PHÒNG GD&ĐT THANH OAI Trường THCS Thanh Thùy ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2018-2019 MÔN TOÁN Bài (5 điểm) a) Số A chia thành số tỉ lệ theo : : Biết tổng bình phương ba số 24309 Tìm số A a2  c2 a a c b) Cho  Chứng minh rằng: 2  b c b c b Bài (4 điểm) x y z t    a) Cho CMR biểu thức sau có giá y z t z t  x t  x y x y z x y y z z t t  z    trị nguyên: A  z t t  x x y y  z b) Chứng minh rằng: 1 1 1 B      2012  2013  3 3 Bài (2 điểm) Cho đa thức f  x   x14  14 x13  14 x   13x  14 x  14 Tính f 13 Bài (7 điểm) Cho tam giác ABC có AB  AC Gọi M trung điểm BC , từ M kẻ đường thẳng vng góc với phân giác góc A, cắt tia N , cắt tia AB E cắt tia AC F Chứng minh rằng: a) BE  CF AB  AC b) AE  c) Tính AE, BE theo AC  b, AB  c Bài (2 điểm) Tìm số nguyên x để M đạt giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị nhỏ x  14 M 4 x ĐÁP ÁN Bài 24 45 10 : :  : :  24 : 45:10 60 60 60 Giả sử số A chia thành phần x, y, z a) Ta có: x y z    x, y, z dấu 24 45 10 x2 y2 z2 x2  y  z 24309    32 Và    2 24 45 10 24  45  10 2701 2 2  x  24  72  x  72 Học sinh tính tương tự: y  135; z  30 Theo đề ta có : Vậy A  237 A  237 a c a2 c2 a2  c2 (1) b) Ta có:     c b c b c  d2 a2 a c a Lại có:   (2) c c b b Từ (1) (2) suy điều phải chứng minh Bài x y z t x y  z t a) Ta có:      y  z  t z  t  x t  x  y x  y  z 2 x  y  z  t  Suy x  y  z  t;2 y  z  t  x;2 z  t  x  y;2t  x  y  z x  y  z  t; y  z  t  x Từ học sinh suy được: z  t  x  y; t  x  y  z Khi tính A  Vậy A có giá trị nguyên 1 1 b) B      2012  2013 3 3 1 1 3B       2012 3 3 1 3B  B   2013  B   2013 3 1 B   2013 2.3 Vậy B  Bài Ta có: f  x   x14  13  1 x13  13  1 x12   13  1 x  13  1 x  13  1  x   x  1 x13   x  1 x12    x  1 x   x  1 x   x  1  x14  x14  x13  x13  x12   x3  x  x  x  x  1 (Vì thay 14  13   x  1) Vậy f 13  Bài A 12 F B E I N M a) Kẻ BI / / AC ( I  EF ) , chứng minh được: BIM  CFM ( g.c.g )  BI  CF (1) Chứng minh được: BEI cân B  BE  BI (2) Từ (1) (2) ta có điều phải chứng minh b) Chứng minh ANE  ANF ( g.c.g )  AE  AF Ta có: AE  AB  BE; AF  AC  CF C  AE  AF  AB  BE  AC  CF hay 2AE  AB  AC (do AE  AF , BE  FC )  AE  AB  AC c) Từ câu b  AE  bc AC  AB , chứng minh được: BE  2 bc x  14 10    x  10   1 Bài M  4 x 4 x 4 x 10 M nhỏ nhỏ 4 x 10 10 Xét x   0; x  0 4 x 4 x 10 10 Ta xét x  nhỏ  lớn 4 x 4 x   x  1(vì mẫu nguyên dương nhỏ nhất) Vậy x  MinM  11  BE 