ĐẠI HỌC VINH Trung tâm TT - TV 516 NQ 17b/ 00 Ỉ N HỮU QUANG - TRƯƠNG ĐỨC H Ì N H MV.064907 BÀI TẬP HÌNH HỌC XA ẢNH DÙNG CHO SINH VIÊN CÁC TRƯỜNG ĐAI HOC VÀ CAO ĐANG s PHẠM MV.064907 ; XUẤT BẢN GIÁO DỤC - 2000 L Ờ I NÓI ĐẦU iỉinh học xạ ảnh m ù n h ọ c q u a n trọng Irong c h n g trình h ọ c trường Đ H S P n g n h T o n C Đ S P nạàiili T o n - L ý Đ ể lạo d i ê u k i ệ n Ihuân lợi cho sinh viên việc h ọ c tạp m n học này, cluing l o i biCn soạn CHOI! s c h Dài tập hĩnh học xạ ánh C u ố n s c h g ô m hai p h n : P h n ( h ú I i l i i t d n h cho v i ệ c l ú m c;ic kiêu i h ũ c t r o n g c c m ụ c v c c - d ề t o n l n g mục: P h n I l i ứ lini viỌc t r ì n h bày c c l i giãi h o ặ c h n g d n g i ã i c c d ẩ l o n C c l e m l ắ t lý thuyết c c d ể t r n dược t r ì n h b y t r o n g c u ố n s c h chù V C U dựa v o nội dung c c giàiiE mà c h ú n g loi dã E Ì i i e 'Jay cho sinh viên n g n h T o n t r n g ĐI 1SP V i n h C c d ể t o n cStic n h lùi g i ã i d t r c đ n h Khi đùne CUỐÍT M"> l i ê n g llieo UII1E mục s c h n y s i n h v i ê n n é n ụ: mini) Tun lòi l i Ẹ ĩ i l ó i sau lió J ỉ i c l i i i u v i c c Ì tít giãi l n g t i n ẹ ứ p i i ổ n InrúỉiE d ã n • l ú n g lôi hy v ọ n g r ằ m ; c u ố n s c h n y c ó n h ũ n g b õ í c h (lối vói sinh viên n g n h T o n ó c c l i u n g D I !SP c c sinh v i ê n T o n - i v ti c;ic l i i i i m c CDSP M ặ c dù d ã c ó n h i ê u c ó g ấ n e l i o n e k h i biên s o n , n h u n g c u ố n s c h k h ô n g Ìránli khỏi ihiếu s ó t C h ú n e l ỏ i luông nhọn tlưuc p ó p ý d ị i i e np.liiỄ i hạn d ọ c d ể c u ố n sácii citrực hoàn thiện Uoiiẹ liiu iu sau X i n châu thành cám ƯU C c t c sin rác I T Ó M T Á T L Ý T H U Y Ế T VÀ Đít B À I T Ậ P PHẤN ị ĩ KHÔNG ( Ĩ A N XẠ ẢNH I n ký h i ệ u V : 1 | UỊ|) l i ợ p IÁI c c c k h ô n g gian v e c l I - c h i ê u c ù a m o t im gian vccitj ikưc ( l i + ) chiều V Víộ( tạp I r i ệ (lược g ọ i l khặiiiỊ s o n g n u l l p: p —> V n t l l + | In l i m dược (ỊÌan sạ ánh li - chilli í ' Va k ý h i ệ u k h ô n g g i i i n x ụ n h l i - c h i ể u ị',, g ọ i v „ i p i i i l n l ầ c ù n P d i r ợ c g ọ i \h mật n + n e n c ù a p^ điểm V í d ụ : p l l p h ụ p l ủ i c c c (.lường t h ầ n e '.li t|iia m ộ i đ i ể m t r o n g k h ỏ i ! ị li E ( h ò n g t h n g K h i t l ó p In p , Chúng £ m i n h : G i sứ d n g l i n i n g a s p, ã ià v e c i c h ỉ p h n g c ủ a ;i J E ) T a k ý l i i ệ n < ã > [à k h ô n g c h i u v e c i Ì - c h i ê u s i n h h ỏ i ã p ->• Ẽ P : XĨI a H Ì ' Rõ r m : ị ) m ò i s o n g n h Vậy p « p Bài t p x ) | X ; R Ị la k ý h i ê n X - y t i ế u v c h i n é n l ổ n l ụ i 1.1 C h o R " = { \ ( x , = , s a o c h o X = ky ( d y X, y e R " ) K ý hiệu | x | = í y | y ~ x } p = { | x | | x e R " X F ( ) | V* ! lây x â y (lựng I ' Ịhiinii k l i õ i m gian xụ linh t u -í I - •.inéti í (.'ho i = li ì./' í; (Ví áíìv ĩị ỉ 11 Tỉ í phân!! Iliủng Iliườim Ẽ " ! : :')iiạ g i i i n v e c m g m c; c v c c l n o n e iiiíU p h a n g ; ( J h i i i i y m i n h p = I N 1.3 C l i n s lít m ộ t s i ê u C À U H r t t i g k h ổ n g g i u n O c í i i l i - c h i ề u E" Cìoi p = j ( A ' / ị A , À " IÌI c c đ i ể m x u y ê n (Am đ ố i c ủ a S ) O i l i n g ĩ í i i n l i p = p„ ị Ì G i sứ V í a d n g Hòn Irone E \ H ã y l m c h o Vua 1.5 G i sầ I l m ộ i đ i ế m cố (.lịnh t r o n g E l l i n l i P| p !à t p h ợ p tilt c c c p h é p » ì •» (lời loại I R* nhạn I làm cliỏni kép O i ứ n e min!) mím I ' = f'| ỉ / ỉ G i o p ì Ti lộp hợp c c dưừim lining cỉniịỊ (li Ị, h-v 1>0,C(C|, C i , c,) C h ú n g chi le ỉ Ì ĩ d i lum - ' I a , I 3.3 Trong („) = A C có đ i ể m m m i i lằng a, b, c \ \ cha X íil), li = AD l c mục X ne ĩ a b,ị h j Ì" • c liêu l = + c J ' ' I ! u r va (lút cun A , ' liáiìg niiau, c h ú n g tiêu k h c A , ' * A , theo già thiết ùo dó c ó thè ấv Imi ton d ị Áy in số Ì ) , c ó t h ẻ v i ế t A ' | = ' - a, b + c, b -r c) * Vì À", nén d ổ i cục cua A', ch inh d n g thang a A ' , N h vạy dườne lli.ing u A ' , (xem d ố i cực cùa A ' j c ó p h n g trình c "0 [- a b+c b+cị !> liny a a x 2 a A ' , = [(b + ) , Ạ , :ic ] L ọ i c ó A J A , = [ 1, 0 ] Dcpdó a A ' , n A A j = a = (0, c, - b H o n toán t n e l , ta có ' p_= ( - c o n ) Y = ('o, - ) Cuối CUII^, c - c '> /) - M Ị -a Ị = abc - = 0 ị • nên đ i ể m a (3, V c ù n g nằm clưừiia thằng * C c h giãi thứ hai: Ký h i ệ u B, = A,E-;r> A' A' , B, = A , E n A,1A'|, n, = A , E r> Á ' , A ' j Á p dung d i n h lý Paxcan vào cịuic s ĩ lì i ill ú cạnh A , / V - A ^ v , A , ' / \ , la suy B, 3,, a thằn? h n g T n g tự ta suv c B lliẳtia h n s , v B | , D,, V tliằne h n g BAy g i p dụng dịnii lý Đừclác d ố i với hai lam giác n , B B , v A , A , A , ta suy a (3, y thang h n g 11.9 ( X e m hình 26) ký hiệu M = A n n D E M ' - Cũn F A p = CF n P' = DC r\ ER, N = FC n ED, N ' = Á P n BE l i = PM r> P'M' I = NP o K = MN n BÁ NT' iVI'N' Hình ố cạnii A B C D E F c o ciướnạ lliầìiạ Paxcan M ' M ' Hình cạnh A D C F E B có dướng Ihmie Paxcnn PP" Hình cạnh A F C B E D có đướng litẳne Paxcan tị N N ' Đ ê chứng lò đ n g lliniig M M ' PP', NN" (.lổng qui la chứng minh diêm l i , Ì, K lliẩiig hhng (dựa theo dinh lý Đèĩdác p dụna \ ' j hai lam giác MNP M'N'P*) T h í n h n g d i ề u dã rõ x é t hình c r n h A F C D E B ta thấy đ n g t l ì n n g P a x c a n cùn hình c h í n h dướng Ihang chứa cà điểm H í, K - 63 E v " ị) M ì linh 2Ồ l i I U * C c h g i ã i thú nhai: D ù n g m ị h ì n h xạ ó I ill m ậ t phang a f i n d ể c h u v ẻ n b i lồn a fill ciio thành tốn x n h r ỏ i p d ụ n g lãn d i n h lý Paxcan * C c h giãi t h ú hai: C ó lliể IIỰG tiếp giãi bơi lồn lúi li đ ã cho tịng c c h đưa hồ tọa đ ộ afin v o d ế tính t o n ; 11.11 Hái m h ì n h xạ null c ù a mặt phang n f i n , k h í d ó b i l o n a f i n cho [tò thành [ o n x ảnh sau day: ' T r o n g m t nliẢng x ả n h cho conic s vã giường thẳng c t s hai đ i ể m I, ỉ T i ế p t u y ế n v i s t i ì J a p; hai l i ế p tuyế n n y c t đ i ế m o G ọ i M N hai đ i ể m s mà k h c v i I J T i ế p l u y ế n v i s l i M (heo thợ l ự chia tuyến vói s l i N theo l i m tự cát (X p c tliẻm A D vã DC n ằ m trẽ n (J A T i ế p D C l u i n g m i n h ráng giao u." Giãi t o n xạ n h n y niur san: Á p i l ụ n g d i n h lý Briđngsỏne v o h ì n h ó d i n h A B J D C I ta k ế t luân IĂng, A U , BC.', u d n g qui m ọ i đ i ể m Đ i ể n liny c h ữ n g tò r n g giao đ i ể m •tin A D ne n m H è n u 11.12 a) * C c h giai thợ nhất: C h ù m { B , no} c h ù m { B , DQ} Ẵ c h ũ m { T \ PQ} Ẵ chùm {P, PR} Ẵ c l ù i m { A A R Ị c h ù m { A , A D ) N h c h ù m { B , B D } liên h ệ x ánh vói r chùm {A, ADỊ Cũng ( l ẻ k i ể m Im thay r n g ( l u ô n ? ( h n g f , c ù a c h ù m thợ n h ấ t { A , A D Ị ợng với d u ò n g thẳng BA c ù a c h ù m t h ợ hai { B , B D Ị dường 64 (hàng A B cùa chùm l i m Iiliát : { A , A D } úng vái clirùiie lli: m« f j cù I chùm t hú lini { B, ŨD} v y (heo đ ị n h lý Steine q u ỹ lích cùn đ i ể m D cliíiili „,0t c l ) j c qua c tiếp xúc với c, vít ? theo thú lự lại A B * Cách giai thứ h a i : Chọn m ụ c liêu lọn độ { p , A , 3; C ) Tính lồn dãn đến pimơng Irluii qui lích tị / Tliực phép d õ i lọn d ọ xạ null ihco công thức Ị- ị X| = y.1 - ý H=.h±y> phương t rình q u ĩ l í c h t r tháu!; i l n í • y p ỹ ỉ - v ự o : •• Điền chững tị q u ĩ lích mọt C Ỏ D Ì C s bang phương pháp lọn õọ H ỗ dàng k i ể m tra thay d i ê m C e s , cịn r", í, (heo Hui lự giao với s điểm kép A s (nghĩa s liếp xúc vói í, lại A liếp xúc vói f j 3) " Cách aiài thứ ba: Hình cạnh A A C B B D (ậ tlAy xem A A f,, Ĩ3B = f ) có giao điểm cún : cạnh d ố i diện í?, ọ R tiinns hàne Do (heo d i n h lý Pa.xcan tỉ l ổ m ũ nam trêu cònic S xúc ciịnli bói "5 điểm" A A c 3: diều nàv -fins nói s d i qua c liếp xúc vùi í, vá í , lương line lại A B Đào lại sir d ụ n g dinh lý Paxcan thuận la ne m i n h (.lược rails' mõi diêm thuộc cõnic s dó tiểu m ộ t đ i ể m cùa q u ĩ tích b) K í hiệu m ã i phang xạ ánh dang xét Pj Xét m ị hình é-]-, - \ \ \ A B cua tnạt nhằng n rin T r o n g m ỏ hình này, cơnic nói Irons; C À U n) Ì rỡ thành i i v j » : b o l ir.il p I ill li c, L l i ệ m cọn: c ọ DR I rò thành đ ậ i * thăng song sung vói í,; CI? D Ọ n ị thành dưậng thẳng song song vói ,H !Jo dó k h i cho đưậng t i ệ m CỘ11 í , , Cj m ộ i đ i ể m c cùa h ỵ n » ' * , C C thể dựng m ộ i đ i ể m bất k ỳ D Hen n õ iciựa thao C M C dưậng i l i n i ! ( > sau: ; i c h c Qua đ i ể m c dựng m t l / / Ễ - " ' * « -' " v h c , ậ n g " "' ^ / ' r L r f l u t a d ự i l s y Q s d „ R = l í , rì PQ (trong dó p = í, n f j ) Qua Q (lụng dưậng a»i»s r ' b song với f j Qua R dựng dưậng thẳng song song vói r, Giao diêm D cùa dưậng thẳng vira ciựng m ộ t đ i ể m cùn liyperbol 11.13 a) Ta có ni ni í nụ nụ' ị ' " ì ' * £-'»! />;,=-*./«-, Các pinion" li inh ( I ) chung lò ánh xạ / lã ánh xạ ,*ạ Anh Chính ( ì ) - C U Ị T cho Ja iiứv ngny lính chát dơi Họp c u ars'.'-s b) iianglTirr A'íứÌỊo (M* V(tìwi>càu a) Do dó Chùm { A , Ầ > i Ị ^ chùm { A j , A , M ' } Ẫ chùm {te, E M ' } NI,./ vạy, chùm {A„ A , M ) à ai-.ùiíi ( Ẹ , EM* } Đả dàng kiểm ĩra thấy l a n g '.long l i ê u n ệ Xạ ÚI n v ú u ò n g thảng A j E rỉồì hai t â m c ù a h a i c h ù m lì khơng tự ứng Do dó, Iheo dinh lý Steine quỹ tích điểm p = A j M n E M " ìn mút cịnic Bay In lạp phương trình cùa quỹ tích đái vói mục liêu •" { A | , Ai, A-,;E} Trược hết, lính lồn thấy A,M = [in,, - in,, 0], E M ' = [ni',, - m'j, m', - i n ' , ] Ký hiệu loa dỏ cùa p ( x , , X i , X j ) Vì p = A , M n E M ' nén tính dược loa ilộ cua Ì* Ì' - (iii|(m'| - m'j), m â m ' , - ni',), m m\ - m m', ) t : Do dó X, : X , : Xi = 111,(111', - in!,) : iiVjlm'i - in Ị) : (m,m', - m,m I J Nói cách kíĩ.íc, ta cá: •Ti M I — =— WÍJ _ '"t('"'i Xi Ị í , Hì, M ri) ) ,-num'Ị !li:iy lim thc-ụi r , r r - r ^ , ;a j.vao~t.n rói gián líóc la li: li dược C: h Từ Ú i (4) suy v " í + x,x, + x,x =0 Đay In 1'lurơng irình cùa q u ỹ tích 11.1-4 * Các!) giai Hui nhít: 66 - T h u ậ n H ì n h c n h A B B M _ c c ò g i a o đ i ể m c ũ n Tì c ậ p c n h d ố i clitỊn In p, D , Q Da đ i ể m n y t h ả n g h n Ị ( v ì c ù n ? lluiỌc (.lường I h i H í i ĩ í } ) D o (.ló d i n h c ù a I i ì i i h c n h n y c i i n g ti m ó c m ộ t c í i i c ( t h e o d i n h l ý 1'axcan l i n o ) T h ế m A , B B c Đào c x o c l ị n l i CÔI i c s V y đ i ể m M e S (.Dua v o d i n h l ý P n y ; m i i h u ộ i i (lê c h ứ n g m i n h ) * Cách giãi lliứ hai: Giùm chùm ị ũ O M } c l i í i m Ị B, B O } Ả c h ù m Ị D D Ọ } a c h ù m ị D D í ' Ị Ẫ { C , CP ị = c h ũ m [ C , O I Ị N h v y c h ù m { n B M Ị l i ê n h ệ xạ n u l l v ó i c h ù m { C , C M } t r o n g m ộ t liCn h ặ xọ ' m i l / K h i M l i ế n l ó i c ỉ 111 U M h ù n g v ó i C M In liếp l u v ế n l i c i i Ị ĩ i i I a Lì f(UQ n e rún - C D Đ i ê n I1.ÌV chúnặ lị rnne Hèn hệ xạ - i n h / k h õ i i ặ p h i p h ổ i c n h D o d ó , ( h e o ( l ị n h l ý S l e i n e Ị l i ì q u ĩ i ích c ủ a M Ri ti l ó t C O U ' C S' r_Ị ĩ q t i n í? '•;> c n e n c iã c ó / ( B Q = C D T h e o k i ể u Iiíone l ự ta s u y in l ầ n ẹ / ' ( C D ) = B D Như v y c ỏ n i c S" t i ế p x ú c v i B D C D l l i e o t h ứ tự t i ũ v c M i k h c k h i ủ qun A t h ì đ i ể m ivl ( l ù n g v i đ i ể m A , nghĩa S' d i q u a A T ó m l i S' '.lùng v ó i s V y q u ĩ t í cl i c ủ a ỈA c h í n h s 1 ( X e m h ì n h ) K í h i ệ n c , = n r > b , , C,Ị = n , r \ b, ì In ì l a m ác A B C , v A ; B , C j - c ó A Ạ , D C C , d n g q u i l i d i e m S D o c ĩó, t h e o d i n h l ý Đờcinc c c s i a o d i ê m (Ví N Ì C l i n ĩ c ă n canh t i i e ứ n a c ú n h n i l u m g i c d ó i l i ã n a i i i i R T I tế m ! = A , B À [ Ị , " l i c i ị n i i V í l y cltrữna i h n n g M N d i q u a điềm c ố d i n h ! Quí A,B,C, ý: - Thay c h o c ặ p t a m giác Ặ v A , B C ỉa c ó ( h ể sử d u n g e : cr.p t a m giác M A A j N B , B - K h i x é t m ị h ì n h (ĩ) Theo diều k i ệ n a , t i l l M ' lliuộc tiế p tuvế n cùa crtnic [ạt A M t k h c , o M " cạp đ i ể m -liên hợp với d ố i v i c ị n i c limin xét (vì cực đ i ể m cùa A d ố i với c ò n i c n y ) D o d ó A O In i l ổ i cực cùa M ' clrt'i vói crtnic Áy v y ( H C M M " ) = - I MỘI c c h lircỉtig l ự la c ó (CANN") = (ABI'1'') = - I • V i ệ c cluing minh | i ) =3 a ) , kliỏng c ó k h ó k h ă n 72 TÀI LIÊU T H A M V í u N h C ỡ n g , K i ê u H u y L u â n Hình KHẢO học CHÍ)Híp T i n o Đ ú c n i n h , N g u y ễ n M ô n g H v ơrìt" lập hình N X B G D 1976 học ran r in, ĐHSP DHSP Vinh Vinh 1981 Tn.rơ!!iỊ Đ ú c ninh, THÍM Đ ì n h V i ệ n Hình ỉ983 học cao _ t Đ o n Q u ỳ n h V ă n N H Ư C u n e - l o n ? X u f l n S í n h Đai ninh học, tạp 4, N X B G D rìu, - MÍ tuyn li linh 1989 T r n g Đ ứ c H ì n h , H V ã n Son 3âi hip hình học sạ tình ĐI1SP V ĩ n h 1989 G P n p e l i e r Exercices V T Baciưie ;9SC de ci>ĩétrie.iiư)(ỉcriie, \horniúk (iatứich pn P a r i s , 1947 oeametrji (tiếng Nga), M o x k v a MỤC L Ụ C Tráng ("lán \l §ì- ỉ T o m VÁI lý thu vết (lể b i t ậ p ọ •> K h ô n g gian t n h M ụ c liêu toa d xạ ảnh ì §3 CVc m - pining xạ n h §4 T ý số k ộ p (52 (Đ5 ã LếI N ề I Đ Ầ U A n h x xạ ánh vá b i ế n d õ i xạ n h Ì §6.- N g u y ê n («ic d ố i n g ă n 13 §7 Siêu m t bộc hai 15 §8 C c n h xạ xạ ảnh c c lihng đ i ể m c c đ n g t h n g mật p h n g xạ n h chùm 17 (§9 Đinh lý Paxcati Đổnh lý B r i ă n g s ỏ n g 2! f M ỗ hình xạ ánh cùa mỉu phảng a f i n —' M ộ t sổ [oán n tạp 26 v §IO §11 Phán l i M u ô n g (lần yiái c c b i t p J K h n g gian xạ ánh - -ì §1§2 M ụ c liêu loa i l ộ xạ ảnh ĩ '1 §3 C c in - p h n g xạ n h 26 §4 T ý số k é p 41 §5 A n i l xạ xạ null biến d ổ i xa n h -13 ÔC>- N g u y ê n lác đ ố i ~ §7." §8- ••- IIII Siêu mạt bạc hai 48 c.íc ánh xạ xạ ảnh giãn c c ' l n g đ i ể m c c dường lliÀng mát p h n g xạ anh chùm 51 Đổnh iý Paxcnn Đổnh lý B i i í M g s ỏ n g 54 §10 M hình xạ ảnh cún mặt p h n g n f i n 30 §11 M ộ t số toái) n tạp 59 TÀI LIỆU T H A M 73 §9 KHẢO Đ Ế T H I H Ọ C P H A N H Ì N H H Ọ C X Ạ ÁiNH C c l p 40A - K h o a T o n ( L ầ n chi t h Ì - T h ò i ỹ a n l m 90 p h ú t ) l ẩ u ĩ Trong k h ô n g gian p v i mục tiêu (lã chọn cho đ i ế m 4(2.0.1), cụ,2,0), £>(õ,i0.3) a) C h ứ n g m i n h r ằ n g ịA,B,C; D} mục tiêu b) V i ế t p h n g t r ì n h p h é p x ànli f : Pĩ — Pĩ biết A >— 0, D D Á b) T ì m đ i ể m k é p c ù a / ?âu Ụ Trong k h ô n g gian Pĩ rcrrinụcn.Tẻa đ ĩ chọn; ó\o'S - 'Hy -r 2yz - Cho ỵ\ : X — y = Hãv t ì m í''? lì có p h n g t r ì n h mo.2 c í) Ì— c í* -r ÌJ - bì Cho V ' ( l , , ) V i ế t p h n g t r ì n h t i ề n cuvé n qua V * Ịãu ni ''Trong khơng gian Ai cho hyperbol s có tiệm cận a b cất í Cho điểm A thuộc a thuộc ó ịA.B 7= / ) Tù A B vẻ Hấp tuyến theo thứ tự iiév r ú c với s c D Dường thẳng qua c song sona với b cất diíờr.g thang 3D Q Dườna thằng qua D vá song song với a cất đườnq thằng ÁC p Chúng minh ABI/PQ* Hãy c h u y ế n bái t o n t r ẽ n sang Pi bi G i ả i b i t o n vừa chuvũ i crỏn ... lam g i c A '' B '' C cung dơi cực cùa lam £Ì;ic ABC §s CÁC ẢNH XẠ XẠ ẢNH GIŨA CÁC HÀ NG ĐIỂM VÀ CÁC CHÚM DUỜNU THẢNG TRONG MÁT PHANG XA ẢNH Tập hạp líu en c c đ i ể m c ù n g thuộc duờne thằng in... ủy Ánh xạ từ hàng d i ê m lên hàng điểm (lược g ọ i lã áiiiì xạ xọ ánh b o l ổ n lý sợ kép cửa bái kỳ diem tửu Anh xạ xạ ảnh l m ỏ i h ù n g điểm lân mội hàng đ i ể m dirợc gọi phép phổi cảnh c... ầ n g lân m ộ t c h ù m d n g chẳng chrợc gọi ánii xạ xạ lình n ế u n ó b o t ổ n tỷ s ố k é p c ù a bất k ỳ bốn d n g thẳng n o ánh xạ xạ ảnh l m ọ t c h ù m d n g t h ẳ n g lèn m ộ t c h ù