Đang tải... (xem toàn văn)
Bài giảng Xử lý tín hiệu nâng cao (Advanced signal processing) - Chương 4 Biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc trình bày những nội dung cơ bản sau: Biến đổi Fourier ngược, các phương pháp thể hiện của X(ejω),... Mời các bạn cùng tham khảo.
Xử lý tín hiệu nâng cao -Advanced signal processingChương Biến đổi Fourier tín hiệu rời rạc Biến đổi Fourier tín hiệu rời rạc T Y Khơng gian đặc trưng X Miền không gian ban đầu T-1 Định nghĩa Biến đổi Fourier tín hiệu rời rạc định nghĩa sau: jω X (e ) = +∞ ∑ x ( n)e − j ωn n = −∞ Toán tử FT: ( ) FT [x(n )] = X e jω Biến đổi Fourier ngược Từ miền tần số tín hiệu biến đổi ngược lại miền thời gian phép biến đổi Fourier ngược: x ( n) = 2π +π ∫π X (e jω )e jωn dω − Ta sử dụng ký hiệu IFT để biểu diễn biến đổi Fourier ngược: IFT [X (e )] = x(n ) jω Các phương pháp thể X(ejω) Thể dạng phần thực phần ảo: X ( e jω ) = R e X ( e jω ) + j Im X ( e jω ) Các phương pháp thể X(ejω) Thể dạng module argument: jω jω X (e ) = X (e ) e [ j arg X ( e jω ) Khi đó: X(ejω) : Phổ tín hiệu x(n) |X(ejω)| : phổ biên độ x(n) arg[X(ejω)]= ϕ(ω): phổ pha x(n) ] Các phương pháp thể X(ejω) Quan hệ phổ pha phổ biên độ với thành phần thực ảo X(ejω): Phổ biên độ: [ ] [ X (e jω ) = Re X (e jω ) + Im X (e jω ) Phổ pha: [ [ jω Im X ( e ) jω arg X (e ) = arctg Re X (e jω ) [ ] ] ] ] Tính chất quan trọng X(ejω) Tuần hồn: Biến đổi Fourier tín hiệu X(ejω) tuần hồn với chu kỳ 2π Tính đối xứng: Re X (e jω ) = Re X (e− jω ) Im X (e jω ) = − Im X (e− jω ) jω X ( e ) = X (e − jω ) ∠ X (e jω ) = −∠ X (e− jω ) Ví dụ Cho dãy x(n) = 0,5 u (n) n Viết chương trình MATLAB thể đồ thị phổ 500 điểm rời rạc khoảng [- π, π] Ví dụ Thực biến đổi Fourier tín hiệu: x(n) = 0.5 u (n) n Áp dụng công thức, có: +∞ ∞ −∞ X (e jω ) = ∑ x(n)e − jωn = ∑ 0.5n e − jωn ∞ = ∑ (0.5e ) = − 0.5e − jω − jω n Khái niệm cơng thức Phép biến đổi Fourier tín hiệu rời rạc chiều (ảnh số) tính cơng thức: M −1 N −1 X(u, v) = ∑∑ x (m, n )e um − jπ + M N m =0 n =0 Ánh xạ ngược phép biến đổi M −1 N −1 x ( m, n ) = X ( u , v )e ∑∑ MN u = v = um jπ + M N Khái niệm công thức Các thành phần tần số mang giá trị phức nên ta biểu diễn sau: X (u , v ) = X (u , v ) e − j arg( u ,v ) Khi |X(u,v)| gọi độ lớn hay phổ biên độ, arg(u,v) gọi phổ pha Một số tính chất Tính tuần hồn F(u, v) = F(u + M, v) = F(u, v + N) = F(u + M, v + N) Đối xứng đơn vị FT(u,v)=F(u,v) F-1(u,v)=F*(u,v) Một số tính chất Tính chất chuyển đổi M −1 N −1 X (u − a, v − b) = ∑∑ x(m, n)e ( u − a ) m ( v −b ) n − jπ + N M m =0 n =0 M −1 N −1 = ∑∑ x(m, n)e m =0 n =0 um am bn − jπ + jπ + M N M N e Tính chất chuyển đổi (tiếp) Nhân tín hiệu với e2jπ(am/M+bn/N) miền không gian thực tương đương với dịch chuyển phổ khoảng (a,b) Xét trường hợp đặc biệt a=M/2, b=N/2 M −1 N −1 M N X(u − , v − ) = ∑∑ x (m, n )e 2 m =0 n =0 um −2 jπ + M N (−1) ( m+n ) Nhân vào ảnh ban đầu giá trị (-1)(m+n) trước biến đổi, ta thu phổ tần số mà điểm tần số F(0,0) nằm mảng chiều Một số tính chất Tích chập Ta có DFT(x(m,n))=X(u,v) DFT(h(k,l))=H(u,v) Khi đó: DFT(x(m,n)*h(k,l))=X(u,v)H(u,v) Phép lọc miền tần số x(m,n) y(m,n) F(u,v) DFT filter IDFT H(u,v)F(u,v) Ví dụ: phép lọc thơng thấp Bộ lọc thông thấp 1 H ( u , v) = 0 if D(u, v) ≤ D if D(u, v) > D Khoảng cách tới nguồn M N D( u , v) = u − + v − 2 2 Ví dụ: phép lọc thơng thấp Trong Matlab Sử dụng hàm fft2 I=imread('cameraman.tif'); F=fft2(I); imshow(abs(F),[]); Sử dụng lệnh fftshift để dịch phổ tâm FC=fftshift(abs(F)) imshow(FC,[]) Để thị phổ rõ sử dụng thêm hàm log FC2=log(1+FC); imshow(FC2,[]); Kết Thực hành chương III Thực biến đổi Fourier, biển diễn phổ biên độ phổ pha tín hiệu: x(n)=2(0.8)n[u(n)-u(n-20)] x(n)=n(0.9)n[u(n)-u(50)] x(n)={4,3,2,2,1,4,6,2} x(n)=(n+2)(-0.7)n-1u(n-2) x(n)=5(-0.9)ncos(0.1πn)u(n) Bài tập jω Đáp ứng tần số hệ thống H (e ) Viết chương trình Matlab để biểu diễn đáp ứng tần số dạng phổ biên độ, phổ pha dạng phần thực, phần ảo hệ thống tuyến tính bất biến mơ tả phương trình sai phân sau: • a) y ( n) − 0, y ( n − 1) = x ( n) + x ( n − 1) + x ( n − 2) 1 • b) y ( n) − y ( n − 1) + y ( n − 2) = x( n − 1) 6 Ví dụ Hệ thống cho phương trình sai phân: y(n)=0.9y(n-1)+x(n) Xác định H(z) biểu diễn điểm không điểm cực Vẽ |H(ejω)| ∠ H(ejω) Xác định đáp ứng xung h(n) Ví dụ (tiếp) Áp dụng cơng thức, ta có H ( z) = − 0.9 z −1 Matlab để kiểm tra: b=[1]; a=[1,-0.9]; zplane(b,a); Trong Matlab muốn tính H(ejω) ta sử dụng hàm freqz [H,w]=freqz(b,a,100); .. .Biến đổi Fourier tín hiệu rời rạc T Y Không gian đặc trưng X Miền không gian ban đầu T-1 Định nghĩa Biến đổi Fourier tín hiệu rời rạc định nghĩa sau: jω X (e ) =... sin(3ω ) Viết chương trình thể đồ thị hàm phổ biên độ, phổ pha, phần thực phần ảo X(ejω), tính 2001 điểm rời rạc khoảng [-2 π,2π] Tín hiệu hệ thống miền tần số rời rạc Biến đổi Fourier rời rạc thuận... jω Biến đổi Fourier ngược Từ miền tần số tín hiệu biến đổi ngược lại miền thời gian phép biến đổi Fourier ngược: x ( n) = 2π +π ∫π X (e jω )e jωn dω − Ta sử dụng ký hiệu IFT để biểu diễn biến đổi