Đang tải... (xem toàn văn)
Chương 6 cung cấp kiến thức về phân tích hệ thống liên tục dùng biến đổi Laplace. Bài này tập trung vào biến đổi Laplace với các nội dung chính sau: Biến đổi Laplace thuận, biến đổi Laplace của một số tín hiệu thông dụng, các tính chất của biến đổi Laplace, biến đổi Laplace ngược. Mời tham khảo.
Ch-6: Phân tích hệ thống liên tục dùng biến đổi Laplace Lecture-10 6.1 Biến đổi Laplace Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 6.1 Biến đổi Laplace 6.1.1 Biến đổi Laplace thuận 6.1.2 Biến đổi Laplace số tín hiệu thơng dụng 6.1.3 Các tính chất biến đổi Laplace 6.1.4 Biến đổi Laplace ngược Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 6.1.1 Biến đổi Laplace thuận Biến đổi Fourier cho phép phân tích tín hiệu thành tổng thành phần tần số phân tích hệ thống đơn giản & trực quan miền tần số Biến đổi Fourier công cụ chủ yếu để phân tích TH & HT nhiều lĩnh vực (viễn thông, xử lý ảnh, …) Muốn áp dụng biến đổi Fourier tín hiệu phải suy giảm & HT với đáp ứng xung h(t) phải ổn định ∫ ∞ −∞ | f (t ) | dt < ∞ & ∫ ∞ −∞ | h(t ) | dt < ∞ Để phân tích tín hiệu tăng theo thời gian (dân số, GDP,…) hệ thống không ổn định dùng biến đổi Laplace (là dạng tổng quát biến đổi Fourier) Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 6.1.1 Biến đổi Laplace thuận Xét tín hiệu f(t) hàm tăng theo thời gian tạo hàm φ(t) từ f(t) cho tồn biến đổi Fourier: φ(t)=f(t).e-σt; σ∈R Biến đổi Fourier φ(t) sau: Φ (ω ) = F [φ (t )] = ∫ ∞ −∞ f (t )e −σ t e − jωt dt = ∫ Đặt s=σ+jω: Φ (ω ) = ∫ ∞ −∞ Hay: ∞ −∞ f (t )e − st dt f (t )e − (σ + jω )t dt F(s)=Φ(ω) ∞ F(s)= ∫ f(t)e − st dt (Biến đổi Laplace thuận) −∞ Ký hiệu: F ( s) = L[ f (t )] f (t ) φ (t ) = f (t )e −σ t t t Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 6.1.1 Biến đổi Laplace thuận Miền hội tụ (ROC) biến đổi Laplace: tập hợp biến s mặt phẳng phức có σ=Re{s} làm cho φ(t) tồn biến đổi Fourier Ví dụ: tìm ROC để tồn F(s) tín hiệu f(t) sau: (a ) f (t ) = e − at u (t ); a > (b) f (t ) = e− at u (−t ); a > (c) f (t ) = u (t ) Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 6.1.2 Biến đổi Laplace số tín hiệu thơng dụng (a) f(t)=δ(t) ⇒ F ( s ) = 1; ROC: s-plane ; ROC : Re{s} > −a s+a ; ROC : Re{s} < −a (c) f(t)=-e-at u(-t); a>0 ⇒ F ( s ) = s+a (d) f(t)=u(t) ⇒ F ( s ) = ; ROC : Re{s} > s (b) f(t)=e-at u(t); a>0 ⇒ F ( s ) = Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 6.1.3 Các tính chất biến đổi Laplace Tính chất tuyến tính: f1 (t ) ↔ F1 ( s ) f (t ) ↔ F2 ( s ) ⇒ a1 f1(t) + a2 f2 (t) ↔ a1F1(s) + a2 F2 (s) Ex : 2e− t u (t ) + e−2t u (t ) ↔ + ; ROC : Re{s} > −1 s +1 s + Dịch chuyển miền thời gian: f (t − t0 ) ↔ F(s)e−st0 f (t ) ↔ F ( s ) ⇒ −3 s −5 s t −4 Ex : rect = u (t − 3) − u (t − 5) ↔ ( e − e ) s Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 6.1.3 Các tính chất biến đổi Laplace Dịch chuyển miền tần số: f (t ) ↔ F ( s ) ⇒ f (t)es0t ↔ F(s − s0 ) Ex : cos ( bt ) u (t ) ↔ s s+a − at cos ( bt ) u (t ) ↔ ⇒e s +b (s + a)2 + b 2 Đạo hàm miền thời gian: f (t ) ↔ F ( s ) ⇒ d n f (t ) ↔ s n F ( s ) − s n −1 f (0 − ) − s n − f n dt (1) (0 − ) − − f ( n −1) (0 − ) δ (t ) ↔ ⇒ δ (1) (t ) ↔ s ⇒ δ ( n ) (t ) ↔ s n d f (t ) t −4 f (t ) = rect ⇒ ↔? dt Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 6.1.3 Các tính chất biến đổi Laplace Tích phân miền thời gian: t f (t ) ↔ F ( s ) ⇒ ∫ t ∫ − f (τ )dτ ↔ ∫ f (τ )dτ ↔ 0− −∞ −∞ F(s) s f (τ )dτ F(s) + s s Tỷ lệ thời gian: f (t ) ↔ F ( s ) ⇒ s f (at) ↔ F ; a > a a Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 6.1.3 Các tính chất biến đổi Laplace Tích chập miền thời gian: f1 (t ) ↔ F1 ( s); f (t ) ↔ F2 ( s) ⇒ f1(t) ∗ f2 (t) ↔ F1(s)F2 (s) Tích chập miền tần số: f1 (t ) ↔ F1 ( s); f (t ) ↔ F2 ( s) ⇒ f1 (t ) f2 (t ) ↔ 2π j [ F1(s) ∗ F2 (s)] Đạo hàm miền tần số: f (t ) ↔ F ( s ) ⇒ e −t u (t ) ↔ tf (t) ↔− dF(s) ds 1 ⇒ te− t u (t ) ↔ s +1 ( s + 1) t 2u (t ) ↔ ? Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 6.1.4 Biến đổi Laplace ngược σt Tín hiệu f(t) tổng hợp sau: f (t ) = φ (t ).e ∞ f (t ) = F −1[Φ (ω )].eσ t = 21π ∫ F ( s )e jωt dω eσ t −∞ f (t ) = 2π1 j ∫ σ + j∞ σ − j∞ F ( s )e st ds (Biến đổi Laplace ngược) Ký hiệu: f(t) = L-1 [ F ( s )] Chúng ta khơng tập trung vào việc tính trực tiếp tích phân trên!!! Mô tả F(s) hàm đơn giản mà có kết bảng cặp biến đổi Laplace Thực tế ta quan tâm tới hàm hữu tỷ!!! Zero F(s): giá trị s để F(s)=0 Pole F(s): giá trị s để F(s)→∞ Nếu F(s)=P(s)/Q(s) Nghiệm P(s)=0 zero & nghiệm Q(s)=0 pole Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 6.1.4 Biến đổi Laplace ngược Ví dụ: s2 − 1 =− + + s + 3s + 2s s s +1 s + Dùng ? s2 − 1 ⇒ L-1 = L-1 − + + = ( −1 + e− t + e −2t ) u (t ) s + s + s s s + s + Dùng bảng Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 6.1.4 Biến đổi Laplace ngược Xét hàm hữu tỷ sau: F ( s) = bm s m + bm−1s m−1 + + b1s + b0 P( s ) = s n + an−1s n−1 + + a1s + a0 Q( s) m≥n: improper; m0 ⇒ F ( s ) = Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/1 0-1 1 6. 1.3 Các tính chất biến đổi Laplace Tính chất tuyến tính: f1 (t ) ↔ F1 (... Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/1 0-1 1 6. 1.1 Biến đổi Laplace thuận Xét tín hiệu f(t) hàm tăng theo thời gian tạo hàm φ(t) từ f(t) cho tồn biến đổi Fourier: φ(t)=f(t).e-σt;... Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/1 0-1 1 6. 1.4 Biến đổi Laplace ngược Phương pháp hàm tường minh xác định hệ số: • Nhân vế với Q(s); sau cân thu hệ phương trình theo hệ số cần