Đang tải... (xem toàn văn)
TÀI LIỆU BỘ ĐỀ GIẢI CHI TIẾT ÔN LUYỆN THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT VÀ LỚP 10 CHUYÊN TOÁN TÀI LIỆU BỘ ĐỀ GIẢI CHI TIẾT ÔN LUYỆN THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT VÀ LỚP 10 CHUYÊN TOÁN TÀI LIỆU BỘ ĐỀ GIẢI CHI TIẾT ÔN LUYỆN THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT VÀ LỚP 10 CHUYÊN TOÁN
TÀI LIỆU BỘ ĐỀ GIẢI CHI TIẾT ÔN LUYỆN THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT VÀ LỚP 10 CHUYÊN TOÁN ĐỀ SỐ THT Câu 1: a) Cho biết a = b = Tính giá trị biểu thức: P = a + b – ab 3x + y = � �x - 2y = - b) Giải hệ phương trình: � � x � (với x > 0, x �: x 1 �x - x �x - x Câu 2: Cho biểu thức P = � �1) a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị x để P > Câu 3: Cho phương trình: x2 – 5x + m = (m tham số) a) Giải phương trình m = b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x 1, x2 thỏa mãn: x1 x Câu 4: Cho đường tròn tâm O đường kính AB Vẽ dây cung CD vng góc với AB I (I nằm A O ) Lấy điểm E cung nhỏ BC ( E khác B C ), AE cắt CD F Chứng minh: a) BEFI tứ giác nội tiếp đường tròn b) AE.AF = AC2 c) Khi E chạy cung nhỏ BC tâm đường tròn ngoại tiếp ∆CEF ln thuộc đường thẳng cố định Câu 5: Cho hai số dương a, b thỏa mãn: a + b � 2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = 1 a b ĐỀ SỐ THT Câu 1: a) Rút gọn biểu thức: 1 3 3 b) Giải phương trình: x2 – 7x + = Câu 2: a) Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng d: y = - x + Parabol (P): y = x2 �4x + ay = b �x - by = a b) Cho hệ phương trình: � Tìm a b để hệ cho có nghiệm ( x;y ) = ( 2; - 1) Câu 3: Một xe lửa cần vận chuyển lượng hàng Người lái xe tính xếp toa 15 hàng thừa lại tấn, xếp toa 16 chở thêm Hỏi xe lửa có toa phải chở hàng Câu 4: Từ điểm A nằm ngồi đường tròn (O;R) ta vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C tiếp điểm) Trên cung nhỏ BC lấy điểm M, vẽ MI AB, MK AC (I�AB,K �AC) a) Chứng minh: AIMK tứ giác nội tiếp đường tròn � MBC � b) Vẽ MP BC (P�BC) Chứng minh: MPK c) Xác định vị trí điểm M cung nhỏ BC để tích MI.MK.MP đạt giá trị lớn Câu 5: Giải phương trình: y - 2010 x - 2009 z - 2011 x - 2009 y - 2010 z - 2011 ĐỀ SỐ THT Câu 1: Giải phương trình hệ phương trình sau: a) x4 + 3x2 – = 2x + y = � 3x + 4y = -1 � b) � Câu 2: Rút gọn biểu thức: a) A = 3 2 1 1 �1 �x + x x b) B = � � �x x + x � ( với x > 0, x �4 ) Câu 3: a) Vẽ đồ thị hàm số y = - x y = x – hệ trục tọa độ b) Tìm tọa độ giao điểm đồ thị vẽ phép tính Câu 4: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R) Các đường cao BE CF cắt H a) Chứng minh: AEHF BCEF tứ giác nội tiếp đường tròn b) Gọi M N thứ tự giao điểm thứ hai đường tròn (O;R) với BE CF Chứng minh: MN // EF c) Chứng minh OA EF Câu 5: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = x2 - x y + x + y - y + ĐỀ SỐ THT Câu 1: a) Trục thức mẫu biểu thức sau: ; 1 b) Trong hệ trục tọa độ Oxy, biết đồ thị hàm số y = ax qua điểm M (- 2; ) Tìm hệ số a Câu 2: Giải phương trình hệ phương trình sau: a) 2x + = - x �2x + 3y = � b) � x-y= � � Câu 3: Cho phương trình ẩn x: x2 – 2mx + = (1) a) Giải phương trình cho m = b) Tìm giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm x 1, x2 thỏa mãn: ( x1 + )2 + ( x2 + )2 = Câu 4: Cho hình vng ABCD có hai đường chéo cắt E Lấy � I thuộc cạnh AB, M thuộc cạnh BC cho: IEM 900 (I M không trùng với đỉnh hình vng ) a) Chứng minh BIEM tứ giác nội tiếp đường tròn � b) Tính số đo góc IME c) Gọi N giao điểm tia AM tia DC; K giao điểm BN tia EM Chứng minh CK BN Câu 5: Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Chứng minh: ab + bc + ca �a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca ) ĐỀ SỐ �3 Câu 1: a) Thực phép tính: � � �2 2� � 3� � b) Trong hệ trục tọa độ Oxy, biết đường thẳng y = ax + b qua điểm A( 2; ) điểm B(-2;1) Tìm hệ số a b Câu 2: Giải phương trình sau: a) x2 – 3x + = b) x -2 + = x-1 x+1 x -1 Câu 3: Hai ô tô khởi hành lúc quãng đường từ A đến B dài 120 km Mỗi ô tô thứ chạy nhanh ô tô thứ hai 10 km nên đến B trước ô tô thứ hai 0,4 Tính vận tốc ô tô Câu 4: Cho đường tròn (O;R); AB CD hai đường kính khác đường tròn Tiếp tuyến B đường tròn (O;R) cắt đường thẳng AC, AD thứ tự E F a) Chứng minh tứ giác ACBD hình chữ nhật b) Chứng minh ∆ACD ~ ∆CBE c) Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp đường tròn d) Gọi S, S1, S2 thứ tự diện tích ∆AEF, ∆BCE ∆BDF Chứng minh: S1 S2 S Câu 5: Giải phương trình: 10 x + = x + ĐỀ SỐ Câu 1: Rút gọn biểu thức sau: � �� � � 2 � � � 1 � 1 � � �� � a) A = � �2 � b �a - ab b) B = � � a � a b -b a � ab - b � � b) �x - y = - � Câu 2: a) Giải hệ phương trình: �2 �x + y = � ( với a > 0, b > 0, a � 1 2 b) Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình: x2 – x – = Tính giá trị biểu thức: P = x12 + x22 Câu 3: a) Biết đường thẳng y = ax + b qua điểm M ( 2; ) song song với đường thẳng 2x + y = Tìm hệ số a b b) Tính kích thước hình chữ nhật có diện tích 40 cm2, biết tăng kích thước thêm cm diện tích tăng thêm 48 cm2 Câu 4: Cho tam giác ABC vuông A, M điểm thuộc cạnh AC (M khác A C ) Đường tròn đường kính MC cắt BC N cắt tia BM I Chứng minh rằng: a) ABNM ABCI tứ giác nội tiếp đường tròn � b) NM tia phân giác góc ANI c) BM.BI + CM.CA = AB2 + AC2 Câu 5: Cho biểu thức A = 2x - xy + y - x + Hỏi A có giá trị nhỏ hay khơng? Vì sao? ĐỀ SỐ Câu 1: a) Tìm điều kiện x biểu thức sau có nghĩa: A = x-1+ 3-x b) Tính: 1 3 5 1 Câu 2: Giải phương trình bất phương trình sau: a) ( x – )2 = b) x-1 < 2x + Câu 3: Cho phương trình ẩn x: x2 – 2mx - = (1) a) Chứng minh phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt x1 x2 b) Tìm giá trị m để: x12 + x22 – x1x2 = Câu 4: Cho đường tròn (O;R) có đường kính AB Vẽ dây cung CD vng góc với AB (CD không qua tâm O) Trên tia đối tia BA lấy điểm S; SC cắt (O; R) điểm thứ hai M a) Chứng minh ∆SMA đồng dạng với ∆SBC b) Gọi H giao điểm MA BC; K giao điểm MD AB Chứng minh BMHK tứ giác nội tiếp HK // CD c) Chứng minh: OK.OS = R2 � �x + = 2y Câu 5: Giải hệ phương trình: � �y + = 2x ĐỀ SỐ 2x + y = � �x - 3y = - Câu 1: a) Giải hệ phương trình: � b) Gọi x 1,x2 hai nghiệm phương trình:3x2 – x – = Tính giá trị biểu thức: P= 1 + x1 x2 � a a � a 1 với a > 0, a �1 � �: � a 1 a - a � a - Câu 2: Cho biểu thức A = � � a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị a để A < Câu 3: Cho phương trình ẩn x: x2 – x + + m = (1) a) Giải phương trình cho với m = b) Tìm giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm x 1, x2 thỏa mãn: x1x2.( x1x2 – ) = 3( x1 + x2 ) Câu 4: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R tia tiếp tuyến Ax phía với nửa đường tròn AB Từ điểm M Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với nửa đường tròn (C tiếp điểm) AC cắt OM E; MB cắt nửa đường tròn (O) D (D khác B) a) Chứng minh: AMCO AMDE tứ giác nội tiếp đường tròn � ACO � b) Chứng minh ADE c) Vẽ CH vuông góc với AB (H �AB) Chứng minh MB qua trung điểm CH Câu 5: Cho số a, b, c � ; 1 Chứng minh rằng: a + b2 + c3 – ab – bc – ca �1 ĐỀ SỐ Câu 1: a) Cho hàm số y = x + Tính giá trị hàm số x = 32 b) Tìm m để đường thẳng y = 2x – đường thẳng y = 3x + m cắt điểm nằm trục hoành �3 x x � x-9 � �: x x x � � Câu 2: a) Rút gọn biểu thức: A = � � với x �0, x �4, x �9 x - 3x + b) Giải phương trình: x + x - 3 x - 3x - y = 2m - � (1) �x + 2y = 3m + Câu 3: Cho hệ phương trình: � a) Giải hệ phương trình cho m = b) Tìm m để hệ (1) có nghiệm (x; y) thỏa mãn: x2 + y2 = 10 Câu 4: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng OA, điểm N thuộc nửa đường tròn (O) Từ A B vẽ tiếp tuyến Ax By Đường thẳng qua N vng góc với NM cắt Ax, By thứ tự C D a) Chứng minh ACNM BDNM tứ giác nội tiếp đường tròn b) Chứng minh ∆ANB đồng dạng với ∆CMD c) Gọi I giao điểm AN CM, K giao điểm BN DM Chứng minh IK //AB Câu 5: Chứng minh rằng: a+b � a 3a + b b 3b + a với a, b số dương ĐỀ SỐ 10 Câu 1: Rút gọn biểu thức: a) A = 50 b) B = 1 2 x - 2x + , với < x < x-1 4x Câu 2:Giải hệ phương trình phương trình sau: � x - 1 y = �x - 3y = - a) � b) x + x Câu 3: Một xí nghiệp sản xuất 120 sản phẩm loại I 120 sản phẩm loại II thời gian Mỗi sản xuất số sản phẩm loại I số sản phẩm loại II 10 sản phẩm Hỏi xí nghiệp sản xuất sản phẩm loại ) cắt A B Vẽ AC, Câu 4: Cho hai đường tròn (O) (O� ) AD thứ tự đường kính hai đường tròn (O) (O� a) Chứng minh ba điểm C, B, D thẳng hàng ) E; đường thẳng AD cắt b) Đường thẳng AC cắt đường tròn (O� đường tròn (O) F (E, F khác A) Chứng minh điểm C, D, E, F nằm đường tròn ) thứ tự c) Một đường thẳng d thay đổi qua A cắt (O) (O� M N Xác định vị trí d để CM + DN đạt giá trị lớn Câu 5: Cho hai số x, y thỏa mãn đẳng thức: x+ x 2011 y + y 2011 2011 Tính: x + y ĐỀ SỐ 11 Câu 1: 1) Rút gọn biểu thức: � 1- a a A � �1 - a � � � 1- a� a� � � �1 - a � � với a ≥ a ≠ � � � 2) Giải phương trình: 2x2 - 5x + = Câu 2: 1) Với giá trị k, hàm số y = (3 - k) x + nghịch biến R 2) Giải hệ phương trình: �4x + y = � 3x - 2y = - 12 � Câu 3: Cho phương trình x2 - 6x + m = 1) Với giá trị m phương trình có nghiệm trái dấu 2) Tìm m để phương trình có nghiệm x 1, x2 thoả mãn điều kiện x1 - x2 = Câu 4: Cho đường tròn (O; R), đường kính AB Dây BC = R Từ B kẻ tiếp tuyến Bx với đường tròn Tia AC cắt Bx M Gọi E trung điểm AC 1) Chứng minh tứ giác OBME nội tiếp đường tròn 2) Gọi I giao điểm BE với OM Chứng minh: IB.IE = IM.IO Câu 5: Cho x > 0, y > x + y ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P = 3x + 2y + + x y ĐỀ SỐ 12 Câu 1: Tính gọn biểu thức: 1) A = 20 - 45 + 18 + 72 10 Tương tự có: Mà AC CI BN AI BN hay MI MN MI MI MN (2) IC BK � IMC � ) tg ( = BMK MI MK Từ (1), (2), (3) => AB AC BC MK MI MN (3) (đpcm) c) Gọi giao AH, MN với đường tròn (O) thứ tự Q, S => AQMS hình thang cân (vì AQ // MS => AS = QM) Vẽ HP // AS (P MS) => HQMP hình thang cân, có BN trục đối xứng (vì Q H đối xứng qua BC) � AIN � => N trung điểm PM mà HP // KN (vì KN // AS SAC � ) => KN qua trung điểm HM (đpcm) NMC 2 � �2x xy y p Câu 5: Đưa tốn tìm P để hệ phương trình: � 2 �x 2xy 3y có nghiệm � 8x 4xy 4y 4p (1) � Hệ � � Lấy (1) - (2), ta có: px 2pxy 3py 4p (2) � (8 - p)x2 - 2y(2 + p)x - (4 + 3p)y2 = (3) - Nếu y = => (8 - p)x2 = x = p = � p 0; p - Nếu y chia vế pt (3) cho y2 ta có : (8 - p)t2 - 2(2 + p)t - (4 + 3p) = (4) với t = + Nếu p = t = - x y + Nếu p �8: Phương trình (2) có nghiệm ' = (2 + p)2 + (8 - p)(4 + 3p) > p2 - 12p - 18 < - p 6 Dấu “=” có xảy Vậy P = - , max P = +3 ĐỀ SỐ 138 Câu 1: a) Từ giả thiết ta có: a b c ab - b - ac + c = = b-c a-c a-b a - b a - c Nhân vế đẳng thức với ab - b - ac + c = a - b a - c b - c a b - c ta có: b-c Vai trò a, b, c nhau, thực hốn vị vòng quanh a, b, c ta có: b c - a = cb - c - ab + a a - b a - c b - c , c a - b = ac - a - bc + b a - b a - c b - c Cộng vế với vế đẳng thức trên, ta có a b c + + = (đpcm) 2 (b - c) (c - a) (a - b) b) Đặt 2010 = x ; 2010 = x � �x - x + x � A= � + �x � �1 - x �1 � = � ��x � 2010 = x Thay vào ta có: 1+ + x x = �1 � � �1+x �x � � � 1+ � � � x � + x2 �1 � � �= �x � Câu 2: a) Vì a, b, c độ dài cạnh tam giác nên a, b, c > Áp dụng BĐT Cô-si ta có: a2 + bc ≥ 2a bc, b + ac �2b ac ; c + ab �2c ab Do 1 1� 1 � + + � � + + � a + bc b + ac c + ab �a bc b ac c ab � = a +b b+c c+a + + ab + bc + ca 2 = a+b+c, � abc abc 2abc 2 đpcm Dấu xẩy a = b = c, tức tam giác cho tam giác 139 b) Điều kiện x ≥ 0; y ≥ Ta có: A = (x - xy + y) + 2y - x +1 = =[ = x - y -2 x - y + 1] - y + 2y 1 )2 2 1 y �2 x - y - + (2y - y + x - y -1 2 + � � �x = x y = � � A= � � � � 2 y -1=0 � �y = � Vậy minA = 4 Câu 3: a) Điều kiện : ≤ x ≤ Áp dụng BĐT Bunhiacốpski ta có: 2 x-1+3 5-x � 2 + 32 x - + - x = 13.4 2 x - + - x 13 Dấu xẩy x - = - x � x = Thay vào pt cho thử lại thỏa mãn Vậy pt có nghiệm x = 29 13 �1 � �x � b) Xét đẳng thức: f(x) + 3f � �= x x �0 (1) �1 � �2 � Thay x = vào (1) ta có: f(2) + f � �= Thay x = 140 vào (1) ta có: �1 � f � �+ 3.f(2) = �2 � 29 13 �1 � Đặt f(2) = a, f � �= b ta có �2 � Vậy f(2) = - a + 3b = � 13 � � Giải hệ, ta a = 3a + b = 32 � � 13 32 a Câu 4: Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp lục giác A, O, D thẳng hàng OK = 1 AB Vì FM = EF 2 b o f mà EF = AB FM = OK m � Ta lại có AF = R � AF = OA AFM = e k c d 120 � + AOB � = 1800 = AOK � + 600 � AOK � = 1200 AOK Do đó: ∆AFM = ∆AOK (c.g.c) � � AM = AK, MAK = 600 � AMK Câu 5: Gọi BH đường cao ∆ABO Ta có 2SAOB = OA BH Nhưng BH ≤ BO nên 2SAOB ≤ OA OB mà OA.OB � OA + OB2 2 o OA + OB Dấu “=” xảy � OA OB OA = OB Chứng minh tương tự ta có: c h Do 2SAOB � 2SBOC � b a d OB2 + OC OC2 + OD ; 2SCOD � 2 141 2SAOD � OD + OA 2 Vậy 2S = 2(SAOB + SBOC + SCOD + SDOA) ≤ 2 OA + OB2 + OC + OD 2 Hay 2S ≤ OA + OB + OC + OD Dấu xẩy OA = OB = OC = OD � = BOC � = COD � = DOA � = 90 � ABCD hình vng tâm O AOB Lời bình: Câu III.b 1) Chắc chắn bạn hỏi x từ đâu mà ra? Gọi A(x), B(x), P(x), Q(x), C(x) đa thức biến x f(x) hàm số xác định phương trình A(x).f[P(x)] + B(x).f[Q(x)] = C(x) (1) Để tình giá trị hàm số f(x) điểm x = a ta làm sau Bước 1: Giải phương trình Q(x) = P(a) (2) Giả sử x = b nghiệm (2) Bước 2: Thay x = a, x = b vào phương trình (1), đặt x = f(a), y = f(b) ta có hệ �A(a ) x B (a ) y C (a ) � �B (b) x A(b) y C (b) (3) Giải hệ phương trình (3) (đó hệ phương trình bậc hai ẩn x, y) Trong toán trên: A(x) = 1, B(x) = 3, P(x) = x, Q(x) = , C(x) = x2, a = x Phương trình Q(x) = P(a) Số x 142 1 x , tức b x 2 nghĩ 2) Chú ý: Khơng cần biết phương trình (2) có nghiệm Chỉ cần biết (có thể đốn) nghiệm đủ cho lời giải thành công 3) Một số tập tương tự a) Tính giá trị hàm số f(x) x = f(x) + 3.f( x) = + 3x (với x �) �1 � b) Tính giá trị hàm số f(x) x = f ( x) f � � x 1 x � � (với x 1) c) Tính giá trị hàm số f(x) x = �1 � ( x 1) f ( x) f � � (với x 1) �x � x ĐỀ SỐ Câu 1: a) Từ x2 + y2 = � 2xy = (x + y)2 - = (x + y + 2) (x + y - 2) Vì x + y + ≠ nên xy x+y = -1 x+y+2 (1) Áp dụng BĐT Bunhiacopski, ta có: x+y≤ x + y2 � x+y≤ 2 (2) Từ (1), (2) ta được: xy � - Dấu "=" x+y+2 �x �0, y �0 � �x = y � x=y= �x + y = � Vậy maxA = - b) Vì x2 + y2 + z2 = nên: 2 x + y2 + z2 x + y2 + z2 x2 + y2 + z2 + + = + + x + y2 y2 + z2 z2 + x x + y2 y2 + z2 z2 + x 143 z2 x2 y2 + + +3 = x + y2 y2 + z x + z2 z2 z2 Ta có x2 + y2 ≥ 2xy , x + y2 2xy x2 x2 y2 y2 � � Tương tự , y + z2 2yz x + z 2xz 2 z x z2 x2 y y2 � + Vậy + + + + +3 x + y2 y2 + z 2xy 2yz x + z2 2xz 2 x + y3 + z3 � + + � + , đpcm x + y2 y2 + z2 z2 + x2 2xyz 10 Câu 2: a) x2 + 9x + 20 = 3x + 10 (1) Điều kiện: x � (2) (1) � (3x + 10 - 3x + 10 + 1) + (x2 + 6x + 9) = � ( 3x + 10 - 1)2 + (x + 3)2 = � 3x + 10 - = � � � x = - (thỏa mãn đk (2) �x + = Vậy phương trình (1) có nghiệm x = -3 2x �2 2 � (1) �x y - 2x + y = �y = � � x +1 b) � 2x - 4x + = - y � �y3 = - (x - 1) - � Ta có: 2x �� y2 1+ x -1 y (1) Mặt khác: - (x - 1)2 - ≤ - � y3 ≤ - � y ≤ - (2) Từ (1) (2) � y = - nên x = Thay vào hệ cho thử lại thỏa mãn Vậy x = y = -1 số cần tìm Câu 3: a) Đặt x = b > Thay vào gt ta y = c > ta có x2 = b3 y2 = c3 b3 + b c + c3 + bc = a � a2 = b3 + b2c + c3 + bc2 + b c b + c 144 a2 = (b + c)3 � a = b + c hay x2 + y = a , đpcm b) Giả sử x0 nghiệm phương trình, dễ thấy x �0 Suy x 02 + ax0 + b + Đặt x0 + = y0 x0 a � 1 � + = � x 02 + + a � x0 + �+ b = x0 x0 x0 x0 � � x 02 + = y 02 - , y x0 � y02 - = - ay0 - b Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki ta có: y -2 = ay + b (y 02 2) 2 � a b � � a + b y + 1 (1) y02 2 (y 02 2) � Ta chứng minh y02 (2) 2 Thực vậy: (2) � 5(y0 4y0 4) �4(y0 1) � 5y0 24y 16 �0 � 5(y02 4)(y 02 ) �0 với y �2 nên (1) 5 2 Từ (1), (2) suy a + b � 5(a + b ) c Câu 4: Đặt AH = x � Ta có AMB = 900 (OA = OB = OM) m Trong ∆ vuông AMB ta có MA2 = AH AB = 2Rx (H chân đường vng góc hạ từ M xuống a BC) Mặt khác: MK2 = OH2 = (R - x)2 (vì MKOH hình chữ nhật) Theo ta có: 4Rx = 15(R - x)2 Do H �AB � O ≤ x ≤ 2R Phương trình trở thành: 15x2 - 34Rx + 15R2 =0 � (5x - 3R) (3x - 5R) = � x = , đpcm h k o h' b 3R 5R ;x= Cả giá trị thoả mãn 145 Vậy ta tìm điểm H H’ � điểm M M’ giao điểm nửa đường tròn với đường vng góc với AB dựng từ H H’ Câu 5: Gọi I trung điểm CD Nối EF, EI, IF, ta có IE đường trung bình ∆BDC � IE // BC d Mà GF BC � IE GF (1) a b e f g i Chứng minh tương tự EG IF (2) Từ (1) (2) � G trực tâm ∆EIF � IG EF (3) Dễ chứng minh EF // DC (4) Từ (3) (4) � IG DC Vậy ∆ DGC cân G � DG = GC ĐỀ SỐ Câu 1: 1) Trừ vào vế phương trình với 2x 9x x+9 � x � 18x 9x � 18x � � - 40 = (1) = 40 Ta có: �x � �+ � x+9 � x +9� �x + � x + x2 Đặt = y (2), phương trình (1) trở thành y2 + 18y - 40 = x+9 (y + 20) (y - 2) = y = -20 ; y = � � x = - 20(x + 9) x + 20x +180 = (3) � �2 Thay vào (2), ta có �2 x = 2(x + 9) = x - 2x - 18 = (4) � � Phương trình (3) vơ nghiệm, phương trình (4) có nghiệm là: x � 19 Vậy phương trình cho có nghiệm là: x � 19 2) Điều kiện 146 x>3 � x+1 �0 � � (*) x �- x-3 � c x+1 =4 Phương trình cho � (x - 3) (x + 1) + 3(x - 3) x-3 x+1 � t = (x - 3) (x + 1) x-3 Phương trình trở thành: t2 + 3t - = � t = 1; t = - Đặt t = x - Ta có: (x -3) x (1) ; ( x 3) x - x 1 (2) x �x �x � �2 � x 1 (x 3)(x 1) �x 2x � + (1) � � (t/m (*)) �x �x � �2 � x (t/m (*)) (x 3)(x 1) 16 � �x 2x 19 + (2) � � Vậy phương trình cho có nghiệm là: x ; x Câu 2: 1) Điều kiện: - x2 > � - < x < � - 3x > � A ≥ 25 - 30x + 9x (3 - 5x) = +16 �16 - x2 - x2 Dấu xẩy - 5x = � x = Vậy A2 = Vậy minA = 2) Chứng minh: a + b + b2 + c2 + c2 + a � (a + b + c) (1) Sử dụng bất đẳng thức: 2(x y ) �(x y) , ta có: 2(a + b ) (a� b) Tương tự, ta được: a + b a + b (2) (3) b2 + c2 �b + c (4) c + a �c + a Lấy (2) + (3) + (4) theo vế rút gọn, suy (1) đúng, đpcm x2 �� Câu 3: (1) có nghiệm � y x 2; x (3) �0 (4) (2) � (y 1)2 x 2x có nghiệm � x 2x �0 � 2 �x m Từ (3), (4) ta có: x = - 2, từ ta có y = - Vậy hệ có nghiệm (- ; 1) k e i Câu 4: Kẻ MP // BD (P �AD) f a o n h b 147 MD cắt AC K Nối NP cắt BD H AM AP AM CM = = (gt) mà AB AD AB CD AP CN � = � PN // AC Gọi O giao điểm AD CD BO CO MK OC = , = AC BD Ta có OD OA PK OA NH OC NH MK = = � KH // MN Suy ra: PH OA PH PK Ta có Các tứ giác KENH, MFHK hình bình hành nên MF = KH EN = KH � MF = EN � ME = NF � � = 1800 Câu 5: 1) Tứ giác MEHF nội tiếpvì MEH + MFH � � = EHA � + FHB � � AMB = 1800 - EHF (1) � = MEF � � ) Ta có MHF (góc nội tiếp chắn MF � + FHB � = 900 = MEF � + EMD � Lại có MHF � = EMD � � FHB (2) � = DMB � , Gọi N giao điểm MD với đường Từ (1) (2) � EHA � � (góc nội tiếp chắn NB � ) � EHA � = NAB � tròn (O) ta có DMB = NAB � AN // EH mà HE MA nên NA MA hay MAN = 90 � AN đường kính đường tròn Vậy MD qua O cố định 2) Kẻ DI MA, DK MB, ta có AH S AM HE AD S AM DI = MAD = ; = MAD = BD SMBD BM DK BH SMBH BM HF AH AD MA HE DI = (1) BD BH MB2 DK HF � � � ) mà FHB � = EMD � Ta có HMB (cùng phụ với MHF (CMT) = FHB � = DIK � EHF � = DMH � � EFH Vậy � � v�EHF � = 1800 - AMB � Tứ giác MEHF nội tiếp nên AMH = EFH � � v� IDK � = 1800 - AMB � Tứ giác MIDK nội tiếp nên DMB = DIK � = DIK � v�EHF � = IDK � � DIK HFE (g.g) � EFH ID DK HE.DI � ID HE = DK HF � suy = = (2) HF HE DK.HF 148 Từ (1), (2) � MA AH AD = MB BD BH ĐỀ SỐ Câu 1: Ta có: =-1+ A= 1- 2- + + + -1 -1 24 - 25 -1 - + - + + 25 = - + = Câu 2: a) Từ giả thiết suy ra: �x � �y � �z � x2 y2 z2 + - + - =0 �2 - 2 � �2 2 � �2 2 � a + b + c � �b a + b + c � �c a +b +c � �a 1 �1 � �1 � �1 � � x � - 2 �+ y � - 2 �+ z � - 2 �= a + b + c � �b a + b + c � �c a + b + c � �a Do (*) 1 1 1 - > 0; - > 0; - >0 2 2 a a +b +c b a +b +c c a + b2 + c2 Nên từ (*) suy x = y = z = 0, M = a + � �8a - � b) x = 2a + 3x a - � � �� � �3 �� � 3 � x3 = 2a + 3x - 2a 3 � x = 2a + x(1 - 2a) � x + (2a - 1) x - 2a = � (x - 1) (x2 + x + 2a) = x-1=0 � � � �x � x + x + 2a = (v�nghi� mdo a > ) � nên x m� t s�nguyên du� ng Câu 3: a) Ta có: 4c 35 � + �2 4c + 57 1+a 35 2b 35 >0 + a 2b + 35 (1) 149 Mặt khác 4c 35 � 1+a 4c + 57 35 + 2b ۣ 4c +1 +a 4c + 57 ۳� 2b 35 + 2b 1- 4c + a 4c + 57 35 35 + 2b 35 2b = 35 + 2b 35 + 2b 57 + 1+a 4c + 57 57 >0 + a 4c + 57 (2) Ta có: ۳� a 1+a 4c 35 �1 + 1+a 4c + 57 35 + 2b 57 35 + 4c + 57 35 + 2b 35 57 >0 4c + 57 35 + 2b (3) Từ (1), (2), (3) ta có: 8abc 35 57 �8 + a 4c + 57 2b + 35 + a 2b + 35 4c + 57 Do abc ≥ 35.57 = 1995 Dấu “=” xảy a = 2, b = 35 c = 57 Vậy (abc) = 1995 b) Đặt t = t= A B C D = = = � A = ta, B = tb, C = tc, D = td a b c d A+B+C+D a+b+c+d Vì aA + bB + cC + dD = a t + b t + c 2t + d t = (a + b + c + d) t = (a + b + c + d) A+B+C+D a+b+c+d A = (a + b + c +d)(A + B + C + D) Q Câu 4: B 150 M P H N C a) Xét ∆ABC có PQ // BC � Xét ∆BAH có QM // AH � AQ QP = AB BC BQ QM = BA AH Cộng vế ta có: AQ BQ QP QM QP QM + = + � 1= + AB AB BC AH BC AH 2SMNPQ QM � QP QM �QP 1= � + = � AH � BC AH SABC �BC SABC SMNPQ S QP QM BC max SMNPQ = ABC = = � QP = BC AH 2 Tức PQ đường trung bình ∆ABC, PQ qua trung điểm AH QP QM + mà BC = AH BC AH QP + QM � 1= � QP + QM = BC BC b) Vì = Do chu vi (MNPQ) = 2BC (không đổi) Câu 5: ∆HCD đồng dạng với ∆ ABM (g.g) mà B AB = 2AM nên HC = 2HD Đặt HD = x HC = 2x Ta có: DH2 = HM HC hay x2 = HM 2x � HM = 0,5x; MC = 2,5x; AM = 2,5x; AH = 3x A H M C Vậy AH = 3HD D 151 MỤC LỤC Trang - Lời giới thiệu _3 - A phần đề tài I – Phần ôn thi tuyển sinh lớp 10 THPT _ II – Đề ôn thi tuyển sinh lớp 10 chuyên toán _33 B- Phần lời giải 38 I – Lớp 10 THPT _38 II – Lớp 10 chuyên toán _ 122 152 ... sản xuất 900 chi tiết máy; tháng hai cải tiến kỹ thuật tổ I vượt mức 15% tổ II vượt mức 10% so với tháng giêng, hai tổ sản xuất 101 0 chi tiết máy Hỏi tháng giêng tổ sản xuất chi tiết máy? Câu... nhỏ BC để tích MI.MK.MP đạt giá trị lớn Câu 5: Giải phương trình: y - 2 010 x - 2009 z - 2011 x - 2009 y - 2 010 z - 2011 ĐỀ SỐ THT Câu 1: Giải phương trình hệ phương trình sau: a) x4... APQ khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M � �x 2y a (1) Câu 5: Chứng minh a hệ phương trình: � 2 �x y (2) vô nghiệm ĐỀ SỐ 33 x 3y 10 � �2x y 1 Câu 1: a) Giải hệ phương trình: