C o e on Bài giảng điện tử nZ TS Lê Xuân Đại hV ie Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, mơn Tốn ứng dụng Email: ytkadai@hcmut.edu.vn in m TÍCH PHÂN SUY RỘNG TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TP HCM — 2013 https://fb.com/sinhvienzonevn TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2013 / 64 C o Định nghĩa tích phân dạng a+∞ f (x)dx nZ on e Định nghĩa Cho hàm số f (x) xác định ∀x a khả tích đoạn [a, b] Khi [a, +∞) xác b định hàm số Φ(b) = a f (x)dx Giới hạn b I = lim Φ(b) = lim b→+∞ ie b→+∞ f (x)dx a hV gọi tích phân suy rộng loại hàm số +∞ f (x) [a, +∞) ký hiệu in m Tích phân suy rộng loại TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) f (x)dx a https://fb.com/sinhvienzonevn TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2013 / 64 C o on b e Định nghĩa Nếu giới hạn I = lim f (x)dx tồn hữu nZ b→+∞ a hV ie hạn tích phân suy rộng loại gọi hội tụ Nếu giới hạn I không tồn ∞ tích phân suy rộng loại gọi phân kỳ in m Định nghĩa tích phân dạng a+∞ f (x)dx Tích phân suy rộng loại TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2013 / 64 C o Ý nghĩa hình học hV ie nZ on e Ý nghĩa hình học Trong trường hợp f (x) 0, ∀x ∈ [a, +∞), giá trị tích phân suy rộng hội tụ có ý nghĩa hình học diện tích hình phẳng vơ hạn gới hạn x = a, trục Ox đồ thị hàm f (x) in m Tích phân suy rộng loại TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2013 / 64 C o Ý nghĩa hình học e Chú ý nZ on Từ ý nghĩa hình học tích phân suy rộng, ta tồn giới hạn hữu hạn khác lim f (x) = A = x→+∞ hV ie f (x) khả tích đoạn [a, b] ⊂ [a, +∞) +∞ f (x)dx phân kỳ tích phân suy rộng in m Tích phân suy rộng loại TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) a https://fb.com/sinhvienzonevn TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2013 / 64 C o b Định nghĩa tích phân dạng −∞ f (x)dx nZ on e Định nghĩa Cho hàm số f (x) xác định ∀x b khả tích đoạn [a, b] Khi (−∞, b] xác b định hàm số Ψ(a) = a f (x)dx Giới hạn b I = lim Ψ(a) = lim a→−∞ ie a→−∞ f (x)dx a hV gọi tích phân suy rộng loại hàm số b f (x) (−∞, b] ký hiệu in m Tích phân suy rộng loại TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) f (x)dx −∞ https://fb.com/sinhvienzonevn TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2013 / 64 C o on b e Định nghĩa Nếu giới hạn I = lim f (x)dx tồn hữu nZ a→−∞ a hV ie hạn tích phân suy rộng loại gọi hội tụ Nếu giới hạn I không tồn ∞ tích phân suy rộng loại gọi phân kỳ in m b Định nghĩa tích phân dạng −∞ f (x)dx Tích phân suy rộng loại TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2013 / 64 C o Ý nghĩa hình học hV ie nZ on e Ý nghĩa hình học Trong trường hợp f (x) 0, ∀x ∈ (−∞, b], giá trị tích phân suy rộng hội tụ có ý nghĩa hình học diện tích hình phẳng vơ hạn gới hạn x = b, trục Ox đồ thị hàm f (x) in m Tích phân suy rộng loại TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2013 / 64 C o +∞ Định nghĩa tích phân −∞ nZ on e Định nghĩa Nếu hàm số f (x) xác định R khả tích đoạn [a, b] ∀c ∈ R tích phân suy rộng loại hàm f (x) (−∞, +∞) xác định +∞ c −∞ ie f (x)dx = +∞ f (x)dx + −∞ f (x)dx c hV Tích phân suy rộng gọi hội tụ hai tích phân vế phải hội tụ không phụ thuộc lẫn nhau.https://fb.com/sinhvienzonevn in m Tích phân suy rộng loại TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2013 / 64 C o Công thức Newton-Leibnitz on e Công thức Newton-Leibnitz Cho hàm số f (x) có nguyên hàm F (x) [a, +∞) khả tích đoạn [a, b] Tích +∞ f (x)dx hội tụ nZ phân suy rộng loại a ie tồn giới hạn hữu hạn lim F (b) = F (+∞) Khi hV b→+∞ +∞ a f (x)dx = F (+∞) − F (a) = F (x)|+∞ a in m Tích phân suy rộng loại TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2013 10 / 64 C o Công thức Newton-Leibnitz nZ on e Công thức Newton-Leibnitz Cho hàm số f (x) khơng bị chặn x → c có ngun hàm F (x) đoạn [a, c] nguyên hàm G (x) đoạn (c, b] f (x) khả tích đoạn [a, η] ⊂ [a, c) [ξ, b] ⊂ (c, b] Ngoài ra, tồn giới hạn hữu hạn lim F (η) = F (c − 0) η→c − ie lim G (ξ) = G (c + 0) Khi b hV ξ→c + f (x)dx = F (c − 0) − F (a) + G (b) − G (c + 0) in m Tích phân suy rộng loại a TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2013 55 / 64 C o Ví dụ Tính tích phân I = dx x on e Ví dụ nZ = +∞ nên x = điểm kỳ dị x→0+ x Ta thấy lim hV ie I = ln |x||10 = ln − lim ln |a| = +∞ a→0+ Như vậy, tích phân I phân kỳ in m Tích phân suy rộng loại TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2013 56 / 64 Ví dụ C o Tích phân suy rộng loại Ví dụ Tính tích phân I = on −1 arccos x √ dx 1−x e 1 ie arccos xd(arccos x) = − (arccos2 x) −1 −1 hV I =− nZ arccos x Ta thấy lim √ = +∞ nên x = −1 điểm kỳ x→−1+ − x2 arccos x = dị Còn x = lim √ x→1− − x2 in π2 = − (arccos2 − lim arccos2 x) = a→−1+ 2 I hội tụ mhư vậy, tích phân https://fb.com/sinhvienzonevn TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2013 57 / 64 C o Ví dụ Ví dụ I = lim ε→0 a b−ε a = 1 lim ε−α+1 + (b − a)−α+1 α − ε→0 −α + hV = dx = − lim (b − x)−α+1 α ε→0 (b − x) −α + ie b−ε nZ a dx , (a < b) (b − x)α e Tính tích phân I = on b Nếu α < lim ε−α+1 = ε→0 Nếu α > lim ε−α+1 = ∞ in m Tích phân suy rộng loại ε→0https://fb.com/sinhvienzonevn TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2013 58 / 64 C o Ví dụ on e Nếu α = b−ε dx I = lim = − lim ln |b − x||ab−ε = ε→0 a b − x ε→0 − lim ln |ε| + ln(b − a) = ∞ nZ ε→0 Nếu α < tích phân I hội tụ Nếu α tích phân I phân kỳ hV ie Vậy in m Tích phân suy rộng loại TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2013 59 / 64 Hội tụ tuyệt đối hội tụ có điều kiện C o Tích phân suy rộng loại b on e Định lý Cho hàm f (x) |f (x)| khả tích đoạn [a, η] ⊂ [a, b) không bị chặn x → b − Nếu |f (x)|dx hội tụ tích phân tích phân suy rộng nZ a b ie f (x)dx hội tụ hV a in Tương tự trường hợp hàm f (x) |f (x)| khả tích đoạn [ξ, b] ⊂ (a, b] không bị + hặnkhi x → ahttps://fb.com/sinhvienzonevn m TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2013 60 / 64 C o Hội tụ tuyệt đối hội tụ có điều kiện Định nghĩa b e |f (x)|dx hội tụ tích phân suy Nếu tích phân on a b f (x)dx gọi hội tụ tuyệt đối rộng nZ a ie Định nghĩa b b hV Nếu tích phân a f (x)dx hội tụ tích phân b a |f (x)|dx phân kỳ tích phân suy rộng f (x)dx gọi hội tụ có điều kiện in m Tích phân suy rộng loại a TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2013 61 / 64 C o Dấu hiệu hội tụ tích phân suy rộng loại e Dấu hiệu hội tụ tích phân suy rộng loại 0, ∀x ∈ [a, b) (hoặc ta đưa hàm on Ta xét hàm f (x) (a, b]) trường hợp f (x) −f (x) nZ b b f (x)dx − f (x)dx hội a a hV ie tụ phân kỳ Nếu hàm f (x) có dấu thay đổi [a, b) (hoặc (a, b]) ta xét hội tụ hàm |f (x)| in m Tích phân suy rộng loại TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2013 62 / 64 C o Dấu hiệu hội tụ tích phân suy rộng loại nZ on e Định lý Cho hàm số f (x) g (x) khả tích đoạn [a, η] ⊂ [a, b) không bị chặn x → b − Ngồi ra, với x ∈ [a, b) ln có f (x) g (x) b hV ie Khi tích phân suy rộng a g (x)dx hội tụ b tích phân a f (x)dx hội tụ, tích phân b b f (x)dx phân kỳ tích phân a a g (x)dx phân kỳ in m Tích phân suy rộng loại TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2013 63 / 64 C o Dấu hiệu hội tụ tích phân suy rộng loại Định lý on e Cho hàm số f (x) g (x) khả tích đoạn [a, η] ⊂ [a, b) không bị chặn x → b − Ngoài ra, với f (x) x ∈ [a, b) ln có f (x), g (x), lim− =λ x→b g (x) b Nếu λ = a b Nếu λ > a f (x)dx hội tụ a b g (x)dx ie b g (x)dx hội tụ nZ f (x)dx hội tụ a hV phân kỳ b kỳ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) b g (x)dx phân kỳ Nếu λ = +∞ in m Tích phân suy rộng loại a f (x)dx phân a https://fb.com/sinhvienzonevn TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2013 64 / 64 C o Ví dụ nZ on e Ví dụ Khảo sát hội tụ tích phân cos2 x dx I = √ − x hV ie cos2 x cos2 x √ lim− √ = lim =∞ x→1 − x x→1− + x (1 − x)1/3 nên x = điểm kỳ dị cos2 x cos2 x cos2 1 √ √ √ = ∼ , 3 + x (1 − x)1/3 (1 − x)1/3 − x2 x → 1− Ta cóhttps://fb.com/sinhvienzonevn α = < nên I hội tụ in m Tích phân suy rộng loại TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2013 65 / 64 Ví dụ Ví dụ Khảo sát hội tụ I = √ ln(1 + x) dx e sin x − e C o Tích phân suy rộng loại on in hV ie nZ √ ln(1 + x) x 1/3 lim = lim = lim =∞ x→0+ x x→0+ x 2/3 x→0+ e sin x − nên x = điểm kỳ dị √ ln(1 + x) x 1/3 ∼ = e sin x − x x 2/3 α = 23 < nên I hội tụ x → 0+ Vậy hi m https://fb.com/sinhvienzonevn TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2013 66 / 64 + x3 − cos e x dx hV dx dx e x −1 dx tan x − x √ on √ +∞ nZ dx x2 +∞ x arctan x ie +∞ e −x C o Bài tập Khảo sát hội tụ tích phân in m Tích phân suy rộng loại TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2013 67 / 64 C o Bài tập − cos x dx xα √ e + x − e cos x dx xα on π ie cos2 2x − e −4x dx x α tan x √ π/2 α cos x e − + cos x √ dx cos5 x √ ln + 2x − xe −x dx − cosα x hV nZ π/2 e Tìm α để tích phân sau hội tụ in m Tích phân suy rộng loại TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2013 68 / 64 on e C o Bài tập hV ie nZ THANK YOU FOR ATTENTION in m Tích phân suy rộng loại TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb.com/sinhvienzonevn TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2013 69 / 64 ... nên tích phân suy rộng I phân kỳ in m Tích phân suy rộng loại TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb .com/ sinhvienzonevn TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2 013 13 / 64 C o Ví dụ e Ví dụ 1 on Tính tích phân. .. tụ tích phân suy rộng ích phân m Ví dụ C o Tích phân suy rộng loại x→+∞ x α 1 x α 1 − aα 1 a1−α = nên I = α 1 I hộihttps://fb .com/ sinhvienzonevn tụ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN SUY RỘNG... +∞ dx I = phân kỳ α x a hV in m Tích phân suy rộng loại TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) https://fb .com/ sinhvienzonevn TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP HCM — 2 013 18 / 64 C o Tính chất tích phân suy rộng loại