Đang tải... (xem toàn văn)
Nội dung của tài liệu trình bày các bài toán và phương pháp giải toán hệ thức lượng trong tam giác vuông, hệ thức về cạnh và đường cao. Đây là tài liệu tham khảo hữu ích cho các em học sinh, phục vụ công tác ôn luyện củng cố kiến thức môn Toán lớp 9.
CHƯƠNG 1 HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VNG Hệ thức về cạnh và đường cao KIẾN THỨC CƠ BẢN Khi giải các bài tốn liên quan đến cạnh và đường cao trong tam giác vng, ngồi việc nắm vững các kiến thức về định lý Talet, về các trường hợp đồng dạng của tam giác, cần phải nắm vững các kiến thức sau: Tam giác A BC vng tại A , đường cao A H , ta có: A 1) a = b2 + c 2) b2 = a.b '; c = a c ' b c 3) h = b '.c ' 4) a h = b.c B h b' H c' C a 1 5) = + h b c 6) b ' b2 = Chú ý: Diện a a tích tam giác vng: S = ab Ví dụ 1. Cho tam giác A BC vng tại A , đường cao A H Biết A B : A C = : và A B + A C = 21cm a) Tính các cạnh của tam giác A BC b) Tính độ dài các đoạn A H , BH ,CH A Giải: a). Theo giả thiết: A B : A C = : , suy ra B H C AB AC AB +AC = = = Do đó A B = 3.3 = ( cm ) ; A C = 3.4 = 12 ( cm ) 3+4 Tam giác A BC vng tại A , theo định lý Pythagore ta có: BC = A B + A C = 92 + 122 = 225 , suy ra BC = 15cm b) Tam giác A BC vng tại A , ta có A H BC = A B A C , suy ra A H = A B A C 9.12 = = 7, ( cm ) BC 15 A H = BH HC Đặt BH = x ( < x < 9) thì HC = 15 - x , ta có: ( 7, 2) = x ( 15 - x ) ᅴ x - 15x + 51, 84 = ᅴ x ( x - 5, 4) = 9, ( x - 5, 4) = ᅴ ( x - 5, 4) ( x - 9, 6) = ᅴ x = 5, hoặc x = 9, (loại) Vậy BH = 5, 4cm Từ đó HC = BC - BH = 9, ( cm ) Chú ý: Có thể tính BH như sau: A B = BH BC suy ra BH = AB2 92 = = 5, ( cm ) BC 15 Ví dụ 2: Cho tam giác cân A BC có đáy BC = 2a , cạnh bên bằng b(b > a) a) Tính diện tích tam giác A BC b) Dựng BK ^ A C Tính tỷ số AK AC Giải: a). Gọi H là trung điểm của BC Theo định lý Pitago ta có: A H = A C - HC = b2 - a Suy ra S A BC = A 1 BC A H = a b2 - a 2 K ᅴ A H = b2 - a 1 b). Ta có BC A H = BK A C = S A BC 2 Suy ra BK = H B C BC A H 2a = b - a Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông A KB ta có: AC b ( b2 - 2a 4a 2 2 2 A K = A B - BK = b - b - a = b b2 ( b2 - 2a AK = AC b2 ) ) Suy ra A K = b2 - 2a b do đó Ví dụ 3: Cho tam giác A BC với các đỉnh A , B ,C và các cạnh đối diện với các đỉnh tương ứng là: a, b, c a) Tính diện tích tam giác A BC theo a b) Chứng minh: a + b2 + c ᅴ 3S Giải: A a). Ta giả sử góc A là góc lớn nhất của tam giác A BC ᅴ B ,C là các góc nhọn. Suy ra chân đường cao hạ từ A lên BC là điểm B H thuộc cạnh BC H C Ta có: B C = BH + HC Áp dụng định lý Pi ta go cho các tam giác vng A HB , A HC ta có: A B = A H + HB , A C = A H + HC Trừ hai đẳng thức trên ta có: 2 c - b2 = HB - HC = ( HB + HC ) ( HB - HC ) = a ( HB - HC ) ᅴ HB - HC = c - b ta cũng a có: HB + HC = a ᅴ BH = a + c - b2 Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông 2a ᅴ a + c - b2 ᅴᅴ2 ᅴ a + c - b2 ᅴᅴᅴᅴ a + c - b2 ᅴᅴ ᅴᅴ = ᅴᅴc ᅴᅴ ᅴc + ᅴᅴ A HB ᅴ A H = c - ᅴᅴᅴ ᅴᅴᅴᅴᅴ ᅴᅴ 2a 2a 2a ᅴᅴ ᅴᅴ ᅴᅴᅴ 2 ᅴ 2 ᅴ( a + c ) - b =ᅴ ᅴ 2a ᅴᅴ thì A H = S = 2ᅴ ᅴ2 ᅴb - ( a - c ) ᅴ ( a + b + c ) ( a + c - b) ( b + a - c ) ( b + c - a ) ᅴ = ᅴ Đặt 2p = a + b + c ᅴ ᅴ 2a 4a ᅴᅴ ᅴᅴ 16p ( p - a ) ( p - b) ( p - c ) 4a ᅴ AH = BC A H = p ( p - a ) ( p - b ) ( p - c ) p ( p - a ) ( p - b) ( p - c ) a Từ đó tính được b). Từ câu a ) ta có: S = p ( p - a ) ( p - b) ( p - c ) Áp dụng bất đẳng thức Cơ si ta có: ᅴ p - a + p - b + p - c ᅴᅴ p3 ᅴ ᅴ ( p - a ) ( p - b) ( p - c ) ᅴ ᅴᅴ ᅴ = 27 Suy ra S ᅴ ᅴ ᅴᅴ S ᅴ S ᅴ ( a + b + c) 12 p p3 p2 Hay = 27 3 2 ( ) Mặt khác ta dễ chứng minh được: ( a + b + c ) ᅴ a + b2 + c suy ra ( a + b2 + c 12 ) ᅴ a + b2 + c ᅴ 3S Dấu bằng xảy ra hki và chỉ khi tam giác A BC đều Ví dụ 4. Cho tam giác nhọn A BC đường cao CK ; H là trực tâm của ? MB = 900 S , S 1, S tam giác. Gọi M là một điểm trên CK sao cho A theo thứ tự là diện tích các tam giác A MB , A BC và A BH Chứng minh rằng S = S 1.S A Giải: Tam giác A MB vng tại M có M MK ^ A B nên MK = A K BK (1) H D A HK : D CBK vì có B D K ? ? H = KCB ? A? KH = CKB = 900 ; KA (cùng phụ với A? BC ). Suy ra AK HK , do đó A K KB = CK KH (2) = CK BK Từ (1) và (2) suy ra MK = CK HK nên MK = CK HK ; 1 1 S A MB = A B MK = A B CK HK = A B CK A B HK = S 1S 2 2 Vậy S = S 1.S Ví dụ 5. Cho hình thang A BCD có ? = 900 , B? = 600 , CD = 30cm , CA ^ CB Tính diện tích của hình A? = D thang Giải: C ? D = A? BC = 600 (cùng phụ với CA ? B ), vì thế trong tam giác vng A CD ta có A C = 2A D Ta có CA Theo định lý Pythagore thì: A C = A D + DC hay ( 2A D ) = A D + 302 Suy ra 3A D = 900 ᅴ A D = 300 nên A D = 10 ( cm ) ? =H ? = 900 , suy ra Kẻ CH ^ A B Tứ giác A HCD là hình chữ nhật vì có A? = D A H = CD = 30cm ;CH = A D = 10 ( cm ) CH Tam giác A CB vng tại C , ta có: CH = HA HB , suy ra HB = = HA ( do đó A B = A H + HB = 30 + 10 = 40 ( cm ) 1 S A BCD = CH ( A B + CD ) 10 ( 40 + 30) = 350 cm 2 ( ) Vậy diện tích hình thang A BCD bằng 350 3cm Tỉ số lượng giác của góc nhọn KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Các tỉ số lượng giác của góc nhọn a (hình) được định nghĩa như sau: sin a = AB AC AB AC ; cos a = ; t an a = ; cot a = B BC BC AC AB + Nếu a là một góc nhọn thì < sin a < 1; < cos a < 1; t an a > 0; cot a > Cạnh đối A Cạnh huyền α Cạnh kề C 2. Với hai góc a, b mà a + b = 900 , ta có: sin a = cos b; cos a = sin b; t an a = cot b; cot a = t an b Nếu hai góc nhọn a và b có sin a = sin b hoặc cos a = cos b thì a = b 3. sin a + cos2 a = 1; tga cot ga = 10 30 ) = 300 , = 10 ( cm ) 30 4. Với một số góc đặc biệt ta có: sin 300 = cos 600 = ; sin 450 = cos 450 = 2 cos 300 = sin 600 = ; cot 600 = t an 300 = t an 450 = cot 450 = 1; cot 300 = t an 600 = Ví dụ 1. Biết sin a = Tính cos a, t an a và cot a 13 Giải: C Cách 1. Xét D A BC vng tại A AC Đặt B? = a Ta có: sin a = = BC 13 α A AC BC suy ra = = k , do đó 13 B A C = 5k , BC = 13k Tam giác A BC vuông tại A nên: 2 A B = BC - A C = ( 13k ) - ( 5k ) = 144k , suy ra A B = 12k Vậy cos a = AB 12k 12 AC 5k AB 12k 12 ; t an a = = = = = ; cot a = = = BC 13k 13 AB 12k 12 AC 5k Cách 2. Ta có sin a = 25 suy ra sin a = , mà sin a + cos2 a = , do đó 13 169 cos2 a = - sin a = - t an a = 25 144 12 , suy ra cos a = = 169 169 13 sin a 12 13 cos a 12 12 13 12 = : = = ; cot a = = : = = cos a 13 13 13 12 12 sin a 13 13 13 5 Ở cách giải thứ nhất ta biểu thị độ dài các cạnh của tam giác A BC theo đại lượng k rồi sử dụng định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn để tính cos a, t an a, cot a Ở cách giải thứ hai, ta sử dụng để tính sin a rồi tính cos a từ sin a + cos2 a = Sau đó ta tính t an a và 13 cot a qua sin a và cos a giả thiết sin a = Ví dụ 2. Cho tam giác nhọn A BC hai đường cao A D và BE cắt nhau tại H Biết HD : HA = : Chứng minh rằng tgB tgC = A Giải: E H B D C Ta có: tgB = AD AD ; tgC = BD CD Suy ra t an B t an C = A D2 (1) BD CD ? ? D (cùng phụ với A ? CB ); HDB ? HBD = CA = A? DC = 900 Do đó D BDH : D A DC (g.g), suy ra t an B t an C = DH BD , do đó BD DC = DH A D (2). Từ (1) và (2) suy ra = DC AD HD HD A D2 AD (3). Theo giả thiết hay = = suy ra = A H + HD +1 AH DH A D DH HD 3HD = , suy ra A D = 3HD Thay vào (3) ta được: t an B t an C = =3 AD DH Ví dụ 3. Biết sin a cos a = 12 Tính sin a, cos a 25 Giải: Biết sin a cos a = sin a hoặc cos a 12 Để tính sin a, cos a ta cần tính sin a + cos a rồi giải phương trình với ẩn là 25 Ta có: ( sin a + cos a ) = sin a + cos2 a + sin a cos a = + nên sin a = ᅴ7 ᅴᅴ 12 ᅴ - cos a Từ đó ta có: cos a ᅴᅴᅴ - cos a ᅴᅴ = ᅴ5 ᅴᅴ 25 12 49 Suy ra sin a + cos a = = 25 25 12 cos a - cos2 a = 25 ᅴ 25 cos2 a - 35 cos a + 12 = ᅴ cos a ( cos a - 4) - ( cos a - 4) = ᅴ ( cos a - 4) ( cos a - 3) = Suy ra cos a = hoặc cos a = + Nếu cos a = 12 thì sin a = : = 25 5 + Nếu cos a = 12 thì sin a = : = 25 5 Vậy sin a = 4 , cos a = hoặc sin a = , cos a = 5 5 Hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vng KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Trong một tam giác vng, mỗi cạnh góc vng bằng: a) Cạnh huyền nhân với sin góc đối hay nhân với cos in góc kề b) Cạnh góc vng kia nhân với t an của góc đối hay nhân với cot của góc kề. b = a sin B = a cos C ; c = a sin C = a cos B ;b = c.tgB = c cot gC ; c = b.tgC = b cot gC 2. Giải tam giác vng là tìm tất cả các cạnh và các góc chưa biết của tam giác vng đó Ví dụ 1. Cho tam giác A BC có A B = 16, A C = 14 và B? = 600 a) Tính độ dài cạnh BC b) Tính diện tích tam giác A BC Giải: A a). Kẻ đường cao A H Xét tam giác vng A BH , ta có: BH = A B cos B = A B cos 600 = 16 600 B A H = A B sin B = A B sin 600 = 16 H =8 = Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác vng A HC ta có: ( HC = A C - A H = 142 - ) = 196 - 192 = Suy ra HC = Vậy BC = CH + HB = + = 10 b) Cách 1. S A BC = Cách 2. S A BC = C 1 BC A H = 10.8 = 40 (đvdt) 2 1 BC BA sin B = 10.16 = 40 (đvdt) 2 ? CB = 600 bán Ví dụ 2: Tính diện tích tam giác A BC biết A? BC = 450 , A kính đường trịn ngoại tiếp tam giác A BC là R Giải: A Giả thiết có các góc có số đo đặc biệt , nhưng tam giác A BC là tam giác thường nên ta sẽ tạo ra tam giác vng bằng cách. Dựng các đường thẳng qua C , B lần lượt vng góc với C 600 450 H D B A C , A B Gọi D là giao điểm của hai đường thẳng trên. Khi đó tam giác A BD và A CD là các tam giác vuông và 4 điểm A , B ,C , D cùng nằm trên đường trịn đường kính A D = 2R Ta có: A B = A D sin 600 = A D = R Kẻ đường cao A H suy ra H ᅴ BC Tức là: BC = BH + CH Tam giác A HB vng góc tại H nên A H = BH = A B sin 450 = AB R Mặt khác tam giác A CH vuông tại H = AD = 2 2 2 nên A C = A H + CH ᅴ CH = S = ( R2 + R ᅴ BC = ( R 1+ ) Từ đó tính được diện tích ) Ví dụ 3: Cho tam giác A BC với các đỉnh A , B ,C và các cạnh đối diện với các đỉnh tương ứng là: a, b, c Chứng minh rằng: a) a = b2 + c - 2bc cos A b) Gọi D là chân đường phân giác trong góc A Chứng minh: ᅴA ᅴ 2bc cos ᅴᅴ ᅴᅴᅴ ᅴᅴ ᅴᅴ AD = b +c Giải: B a). Dựng đường cao BH của tam giác c ABC ta có: a Cách 1: Giả sử H thuộc cạnh A C Ta có: A C = A H + HC A H b Áp dụng định lý Pi ta go cho các tam giác vng A HB , BHC ta có: A B = A H + HB , BC = BH + HC Trừ hai đẳng thức trên ta có: C 2 c - a = HA - HC = ( HA + HC ) ( HA - HC ) = b ( HA - HC ) ᅴ HA - HC = c - a ta cũng có: b b2 + c - a Xét tam giác vng A HB ta có: HA + HC = b ᅴ A H = 2b cos A = AH b2 + c - a = ᅴ a = b2 + c - 2bc cos A AB 2bc Cách 2: Xét tam giác vng CHB ta có: BC = BH + HC = BH + ( A C - A H ) = BH + A H + A C - 2A C A H Ta có: A H = CB cos A suy ra BC = BH + A H + A C - 2A C CB cos A hay ᅴ BC = BA + +A C - 2A C CB cos A ᅴ a = b2 + c - 2bc cos A b). Để chứng minh bài toán ta cần kết quả sau: + sin 2a = sin a cos a + S = ab sin C *) Thật vậy xét tam giác vuông A BC , A? = 900 , gọi M là trung điểm của BC , dựng đường cao A H ? CB = a ᅴ A? MB = 2a Đặt A A Ta có sin a = sin C = AH h = AC b b h cos a = cosC = AC b = BC a H B 2α M α C AH h 2h sin 2a = sin A? MH = = = AM a a . Từ đó ta suy ra: sin 2a = sin a cos a *) Xét tam giác A BC Dựng đường cao BE ta có: A S A BC = E 1 BE A C = BE b (1) 2 Mặt khác trong tam giác vng A EB ta có: sin A = thay vào (1) BE ᅴ BE = c sin A AB B C Ta có: S = ab sin C Trở lại bài tốn: A Ta có S A BD ᅴA ᅴ 1 = A D A B sin A1 = A D c sin ᅴᅴ ᅴᅴᅴ ᅴᅴ ᅴᅴ 2 b c ᅴA ᅴ 1 S A CD = A D A C sin A = A D b sin ᅴᅴ ᅴᅴᅴ ᅴᅴ ᅴᅴ 2 D B C Suy ra S A BC = S A CD + S A BD = = ᅴA ᅴ 1 A D sin ᅴᅴᅴ ᅴᅴᅴ ᅴᅴc + b Mặt khác S A BC = bc sin A ᅴ ᅴ ᅴᅴ ᅴA ᅴ A D sin ᅴᅴᅴ ᅴᅴᅴ ᅴᅴc + b = bc sin A ᅴ A D = ᅴ ᅴᅴ bc sin A = ᅴ A ᅴᅴ ( b + c ) sin ᅴᅴᅴᅴ ᅴᅴᅴᅴ 2bc cos c +b A Chú ý rằng: Ta chứng minh được kết quả sau: cos 2a = cos2 a - = - sin a Thật vậy xét tam giác vuông A BC , A? = 900 , gọi M là trung điểm của BC , dựng đường cao A H ? CB = a ᅴ A? MB = 2a Đặt A A Ta có : cos a = cos C = AC b AB c = , = sin a = sin C = BC a BC a c b A M + MB - A B cos 2a = cos A? MH = 2A M MB 2α a B M α C a a 2 + - c2 ᅴ c ᅴᅴ ᅴ b ᅴᅴ a - 2c a - b2 4 ᅴ ᅴ = = = - ᅴᅴ ᅴᅴ = - = ᅴ ᅴᅴ - Từ suy ra a a a2 a2 ᅴa ᅴᅴ ᅴᅴ a ᅴᅴ 2 cos 2a = cos2 a - = - sin a ᅴ ᅴ 2 2 2 A - 1ᅴᅴᅴ Áp dụng a = b + c - 2bc cos A ᅴ a = b + c - 2bc ᅴᅴ2 cos ᅴᅴ ᅴᅴ ( b + c ) - a Thay vào cơng thức đường phân giác ta có: A b2 + c - a 2 A ᅴ cos = + ᅴ cos = 2bc 4bc A 2bc 2bc cos AD = = c +b (b + c) - a2 4bc b +c bc = (b + c - a) (b + c + a) b +c (b + c - a) (b + c + a) ta có: bc ᅴ b + c ᅴ A D ᅴ Áp dụng bất đẳng thức Cô si = p( p - a ) với 2p = a + b + c Áp dụng công thức: a = b2 + c - 2bc cos A Ta cũng chứng minh được hệ thức rất quan trọng trong hình học phẳng ( Định lý Stewart) đó là: ‘’Cho điểm D nằm trên cạnh BC của tam giác A BC khi đó ta có: ( ) A B CD + A C BD = BC A B + BD DC ’’ A + Thật vậy :Ta giả kẻ A H ^ BC khơng mất tính tổng qt, ta giả sử D nằm trong đoạn H B D C HC Khi đó ta có: A B = A D + BD - 2A D BD cos A? DB = A D + BD - 2DB DH (1) Tương tự ta có: A C = A D + DC + 2DH DC (2). Nhân đẳng thức (1) với DC đẳng thức (2) với BD rồi cộng lại theo vế ta có: ( A B CD + A C BD = BC A B + BD DC ) Ví dụ 3. Khơng dùng máy tính và bảng số hãy chứng minh rằng sin 750 = 6+ Giải: A Vẽ tam giác A BC vuông tại A với BC = 2a ( a là một độ dài tùy ý) , C? = 150 , suy ra B? = 750 Gọi I là trung điểm của BC , ta có B H I C IA = IB = IC = a Vì A? IB là góc ngồi tại đỉnh I của tam giác cân IA C nên A? IB = 2C? = 300 a Kẻ A H ^ BC thì IH = A I cos 300 = a ; A H = A I cos 300 = ; 2 CH = CI + IH = a + ( ) a a 2+ = 2 Tam giác A HC vng tại H , theo định lý Pythagore, ta có: 2 A C = CH + A H = ( a2 + ) ( ra A C = a + sin 750 = sin B = = ( ) +1 2 sin 750 = = +1 2 6+ = ( ) ( ) 4a 2 + a2 + + + = a 2 + , suy a2 = + = 4 )= +1 2 AC a 2+ 2+ = = = BC 2a +2 2 ( + Vậy ) ... b ) ( p - c ) p ( p - a ) ( p - b) ( p - c ) a Từ đó tính được b). Từ câu a ) ta có: S = p ( p - a ) ( p - b) ( p - c ) Áp dụng bất đẳng? ?thức? ?Cơ si ta có: ᅴ p - a + p - b + p - c ᅴᅴ p3... ᅴb - ( a - c ) ᅴ ( a + b + c ) ( a + c - b) ( b + a - c ) ( b + c - a ) ᅴ = ᅴ Đặt 2p = a + b + c ᅴ ᅴ 2a 4a ᅴᅴ ᅴᅴ 16p ( p - a ) ( p - b) ( p - c ) 4a ᅴ AH = BC A H = p ( p - a ) ( p - b... ᅴ x - 15x + 51, 84 = ᅴ x ( x - 5, 4) = 9, ( x - 5, 4) = ᅴ ( x - 5, 4) ( x - 9, 6) = ᅴ x = 5, hoặc x = 9, (loại) Vậy BH = 5, 4cm Từ đó HC = BC - BH = 9,