Đang tải... (xem toàn văn)
Chương 7: Giải phương trình vi phân trình bày những nội dung về bài toán Cauchy, phương pháp Euler và Euler cải tiến, phương pháp Runge-Kutta. Hy vọng, đây là tài liệu tham khảo hữu ích dành cho các bạn.
CHƯƠ NG 7: GIẢI PHƯƠ NG TRÌNH VI PHÂN §1. BÀI TỐN CAUCHY Một ph ươ ng trình vi phân cấp có thể viết d ưới dạng giải đượ c y =f(x,y) mà ta có thể tìm đượ c hàm y từ đạ o hàm của nó Tồn tại vơ số nghiệ m thoả mãn ph ươ ng trình trên Mỗi nghi ệ m ph ụ thu ộc vào một hằ ng số tu ỳ ý. Khi cho trước giá trị ban đầ u của y là y o tại giá trị đầ u xo ta nh ậ n được một nghi ệ m riêng của ph ươ ng trình Bài tốn Cauchy (hay bài tốn có điề u kiệ n đầ u) tóm lại như sau: cho x sao cho b x a, tìm y(x) tho ả mãn điề u kiệ n: y ( x ) f( x , y ) (1) y (a ) Người ta chứng minh r ằng bài toán này có một nghiệ m duy nh ất n ếu f thoả mãn điề u kiệ n Lipschitz: f(x , y ) f(x , y ) L y y với L là một hằng số d ươ ng Người ta cũng chứng minh r ằng n ếu f y ( đạ o hàm của f theo y ) là liên tục và bị chặn thì f thoả mãn điề u kiện Lipschitz Một cách tổng quát hơn, ng ười ta đị nh nghĩa hệ ph ươ ng trình bậc 1: y f1 ( x , y , y , , y n ) y2 f2 ( x , y , y , , y n ) y n fn ( x , y , y , , y n ) Ta ph ải tìm nghi ệ m y 1, y 2, , y n sao cho: Y ( x) f( x , X) Y(a ) với: y1 f1 y1 y2 f2 y2 Y F Y yn fn yn Nế u ph ươ ng trình vi phân có bậc cao hơn (n), nghi ệ m sẽ ph ụ thu ộc vào n hằng số tu ỳ ý. Để nhậ n đượ c một nghiệ m riêng, ta phải cho n điề u kiện đầ u Bài toán sẽ có giá trị đầ u nế u với giá trị x o cho ta cho y(x o ), y (xo ), y (xo), 168 Một ph ươ ng trình vi phân bậc n có thể đư a về thành mộ t hệ phươ ng trình vi phân cấp 1. Ví dụ nế u ta có ph ươ ng trình vi phân cấp 2: y f( x , y , y ) y (a ) , y (a ) Khi đặ t u = y và v = y ta nhậ n được hệ phươ ng trình vi phân cấp 1: u v v g (x, u , v ) với điề u kiệ n đầ u: u(a) = và v(a) = Các ph ươ ng pháp giải ph ươ ng trình vi phân đượ c trình bày chương này là các ph ươ ng pháp rời rạc: đoạ n [a, b] được chia thành n đoạ n nhỏ bằng nhau đượ c gọi là các "bước" tích phân h = ( b a) / n §2. PHƯƠNG PHÁP EULER VÀ EULER CẢI TIẾN Giả sử ta có phươ ng trình vi phân: y ( x ) f( x , y ) (1) y (a ) cần tìm nghi ệ m của nó Ta chia đoạ n [x o ,x ] thành n ph ầ n bởi các điể m chia: xo