Sáng kiến kinh nghiệm Năm học: 2008 - 2009 A. lời nói đầu Qua quá trình giảng dạy môn toán THCS theo chơng trình cải cách, tôi thấy rằng: Đa số học sinh khi giải một bài toán bất đẳng thức gặp rất nhiều khó khăn. Nhất là việc định hớng để tìm ra một lời giải của bài toán bất đẳng thức rất quan trọng. Đặc biệt là đối với học sinh THCS mới bắt đầu vào giải các bài toán bất đẳng thức. Đứng trớc vấn đề đó tôi tự hỏi: Vì sao lại nh vậy? Lập một cuộc điều tra tiếp cận đối tợng, đồng thời rút kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy câu hỏi đó dần mới hiện rõ ra. Đó chính là do các em mới bắt đầu tiếp xúc về chách chứng minh bất đẳng thức, sự định hớng cách giải của các em cha có, đây cũng là công việc không quá đơn giản nhng khá quan trọng. Phần bất đẳng thức ở THCS , học sinh mới bắt đầu làm quen với phần chứng minh một số bài toán đơn giản và chủ yếu đợc giới thiệu trong các sách tham khảo. Do đó hầu hết học sinh khi làm bất đẳng thức còn rất bỡ ngỡ, không biết nên thực hiện nh thế nào. Chính vì vậy tôi muốn trao đổi cùng các bạn một số vấn đề trong rất nhiều vấn đề của phần chứng minh các bất đẳng thức đó là việc định hớng phơng pháp giải các bài toán bất đẳng thức. Với nội dung đó, tôi đã đặt tên cho đề tài: Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng. GV: Trần Công Tiến Tổ KHTN Tr ờng THCS Nghĩa Thái Tân Kỳ Nghệ An 1 Sáng kiến kinh nghiệm Năm học: 2008 - 2009 I. Mục đích nghiên cứu ở nội dung đề tài này, qua đây tôi sẽ trình bày một số phơng pháp giải các bài toán bất đẳng thức. Đồng thời định hớng cho bản thân một ph- ơng pháp dạy học đúng đắn áp dụng cho các đối tợng học sinh, nhất là học sinh khá giỏi . Giúp bạn đọc có thể định hớng và vận dụng khi giải bài toán bất đẳng thức. Bớc đầu biết cách áp dụng vào một số bài tập đơn giản có liên quan đến bất đẳng thức, góp phần vào nâng cao chất lợng dạy và học ở các trờng TH. Nhất là đối với học sinh khá giỏi. II. nhiệm vụ nghiên cứu Tìm ra một số giải pháp nhằm nâng cao hiệu quả của việc giảng dạy BĐT cho học sinh. III. khách thể nghiên cứu - Trên cơ sở tuân theo SGK chuẩn môn Toán. SBT Toán - Dựa vào một số sách tham khảo : *Bài tập nâng cao và một số chuyên đề Toán 8, 9 (Bùi Văn Tuyên). *Nâng cao và phát triển toán 8, 9. (Vũ Hữu Bình Chủ biên). *Các bài toán THCS chọn lọc. (Lê Hồng Đức). *Toán học tuổi trẻ. * 23 chuyên đề giải 1001 bài toán sơ cấp. (Nguyễn Văn Vĩnh - Chủ biên). - Đối tợng : Các em học sinh trung học. Iv. phơng pháp nghiên cứu nội dung đề tài này,tôi có sử dụng một số phơng pháp nghiên cứu sau: - Phơng pháp nghiên cứu lí luận thực tiễn . - Phơng pháp quan sát đối tợng. - Phơng pháp phỏng vấn vấn đáp. GV: Trần Công Tiến Tổ KHTN Tr ờng THCS Nghĩa Thái Tân Kỳ Nghệ An 2 Sáng kiến kinh nghiệm Năm học: 2008 - 2009 - Phơng pháp tổng kết kinh nghiệm. - Phơng pháp phân tích. - Phơng pháp tổng hợp. V. dàn ý công trình nghiên cứu A. Lời nói đầu . I. Mục đích nghiên cứu. II. Nhiệm vụ nghiên cứu. II. Khách thể nghiên cứu. III. Phơng pháp nghiên cứu. B. Nội dung . I. Các tính chất của bất đẳng thức. II. các bất đẳng thức cần nhớ. III. Các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức. IV. Các ứng dụng của bất đẳng thức V. Một số bài toán vận dụng. C. Kết luận. GV: Trần Công Tiến Tổ KHTN Tr ờng THCS Nghĩa Thái Tân Kỳ Nghệ An 3 Sáng kiến kinh nghiệm Năm học: 2008 - 2009 B. Nội dung i. các tính chất của bất đẳng thức. 1. a < b <=> b > a 2. a < b và b < c => a < c (tính chất bắc cầu) 3. a < b => a + c < b + c 4. a < b và c < d => a + c < b + d 5. Nhân hai vế bất đẳng thức cho một số dơng thì bất đẳng thức không đổi chiều. a < b; c > 0 => a.c < b.c 6. Nhân hai vế bất đẳng thức cho một số âm thì bất đẳng thức đổi chiều. a < b; c < 0 => a.c > b.c 7. Nhân từng vế hai bất đẳng thức cùng chiềub và hai vế không âm . a > b 0;0 > dc => a.c > b.d 8. Nâng lên luỹ thừa bậc nguyên dơng hai vế của bất đẳng thức a > b > 0 => a n > b n a > b > 0 <=> a n > b n với n lẻ. a > b <=> a n > b n với n chẵn. 9. So sánh hai luỹ thừa cùng cơ số với số mũ nguyên dơng: Nếu m > n > 0 thì : a > 1 => a m > a n a = 1 => a m = a n 0 < a < 1 => a m < a n 10. Lấy nghịch đảo hai vế và đổi chiều bất đẳng thức nếu hai vế cùng dấu: GV: Trần Công Tiến Tổ KHTN Tr ờng THCS Nghĩa Thái Tân Kỳ Nghệ An 4 Sáng kiến kinh nghiệm Năm học: 2008 - 2009 a > b ; a.b > 0 => ba 11 II. Các bất đẳng thức cần nhớ . * 0 2 a ; với mọi a,dấu đẳng thức xảy ra khi a = 0. * 0 a ; với mọi a,dấu đẳng thức xảy ra khi a = 0. * aa ; dấu đẳng thức xảy ra khi a 0 . * baba ++ ; dấu đẳng thức xảy ra khi a.b .0 * baba ; dấu đẳng thức xảy ra khi a.b > 0 và ba > . * abba 2 22 + ; dấu đẳng thức xảy ra khi a = b. * ab ba + 2 2 hay ( ) abba 4 2 + (bất đẳng thức Cô-si). * baba + + 411 với a > 0; b > 0. * 2 + a b b a với a, b > 0. * ( ) ( ) 2 2222 )( byaxyxba +++ (bất đẳng thức Bu-nhi-a-côp-xki) III. các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức 1. Dùng định nghĩa. Để chứng minh A > B ta xét hiệu A B và chứng minh rằng A B là số d- ơng. Ví dụ 1: Cho a, b, c là 3 số tuỳ ý chứng minh rằng: a 2 + b 2 + c 2 ab + bc + ca Giải: Xét biểu thức: M = a 2 + b 2 + c 2 - (ab + bc + ca) Suy ra 2M = 2 a 2 + 2b 2 + 2c 2 - 2 ab - 2bc - 2 ca = (a 2 - 2ab + b 2 ) + (b 2 - 2bc + c 2 ) + (c 2 - 2ca + a 2 ) GV: Trần Công Tiến Tổ KHTN Tr ờng THCS Nghĩa Thái Tân Kỳ Nghệ An 5 Sáng kiến kinh nghiệm Năm học: 2008 - 2009 = (a - b) 2 + (b - c) 2 + (c - a) 2 Vì: (a - b) 2 0 (b - c) 2 0 (c - a) 2 0 Do đó (a - b) 2 + (b - c) 2 + (c - a) 2 0 Suy ra 2 a 2 + 2b 2 + 2c 2 - 2 ab - 2bc - 2 ca 0 hay a 2 + b 2 + c 2 - (ab + bc + ca) 0 Vậy: a 2 + b 2 + c 2 ab + bc + ca. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c Ví dụ 2 : Chứng minh các bất đẳng thức : a. 2 1 + x x với x > 0. b. baba + + 411 với a > 0; b > 0. Giải : a. Xét hiệu : ( ) 0 121 2 1 2 2 = + =+ x x x xx x x (vì (x-1) 2 0;0 > x ). b. Xét hiệu : ( ) )( 2 )( 4)(411 22 baab baba baab abbaabab baba + + = + +++ = + + 0 )( )( 2 + = baab ba ; vì a,b > 0. Ví dụ 3 : Cho a, b, c là 3 số tuỳ ý chứng minh rằng: a 2 + b 2 + c 2 + 3 4 a + b + c Giải: Xét biểu thức: N = a 2 + b 2 + c 2 + 3 4 - (a + b + c) = (a 2 - a + 1 4 ) + (b 2 - b + 1 4 ) + (c 2 - c + 1 4 ) GV: Trần Công Tiến Tổ KHTN Tr ờng THCS Nghĩa Thái Tân Kỳ Nghệ An 6 Sáng kiến kinh nghiệm Năm học: 2008 - 2009 = (a - 1 2 ) 2 + (a - 1 2 ) 2 + (c - 1 2 ) 2 Vì (a - 1 2 ) 2 0; (a - 1 2 ) 2 0; (c - 1 2 ) 2 0. Do đó (a - 1 2 ) 2 + (a - 1 2 ) 2 + (c 1 2 ) 2 0 Suy ra a 2 + b 2 + c 2 + 3 4 - (a + b + c) 0 a 2 + b 2 + c 2 + 3 4 a + b + c Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1 2 2. Dùng các phép biến đổi t ơng đ ơng Ví dụ 1 : Cho các số dơng a và b thoả mãn điều kiện: a + b = 1 Chứng minh rằng : 9 1 1 1 1 + + ba . Giải : Ta có : 9 1 1 1 1 + + ba (1) <=> abbaab b b a a 919 1 . 1 +++<=> ++ (vì ab > 0) <=> ababba 8281 <=>++ (vì a + b = 1) <=> abbaab 4)(41 2 +<=> (vì a + b = 1) <=>(a b) 2 0 (2) Bất đẳng thức (2) đúng, mà cá phép biến đổi trên tơng đơng, vậy bất đẳng thức (1) đợc chứng minh. Ví dụ 2 : Chứng minh bất đẳng thức : a. . 3344 abbaba ++ b. . 222 cabcabcba ++++ GV: Trần Công Tiến Tổ KHTN Tr ờng THCS Nghĩa Thái Tân Kỳ Nghệ An 7 Sáng kiến kinh nghiệm Năm học: 2008 - 2009 Giải: a. 0)()( 34343344 +<=>++ abbbaaabbaba ( ) ( ) ( ) ( ) 00 3333 <=>+<=> babaabbbaa ( ) 0)( 222 ++<=> bababa ( ) 0 4 3 2 2 2 2 + +<=> bb aba Bất đẳng thức cuối đúng; suy ra : . 3344 abbaba ++ b. <=>++++ cabcabcba 222 cabcabcba 222222 222 ++++ ( ) ( ) ( ) 0222 222222 +++++<=> acaccbcbbaba ( ) ( ) ( ) 0 222 ++<=> accbba Bất đẳng thức cuối đúng; suy ra : . 222 cabcabcba ++++ Ví dụ 3 : Chứng minh các bất đẳng thức : a. baabba ++++ 1 22 với mọi số thực a, b b. 4 2 ab ba ab + với a > 0; b > 0. Giải: a. baabba ++++ 1 22 baabba 222222 22 ++++ ( ) ( ) ( ) 012122 2222 +++++<=> bbaaabba ( ) ( ) ( ) 011 222 ++<=> baba Bất đẳng thức cuối đúng; suy ra : baabba ++++ 1 22 với mọi số thực a, b. b.Vì : 0 4 > ab nên : 1 22 4 4 + <=> + ba ab ab ba ab 022 44 +<=>+<=> bababaab ( ) 0 2 44 <=> ba Bất đẳng thức cuối đúng; suy ra : 4 2 ab ba ab + . Ví dụ 4: Cho a và b là hai số cùng dấu: GV: Trần Công Tiến Tổ KHTN Tr ờng THCS Nghĩa Thái Tân Kỳ Nghệ An 8 Sáng kiến kinh nghiệm Năm học: 2008 - 2009 Chứng minh rằng: a b 2 b a + Giải Giả sử: a b 2 b a + (1) a 2 + b 2 2ab (vì a và b cùng dấu nên ab > 0) a 2 + b 2 - 2ab 0 (a - b) 2 0 (2) Vì BĐT (2) là BĐT đúng . Mặt khác các phép biến đổi trên là tơng đơng nên BĐT (1) là BĐT đúng. Vậy a b 2 b a + (với a và b cùng dấu) Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b. 3. dùng các tính chất của bất đẳng thức Ví dụ 1 : Cho a+ b > 1. Chứng minh : a 4 +b 4 > 8 1 . Giải: Ta có a + b > 1 > 0 (1) Bình phơng hai vế : (a + b) 2 > 1 => a 2 + 2ab + b 2 > 1 (2) Mặt khác : (a - b) 2 0 => a 2 - 2ab + b 2 0 (3) Cộng từng vế của (2) và (3): 2(a 2 - b 2 ) > 1 => a 2 + b 2 > 2 1 (4) Bình phơng hai vế của (4) : a 4 + 2a 2 b 2 + b 4 > 4 1 (5) Mặt khác : (a 2 - b 2 ) 2 0 => a 4 - 2a 2 b 2 + b 4 0 (6) Cộng từng vế của (5) và (6): 2(a 4 + b 4 ) > 4 1 => a 4 + b 4 > 8 1 . Ví dụ 2 : Chứng minh bất đẳng thức : c a a b b c a c c b b a ++++ 2 2 2 2 2 2 Giải: GV: Trần Công Tiến Tổ KHTN Tr ờng THCS Nghĩa Thái Tân Kỳ Nghệ An 9 Sáng kiến kinh nghiệm Năm học: 2008 - 2009 áp dụng bất đẳng thức xyyx 2 22 + (xảy ra đẳng thức khi x = y). c a c b b a c b b a .2 2 2 2 2 2 =+ Tơng tự : a b a c c b .2 2 2 2 2 + b c a c b a .2 2 2 2 2 + Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên : => ++ ++ b c a b c a a c c b b a 22 2 2 2 2 2 2 c a a b b c a c c b b a ++++ 2 2 2 2 2 2 Ví dụ 3: Cho x và y là các số thực. Chứng minh rằng: x y x y+ + Giải: Giả sử x y x y+ + (1) ( ) 2 x y+ ( ) 2 x y+ 2 2 2 2 x 2 xy y x 2xy y+ + + + xy xy (2) Vì BĐT (2) là một BĐT đúng nên BĐT (1) là BĐT đúng Vậy : x y x y+ + Dấu"=" xảy ra khi và chỉ khi xy 0 Ví dụ 4: Cho a và b là hai số không âm . Chứng minh rằng: a b ab 2 + Giải Giả sử a b ab 2 + (1) a + b 2 ab a b 2 ab 0+ GV: Trần Công Tiến Tổ KHTN Tr ờng THCS Nghĩa Thái Tân Kỳ Nghệ An 10 [...]... xảy ra khi và chỉ khi x = -1 mà Vế phải = 4 2x x 2 = ( x + 1) + 5 5 Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x= -1 2 Vậy phơng trình có nghiệm x = -1 3- Dùng để chứng minh phơng trình bậc hai có nhiệm, có hai nghiệm phân biệt Ví dụ 1: Cho phơng trình: x2 + 2mx + (m - 1) = 0 với m là tham số Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt Giải: Ta có :' = m2 - (m - 1) = m2 - m + 1 2 1 3 = m ữ +... Tân Kỳ Nghệ An 24 Sáng kiến kinh nghiệm Năm học: 2008 - 2009 Ví dụ 2 Cho a, b, c là ba số khác không Chứng minh rằng: trong ba phơng trình sau: ax2 + 2bx + c = 0 (1) bx2 + 2cx + a = 0 (2) cx2 + 2ax + b = 0 (3) Có ít nhất một phơng trình có nghiệm Giải: Ta có 1' = b2 - ac; 2' = c2 - ab ; 3' = a2 - bc Suy ra: 1' + 2' + 3' = a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca a b) =( 2 + ( b c) + ( c a ) 0 2 2 2 Từ đó suy... học: 2008 - 2009 ( a b)2 0 (2) Vì BĐT (2) là BĐT đúng nên BĐT (1) là BĐT đúng Vậy: a+b ab với a 0 và b 0 2 Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b 4 phơng pháp phản chứng * Cấu trúc của phơng pháp - Giả sử xảy ra mệnh đề trái với yêu cầu cần chứng minh - Chứng tỏ điều giả sử đó là sai (tức là mâu thuẫn với kiến thức nào đó đã biết) - Kết luận yêu cầu cần chứng minh là đúng Ví dụ 1 : Cho a2 - b2 2... Trần Công Tiến Tổ KHTN Trờng THCS Nghĩa Thái Tân Kỳ Nghệ An 23 Sáng kiến kinh nghiệm Năm học: 2008 - 2009 2- Dùng để giải phơng trình: Ví dụ 1 Giải phơng trình: x 5 + x 2 = 3 Giải áp dụng BĐT x + y x + y Ta có x 5 + x 2 = x 5 + 2 x x 5 + 2 x = 3 Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi (x - 5)(2 -x) 0 hay 2 x 5 Vậy phơng trình có nghiệm với mọi x thoả mãn 2 x 5 Ví dụ 2: Giải phơng trình: 3x... Công Tiến Tổ KHTN Trờng THCS Nghĩa Thái Tân Kỳ Nghệ An 20 Sáng kiến kinh nghiệm Năm học: 2008 - 2009 i Bất đẳng thức Becnuli Nếu a > -1 , thì với mọi số tự nhiên n ta có : (1 + a ) n 1 + na Dấu đẳng thức chỉ xảy ra khi: hoặc a = 0 hoặc n = 0 hoặc n = 1 ii Bất đẳng thức Becnuli mở rộng : Giả sử a > -1 với mọi số thực 1 ta có : (1 + a ) 1 + a Dấu đẳng thức chỉ xảy ra khi: hoặc a = 0 hoặc = 1... a2 an Hoặc b1 b2 bn a1 a2 an hoặc b1 b2 bn thì ta có: a1b1 + a 2 b2 + + a n bn a1 + a 2 + + a n b1 + b2 + + bn n n n Dấu bằng xảy ra khi có một dãy dừng, tức là: -hoặc a1 = a 2 = = a n -hoặc b1 = b2 = = bn Ví dụ 1: Cho a, b, c là ba số dơng Chứng minh rằng : a b c 3 + + b+c c+a a+b 2 Giải: Đặt S = a + b + c, ta cần chứng minh : a b c 3 + + S a S b S c 2 Vai trò của... đến kết quả : 4 3 4 a, b, c 0 3 Phối hợp giữa a/ và b/ ta có : GV: Trần Công Tiến Tổ KHTN Trờng THCS Nghĩa Thái Tân Kỳ Nghệ An 16 Sáng kiến kinh nghiệm Năm học: 2008 - 2009 4 4 a, b, c (đpcm) 3 3 8 Bất đẳng thức Cô-si a, Bất đẳng thức áp dụng với hai số không âm : a +b ab ; 2 dấu đẳng thức xảy ra khi a = b b, Bất đẳng thức áp dụng với ba số không âm : a +b+c 3 abc ; 3 , b 0 a , b, c... Becnuli ta có : n k nk > 2( n > b ) đpcm 1 + > 1 + b b iii các ứng dụng của bất đắng thức GV: Trần Công Tiến Tổ KHTN Trờng THCS Nghĩa Thái Tân Kỳ Nghệ An 21 Sáng kiến kinh nghiệm Năm học: 2008 - 2009 1- Dùng để tìm GTLN, GTNN Ví dụ 1 Cho a , b, c là 3 số dơng có tổng bằng 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A= a +1 + b +1 + c +1 Giải: *Cách 1: Dùng BĐT Bunhiacôpxki Ta có A2 = ( ) a + 1 + b + 1... hoặc thì ta có: 3 3 3 A B C A B C Dấu đẳng thức chỉ xảy ra khi : a = b = c hoặc A = B =C GV: Trần Công Tiến Tổ KHTN Trờng THCS Nghĩa Thái Tân Kỳ Nghệ An 19 Sáng kiến kinh nghiệm Năm học: 2008 - 2009 c, Cho hai dãy số n số : ( a1 ; a 2 ; ; a n ) và (b 1; b2 ; ; bn ) i, Nếu cả hai dãy số đều là tăng hoặc đều giảm tức là : Hoặc a1 a2 an b1 b2 bn hoặc a1 a2 an b1 b2 bn thì... và (2) suy ra : Tơng tự ta có : a a a+c < < a+b+c a+b a+b+c b b b+a < < b+c+a b+c b+c+a (3) (4) GV: Trần Công Tiến Tổ KHTN Trờng THCS Nghĩa Thái Tân Kỳ Nghệ An Sáng kiến kinh nghiệm Năm học: 2008 - 2009 c c c+b < < c+a+b a+c c+a+b 13 (5) Cộng vế với vế của (3), (4), (5) ta có : 1< a b c + + . nghiệm Năm học: 2008 - 2009 = (a - b) 2 + (b - c) 2 + (c - a) 2 Vì: (a - b) 2 0 (b - c) 2 0 (c - a) 2 0 Do đó (a - b) 2 + (b - c) 2 + (c - a) 2 0 Suy ra. học: 2008 - 2009 = (a - 1 2 ) 2 + (a - 1 2 ) 2 + (c - 1 2 ) 2 Vì (a - 1 2 ) 2 0; (a - 1 2 ) 2 0; (c - 1 2 ) 2 0. Do đó (a - 1 2 ) 2 + (a - 1 2 ) 2 +