a + sin a cos a = + nên  sin a = ᅴ7 ᅴᅴ 12 ᅴ - cos a  Từ đó ta có:  cos a ᅴᅴᅴ - cos a ᅴᅴ = ᅴ5 ᅴᅴ 25 12 49  Suy ra  sin a + cos a =   = 25 25 12 cos a - cos2 a = 25 ᅴ 25 cos2 a - 35 cos a + 12 = ᅴ cos a ( cos a - 4) - ( cos a - 4) = ᅴ ( cos a - 4) ( cos a - 3) =  Suy ra  cos a =  hoặc  cos a = + Nếu  cos a = 12  thì  sin a = : = 25 5 + Nếu  cos a = 12  thì  sin a = : = 25 5 Vậy  sin a = 4 ,  cos a =  hoặc  sin a = , cos a = 5 5 Hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vng KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Trong một tam giác vng, mỗi cạnh góc vng bằng: a)  Cạnh huyền nhân với  sin  góc đối hay nhân với  cos in  góc kề b) Cạnh góc vng kia nhân với  t an  của góc đối hay nhân với  cot  của góc kề.  b = a sin B = a cos C ; c = a sin C = a cos B ;b = c.tgB = c cot gC ; c = b.tgC = b cot gC 2. Giải tam giác vng là tìm tất cả các cạnh và các góc chưa biết của tam giác vng đó Ví dụ 1. Cho tam giác  A BC  có  A B = 16, A C = 14  và  B? = 600 a) Tính độ dài cạnh  BC b) Tính diện tích tam giác  A BC Giải: A a). Kẻ đường cao  A H   Xét tam giác vng  A BH , ta có:  BH = A B cos B = A B cos 600 = 16 600 B A H = A B sin B = A B sin 600 = 16 H =8 =  Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác vng  A HC  ta có: ( HC = A C - A H = 142 - ) = 196 - 192 =  Suy ra  HC =  Vậy  BC = CH + HB = + = 10 b) Cách 1.  S A BC = Cách 2.  S A BC = C 1 BC A H = 10.8 = 40  (đvdt) 2 1 BC BA sin B = 10.16 = 40  (đvdt) 2 ? CB = 600  bán  Ví dụ 2: Tính diện tích tam giác  A BC  biết  A? BC = 450 , A kính đường trịn ngoại tiếp tam giác  A BC  là  R Giải: A Giả thiết có các góc có số đo đặc biệt , nhưng tam  giác  A BC là tam giác thường nên ta sẽ tạo ra tam giác vng bằng cách. Dựng các đường  thẳng qua C , B  lần lượt vng góc với  C 600 450 H D B A C , A B  Gọi  D  là giao điểm của hai đường thẳng trên. Khi đó tam giác  A BD  và  A CD  là các tam giác vuông và 4 điểm  A , B ,C , D  cùng nằm trên đường trịn đường kính  A D = 2R                                            Ta có:  A B = A D sin 600 = A D = R  Kẻ đường cao  A H  suy ra  H ᅴ BC Tức là:  BC = BH + CH  Tam giác  A HB  vng góc tại  H  nên  A H = BH = A B sin 450 = AB R  Mặt khác tam giác  A CH  vuông tại  H   = AD = 2 2 2 nên   A C = A H + CH ᅴ CH = S = ( R2 + R   ᅴ BC = ( R 1+ )  Từ đó tính được diện tích  ) Ví dụ 3: Cho tam giác  A BC  với các đỉnh  A , B ,C  và các cạnh đối diện  với các đỉnh tương ứng là:  a, b, c  Chứng minh rằng: a) a = b2 + c - 2bc cos A b) Gọi  D  là chân đường phân giác trong góc  A  Chứng minh:  ᅴA ᅴ 2bc cos ᅴᅴ ᅴᅴᅴ ᅴᅴ ᅴᅴ AD = b +c Giải: B a). Dựng đường cao  BH  của tam giác  c ABC  ta có:  a Cách 1: Giả sử  H  thuộc cạnh  A C Ta có:  A C = A H + HC A H b  Áp dụng định lý Pi ta go cho các tam giác vng  A HB , BHC  ta có: A B = A H + HB , BC = BH + HC Trừ hai đẳng thức trên ta có: C 2 c - a = HA - HC = ( HA + HC ) ( HA - HC ) = b ( HA - HC )   ᅴ HA - HC = c - a ta cũng có:  b b2 + c - a  Xét tam giác vng  A HB  ta có:  HA + HC = b ᅴ A H = 2b cos A = AH b2 + c - a = ᅴ a = b2 + c - 2bc cos A AB 2bc Cách 2: Xét tam giác vng CHB  ta có:  BC = BH + HC = BH + ( A C - A H ) = BH + A H + A C - 2A C A H Ta có:  A H = CB cos A  suy ra  BC = BH + A H + A C - 2A C CB cos A  hay  ᅴ BC = BA + +A C - 2A C CB cos A ᅴ a = b2 + c - 2bc cos A b). Để chứng minh bài toán ta cần kết quả sau:  +  sin 2a = sin a cos a +  S = ab sin C *) Thật vậy xét tam giác vuông  A BC , A? = 900 , gọi  M  là trung điểm của  BC , dựng đường cao  A H   ? CB = a ᅴ A? MB = 2a   Đặt  A A Ta có  sin a = sin C = AH h = AC b b h cos a = cosC = AC b = BC a H B 2α M α C AH h 2h sin 2a = sin A? MH = = = AM a a  .                                                                                      Từ đó ta  suy ra:  sin 2a = sin a cos a *) Xét tam giác  A BC  Dựng đường cao  BE  ta có: A S A BC = E 1 BE A C = BE b  (1) 2 Mặt khác trong tam giác vng  A EB   ta có: sin A = thay vào (1)  BE ᅴ BE = c sin A   AB B C Ta có:  S = ab sin C Trở lại bài tốn:  A Ta có  S A BD ᅴA ᅴ 1 = A D A B sin A1 = A D c sin ᅴᅴ ᅴᅴᅴ ᅴᅴ ᅴᅴ 2 b c ᅴA ᅴ 1 S A CD = A D A C sin A = A D b sin ᅴᅴ ᅴᅴᅴ ᅴᅴ ᅴᅴ 2 D B C Suy ra  S A BC = S A CD + S A BD = = ᅴA ᅴ 1 A D sin ᅴᅴᅴ ᅴᅴᅴ ᅴᅴc + b  Mặt khác  S A BC = bc sin A ᅴ   ᅴ ᅴᅴ ᅴA ᅴ A D sin ᅴᅴᅴ ᅴᅴᅴ ᅴᅴc + b = bc sin A ᅴ A D = ᅴ ᅴᅴ bc sin A = ᅴ A ᅴᅴ ( b + c ) sin ᅴᅴᅴᅴ ᅴᅴᅴᅴ 2bc cos c +b A Chú ý rằng: Ta chứng minh được kết quả sau:  cos 2a = cos2 a - = - sin a   Thật vậy xét tam giác vuông  A BC , A? = 900 , gọi  M  là trung điểm của  BC , dựng đường cao  A H   ? CB = a ᅴ A? MB = 2a   Đặt  A A Ta có :  cos a = cos C = AC b AB c = ,                      =                                                    sin a = sin C = BC a BC a c b A M + MB - A B cos 2a = cos A? MH = 2A M MB 2α a B M α C a a 2 + - c2 ᅴ c ᅴᅴ ᅴ b ᅴᅴ a - 2c a - b2 4 ᅴ ᅴ = = = - ᅴᅴ ᅴᅴ = - = ᅴ ᅴᅴ -   Từ     suy   ra  a a a2 a2 ᅴa ᅴᅴ ᅴᅴ a ᅴᅴ 2 cos 2a = cos2 a - = - sin a                                                                            ᅴ ᅴ 2 2 2 A - 1ᅴᅴᅴ   Áp dụng  a = b + c - 2bc cos A ᅴ a = b + c - 2bc ᅴᅴ2 cos ᅴᅴ ᅴᅴ ( b + c ) - a  Thay vào cơng thức đường phân giác ta có:  A b2 + c - a 2 A ᅴ cos = + ᅴ cos = 2bc 4bc A 2bc 2bc cos AD = = c +b (b + c) - a2 4bc b +c bc = (b + c - a) (b + c + a) b +c (b + c - a) (b + c + a) ta có:  bc ᅴ b + c ᅴ A D ᅴ  Áp dụng bất đẳng thức Cô si  = p( p - a )  với  2p = a + b + c Áp dụng công thức:  a = b2 + c - 2bc cos A  Ta cũng chứng minh được hệ thức rất quan trọng trong  hình học phẳng ( Định lý Stewart) đó là:  ‘’Cho điểm  D  nằm trên cạnh  BC  của tam giác  A BC  khi đó ta có:  ( ) A B CD + A C BD = BC A B + BD DC ’’ A + Thật vậy :Ta giả kẻ  A H ^ BC   khơng mất tính tổng qt,  ta giả sử  D  nằm trong đoạn  H B D C HC  Khi đó ta có: A B = A D + BD - 2A D BD cos A? DB = A D + BD - 2DB DH  (1) Tương tự ta có:  A C = A D + DC + 2DH DC  (2). Nhân đẳng thức (1) với  DC  đẳng thức (2) với  BD  rồi cộng lại theo vế ta có:  ( A B CD + A C BD = BC A B + BD DC ) Ví dụ 3. Khơng dùng máy tính và bảng số hãy chứng minh rằng  sin 750 = 6+ Giải: A Vẽ tam giác  A BC  vuông tại  A   với  BC = 2a  ( a  là một độ dài tùy ý) , C? = 150 , suy ra  B? = 750 Gọi  I  là trung điểm của  BC , ta có  B H I C IA = IB = IC = a  Vì  A? IB  là góc ngồi tại đỉnh  I  của tam giác cân  IA C  nên  A? IB = 2C? = 300   a Kẻ  A H ^ BC  thì  IH = A I cos 300 = a ;  A H = A I cos 300 = ;  2 CH = CI + IH = a + ( ) a a 2+ = 2 Tam giác  A HC  vng tại  H , theo định lý Pythagore, ta có:  2 A C = CH + A H = ( a2 + ) ( ra  A C = a +   sin 750 = sin B = = ( ) +1 2 sin 750 = = +1 2 6+ = ( ) ( ) 4a 2 + a2 + + + = a 2 + , suy  a2 = + =   4 )= +1 2 AC a 2+ 2+ = = = BC 2a +2 2 (   +                                               Vậy  ) ... b ) ( p - c ) p ( p - a ) ( p - b) ( p - c ) a  Từ đó tính được  b). Từ câu  a )  ta có:  S = p ( p - a ) ( p - b) ( p - c )  Áp dụng bất đẳng? ?thức? ?Cơ si ta có:  ᅴ p - a + p - b + p - c ᅴᅴ p3... ᅴb - ( a - c ) ᅴ ( a + b + c ) ( a + c - b) ( b + a - c ) ( b + c - a ) ᅴ = ᅴ Đặt  2p = a + b + c   ᅴ ᅴ 2a 4a ᅴᅴ ᅴᅴ 16p ( p - a ) ( p - b) ( p - c ) 4a ᅴ AH = BC A H = p ( p - a ) ( p - b... ᅴ x - 15x + 51, 84 = ᅴ x ( x - 5, 4) = 9, ( x - 5, 4) = ᅴ ( x - 5, 4) ( x - 9, 6) = ᅴ x = 5,  hoặc  x = 9,  (loại)                                  Vậy  BH = 5, 4cm   Từ đó  HC = BC - BH = 9,

Ngày đăng: 24/02/2020, 18:57

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan