Bài giảng Động lực học công trình - Chương 2: Dao động của hệ có bậc tự do hữu hạn

61 134 0
Bài giảng Động lực học công trình - Chương 2: Dao động của hệ có bậc tự do hữu hạn

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Chương 2 trang bị cho người học những kiến thức về dao động của hệ có bậc tự do hữu hạn. Các nội dung chính trong chương này gồm: Phương trình vi phân tổng quát, dao động riêng khi không lực cản, dạng chính của dao động riêng,...và nhiều nội dung liên quan khác.

CHƯƠNG 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ BẬC TỰ DO HỮU HẠN 2.1 Phương trình vi phân tổng quát: P(t) mn mk M(t) mi m2 yk (t) yn (t) yi (t) y2 (t) m1 y1 (t) (a) Xét dao động khung không trọng lượng mang khối lượng tập trung (hình a) Chịu lực kích thích thay đổi theo thời gian Bỏ qua biến dạng dọc khung, ta có tốn dao động có n bậc tự CHƯƠNG 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ BẬC TỰ DO HỮU HẠN 2.1 Phương trình vi phân tổng quát: P(t) mn mk M(t) mi m2 yk (t) Zk(t) P(t) M(t) yi (t) Ri(t) y2 (t) R2(t) Rk(t) Zi(t) Z2(t) R1(t) Z1(t) yn (t) m1 y1 (t) (a) Zn(t) Rn(t) (b) Xét thời điểm t tác dụng lực: * Lực kích thích: M(t), P(t), q(t) Zk ( t ) = -mk &y&k ( t ) * Lực quán tính: * Lực cản: Rk(t) CHƯƠNG 2: 2.1 Phương trình vi phân tổng quát: P(t) mn mk M(t) mi m2 yk (t) P(t) M(t) yi (t) Ri(t) y2 (t) R2(t) Rk(t) Zi(t) Z2(t) R1(t) Z1(t) m1 y1 (t) (a) Zk(t) yn (t) (b) Zn(t) Rn(t) dk di d2 dn Zi=1 d1 (c) Gọi dki chuyển vị khối lượng Z = tác dụng tĩnh gây ra: DkP(t) chuyển vị khối lượng mk lực kích thích gây Xem hệ đàn hồi tuyến tính, chuyển vị nhỏ: CHƯƠNG 2: 2.1 Phương trình vi phân tổng quát: P(t) mn mk M(t) mi m2 yk (t) P(t) M(t) yi (t) Ri(t) y2 (t) R2(t) Rk(t) Zi(t) Z2(t) R1(t) Z1(t) m1 y1 (t) (a) Zk(t) yn (t) (b) Zn(t) Rn(t) dk di d2 dn Zi=1 d1 (c) Phương trình chuyển vị khối lượng: yk ( t ) = d k1 [Z1 ( t ) - R1 ( t )]+ d k [Z2 ( t ) - R2 ( t )]+ + Zkn[Zn ( t ) - Rn ( t )]+ D kP ( t ); k = 1,2 ,3, ,n CHƯƠNG 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ BẬC TỰ DO HỮU HẠN 2.1 Phương trình vi phân tổng quát: yk ( t ) + d k1 [ m1 &y&1( t ) + R1 ( t )] + d k [ m2 &y&2 ( t ) + R2 ( t )] + + + d kn [ mn &y&n ( t ) + Rn ( t )] - D kP ( t ) = ; k = 1, , , n Đây phương trình vi phân tổng qt mơ tả dao động cưỡng có kể đến lực cản hệ có bậc tự n CHƯƠNG 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ BẬC TỰ DO HỮU HẠN 2.2 Dao động riêng khơng lực cản: Khơng kể đến lực kích thích lực cản Phương trình viết lại sau: m1 d k1 &y&1 ( t ) + m2 d k &y&2 ( t ) + + mn d kn &y&n ( t ) + yk ( t ) = Nghiệm tổng quát thứ k phương trình biểu thị dạng tổng nghiệm riêng: yk ( t ) = n n i i =1  yki( t ) =  yki Fi ( t ) yki : số chưa biết; Fi(t): hàm số phụ thuộc thời gian t, chưa xác định CHƯƠNG 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ BẬC TỰ DO HỮU HẠN 2.2 Dao động riêng không lực cản: Với nghiệm riêng thứ i, khối lượng ta có: y1i ( t ) = y1i Fi ( t ), y2i ( t ) = y2i Fi ( t ), , yni ( t ) = yni Fi ( t ) y1i y2i m1 yii yki yni m2 mi mk mn Điều chứng tỏ tỷ lệ chuyển vị khối lượng không phụ thuộc vào thời gian t Đường cong tạo tung độ y1i , y2i , … đường cong đàn hồi dầm dạng thứ i dao động riêng CHƯƠNG 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ BẬC TỰ DO HỮU HẠN 2.2 Dao động riêng không lực cản: Đạo hàm nghiệm riêng thứ i thay vào phương trình bản, ta thu được: ( m1d 11 - ui ) D= m1d 21 m2d 12 ( m2d 22 - ui ) m1d n1 m2 d n Trong đó: ui = mnd 1n mnd n ( mnd nn - ui ) =0 i2 Phương trình gọi phương trình tần số phương trình kỷ Giải hệ ta thu giá trị ui,Từ giá trị ta tìm tần số dao động riêng i (phổ tần số dao động riêng) CHƯƠNG 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CÓ BẬC TỰ DO HỮU HẠN 2.3 Dạng dao động riêng: Đạo hàm nghiệm riêng thứ i thay vào phương trình bản, ta thu được: && ( t ) + y F ( t ) = [ m1d k y1i + m2d k y 21 + + mnd kn yni ] F i ki i  &&i ( t ) F yki =Fi ( t ) m1d k1 y1i + m2d k y2i + + mnd kn yni Vế trái phụ thuộc vào thời gian t, vế phải phụ thuộc vào kết cấu, vị trí trị số khối lượng, nên tỷ số số -i2 && ( t ) +  F ( t ) = F i i i [ m1d k1 y1i + m2d k y21 + + mnd kn yni ] i2 - yki = CHƯƠNG 2: DAO ĐỘNG CỦA HỆ CĨ BẬC TỰ DO HỮU HẠN 2.3 Dạng dao động riêng:  Như hệ có n bậc tự ln ln tìm n giá trị tần số dao động riêng Ứng với tần số dao động riêng i có dạng dao động xác định chuyển vị y1i, y2i, …, yni khối lượng Phương trình dao động khối lượng thứ k với tần số i có dạng: yki ( t ) = yki sin( i t + i ) Phương trình dao động tổng quát khối lượng thứ k: n yk ( t ) =  yki sin(i t + i ) i =1 2.4.1 Biểu thức nội lực, chuyển vị: Do có lực cản nên sau khoảng thời gian dao động riêng hệ biến mất, hệ dao động bình ổn dao động với chu kỳ tần số lực kích thích Đại lượng Lực kích thích thứ j Phương trình dao động Pj (t ) = Poj sinq t Lực quán tính mi y i (t ) = sinq t Zi (t ) = - mi &y&i (t ) = Nội lực tiết diện k 2 q q = q mi sin t mi yi (t ) Sk(t ) = Sk sinq t Chuyển vị k lượng mi Chuyển vị tiết diện k Dk(t ) = D k sinq t Ở thời điểm, hệ chịu tác dụng lực quán tính lực kích thích đặt khối lượng Theo nguyên lý cộng tác dụng, nội lực tiết diện k bất kỳ: Sk (t ) = Sk1Z1 (t ) + Sk Z2 (t ) + + SknZn (t ) + SkP (t ) Ở trạng thái biên độ (thời điểm xảy biên độ): Sk = Sk1Z1 + Sk Z2 + + SknZn + SkP Sk1 - nội lực tiết diện thứ k lực Zi = tác dụng tĩnh vị trí khối lượng mi; Zi – biên độ lực quán tính khối lượng mi; SkP – nội lực tiết diện thứ k biên độ lực kích thích P0i tác dụng tĩnh hệ Tương tự, ta có biểu thức xác định biên độ chuyển vị động tiết diện k: Dykđ = Dđk = d k1Z1 + d k Z2 + + d knZn + D kP dki – chuyển vị đơn vị tiết diện k lực Zi = tác dụng tĩnh khối lượng mi; DkP – chuyển vị tiết diện k biên độ lực kích thích P0i tác dụng tĩnh hệ  Để áp dụng biểu thức nói ta cần phải xác định biên độ lực qn tính Zi 2.4.2 Hệ phương trình tắc để xác định biên độ lực quán tính: Khi chịu lực kích thích P(t) =Psinqt, chuyển vị khối lượng mk thời kỳ bình ổn có dạng: y k(t ) = ak sinq t Lực quán tính khối lượng mk: Zk (t ) = - mk &y&k (t ) = mkq ak sin q t = mkq yk (t )  Z k (t ) yk (t ) = mkq 2.4.2 Hệ phương trình tắc để xác định biên độ lực quán tính: Khơng kể đến lực cản, phương trình chuyển động khối lượng mk có dạng: yk (t ) = d k1Z1 (t ) + d k Z2 (t ) + + d kk Zk (t ) + + d knZn (t ) + D kP (t ) Phương trình chuyển động khối lượng thứ k: d k1Z1 + d k Z2 + + (d kk - ) Zk + + d knZn + D kP = mkq Lần lượt cho k = 1, 2, …, n ta thu hệ phương trình: 2.4.2 Hệ phương trình tắc để xác định biên độ lực quán tính: (d11 ) Z1 + d12 Z2 + + d1n Zn + D1P = 0, m1q d 21Z1 + (d 22 + + d + D = ) Z Z 0, 2 n n P m2q d n1Z1 + d n2 Z2 + + (d nn ) Zn + D nP = mnq Đây hệ phương trình chínhtheo tắc chiều để xác •Zi > 0, chiều lực quán tính hướng giảđịnh địnhbiên độ lực quán tính Zi với i = 1, 2, …, n • Zi

Ngày đăng: 10/02/2020, 11:19

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

Tài liệu liên quan