Đang tải... (xem toàn văn)
Bài viết trình bày thực trạng của sai lầm của học sinh khi giải toán Đại số - Giải tích, nhận định của giáo viên về mức độ mắc sai lầm của học sinh (khảo sát 1008 học sinh, 66 giáo viên tại 25 lớp thuộc 05 trường của tỉnh Thanh Hóa.
Số 59 - Tháng 7/2018 TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GÒN Nghiên cứu số sai lầm học sinh trung học phổ thơng giải tốn Đại số - Giải tích tỉnh Thanh Hóa A Study on Errors Made in Solving Algebra - Calculus Problems by High School Students in Thanh Hoa Province TS Nguyễn Hữu Hậu, Trường Đại học Hồng Đức Nguyen Huu Hau, Ph.D., Hong Duc University Tóm tắt Bài báo trình bày thực trạng sai lầm học sinh giải toán Đại số - Giải tích, nhận định giáo viên mức độ mắc sai lầm học sinh (khảo sát 1008 học sinh, 66 giáo viên 25 lớp thuộc 05 trường tỉnh Thanh Hóa Kết nghiên cứu cho thấy, học sinh có nhiều sai lầm phổ biến khác giải toán, giáo viên cho sai lầm học sinh phổ biến, thường xuyên thấy cần thiết phải có biện pháp hữu hiệu để tập luyện cho học sinh khả phát sửa chữa sai lầm q trình giải tốn Từ khóa: sai lầm, phân tích sai lầm, dạy học Đại số - Giải tích, dạy học giải tốn Abstract This paper presents the reality of errors made by high school students in solving Algebra- Calculus problems and of teachers’ comments on their errors (A survey on 1008 students, 66 teachers in 25 classes from 05 high schools in Thanh Hoa province) The results showed that students had many different common errors when solving math problems The teachers thought that the errors are so common and frequent that it is neccessary to have effective methods to train the students to detect and correct the errors on their own Keywords: errors, error analysis, teaching and learning Algebra - Calculus, teaching and learning mathematics hình thành kĩ kĩ xảo [7] Hoạt động giải toán điều kiện để thực tốt mục đích khác dạy học tốn Do đó, tổ chức có hiệu việc dạy giải tốn có vai trò định chất lượng dạy học toán Tuy nhiên, thực tiễn cho thấy chất lượng dạy học toán trường phổ thơng có lúc, có chỗ chưa tốt, biểu qua việc Mở đầu Ở trường phổ thơng, dạy tốn dạy hoạt động tốn học Đối với học sinh (HS), phải xem giải tốn hình thức chủ yếu hoạt động học toán Dạy học giải tốn có vai trò đặc biệt dạy học tốn trường phổ thơng Các tốn phương tiện có hiệu khơng thể thay việc giúp HS nắm vững tri thức, phát triển tư duy, 62 NGUYỄN HỮU HẬU lực giải toán HS hạn chế HS mắc nhiều sai lầm (SL) Một nguyên nhân quan trọng giáo viên (GV) chưa ý cách mức việc phát hiện, uốn nắn sửa chữa SL cho HS học toán Hơn SL xuất phát từ HS, tác giả Bell cộng cho HS thường nhìn vào điểm số mà khơng nhìn vào SL mắc phải, họ muốn biết câu trả lời hay điểm số đạt kiểm tra gì, mà khơng muốn xa điểm số để nhìn lại để biết làm mà lại nhận điểm số [2] Vì điều này, HS nhiều gặp phải tình trạng SL nối tiếp SL, cách để cải thiện điểm số tiếp thu kiến thức Hơn việc nghiên cứu SL mà HS mắc phải nguồn để GV thiết kế chiến lược dạy học hiệu nhằm hạn chế bước loại bỏ chúng Nhiều nhà khoa học nhấn mạnh tới vai trò cần thiết việc sửa chữa SL HS trình giảng dạy tốn, G Polia: “Con người phải biết học SL thiếu sót mình” [13, tr 204], A.A Stôliar: “Không tiếc thời gian để phân tích học SL HS” [1, tr 105]; A.N Kơlmơgơrơv “Năng lực bình thường HS trung học đủ để em nắm Toán học nhà trường phổ thơng có hướng dẫn tốt thầy giáo” [3, tr 10] R Marzano [9] xem phân tích SL HS biện pháp để mở rộng tinh lọc kiến thức yêu cầu phân tích SL cần ý: phải xác định SL gì, ngun nhân dẫn đến SL cách ngăn ngừa Về thái độ cần thiết GV SL HS, tác giả M Lagutko [8] yêu cầu: (1) GV thừa nhận quyền bị SL HS; (2) GV phải cố gắng hiểu biết SL xảy HS; (3) trình dạy học, cần dạy cho HS chiến lược hạn chế SL làm kiểm tra lại đáp số, kiểm tra lại bước biến đổi, kiểm tra lại việc tính tốn, liên hệ với bối cảnh thực tiễn, sử dụng đồ thị, giải toán cách khác Về học tập mơn tốn, tác giả Legutko cho rằng, việc HS phạm lỗi điều khơng thể tránh khỏi Như vậy, khẳng định rằng, SL HS giải toán cần thiết khắc phục Các cơng trình nghiên cứu đề cập tới SL HS giải tốn tương đối ít, số kể tới Luận án Phó tiến sĩ tác giả Lê Thống Nhất “Rèn luyện lực giải Toán cho học sinh PTTH thơng qua việc phân tích sửa chữa sai lầm học sinh giải Toán” [10] Cơng trình xem xét SL HS chủ đề kiến thức, chẳng hạn chủ đề phương trình, chủ đề bất phương trình, chủ đề giới hạn, chủ để hàm số Cách phân tích tác giả có ưu điểm giúp cho người đọc vận dụng mức độ vào thực tiễn giảng dạy, nghiên cứu Tuy nhiên, hạn chế chỗ: số lượng chủ đề kiến thức nhiều, khó kể hết, mà gộp lại để thành chủ đề lớn nhiều dẫn tới chung chung, thiếu cụ thể Các nhóm tác giả ”Hãy cẩn thận! Bài thi đơn giản quá” [11] ”Sai lầm thường gặp sáng tạo giải Toán” [12] xếp SL HS theo chủ đề kiến thức Tác giả Hodes Nolting đề xuất kiểu SL giải thích sau: lỗi bất cẩn, lỗi bắt gặp cách tự động sau xem xét lại làm mình; lỗi khái niệm, lỗi tạo người học khơng hiểu tính chất hay quy tắc đề cập sách giáo khoa giảng; lỗi áp dụng, lỗi mà người học tạo họ biết khái niệm khơng thể áp dụng vào tình hay câu hỏi cụ thể; lỗi quy trình, lỗi xuất người học bỏ qua 63 NGHIÊN CỨU MỘT SỐ SAI LẦM CỦA HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THƠNG KHI GIẢI TỐN ĐẠI SỐ… hiểu sai bước trả lời cho câu hỏi hay toán [6] Cách xếp SL dựa theo tiêu chí chủ đề kiến thức tác giả nói chưa thể giải thích cách tường minh, dễ hiểu bao quát hết tất kiểu SL cho HS Hơn chưa thể đề cập số kiểu SL thường gặp, SL liên quan đến thao tác tư duy, SL liên quan đến nắm nội hàm khái niệm điều kiện áp dụng định lí Có thể nói, việc nghiên cứu SL HS giải tốn nhìn từ góc độ hoạt động tốn học, nghĩa xem xét SL theo phương diện chất lượng tiến hành hoạt động tốn học tương đối Để tìm hiểu SL mà HS thường gặp phải giải toán đại số - giải tích sao, chúng tơi nghiên cứu trường hợp tỉnh Thanh Hóa với hai câu hỏi nghiên cứu chính: Trong giải tốn đại số - giải tích, học sinh mắc phải SL phổ biến nào? Ý kiến GV mức độ thường xuyên SL HS? Nội dung nghiên cứu 2.1 Mô tả khảo sát Để thấy thực trạng SL HS giải tốn đại số - giải tích trường THPT, tiến hành nghiên cứu thực tiễn trường THPT tỉnh Thanh Hóa: THPT Đơng Sơn 2; THPT Hàm Rồng; THPT Đào Duy Từ; THPT Hậu Lộc 2; THPT Thạch Thành 2, với tham gia 1008 HS 66 GV Nghiên cứu dựa số phương pháp như: sau phân loại SL HS, chúng tơi dùng bảng hỏi để tìm hiểu ý kiến GV mức độ thường xuyên SL HS; vấn, đánh giá qua dự giờ; đánh giá qua việc nghiên cứu sản phẩm giáo dục (phân tích làm HS số kiểm tra năm học 2015-2016 để tìm phân loại SL HS) Dưới số kết rút từ trình nghiên cứu Bảng 1: Số làm học sinh phân tích Trường Lớp Số THPT Đơng Sơn 10A1 10A6 11A2 12A4 12A1 170 THPT Hàm Rồng 10A1 10A4 11B6 11B2 12C2 230 THPT Đào Duy Từ 10B2 10B5 11C4 12C2 12C5 225 THPT Hậu Lộc 10C1 11B4 11B6 12C1 12C4 205 THPT Thạch Thành 10C1 10C2 11B1 12A1 12A6 178 2.2 Tổng hợp phân tích số liệu khảo sát 2.2.1 Về số sai lầm phổ biến học sinh giải toán đại số - giải tích thể qua kết kiểm tra 64 NGUYỄN HỮU HẬU Bảng 2: Một số sai lầm phổ biến học sinh giải toán đại số - giải tích Trường Các sai lầm Đơng Sơn (%) SL liên quan đến cảm nhận trực quan 35,2% 26,08% 27,55% Hàm Rồng (%) Thạch Đào Duy Hậu Lộc Thành Từ (%) (%) (%) 29,2% 33,7% 31,1% 34,6% 38,2% SL liên quan đến nhận thức tương ứng 32,9% 25,65% 24,88% 27,3% 31,4% SL liên quan đến “chủ nghĩa hình thức” 41,17% 30,4% 34,14% 39,3% SL liên quan đến việc chuyển đổi toán 33,52% 26,95% 30,66% 27,31% 31,46% SL liên quan đến suy luận 42,94% 30,43% 31,11% 34,14% 39,32% SL liên quan đến thao tác tư 30,58% 22,6% 25,36% 29,21% SL liên quan đến nắm nội hàm khái niệm 40,58% điều kiện áp dụng định lí 30% 32% 23,11% giải tích mức độ HS mắc phải sai lầm giải toán sai lầm sau? Thu thập số liệu sử dụng phần mềm SPSS phân tích số liệu, thu kết đây: 2.2.2 Kết khảo sát giáo viên mức độ mắc sai lầm học sinh Chúng sử dụng bảng hỏi nhằm tìm hiểu sai lầm mà HS thường mắc phải giải toán đại số - giải tích Với câu hỏi: Thầy/ Cơ cho biết hhi làm tập đại số Bảng 3: Nhận định GV mức độ mắc sai lầm học sinh Trường Đông Sơn Hàm Rồng SL liên quan đến cảm nhận trực quan 0,36 0,41 0,43 0,45 0,33 0,396 SL liên quan đến nắm nội hàm khái niệm điều kiện áp dụng định lí 0,40 0,41 0,45 0,46 0.38 0,42 SL liên quan đến nhận thức tương ứng 0,37 0,61 0,62 0,41 0,33 0,468 SL liên quan đến “chủ nghĩa hình thức” 0,38 0,42 0,44 0,46 0,36 0,412 SL liên quan đến việc chuyển đổi toán 0,22 0,60 0,41 0,4 0,21 0,33 SL liên quan đến suy luận 0,39 0,21 0,23 0,29 0,35 0,294 SL liên quan đến thao tác tư 0,29 0,61 0,64 0,45 0,26 0,45 Các sai lầm Đào Duy Hậu Lộc Thạch Kết Từ Thành chung (Từ đến 0,2: thường xuyên; từ 0,21 đến 0,4: thường xuyên; từ 0,41 đến 0,60: thỉnh thoảng; từ 0,61 đến 0,80: khi; từ 0,81 đến 1: chưa bao giờ) 65 NGHIÊN CỨU MỘT SỐ SAI LẦM CỦA HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THƠNG KHI GIẢI TỐN ĐẠI SỐ… nằm hai phía đường thẳng y = 2x (?): Đặt g(x) = x2 2mx Hàm số có cực đại, cực tiểu nằm hai phía đường thẳng y 2x tương đương 2.2.3 Đánh giá chung Qua phân tích kết điều tra, chúng tơi cho SL HS giải toán đa dạng có nhiều nguyên nhân khác Các GV khảo sát cho SL xảy thường xun q trình dạy học Ngồi ra, kết thu cho thấy thực tiễn phạm lỗi học sinh tương hợp với quan điểm lỗi M Legutko Do vậy, để nâng cao hiệu dạy học mơn giải tích trường phổ thơng, trình dạy học GV cần ý ngăn ngừa kịp thời sửa lỗi cho HS, hướng dẫn HS cách hạn chế bị lỗi giải tốn giải tích [5] 2.3 Phân tích số sai lầm làm học sinh Trong mục này, để thấy rõ nguyên nhân SL HS giải tốn đại số - giải tích, chúng tơi ghi lại sai lầm (có tính đại diện) HS Bảng Để lời giải có mắc phải SL, chúng tơi dùng kí hiệu (?) sử dụng kí hiệu (!) để bình luận phân tích SL HS 2.3.1 Sai lầm liên quan đến cảm nhận trực quan Trực quan giúp cho ta phát vấn đề, chẳng hạn có tốn hình học, vẽ hình xác thấy lặp lặp lại số quy luật, nhiều khám phá vấn đề ẩn náu đằng sau hình ảnh Tuy nhiên, tốn học khơng chấp nhận việc chứng minh mà khơng có luận rõ ràng Vì vậy, trực quan chỗ dựa để khám phá phép chứng minh Nếu khơng nhận thức điều đó, nhiều ta đưa kết luận sai lầm liên quan đến cảm nhận trực quan Ví dụ 1: Tìm m để hàm số y với hệ phương trình g(1) 2m x 2mx 2x x 1 vô nghiệm 1 15 m 15 (!): Từ trực quan hình vẽ HS nghĩ cực đại, cực tiểu nằm hai phía đường thẳng nghĩa đồ thị hàm số không cắt đường thẳng y 2x Nhưng thực đường thẳng y = 2x cắt đồ thị hai điểm phân biệt mà điểm cực đại, điểm cực tiểu nằm khác phía so với đường thẳng y 2x Lẽ HS phải giải sau: Hàm số có cực đại cực tiểu tương đương với m Gọi A x1 ; y1 , B x2 ; y điểm cực trị đồ thị hàm số, phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị là: y 2x m , y1 2x1 m ; y2 2x2 m Để A B nằm hai phía đường thẳng y 2x , điều kiện cần đủ 2x1 y1 2x2 y2 2 m 2 giá trị cần tìm 2.3.2 Sai lầm liên quan đến nắm nội hàm khái niệm điều kiện áp dụng định lí 2.3.2.1 Sai lầm nắm khái niệm Toán học Khảo sát điều tra 1008 HS cho thấy, trình vận dụng khái niệm, việc khơng nắm vững nội hàm ngoại diên dẫn tới HS hiểu không trọn vẹn, chí hiểu sai lệch chất khái niệm Mặt khác, nhiều khái niệm toán học mở rộng thu hẹp khái niệm trước đó, x2 2mx có cực đại, cực tiểu x 1 66 NGUYỄN HỮU HẬU nên việc không nắm hiểu không khái niệm làm cho học sinh khơng hiểu, khơng có biểu tượng khái niệm Sai lầm khái niệm toán học (đặc biệt khái niệm ban đầu có tính chất tảng) dẫn đến hệ tất yếu học mơn tốn Vì vậy, nói “mất gốc” HS kiến thức toán trước hết “mất gốc” khái niệm tốn học Có nhiều ngun nhân khác dẫn tới nhận thức khái niệm toán học cách hình thức biểu chỗ: + HS khơng nắm vững nội hàm ngoại diên khái niệm nên nhận dạng thể khái niệm sai; + Hiểu sai ngơn ngữ, kí hiệu định nghĩa khái niệm, nên diễn đạt vận dụng sai khái niệm (khi xây dựng khái niệm khác, biến đổi tính tốn, suy luận chứng minh) Ví dụ 2: Một tiệc có 10 nam nữ khiêu vũ giỏi Người ta chọn nam nữ để ghép thành cặp nhảy Hỏi có cách ghép cặp nhảy Lời giải (3): Mỗi cách thứ tự bạn nam 10 bạn nam chỉnh hợp chập 10, nên số cách chọn bạn nam có thứ tự A, C, B thứ tự khác bạn nữ a, c, b ghép cặp nhảy (A, a), (C, c), (B, b) cách ghép cặp nhảy trước Sai lầm dẫn tới số cách ghép lớn thực tế có cách ghép cặp nhảy tính nhiều lần Lời giải là: Mỗi cách chọn bạn nam 10 bạn tổ hợp chập 10 nên số cách chọn C10 ; tương tự số cách chọn bạn nữ bạn nữ C 36 Với bạn nam bạn nữ chọn, ta xem có cách ghép thành cặp nhảy (tất nhiên cặp gồm nam nữ) Giả sử bạn nam A, B, C bạn nữ a, b, c cách ghép cặp nhảy chẳng qua hốn vị nữ mà thơi (tất nhiên coi hoán vị bạn nam kết thế) Vậy, số cách ghép cặp nhảy cho bạn 3! Do đó, số cách bố trí cặp nhảy C10 C36 3! 14400 2.3.2.2 Sai lầm liên quan đến sử dụng định lí Cấu trúc thơng thường định lí có dạng A B, A giả thiết định lí, B kết luận định lí SL phổ biến học định lí xem thường ngôn ngữ điều kiện giả thiết A nên suy kết luận SL: khơng có A suy B; khơng có A suy khơng có B; sử dụng định lí tương tự chưa Không nắm vững kết luận B, nên sử dụng B mà khơng nhớ A, có B suy có A, có A suy khơng phải B Do trọng phương pháp giải q trình áp dụng vào giải tốn, HS áp dụng thiếu điều kiện, áp dụng khơng xác; sử dụng định lí định nghĩa Đặc biệt với định lí HS bị A10 720 cách; Tương tự số cách chọn bạn nữ có thứ tự A36 120 cách; Vậy, số cách bố trí cặp nhảy A A36 84600 10 (!): Cách giải HS mắc phải SL chỗ: lại thứ tự bạn nam bạn nữ Giả sử có bạn nam theo thứ tự A, B, C ghép nhảy với bạn nữ theo thứ tự a, b, c, tức có cặp nhảy (A, a), (B, b), (C, c) Nếu lấy thứ tự khác bạn nam 67 NGHIÊN CỨU MỘT SỐ SAI LẦM CỦA HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG KHI GIẢI TỐN ĐẠI SỐ… “mất gốc” khơng hiểu chất, sử dụng họ khơng hiểu rõ phạm vi chúng f ,, (x ) x điểm cực trị hàm số” Hơn nữa: x 1 Ví dụ 3: Giải phương trình 5x.8 x 500 (1) (?): Với điều kiện x (1) 5x.2 3x 3 x 53.22 5x3.2 x 3 ln x 3 x + Nếu f (x ) x điểm ,, cực tiểu; + Nếu f (x ) x điểm 1 ,, x 3 ln x cực đại 2.3.3 Sai lầm liên quan đến nhận thức tương ứng Tư hàm có bốn tư tưởng chủ đạo, có việc “Tập luyện cho học sinh phát hiện, thiết lập, nghiên cứu lợi dụng tương ứng nhằm vào truyền thụ kiến thức rèn luyện kĩ toán học ” [7] Khi làm tốn có liên quan đến tư hàm, HS thường SL việc phát hiện, thiết lập tương ứng đối tượng tham gia vào toán Điều đó, đặc biệt bật tốn hàm số, phương trình, bất phương trình, hệ phương trình có chứa tham số cần đặt ẩn phụ Ví dụ 4: Tìm tất điểm đường thẳng y 1 cho từ kẻ Xét hàm số f(x) = f(x) x 3 ln5 x ln với x x ln x , x2 suy hàm số đồng biến Mà f(3) nên x nghiệm (!): Sai lầm lời giải chỗ: f , (x) ln5 Hàm f(x) đồng biến ;0 đồng biến 0; , phương trình f(x) có khơng q nghiệm ; có khơng q nghiệm 0; , khơng phải phương trình f(x) có khơng q nghiệm ba tiếp tuyến đến đồ thị y x 2x ¡ \ 0 Như vậy, f(3) nên x (?): Gọi điểm cần tìm A (m; -1) đường thẳng qua A có hệ số góc k y k(x m) Đường thẳng tiếp nghiệm 0; , f(x) có nghiệm ;0 tuyến đồ thị hệ x 2x k(x m) có nghiệm 4x 4x k ẩn x Từ hệ trên, ta phương trình Giải sau: (1) (x 3)ln5 x x x 3 ln2 ln2 x 3 ln5 x x x log5 2 3x2 4x.m (1) Để từ A kẻ ba tiếp tuyến (1) phải có ba HS thường nhầm lẫn điều kiện cần điều kiện đủ; chẳng hạn, dạy cực trị có định lí: “Giả sử hàm số y f(x) có đạo hàm nghiệm phân biệt Mặt khác x x 1 , yêu cầu tốn trở thành tìm m để f(x) = liên tục tới cấp hai x f (x ) , , 68 NGUYỄN HỮU HẬU mx2 2(m 1)x 3(m 2) có hai nghiệm f(x) 3x2 4xm có nghiệm khác 1 , điều tương đương m với f( 1) phân biệt x1 x2 thỏa mãn x1 2x2 (?): HS cho rằng, x nghiệm lớn x1 nghiệm nhỏ, nên sau tìm điều kiện có nghiệm, cần tìm nghiệm thay vào hệ thức cho tốn Suy nghĩ làm bình đẳng hai nghiệm, hai nghiệm có vai trò nhau; x1 ,x kí hiệu Vậy có hai điểm A nằm đường thẳng y 1 mà từ kẻ ba tiếp tuyến đến đồ thị (!): HS mắc phải SL nghĩ có ba tiếp tuyến nghĩa có giá trị x Đúng có tiếp tuyến tức có giá trị k, nhiên giá trị k tương ứng với giá trị x Mỗi giá trị x tạo giá trị k, có giá trị k tạo nhiều giá trị x, chẳng hạn, với k tồn giá trị x 0;x 1 Cách giải phải là: Để có ba tiếp tuyến, trước hết phương trình (1) có khơng nghiệm theo ẩn x (vì x tạo k) Tuy nhiên nghiệm x 1 tạo k , phương trình 3x2 4mx phải có hai nghiệm x1 x khác 1 , khác cho x13 x1 x32 x2 hình thức Hơn nữa, nghiệm có chứa bậc hai thay vào phương trình vơ tỷ học sinh dễ giải sai (!): Phương trình có hai nghiệm phân m biệt (*) m 2 Theo Định lí Viét giả thiết x1, x2 thỏa mãn x1 x2 x 2x m ;x1 x 3m 2 m giải hệ so sánh với (*), tìm m m 2.3.5 Sai lầm liên quan đến việc chuyển đổi tốn Ví dụ 6: Tìm giá trị nhỏ hàm tức x1 x2 x12 x1 x2 x22 x12 x1x2 x22 x1 x2 x1x2 S2 P m 1 số: f(x) = x2 x x2 3x x ¡ 4m 1 m 3 (?): 2.3.4 Sai lầm liên quan đến “chủ nghĩa hình thức” Chủ nghĩa hình thức nhận thức HS thường bắt nguồn từ chỗ: “Trong ý thức HS có phá vỡ mối quan hệ tương hỗ, đắn nội dung bên kiện toán học cách diễn đạt bên ngồi kiện ấy” (dẫn theo [11]) Ví dụ 5: Tìm m để phương trình 2 3 1 1 3 f(x) x x Trong hệ trục 1 3 ; , B 2 tọa độ 0xy, xét điểm A 1 ; M(x;0) , 2 f(x) MA MB Theo bất đẳng thức tam giác MA MB AB , mà 69 AB , nên f(x) 1 1 NGHIÊN CỨU MỘT SỐ SAI LẦM CỦA HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THƠNG KHI GIẢI TỐN ĐẠI SỐ… (!): SL chuyển đổi từ toán đại số sang hình học, HS khơng ý thức vị trí tồn M, nên chọn điểm luận HS thiếu kiến thức logic, sử dụng mệnh đề sai ngộ nhận mệnh đề đúng, đánh tráo luận đề, mắc phải SL suy luận SL suy luận giải tốn thường có kiểu: SL luận cứ; SL luận chứng; SL luận đề Ví dụ 7: Cho x,y,z thỏa mãn 1 A 1; 3, B hai điểm ; 2 2 phía so với trục hồnh Đoạn thẳng AB không cắt x,x chứa 0x nên bất đẳng thức MA MB AB không xảy không tồn điểm M0 0x cho x1997 y1997 z1997 , tìm giá trị lớn F x2 y2 z2 (?): Do vai trò x,y,z nên có MA0 MB AB thể giả sử: x y z ; mặt khác dễ thấy Để tránh SL trên, chuyển đổi tốn sang sử dụng cơng cụ tọa độ cần phải lưu ý: mặt phẳng cho hai điểm A, B đường thẳng d qua M Khi đó: A, B phía so với d, MA MB đạt giá trị nhỏ M giao điểm AB1 với đường thẳng d, B1 điểm đối xứng với B qua d, MA MB AB1 x33 x y z 0 x1997 y1997 z1997 3z1997 z ≤ Do vai trò x, y, z nhau, nên x 1;y F maxF , dấu xẩy x y z Kết đúng, việc HS cho x, y, z có vai trò lần thứ hai sai, giả sử x y z Nếu A, B khác phía so với đường thẳng d MA MB đạt giá trị nhỏ M giao điểm AB với d Bài tốn có lời giải phải là: Chọn ; A ; 2 1 B ; 2 điều khơng Có HS lập luận sau: Giả sử x y z x2 z ; x2 y2 z 3x2 , dấu xẩy x y z , thay vào điều kiện C(x;0) , ta có f(x) MA MB AB1 , x y z suy maxF 3x2 1 3 AB1 2 2 nên f(x) x2 y2 (!): Áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho 1995 số hai số x1997 ta 1995 2x1997 1997 1997 (x ) x ; 1997 , dấu xảy x 1 tương tự 2.3.6 Sai lầm liên quan đến suy luận Suy luận hình thức trình tư rút mệnh đề từ hay nhiều mệnh đề cho Một suy luận thường có cấu trúc logic A B ; Trong đó, A tiền đề, B kết luận Cấu trúc logic phản ánh cách thức rút kết 1995 2y1997 1995 2z1997 y2 ; z2 1997 1997 Cộng vế bất đẳng thức ta F suy maxF dấu xẩy x y z 70 NGUYỄN HỮU HẬU n a12 a22 a2n a1 a2 a n 2 2.3.7 Sai lầm liên quan đến thao tác tư Nếu n a1 a2 a n 2 a12 a22 a 2n Ví dụ 8: Chứng minh bất đẳng thức a b2 c2 d2 e2 a b c d e (1), a, b,c,d R Xin nêu hai cách giải cho tốn khơng phải nhằm tìm nhiều lời giải, mà với mục đích: cách giải gợi lên phương hướng tổng qt hóa tốn Cách 1: Ta có a2 b2 c2 d2 e2 a b c d e a1 a2 a n a lại bốn lần cộng lại a Nhưng, số hạng vế trái nhiều hay phân tích khơng Nếu tăng số hạng lên n số cần phải có n lần a có tổng a2, với cách viết n tương tự ta được: a a12 a 22 a 2n = a a a1 a a n a12 a 22 a 2n Theo Bất đẳng thức Bunhiacôpxki: n a12 a 22 a 2n a1 a a n a a1 a a n n Kết luận kiến nghị Phản hồi GV qua làm HS, cho thấy HS thường gặp nhiều sai lầm khác giải toán Kết nghiên cứu giúp cho HS nhận sửa chữa SL q trình giải tốn Ngồi sở để GV có thái độ tích cực SL HS xem chúng thông tin phản hồi cần lưu tâm để có điều chỉnh phương pháp, có Đây tam thức bậc hai a Muốn tam thức ln khơng âm a1 a a n a12 a 22 a 2n (1) Bất đẳng thức tổng quát là: (!): Với cách giải tương tự, xét hiệu: f(a) a2 a12 a22 a2n a a1 a2 a n 12 12 a12 a22 a 2n a1 a a n a a a an a1 a2 … n n n a a1 a a n a a1 a a n , a1 , a , a n R 2 n , n2 n n n f(a) f n n (vì 4 Áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta , từ suy đpcm HS tổng qt hóa tốn từ cách giải sau: Do a số cố định nên mở rộng cho n số hạng ta được: chọn trở lại với cách giải 1, vế trái có a lặp tam thức bậc hai a có b c d e b c2 d e2 n ) nên bất đẳng thức tổng qt hóa khơng Vậy, tốn tổng quát nào? Ta Cách 2: Xét hiệu f(a) a2 a b c d e b2 c2 d2 e2 n 4, a i nên tồn giá trị a làm cho giá trị tam thức f(a) âm Cụ thể, ta lấy a a d e 2 2 với a1 a2 a n n2 4n 2 n a12 a 22 a 2n (1) thỏa mãn Nhưng a a b + c 2 2 2 2 71 NGHIÊN CỨU MỘT SỐ SAI LẦM CỦA HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THƠNG KHI GIẢI TỐN ĐẠI SỐ… sinh khả phát sửa chữa sai lầm q trình chiếm lĩnh tri thức tốn học, Kỷ yếu Hội thảo Quốc gia giáo dục toán học trường phổ thông, Nxb Giáo dục Việt Nam Trần Cơng Thái Hòe, Nguyễn Phú Lộc, Lỗi học sinh giải tốn Giải tích: Nghiên cứu điều tra học sinh giáo viên Thị xã Tân Châu -Tỉnh An Giang, Tạp chí Khoa học Trường Đại học Cần Thơ, phần C, số 34 (2014), tr 27 - 33 Hodes, E - Nolting, P (1998), Winning at Mathematics? SBCC Mathematics Department Academic Success Press Nguyễn Bá Kim (2002), Phương pháp dạy học mơn Tốn, Nxb Đại học Sư phạm, Hà Nội Legutko, M (2008), An analysis of students’ mathematical errors in teaching- research process In “Handbook of Mathematics Marzano, R.(1992) A different kinds of classroom- Teaching with dimensions of learning Alexandria, Va: Association for Supervision and Curriculum Development 10 Lê Thống Nhất (1996), Rèn luyện lực giải Toán cho học sinh PTTH thơng qua việc phân tích sửa chữa sai lầm học sinh giải Tốn, Luận án Phó tiến sĩ khoa học Sư phạm Tâm lý, Trường Đại học Sư phạm Vinh, Vinh 11 Trần Hữu Phúc, Nguyễn Cảnh Nam (2002), Hãy cẩn thận! Bài thi đơn giản quá, Nxb Đại học quốc gia Hà Nội, Hà Nội 12 Trần Phương, Lê Hồng Đức (2004), Sai lầm thường gặp sáng tạo giải Toán, Nxb Hà Nội, Hà Nội 13 Pơlya G (1997), Giải tốn nào?, Nxb Giáo dục, Hà Nội 14 Nguyễn Văn Thuận, Nguyễn Hữu Hậu (2010), Phát sửa chữa sai lầm cho học sinh dạy học Đại số - Giải tích trường phổ thơng, Nxb Đại học Sư phạm, Hà Nội biện pháp ngăn ngừa SL HS nhằm nâng cao hiệu dạy học mơn tốn Theo chúng tôi, để tập luyện cho học sinh khả phát sửa chữa sai lầm trình giải toán cần thực yêu cầu sau: - Trong trình truyền thụ tri thức rèn luyện kĩ toán học, cần quan tâm tập luyện cho HS hoạt động hoạt động thành phần mà giải tốn HS thường gặp khó khăn, vướng mắc, sai lầm việc thực hoạt động này; - Chú ý tới yêu cầu: tính giáo dục, tính kịp thời, tính xác trình phát sửa chữa sai lầm cho HS; - GV thiết kế tình dạy học dễ dẫn tới SL để học sinh thử thách với SL đó; - Cần tạo điều kiện cho HS bộc lộ khó khăn, SL thơng qua việc rèn luyện cho HS kĩ tự kiểm tra, tự đánh giá [4] TÀI LIỆU THAM KHẢO A A Stoliar (1969), Giáo dục học Toán học, Nxb Giáo dục, Minsk (Tiếng Nga) Bell, A, - The Tookit team (1993), Learning from mistakes and misconceptions: Gaining the skills A strategy in the Toolkit for the change Agents, MARS Micchigan Stale University Cruchetxki V A (1973), Tâm lý lực toán học học sinh, Nxb Giáo dục, Hà Nội Nguyễn Hữu Hậu (2011), Tập luyện cho học Ngày nhận bài: 28/10/2017 Biên tập xong: 15/7/2018 72 Duyệt đăng: 20/7/2018 ... phân tích số liệu khảo sát 2.2.1 Về số sai lầm phổ biến học sinh giải toán đại số - giải tích thể qua kết kiểm tra 64 NGUYỄN HỮU HẬU Bảng 2: Một số sai lầm phổ biến học sinh giải toán đại số - giải. .. 71 NGHIÊN CỨU MỘT SỐ SAI LẦM CỦA HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THƠNG KHI GIẢI TỐN ĐẠI SỐ… sinh khả phát sửa chữa sai lầm q trình chiếm lĩnh tri thức tốn học, Kỷ yếu Hội thảo Quốc gia giáo dục toán học. .. AB , nên f(x) 1 1 NGHIÊN CỨU MỘT SỐ SAI LẦM CỦA HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG KHI GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ… (!): SL chuyển đổi từ tốn đại số sang hình học, HS khơng ý thức vị trí tồn M,