Đang tải... (xem toàn văn)
Bài báo này trình bày phương pháp xác định miền giới hạn vật liệu không đồng nhất bằng sự kết hợp thuật đồng nhất hóa và lý thuyết phân tích giới hạn. Bài toán phân tích giới hạn cho một phần tử đại diện (RVE) được xem xét nhằm tìm được tải trọng giới hạn của các trường hợp tải trọng khác nhau. Miền tải trọng biến thiên đại diện cho các trường hợp ứng suất tương ứng của một điểm vật liệu được khảo sát.
1 Tạp chí Khoa học & Cơng nghệ Số Xác định miền cường độ vật liệu không đồng sử dụng lý thuyết phân tích giới hạn kỹ thuật đồng hóa Nguyễn Hồng Phương Khoa Kiến trúc - Xây dựng - Mỹ thuật ứng dụng, Đại học Nguyễn Tất Thành nhphuong@ntt.edu.vn Tóm tắt Bài báo trình bày phương pháp xác định miền giới hạn vật liệu không đồng kết hợp thuật đồng hóa lý thuyết phân tích giới hạn Bài tốn phân tích giới hạn cho phần tử đại diện (RVE) xem xét nhằm tìm tải trọng giới hạn trường hợp tải trọng khác Miền tải trọng biến thiên đại diện cho trường hợp ứng suất tương ứng điểm vật liệu khảo sát Việc áp dụng rời rạc hóa miền chuyển vị biến thiên tốn phân tích giới hạn nhằm taọ điều kiện thuận lợi việc khai báo điều kiện biên tuần hồn cho tốn Bài tốn phân tích giới hạn tích hợp lý thuyết đồng hóa triển khai dạng tốn tối ưu hình nón bậc hai (SOCP) Các trường hợp tải trọng giới hạn phần tử đaị diện hình thành miền giới hạn vật liệu không đồng Ví dụ số thực so sánh với nghiên cứu tác giả khác cường độ vật liệu không đồng nhằm thể hiệu phương pháp Nhận Được duyệt Công bố 27.12.2017 21.01.2018 01.02.2018 Từ khóa Phân tích giới hạn, kỹ thuật đồng hóa, miền cường độ vật liệu khơng đồng nhất, chương trình tối ưu hóa hình nón bậc hai ® 2018 Journal of Science and Technology - NTTU (SOCP) Giới thiệu Việc trộn l n vật liệu khác để tạo thành vật liệu mới, vật liệu không đồng nhất, ngày trở nên ph biến cấu kiện cơng trình Qua đó, nhu cầu việc xác định tiêu chu n d o vật liệu chiếm vai tr quan trọng việc t nh toán ước lượng khả n ng làm việc kết cấu Hiện nay, hầu hết t nh chất thống kê t nh tốn thơng qua th nghiệm thực tế Việc s d n đến chi ph cho việc xác định t nh chất vật liệu lớn Vì vậy, mơ ph ng số thực nhằm giảm thiểu chi ph th nghiệm Hơn nữa, ch ng ta cần phương pháp hiệu nhanh chóng để tiết kiệm thời gian t nh tốn Các nghiên cứu trước đ y đ chứng t hiệu nghiệm thời gian t nh toán toán ph n t ch giới hạn việc xác định cường độ vật liệu không đồng [1,2] Tuy nhiên, m t hạn chế v ng l p làm thời gian t nh toán lớn Việc kết hợp lý thuyết đồng hóa ph n t ch giới hạn giải yêu cầu Trong n m gần đ y, nghiên cứu xác định cường độ vật liệu không đồng nhất, ph n t ch giới hạn kết cấu vi mô, ngày phát triển ch trọng Lý thuyết đồng hóa kết hợp ph n t ch giới hạn đề xuất việc xác định cường độ vật liệu v mô vật liệu cốt sợi [4-6 Một ph n t ch giới hạn đồng hóa dựa phần tử hữu hạn phương trình tuyến t nh đề xuất [7 để t nh toán cường độ vật liệu v mô theo tiêu chu n Tresca Ứng xử hình l ng trụ có l r ng nghiên cứu [8,9 mơ hình Gurson với trường động học t nh học c ng lý thuyết đồng hóa Dựa vào phần tử hữu hạn thuật toán đ i ng u điểm nội, đề xuất tiêu chu n cường độ cấp độ v mô ph n t ch n định đất gia cường cọc đá trình bày [10-14 Trong trường hợp dành cho tuần hoàn, lý thuyết nghiên cứu việc đồng hóa miền cường độ love-Kirchhoff nhiều lớp cứng d o lý tưởng trình bày [15,16 , kết số thu xác định tiêu chu n cường độ chịu uốn [17,18 Bằng việc kết hợp kỹ thuật đồng hóa, ph n t ch giới hạn động học chương trình phi tuyến, tải trọng giới hạn cấu phá hoại vật liệu composite tuần hoàn theo tiêu chu n chảy d o hình elip xác định [19-24 Sử dụng trường ứng suất đàn hồi cấu tr c vi mơ tuần hồn, phương pháp trực tiếp t nh học kết hợp với đồng hóa trình bày [25-29 tốn ph n t ch giới hạn 2D 3D cho vật liệu h n hợp kim loại tuần hoàn Trong phương pháp này, dạng mạnh phương trình c n xấp x dạng yếu, th a m n trung bình việc sử dụng trường chuyển vị Dựa phương pháp tuyến t nh, ph n t ch giới hạn kết cấu bê tông cốt th p nghiên cứu [30-34] Đại học Nguyễn Tất Thành Tạp chí Khoa học & Cơng nghệ Số Mục tiêu báo phát triển lý thuyết đồng hóa cho ph n t ch giới hạn vật liệu tuần hoàn với trường chuyển vị biến thiên (tuần hoàn) xấp x N ng lượng tiêu tán d o hay hàm mục tiêu chuyển dạng t ng bình phương Ngồi ra, điều kiện biên tuần hoàn áp cho biên chu vi phần tử đại diện RVE Điều kiện công ngoại phần tử đại diện thay công nội điểm vật liệu cấp độ v mơ Qua đó, phương pháp ph n t ch giới hạn kết hợp với lý thuyết đồng hóa sử dụng báo Lý thuyết phân tích giới hạn Trong phần này, lý thuyết ph n t ch giới hạn tóm lược Một vật thể cứng d o lý tưởng xem x t với biên chịu lực thể t ch f lực bề m t g biên t nh học t Biên động học u ràng buộc u t Công ngoại lực công nội lực thể thơng qua T T F u f u d g u d (1) t T U σ, u σ ε u d (2) Với ε u xx yy (3.2) = max U σ,u (3.3) = D u (3.4) uC σB uC Với n ng lượng tiêu tán d o k hiệu D u hàm theo σ u D u max U σ,u trường hợp vật liệu bất đ ng hướng tiêu chu n Hill, ma trận P H 0 G H (7) P H H F N Với G, H, F N số đ c trưng vật liệu bất đ ng hướng xác định sau 1 2 H xx yy zz 1 2G xx zz yy 1 2F zz yy xx Với (8.2) xy xx , yy , zz theo ba trục (8.1) ứng suất chảy d o k o dọc trục xy ứng suất chảy d o cắt Theo hướng tiếp cận động học toán ph n t ch giới hạn, n ng lượng tiêu tán d o khai triển thành biểu thức với biến biến dạng Khi đó, n ng lượng tiêu tán d o viết lại sau D ε ε T ε d (9) sau σB (6) ứng suất chảy d o k o dọc trục Bên cạnh đó, N = max U σ,u uC Với T xy ma trận biến dạng Hệ số tải trọng phá hoại ch nh xác xác định cách giải tốn tối ưu hóa sau đ y (3.1) max | σ B : U σ,u F u σB 0 P 0 0 3 (4.1) B σ X | σ x (4.2) Với σ gọi tiêu chu n d o Phương trình (3.1) (3.4) phương trình t nh học động học toán ph n t ch giới hạn Phương trình động học (3.4) s sử dụng báo Hầu hết tiêu chu n d o biểu diễn sau σ σ T Pσ (5) Với P ma trận hữu hiệu bao gồm hệ số phương trình cường độ vật liệu Trong trường hợp tiêu chu n von Mises, P áp dụng với vật liệu đ ng hướng ứng suất ph ng Đại học Nguyễn Tất Thành Với P1 Lý thuyết đồng hóa Xem x t vật thể khơng đồng cấp độ v mô V Theo lý thuyết đ x y dựng chun đề I, tốn kết cấu khơng đồng cấp độ v mô thay hai tốn, tốn đồng cấp độ v mơ tốn kết cấu khơng đồng cấp độ vi mô Điều quan trọng phương pháp liên hệ hai cấp độ Bên cạnh đó, tốn cấp độ vi mô, phần tử đại diện (RVE), phải th a m n ràng buộc nhằm đảm bảo liên hệ Ngoài ra, k ch thước phần tử đại diện (RVE) đ quan t m lớn nhà nghiên cứu Hơn nữa, k ch thước phải đủ nh để thuận lợi cho việc t nh toán lại phải đủ lớn so với cốt liệu để đ c Tạp chí Khoa học & Cơng nghệ Số trưng cho vật liệu Trong nghiên cứu này, giả thiết cốt liệu nh so với k ch thước phần tử đại diện (RVE) Mối liên hệ hai cấp độ thể qua định lý trung bình E εM εm d (10.1) Σ σM σm d (10.2) trường ứng suất cấp độ v mô Nhờ mối liên hệ ứng suất điểm vật liệu cấp độ v mô lực biên phần tử đại diện Do đó, xác định lực giới hạn phần tử đại diện đồng ngh a với việc ta xác định ứng suất cực đại điểm vật liệu cấp độ v mơ Bên cạnh đó, nghiên cứu trước đ y sử dụng mơ hình k o n n theo hai phương kết hợp ph p xoay góc để xác định dần không gian ứng suất giới hạn Trong nghiên cứu này, ứng suất tiếp xy đ đưa vào mơ hình nhằm trực tiếp ứng suất điểm vật liệu cấp độ vi mô K hiệu tìm khơng gian ứng suất giới hạn vật liệu Không gian ứng suất giới hạn vật liệu mô tả tiêu chu n chảy d o vật liệu Bài toán ph n t ch giới hạn kết hợp lý thuyết đồng hóa cho phần tử đại diện (RVE) biểu diễn sau đại diện cho trung bình thể t ch toàn thể t ch phần tử Với ε M , σ M biến dạng ứng suất điểm vật liệu cấp độ v mô ε m , σ m biến dạng đại diện (RVE), diện t ch phần tử đại diện Khi t nh toán cấp độ vi mô, biến dạng ứng suất ph n hai thành phần Đầu tiên số biến dạng ứng suất chất điểm cấp độ v mô Phần c n lại s biến dạng biến thiên ứng suất biến thiên Điều thể sau εm x E εm x (11.1) σm x Σ σm x (11.2) ε ε M T ε ε M d (15.1) s.t F u V0 T0 ε M (15.2) u x tuần hoàn biên ε Lu miền d (15.3) (15.4) Bài toán tối ưu (15) x y dựng việc xấp x trường chuyển vị biến thiên u Qua đó, chuyển vị RVE c ng thể hai thành phần um x E x um x (12) Định lý trung bình (10.1), (10.2) phải đảm bảo Do đó, trung bình thể t ch biến dạng biến thiên ứng suất biến thiên RVE phải bị triệt tiêu εm 0; σm (13) Ngoài ra, chuyển bị biên phần tử đại diện phải đảm bảo điều kiện tuần hoàn Điều kiện tuần hoàn đ y tuần hoàn chuyển vị đối ng u ứng suất biên đối Điều d n đến trường chuyển vị khả d động trường ứng suất c n th a m n điều kiện tuần hoàn th a điều kiện c n n ng lượng Hill-Mandel Σ : E σm : εm (14) T nh toán đồng hóa cho phân tích giới hạn Những nghiên cứu giới [24-28 đ t nh toán ứng suất đàn hồi kết cấu vi mơ tuần hồn thông qua ứng suất Σ ho c biến dạng Ε để xấp x toán ph n t ch giới hạn Gần đ y, Jeremy cộng [17 đ công bố nghiên cứu sử dụng đồng hóa ph n t ch giới hạn tuần hồn, qua trường động học đ sử dụng thông qua biến độ cong Tuy nhiên, nghiên cứu trường động học cấp độ vi mô s sử dụng với n Điều kiện biên tuần hoàn Điều kiện biên tuần hoàn thực thông qua việc cân c p chuyển vị biến thiên đối xứng biên phần tử đại diện (RVE) u u (16) Với , biên chủ động biên bị động tương ứng biên phần tử đại diện Ta biểu diễn mối quan hệ bậc tự tuần hồn thành cơng thức sau Cd = (17) Với ma trận C ma trận ràng buộc bậc tự tuần hoàn bao gồm hệ số {-1;0;1} Triển khai toán với kỹ thuật rời rạc hóa phần tử hữu hạn t ch ph n Guass sau NG P i i 1 s.t Bi d ε M T Bi d ε M (18.1) V0 T0 ε M (18.2) Cd = (18.3) Đại học Nguyễn Tất Thành Tạp chí Khoa học & Cơng nghệ Số ph hợp với kết Li [20,21 Zhang [28 Ví dụ số Việc ứng dụng kỹ thuật đồng hóa kết hợp với ph n t ch giới hạn cho kết cấu vi mơ tuần hồn thực cho trường hợp vật liệu có l Bài tốn ứng suất ph ng lập trình ngôn ngữ Matlab giải công cụ mosek[37 Phần tử đại diện RVE có dạng hình vng a a (a = 1mm) Nghiệm toán s tập hợp tải trọng giới hạn phần tử đại diện c ng ứng suất giới hạn điểm vật liệu v mô Do đó, ứng suất giới hạn điểm vật liệu cấp độ v mô xác định sau Σmax Σ0 (21) Vật liệu có l r ng xem vật liệu h n hợp đ c biệt RVE có l hình chữ nhật hình tr n t m thể Hình n Miền ứng suất giới hạn vật liệu có l hình tròn (r/a=0.25) l hình chữ nhật ( L1 L2 0.1 0.5mm ) l hình tr n ( r / a 0.25 ) Bài tốn RVE vật liệu có l r ng (a) 2038 phần tử T3 (b) 1752 phần tử T3 n Lưới phần tử hữu hạn T3 tốn l tròn l hình chữ nhật RVE chịu tác dụng c p lực vng góc 11 , 22 m t ph ng x1 , x2 h nh Vật liệu cho RVE l hình chữ nhật aluminium Al với ứng suất chảy d o 137 MPa Ngoài ra, vật liệu cho RVE l hình tr n mild steel St3S với ứng suất chảy d o 273 MPa Bài toán so sánh với kết Li [20,21 sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn động học kết hợp với thuật giải l p Zhang cộng [28 sử dụng hướng tiếp cận bán cận Phần tử hữu hạn tam giác ba n t (T3) sử dụng cho mơ hình t nh toán h nh Miền ứng suất giới hạn điểm vật liệu có l r ng tr n với hai góc xoay khác ( 00 450 ) trình bày theo h nh Các kết Đại học Nguyễn Tất Thành Bên cạnh đó, ứng xử vật liệu có l khảo sát k o dọc trục có góc thay đ i dần 00 900 với hai k ch thước l khác L2 0.5 mm L2 0.7 mm Kết thể h nh v h nh Những kết tương đồng với kết Li [20 (chênh lệch góc xoay khơng 0.47%) th nghiệm Litewka cộng [36 ( chênh lệch góc xoay khơng 0.47%) Cường độ kéo dọc trục với góc kéo thay đổi (L1=0.1, L2=0.5) 1.00 0.90 0.80 0.70 0.60 0.50 0.40 0.30 -10 Lực k o giới hạn n 10 30 50 70 90 Góc xoay Thí nghiệm kết Li nghiên cứu n Cường độ kéo dọc trục với góc k o thay đ i (L1=0.1mm; L2=0.5mm) Tạp chí Khoa học & Cơng nghệ Số Kết luận Cường độ kéo dọc trục với góc kéo thay đổi (L1=0.1; L2=0.7) Lực k o giới hạn 1.000 0.800 0.600 0.400 0.200 -10 10 30 50 70 90 Góc xoay Thí nghiệm kết Li Nghiên cứu Bài báo đ trình bày phương pháp kết hợp lý thuyết đồng hóa lý thuyết ph n t ch giới hạn nhằm tìm khơng gian ứng suất giới hạn vật liệu v mô Trường chuyển vị biến thiên xấp x toán ph n t ch giới hạn phần tử đại diện RVE Các trường hợp tải trọng giới hạn biên phần tử đại diện đại diện cho không gian 2D ứng suất giới hạn điểm vật liệu v mơ Bài tốn xem x t có l hình tròn hình chữ nhật Nghiệm tốn thể khơng gian 2D ứng suất giới hạn tương đồng với kết nghiên cứu khác n Cường độ kéo dọc trục với góc k o thay đ i (L1=0.1mm; L2=0.7mm) Tài liệu tham khảo M A Save, C E Massonnet, G de Saxce Plastic Analysis and Design of Plates, Shells and Disks NorthHolland Series in Applied Mathematics and Mechanics, vol 43 Elsevier: Amsterdam, 1997 J Salencon Yield Design Wiley.com, 2013 Suquet, P Elements of homogenization for inelastic solid mechanics In: Sanchez-Palencia, E., Zaoui, A (Eds.), Homogenization Techniques for Composite Media, Lecture Notes in Physics, Springer, New York, 1987; 272, 193–278 P de Buhan, A Taliercio A homogenization approach to the yield strength of composite materials European Journal of Mechanics - A/Solids 10 (1991) 129–154 A Taliercio Lower and upper bounds to the macroscopic strength domain of a fiber-reinforced composite material International Journal of Plasticity (1992) 741–762 A Taliercio, P Sagramoso Uniaxial strength of polymeric-matrix fibrous composites predicted through a homogenization approach International Journal of Solids and Structures 14 (1995) 2095–2123 P Francescato, J Pastor Lower and upper numerical bounds to the off-axis strength of unidirectional fiberreinforced composite by limit analysis methods European Journal of Mechanics - A/Solids 16 (1997) 213–234 T H Thai, P Francescato, J Pastor Limit analysis of unidirectional porous media Mehanics Research Communications 25 (1998) 535–542 M Trillat, J Pastor Limit analysis and Gurson‟s Model European Journal of Mechanics - A/Solids 24 (2005) 800–819 10 B Jellali, M Bouassida, P de Buhan A homogenization method for estimating the bearing capacity of soils reinforced by columns International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics 29 (2005) 989–1004 11 B Jellali, M Bouassida, P de Buhan Stability analysis of an embankment resting upon a column-reinforced soil International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics 35 (2011) 1243–1256 12 G Hassen, M Gueguin, P de Buhan A homogenization approach for assessing the yield strength properties of stone column reinforced soils European Journal of Mechanics A/Solids 37 (2013) 266–280 13 M Gueguin, G Hassen, P de Buhan Numerical assessment of the macroscopic strength criterion of reinforced soils using semidefinite programming International Journal for Numerical Methods in Engineering 99(2014) 522–541 14 M Gueguin, G Hassen, P de Buhan Stability analysis of homogenized stone column reinforced foundations using a numerical yield design approach Computers and Geotechnics 64 (2015) 10–19 15 J Dallot, K Sab Limit analysis of multi-layered plates Part I: The homogenized Love-Kirchhoff model Journal of the Mechanics and Physics of Solids 56 (2008) 561– 580 16 J Dallot, K Sab Limit analysis of multi-layered plates Part II: Shear effects Journal of the Mechanics and Physics of Solids 56 (2008) 581–612 17 J Bleyer, P de Buhan A computational homogenization approach for the yield design of periodic thin plates Part I: Construction of the macroscopic strength criterion International Journal of Solids and Structures 51 (2014) 2448–2459 Đại học Nguyễn Tất Thành Tạp chí Khoa học & Cơng nghệ Số 18 J Bleyer, P de Buhan A computational homogenization approach for the yield design of periodic thin plates Part II: Upper bound yield design calculation of the homogenized structure International Journal of Solids and Structures 51 (2014) 2460–2469 19 V Carvelli, G Maier, A Taliercio Kinematic limit analysis of periodic heterogeneous media Computer Modeling in Engineering and Science (2000), 19–30 20 H X Li, H S Yu Limit analysis of composite materials based on an ellipsoid yield criterion International Journal of Plasticity 22 (2006), 1962– 1987 21 H X Li, H S Yu Limit analysis of ductile composites based on homogenization theory Proc R Soc Lond A 459 (2003) 659–675 22 H X Li Limit analysis of composite materials with anisotropic microstructures: A homogenization approach Mechanics of Materials 43 (2011) 574–585 23 H X Li Microscopic limit analysis of cohesivefrictional composites with nonassociated plastic flow European Journal of Mechanics A/Solids 37 (2013) 281– 293 24 H X Li A microscopic nonlinear programming approach to shakedown analysis of cohesive-frictional composites Composites: Part B 50 (2013) 32–43 25 D Weichert, A Hachemi, F Schwabe Shakedown analysis of composites Mechanics Research Communications 26 (1999) 309-318 26 D Weichert, A Hachemi, F Schwabe Application of shakedown analysis to the plastic design of composites Archive of Applied Mechanics 69 (1999) 623–633 27 H Magoariec, S Bourgeois, O D´ebordes Elastic plastic shakedown of 3D periodic heterogeneous media: A direct numerical approach International Journal of Plasticity 20 (2004) 1655–1675 28 H Zhang, Y Liu, B Xu Plastic limit analysis of ductile composite structures from micro- to macro-mechanical analysis Acta Mech Solida Sin 22 (2009) 73–84 29 A Hachemi , M Chen, G Chen, D Weichert Limit state of structures made of heterogeneous materials International Journal of Plasticity 63 (2014) 124–137 30 30 D De Domenico, A A Pisano, P Fuschi A FEbased limit analysis approach for concrete elements reinforced with FRP bars Compos Struct 2014;107:594–603 31 A A Pisano, P Fuschi, D De Domenico A layered limit analysis of pinned-joints composite laminates: numerical versus experimental findings Composites: Part B 2012;43:940–52 32 A A Pisano, P Fuschi, D De Domenico Failure modes prediction of multi-pin joints FRP laminates by limit analysis Composites: Part B 2013;46:197–206 33 A A Pisano, P Fuschi, D De Domenico Peak load prediction of multi-pin joints FRP laminates by limit analysis Compos Struct 2013;96:763–72 34 D De Domenico RC members strengthened with externally bonded FRP plates: A FE-based limit analysis approach Composites: Part B 2015;71:159– 174 35 J Bleyer, C V Le, P de Buhan Limit analysis of plates and slabs using a meshless equilibrium formulation International Journal for Numerical Methods in Engineering 103 (2015) 894–913 36 A Litewka, A Sawczuk, J Stanislawska Simulation of oriented continuous damage evolution J Mech Theor Appl (1884) 675–688 37 Mosek, The Mosek optimization toolbox for MATLAB manual, 2015 Determine yield domain of heterogeneous materials using limit analysis method and homogenization method Nguyen Hoang Phuong Faculty of Architecture - Civil Engineering - Applied Art, Nguyen Tat Thanh University Abstract This paper presents a method to determine Yield domain of Heterogeneous materials with limit analysis and homogenization method The limit analysis of Representative Volume Element (RVE) is implemented to find limit loads in various cases The Domain of various cases represents for the stress of one point in materials The Discretion of fluctuation displacements in limit analysis problem provides advantages of using periodic boundary constraint The limit analysis and the homogenization method are performed in Second Order Cone Program (SOCP) The various limit loads of RVE create the limit domain of heterogeneous materials The Numerical is done and compared with results of other research It shows the effects of this method Keywords Limit analysis, homogenization method, Yield strength, Second order cone programming (SOCP) Đại học Nguyễn Tất Thành ... vật liệu cấp độ v mơ Qua đó, phương pháp ph n t ch giới hạn kết hợp với lý thuyết đồng hóa sử dụng báo Lý thuyết phân tích giới hạn Trong phần này, lý thuyết ph n t ch giới hạn tóm lược Một vật. .. trọng giới hạn phần tử đại diện c ng ứng suất giới hạn điểm vật liệu v mô Do đó, ứng suất giới hạn điểm vật liệu cấp độ v mô xác định sau Σmax Σ0 (21) Vật liệu có l r ng xem vật liệu h... đưa vào mơ hình nhằm trực tiếp ứng suất điểm vật liệu cấp độ vi mơ K hiệu tìm khơng gian ứng suất giới hạn vật liệu Không gian ứng suất giới hạn vật liệu mô tả tiêu chu n chảy d o vật liệu