PHÒNG GD & ĐT THÁI THỤY ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2018-2019 MƠN TỐN Bài (4,0 điểm) a) Thực phép tính : P  b) Tìm x thỏa mãn:  x 4  20180  0,4 25   x   1  x  3  Bài (4,0 điểm) x y xy x y   2017 2018 2019 x y z b) Cho x, y, z, a, b, c thỏa mãn   a  2b  c 2a  b  c 4a  4b  c a b c   Chứng minh rằng: (với điều kiện mẫu x  y  z 2x  y  z 4x  y  z thức khác 0) Bài (3,0 điểm) a) Cho đa thức f ( x)  ax  b Tìm a, b biết f 1  f  2   a) Tìm x, y biết: b) Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho A 1;2  M  m; m2  Tìm m để điểm phân biệt O, A, M thẳng hàng Bài (3,0 điểm) a) So sánh : 222333 333222 b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức Q  x  2017  x  2018  x  2019 Bài (5,0 điểm) Cho tam giác ABC cân A( góc A tù) Trên cạnh BC lấy điểm D, tia đối CB lấy điểm E cho BD  CE Trên tia đối tia CA lấy điểm I cho CI  CA a) Chứng minh: ABD  ICE AB  AC  AD  AE b) Từ D E kẻ đường thẳng vng góc với BC cắt AB, AI theo thứ tự M , N Chứng minh MN qua trung điểm DE c) Chứng minh chu vi tam giác ABC nhỏ chu vi tam giác AMN Bài (1,0 điểm) Chứng minh với số tự nhiên n  tổng: 15 n2  S      số nguyên 16 n ĐÁP ÁN Bài a) P  b) x   x 4  20180  0,4     25 5   x   1. x  3   x    x  16(tm)   x    x  1    x  1     x   1  x  3   x    x   Bài x y xy x y a) Ta có:   (1) 2017 2018 2019 Áp dụng tính chất tỷ lệ thức ta có: x y xy x y   1 2017 2018 2019 Áp dụng tính chất tỉ lệ thức ta có: x y x y x yx y 2x x     2017 2019 2017  2019 4036 2018 xy x   (2) 2018 2018 TH1: x   y  Th2: x  0,    y   x  2018(tm) Vậy  x; y    0;0 ;  2018;1 b) Từ giả thiết suy x 2y z x  2y  z    (1) a  2b  c 4a  2b  2c 4a  4b  c 9a 2x y z 2x  y  z    (2) 2a  4b  2c 2a  b  c 4a  4b  c 9b 4x 4y z 4x  y  z    (3) 4a  8b  4c 8a  4b  4c 4a  4b  c 9c Từ 1 ,   ,  3 ta có: 9a 9b 9c x  y  z 2x  y  z 4x  y  z   hay   x  y  z 2x  y  z 4x  y  z 9a 9b 9c a b c   Vậy x  y  z x  y  z 4x  y  z Bài a) f 1   a.1  b   a  b   b   a f  2   2a  b   2a   a   3a  3  a  Thay a   b  Vậy a  1; b  b) Đường thẳng OA đồ thị hàm số y  ax A1;2   y  ax  a   y  x m  Để O, A, M thẳng hàng M  m; m2   y  x  m2  2m   m  Vì ba điểm O, A, M phân biệt nên m  0(ktm) Vậy m  Bài a) Ta có: 222333   2223  ;333222   3332  111 111 2223   2.111  8.1113  8.111.1112  888.1112 3332   3.111  9.1112 Vì 888   888.1112  9.1112  2223  3332   2223  111   3332  111  222333  333222 Vậy 222333  333222 b) Q  x  2017  x  2018  x  2019 Q   x  2017  x  2019   x  2018 , x  2019  2019  x  Q   x  2017  2019  x   x  2018 Mà x  2017  2019  x  x  2017  2019  x  Q   x  2017  2019  x    x  2018   Q  x  2018     x  2017  2019  x   2017  x  2019   x  2018 Dấu "  " xảy   x  2018 x  2018    Vậy Q đạt giá trị nhỏ x  2018 Bài A M B C D E O N I a) ABC cân A suy AB  AC, ABC  ACB Mà AC  IC  gt   AB  IC; ACB  ICE (đối đỉnh)  ABD  ICE Xét ABD ICE có: AB  IC; ABD  ICE; AB  IC Suy ABD  ICE (dfcm) Ta có: AB  CI  AB  AC  CI  AC  AI (1) Theo chứng minh ABD  ICE (c.g.c)  AD  IE  AD  AE  IE  AE (2) Áp dụng BĐT tam giác AEI ta có: IE  AE  AI (3) Từ 1 ,   ,  3  AD  AE  AB  AC b) Gọi O giao điểm MN với DE Chứng minh BDM  CEN ( g.c.g )  DM  EN Chứng minh được: ODM  OEN ( g.c.g )  OD  OE Hay MN qua trung điểm DE c) Vì BM  CN  AB  AC  AM  MN (4) Có BD  CE ( gt )  BC  DE MO  OD    MO  NO  OD  OE  MN  DE  MN  BC (5) NO  OE  CABC  AB  AC  BC CAMN  AM  AN  MN (6) Từ (4), (5), (6)  Chu vi ABC nhỏ chu vi AMN Bài S có  n  1 số hạng 15 n2   1  1  1 1  S       1    1    1     1   16 n        n    1 S  n          n  (1) n  2 1 1 1 1 Mặt khác          1 n 1.2 2.3 3.4 n  n  1.n 1 S  n 11  n    n  (2) n n Từ (1) (2) ta có: n   S  n  Vậy S khơng có giá trị ngun với số tự nhiên n  ... 20 17  x  2018  x  2019 Q   x  20 17  x  2019   x  2018 , x  2019  2019  x  Q   x  20 17  2019  x   x  2018 Mà x  20 17  2019  x  x  20 17  2019  x  Q   x  20 17  2019. .. 2019  x    x  2018   Q  x  2018     x  20 17  2019  x   20 17  x  2019   x  2018 Dấu "  " xảy   x  2018 x  2018    Vậy Q đạt giá trị nhỏ x  2018 Bài A M B C... 20 17 2018 2019 Áp dụng tính chất tỷ lệ thức ta có: x y xy x y   1 20 17 2018 2019 Áp dụng tính chất tỉ lệ thức ta có: x y x y x yx y 2x x     20 17 2019 20 17  2019 4036 2018 xy x