PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THAN UYÊN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2017-2018 Mơn thi: TỐN Thời gian: 120 phút (khơng kể thời gian giao đề) Câu (4,0 điểm) a) Thực phép tính:   193 33   11  1931  A      :        193 386  17 34   1931 3862  25  b) Rút gọn : B   5   5   5   5    5   5 Câu (4,0 điểm) 12a  15b 20c  12a 15b  20c a) Tìm a, b, c biết a  b  c  48   11 b) Một công trường dự định phân chia số đất cho ba đội I , II , III tỉ lệ với 7;6;5 Nhưng sau số người đội thay đổi nên chia lại tỉ lệ 6;5;4 Như có đội làm nhiều so với dự định 6m3 Tính tổng số đất phân chia cho đội Câu (4,5 điểm) x  2017  2018 a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức C  x  2017  2019 b) Chứng tỏ S  2016 2017 15 n2      không số tự nhiên với 16 n n ,n  c) Tìm tất cặp số nguyên x, y cho x  xy  y  Câu (5,5 điểm) Cho tam giác cân ABC, AB  AC Trên cạnh BC lấy điểm D, tia đối CB lấy điểm E cho BD  CE Các đường thẳng vng góc với BC kẻ từ D E cắt AB, AC M , N Chứng minh rằng: a) DM  EN b) Đường thẳng BC cắt MN điểm I trung điểm MN c) Đường thẳng vng góc với MN I luôn qua điểm cố định D thay đổi cạnh BC Câu (2,0 điểm) Trong hình bên, đường thẳng OA đồ thị hàm số y  f ( x)  ax y 2 a) Tính tỉ số x0  b) Giả sử x0  Tính diện tích tam giác OBC O ĐÁP ÁN Câu   193 33  193 193 33 2 33 a )          1  193 386 17 34 193 17 386 17 34 17 34 34      11  1931  1931 11 1931 11  1931  3862  25    1931 25  3862 25   25  50       A  1:  b)  5 B   5   5   5     5  2016 B   5   5   5   5    5  Do đó:  5 B  B  6 B   5 2018   5  2016 2017   5    5  2018 2017  52018 1 B  Câu a) Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: 12a  15b 20c  12a 15b  20c 12a  15b  20c  12a  15b  20c    0 11 27 12a  15b    12a  15b  a b c    12a  15b  20c    20c  12a   20c  12a  12 15 20  Và a  b  c  48 Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: a b c abc 48      24 1 1 1   12 15 60 12 15 20  a  20, b  16, c  12 b) Gọi tổng số đất phân chia cho đội x  m3  , DK : x  Số đất dự định chia cho đội I , II , III a, b, c  m3  , DK : a, b, c  Ta có a b c abc x 7x 6x 5x      a  ;b  ; c  (1) 18 18 18 18 18 Số đất sau chia cho đội I , II , III a ', b ', c '  m3  ĐK: a ', b ', c '  a ' b ' c ' a ' b ' c ' x 6x 5x 4x      a '  ; b '  ; c '  (2) 15 15 15 15 15 So sánh (1) (2) ta có: a  a ', b  b ', c  c ' nên đội I nhận nhiều lúc đầu Ta có x 6x x  6   x  360 18 15 90 Vậy tổng số đất phân chia cho đội 360m3 đất Câu Vì a  a '  hay a)C  x  2017  2018  x  2017  2019   1  1 x  2017  2019 x  2017  2019 x  2017  2019 Biểu thức C đạt giá tri nhỏ x  2017  2019 có giá trị nhỏ Mà x  2017  nên x  2017  2019  2019 Dấu "  " xảy x  2017  C  Vậy giá trị nhỏ C 2018 2019 2018 x  2017 2019 15 n  22  32  42  n2  b) S           16 n n 1 1  1 1           1     1        n n  2  S  n  (1) Nhận xét:  1 1 1 1  ;  ;  ; ;  22 1.2 32 2.3 42 3.4 n2  n  1.n 1 1 1 1            1 22 32 42 n2 1.2 2.3 3.4 n  n  1 n 1 1 1 1 1 1          1   n  1          n  1   n  n  n  2 2  S  n  2(2) Từ (1) (2) suy n   S  n  hay S không số nguyên c) Ta có: x  xy  y   x 1  y   y   1  y   x 1  y    1  x 1  y    1.1  1  1-x 1-y X y Vậy  x; y    0;0 ;  2;2  1 0 -1 -1 2 Câu A M C B H D I O E N a) MDB  NEC  g.c.g   DM  EN (cặp cạnh tương ứng)  MB  NC (cặp cạnh tương ứng) b) Ta có: MDI vng D: DMI  MID  900 (tổng hai góc nhọn tam giác vng) NEI vuông E: ENI  NIE  900 (tổng hai góc nhọn tam giác vng) Mà MID  NIE (đối đỉnh) nên DMI  ENI  MDI  NEI ( g.c.g )  IM  IN (cặp cạnh tương ứng) Vậy BC cắt MN điểm I trung điểm MN c) Gọi H chân đường vng góc kẻ từ A xuống BC AHB  AHC (cạnh huyền – cạnh góc vng)  HAB  HAC (cặp góc tương ứng) Gọi O giao điểm AH với đường thẳng vng góc với MN kẻ từ I OAB  OAC (c.g.c)  OBA  OCA (cặp góc tương ứng) (1)  OC  OB (cặp cạnh tương ứng) OIM  OIN (c.g.c)  OM  ON (cặp cạnh tương ứng ) OBM  OCN (c.c.c)  OBM  OCN (cặp góc tương ứng ) (2) Từ (1) (2) suy OCA  OCN  900 , OC  AC Vậy điểm O cố định Câu a) Điểm A thuộc đồ thị hàm số y  ax nên tọa độ  2;1 A phải thỏa mãn hàm số y  ax 1 Do đó,  a.2  a  Vậy hàm số cho công thức y  x 2 Hai điểm A B thuộc đồ thị hàm số nên hoành độ tung độ chúng tỉ lệ thuận với y y 2 (tính chất dãy tỉ số nhau)  0   x0 x0  Vậy y0   x0  b) Nếu x0  y0  x0   2,5 2 Diện tích tam giác OBC là: Áp dụng công thức S  a.h ta có SOBC  5.2,5  6,25