TUYỂN TẬP ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 HÀ NỘI

55 26 0
  • Loading ...
1/55 trang

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 28/01/2020, 12:06

Mọi nỗ lực nhỏ có ý nghĩa 0.99365 ≈ 0.03 1.01365 ≈ 37.8 TUYỂN TẬP ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN HÀ NỘI HÀ NỘI - 2020 Mục lục ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP THÀNH PHỐ HÀ NỘI Đề thi lớp 9, năm học 2019 - 2020 Đề thi lớp 9, năm học 2018 - 2019 Đề thi lớp 9, năm học 2017 - 2018 Đề thi lớp 9, năm học 2016 - 2017 Đề thi lớp 9, năm học 2015 - 2016 Đề thi lớp 9, năm học 2014 - 2015 10 Đề thi lớp 9, năm học 2013 - 2014 11 Đề thi lớp 9, năm học 2012 - 2013 12 Đề thi lớp 9, năm học 2011 - 2012 13 10 Đề thi lớp 9, năm học 2010 - 2011 14 11 Đề thi lớp 9, năm học 2009 - 2010 15 12 Đề thi lớp 9, năm học 2008 - 2009 16 13 Đề thi lớp 9, năm học 2005 - 2006 17 14 Đề thi lớp 9, năm học 2003 - 2004 18 15 Đề thi lớp 9, năm học 2002 - 2003 19 16 Đề thi lớp 9, năm học 2001 - 2002 20 17 Đề thi lớp 9, năm học 2000 - 2001 21 18 Đề thi lớp 9, năm học 1999 - 2000 22 19 Đề thi lớp 9, năm học 1998 - 1999 23 20 Đề thi lớp 9, năm học 1997 - 1998 24 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP HUYỆN THƯỜNG TÍN 25 Đề thi lớp vòng 1, năm học 2019 - 2020 26 Đề thi lớp vòng 1, năm học 2018 - 2019 27 Đề thi lớp vòng 1, năm học 2017 - 2018 28 Đề thi lớp chọn đội tuyển, năm học 2017 - 2018 29 Đề thi lớp vòng 1, năm học 2016 - 2017 30 Đề thi lớp chọn đội tuyển, năm học 2016 - 2017 31 Đề thi lớp vòng 1, năm học 2015 - 2016 32 Đề thi lớp vòng 1, năm học 2014 - 2015 33 Đề thi lớp vòng 1, năm học 2013 - 2014 34 10 Đề thi lớp vòng 1, năm học 2012 - 2013 35 11 Đề thi lớp chọn đội tuyển, năm học 2012 - 2013 36 12 Đề thi lớp vòng 1, năm học 2011 - 2012 37 New think - New life 13 Đề thi lớp vòng 1, năm học 2010 - 2011 38 14 Đề thi lớp chọn đội tuyển, năm học 2010 - 2011 39 15 Đề thi lớp chọn đội tuyển, năm học 2009 - 2010 40 16 Đề thi lớp vòng 1, năm học 2008 - 2009 41 17 Đề thi lớp chọn đội tuyển, năm học 2008 - 2009 42 18 Đề thi lớp vòng 1, năm học 2007 - 2008 43 19 Đề thi lớp chọn đội tuyển, năm học 2007 - 2008 44 20 Đề thi lớp vòng 1, năm học 2006 - 2007 45 21 Đề thi lớp chọn đội tuyển, năm học 2006 - 2007 46 22 Đề thi lớp vòng 1, năm học 2005 - 2006 47 23 Đề thi lớp chọn đội tuyển, năm học 2005 - 2006 48 24 Đề thi lớp vòng 1, năm học 2004 - 2005 49 25 Đề thi lớp chọn đội tuyển, năm học 2004 - 2005 50 26 Đề thi lớp vòng 1, năm học 2003 - 2004 51 27 Đề thi lớp chọn đội tuyển, năm học 2003 - 2004 52 28 Đề thi lớp chọn đội tuyển, năm học 2002 - 2003 53 29 Đề thi lớp vòng 1, năm học 2001 - 2002 54 HSG9.tex Mở đầu Kính chào Thầy/Cô bạn học sinh Trên tay Thầy/Cô bạn học sinh tuyển tập đề thi học sinh giỏi thành phố Hà Nội huyện Thường Tín soạn thảo theo chuẩn LATEX Tài liệu soạn thảo với hỗ trợ nhóm Tốn LATEX Đặc biệt với cấu trúc gói đề thi ex_test tác giả Trần Anh Tuấn, Đại học Thương Mại Để tài liệu bổ sung đầy đủ hồn thiện Thầy/Cơ có đề tài liệu thiếu sai sót mong Thầy/Cơ gửi Emai: quochoansp@gmail.com Trân trọng cảm ơn Hà Nội, ngày 09 tháng 01 năm 2020 Tác giả BÙI QUỐC HOÀN Chương ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP THÀNH PHỐ HÀ NỘI New think - New life Đề thi học sinh giỏi Thành phố Hà Nội Đề thi lớp 9, năm học 2019 - 2020 Câu (5,0 điểm) Giải phương trình: (4x + 2) √ x2 + 2x + = x2 + 2x + √ 4x + Cho bốn số thực dương a, b, c, d thỏa mãn a3 + b3 + c3 = 3d3 , b5 + c5 + d5 = 3a5 c7 + d7 + a7 = 3b7 Chứng minh a = b = c = d Câu (5,0 điểm) Chứng minh với số tự nhiên n n2 + 3n + 11 khơng chia hết cho 49 Tìm tất ba số nguyên dương (x, y, p) với p số nguyên tố thỏa mãn x2 + p2 y = (x + 2p) Câu (3,0 điểm) Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn (x − y) ≤ x2 + y Chứng minh x ≤ ≤ 2 y 2 Cho ba số thực dương x, y, z thay đổi thỏa mãn điều kiện (x + y + z) ≥ 14 x2 + y + x2 2x + z Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = x + 2z Câu (6,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB < AC, ngoại tiếp đường tròn tâm I Hình chiếu vng góc điểm I cạnh AB, AC theo thứ tự M , N hình chiếu vng góc điểm B cạnh AC Q Gọi D điểm đối xứng điểm A qua điểm Q, P tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCD R giao điểm hai đường thẳng M N BQ Chứng minh Các tam giác BM R BIP đồng dạng Đường thẳng P R song song với đường thẳng AC Đường thẳng M N qua trung điểm đoạn thẳng AP Câu (1,0 điểm) Có 15 hộp rỗng Mỗi bước, người ta chọn số hộp bỏ vào hộp số viên bi cho số viên bi bỏ vào hộp lũy thừa bước khơng có hai hộp có số bi bỏ vào giống Tìm số nguyên dương k nhỏ cho sau thực k bước, tất hộp có số bi giống HSG9.tex New think - New life Đề thi học sinh giỏi Thành phố Hà Nội Đề thi lớp 9, năm học 2018 - 2019 Câu (5,0 điểm) Giải phương trình: 2·3 phân số tối giản) Cho S = 1− √ 2−x=1− 1− 3·4 √ x − ··· − 2020 · 2021 tích 2019 thừa số Tính S (kết dạng Câu (5,0 điểm) Biết a, b số nguyên dương thỏa mãn a2 − ab + b2 chia hết cho Chứng minh a b chia hết cho Tìm số tự nhiên n cho 9n + 11 tích k (k ∈ N; k ≥ 2) số tự nhiên liên tiếp Câu (3,0 điểm) Cho x, y, z số thực dương nhỏ Chứng minh số 1 1 1 + , + , + x 4−y y 4−z z 4−x tồn số lớn Với số thực dương a, b, c thỏa mãn a2 + b2 + c2 + 2abc = Tìm giá trị lớn biểu thức P = ab + bc + ca − abc Câu (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A (AB < AC) Đường tròn I nội tiếp tam giác ABC, tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB D, E, F Gọi S giao điểm AI DE Chứng minh tam giác IAB đồng dạng với tam giác EAS Gọi K trung điểm AB, O trung điểm BC Chứng minh ba điểm K, O, S thẳng hàng Gọi M giao điểm KI AC Đường thẳng chứa đường cao AH tam giác ABC cắt đường thẳng DE N Chứng minh AM = AN Câu (1,0 điểm) Xét bảng ô vuông cỡ 10 × 10 gồm 100 hình vng có cạnh đơn vị Người ta điền vào ô vuông bảng số nguyên tùy ý cho hiệu hai số điền hai ô chung cạnh có giá trị tuyệt đối khơng vượt q Chứng minh tồn số nguyên xuất bảng lần HSG9.tex New think - New life Đề thi học sinh giỏi Thành phố Hà Nội Đề thi lớp 9, năm học 2017 - 2018 Câu (5,0 điểm) Cho số thực a, b, c thỏa mãn a + b + c = 2018 Tính giá trị biểu thức P = a b c + + b+c c+a a+b Tìm tất cặp số nguyên dương (x; y) thỏa mãn 1 2017 + + = a+b b+c c+a 2018 x2 x−y = + xy + y 13 Câu (5,0 điểm) √ Giải phương trình 6x2 + 2x + = 3x 6x +   x3 + x + = y − 3y + 4y Giải hệ phương trình √  2 x + = y + Câu (3,0 điểm) Cho p số nguyên tố Chứng minh không tồn cặp số nguyên dương (m, n) thỏa mãn m2019 + n2019 = p2018 Xét ba số không âm x, y, z thỏa mãn x + y + z = x ≤ y ≤ z Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = y3 x y z + + + 16 z + 16 x + 16 Câu (6,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC có ba góc nhọn (AB < AC < BC) nội tiếp đường tròn O Gọi H hình chiếu A BC, M trung điểm AC P điểm thay đổi đoạn thẳng M H (P khác M P khác H) Chứng minh BAO = HAC Khi AP B = 90◦ , chứng minh ba điểm B, O, P thẳng hàng Đường tròn ngoại tiếp tam giác AM P đường tròn ngoại tiếp tam giác BHP cắt Q (Q khác P ) Chứng minh đường thẳng P Q qua điểm cố định P thay đổi Câu (1,0 điểm) Cho đa giác 2n đỉnh nội tiếp đường tròn (O) Chia 2n đỉnh thành n cặp điểm, cặp điểm tạo thành đoạn thẳng (hai đoạn thẳng số n đoạn thẳng tạo khơng có đầu mút chung) Khi n = 4, cách chia cho bốn đoạn thẳng khơng có hai đoạn thẳng Khi n = 10, chứng minh mười đoạn thẳng tạo tồn hai đoạn thẳng HSG9.tex New think - New life Đề thi học sinh giỏi Thành phố Hà Nội Đề thi lớp 9, năm học 2016 - 2017 Câu (5,0 điểm) Chứng minh n5 + 5n3 − 6n chia hết cho 30 với số nguyên dương n Tìm tất cặp số nguyên dương x; y cho x2 + 8y y + 8x số phương Câu (5,0 điểm) Giải phương trình Giải hệ phương trình 2x −        + x − 2x = + x 2x √ 4x √ = x+y− x−y 5y √ 5y √ = x+y+ x−y x Câu (3,0 điểm) Với số thực không âm x, y, z thỏa mãn x2 + y + z = Chứng minh x + y + z ≤ + xy Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = y z x + + + yz + zx + xy Câu (6,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC (BC > CA > AB ) nội tiếp đường tròn O có trực tâm H Đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC cắt tia phân giác góc ABC điểm thứ hai M Gọi P trực tâm tam giác BCM Chứng minh bốn điểm A, B, C, P thuộc đường tròn Đường thẳng qua H song song với OA cắt cạnh BC E Gọi F điểm cạnh BC cho CF = BE Chứng minh ba điểm A, F , O thẳng hàng Gọi N tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM Chứng minh P N = P O Câu (1,0 điểm) Trên bàn có 100 thẻ đánh số từ đến 100 Hai người A B lấy người thẻ bàn cho người A lấy thẻ đánh số n đảm bảo người B chọn thẻ đánh số 2n + Hỏi người A lấy nhiều thẻ bàn thỏa mãn yêu cầu HSG9.tex New think - New life Đề thi học sinh giỏi Thành phố Hà Nội Đề thi lớp 9, năm học 2015 - 2016 Câu (5,0 điểm) Cho số nguyên a, b, c, d thỏa mãn: a3 + b3 = c3 − 8d3 Chứng minh rằng: a + b + c + d chia hết cho Tìm tất số nguyên tố x cho 2x + x2 số nguyên tố Câu (5,0 điểm) √ 2x2 + 11x + 19 + √ 2x2 + 5x + = x +    x+y+z =3   1 1 Tìm tất số x; y; z thỏa mãn + + =  x y z    x2 + y + z = 17 Giải phương trình Câu (3,0 điểm) √ √ √ 3 3 Cho ba số x, y, z thỏa mãn < x < ;0 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A= HSG9.tex x + y x2 − xy + y − x2 + y xy − x + y + 25 42 New think - New life Đề thi học sinh giỏi Huyện Thường Tín 18 Đề thi lớp vòng 1, năm học 2007 - 2008 Câu Cho biểu thức: A= 2007x2 − 2007y · √ 2x y + y x+ √ xy + x− √ xy : y5 − y3 + √ y y Rút gọn biểu thức A Tính giá trị A với y = √ 5− 3− √ 29 − 12 Chứng minh A ≤ 2676 Tìm giá trị nguyên dương x, y để A nhận giá trị nguyên Câu Giải phương trình sau: √ √ √ √ 25x + 75 + x − = + x + + 9x − 18 x − √ x − 2007 = 2007 x2 − |x| − = Câu Cho đường tròn tâm O có bán kính cm, đường kính AB điểm C chuyển động đường tròn Gọi H K hình chiếu O lên dây AC BC Tứ giác OHCK hình gì? Tại sao? Khi C vị trí đường tròn O cho OH = cm OK bao nhiêu? Khi tính độ lớn cạnh AC, BC Trên tia đối tia CA lấy điểm D cho CD = CA Hỏi C chuyển động đường tròn O trọng tâm G tam giác ABD chuyển động đường nào? Câu Chứng minh a b + ≥ với số dương a, b Từ tìm giá trị nhỏ biểu thức b a P = 1 + + x y z với x, y, z dương x + y + z = Câu Tìm nghiệm nguyên phương trình 2x + 5y + 2|x| + y + x2 + x = 105 HSG9.tex 43 New think - New life Đề thi học sinh giỏi Huyện Thường Tín 19 Đề thi lớp chọn đội tuyển, năm học 2007 - 2008 Câu (4,0 điểm) Cho biểu thức A=1− √ √ √ 2x − + x 2x x + x − x √ + 1−x 1+x x · x− √ √ x 1− x √ x−1 Rút gọn biểu thức A Tính giá trị biểu thức A−1 với x = 20072 2007 + 2008 2008 + 20072 + Câu (5,0 điểm) Cho hệ phương trình:    a+b x+ a−b y =1 (ẩn x, y)   2a − b x + 2a + b y = a Giải hệ phương trình với a = b = b Tìm tất cặp giá trị nguyên a, b để hệ phương trình có nghiệm ngun Giải phương trình 3x3 − 3x2 + 3x = Tìm nghiệm nguyên dương hệ phương trình   x3 − y − z = 3xyz  x2 = y + z Câu (2,5 điểm) Cho x, y, z số dương thỏa mãn xyz ≥ x + y + z + Tìm giá trị nhỏ x + y + z Tìm chữ số x, y, z, t thỏa mãn: xy = yx + tz Câu (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vng A, nội tiếp đường tròn O Về phía ngồi tam giác ABC vẽ nửa đường tròn O1 đường kính AB nửa đường tròn O2 đường kính AC Một đường thẳng d quay quanh A cắt O1 M cắt O2 N a So sánh OM ON b Chứng minh M B.CN = AM.AN c Hãy xác định vị trí đường thẳng d để tứ giác BM N C có diện tích lớn Q điểm cung AC K trung điểm AQ Qua K kẻ KP vng góc với CQ Chứng minh Q di động cung AC đường thẳng KP qua điểm cố định Câu (2,5 điểm) Hãy tìm hai số phương khác a1 a2 a3 a4 b1 b2 b3 b4 biết a1 − b1 = a2 − b2 = a3 − b3 = a4 − b4 HSG9.tex 44 New think - New life Đề thi học sinh giỏi Huyện Thường Tín 20 Đề thi lớp vòng 1, năm học 2006 - 2007 Câu (6,0 điểm) Cho biểu thức: M =1− √ x √ − √ − + x 4x − 1 − x √ : x−1 √ 4x + x + 1 Rút gọn biểu thức M Tính giá trị M với x = Tìm x để − √ 5− 3− √ 29 − 12 = 1003 M Tìm x ∈ Z để −M ∈ Z Câu (3,0 điểm) Giải phương trình sau: x2 − 2x √ √ + 3x2 − 6x = −2 x2 + 6x + + 2x = x2 + 4x + + √ x2 + 4x + + √ x2 + 4x + = + √ Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y = ax + b Tìm a, b biết đồ thị hàm số qua điểm A 0; qua điểm B − ; Vẽ đồ thị hàm số y = a|x| + b y = |ax + b| hệ trục tọa độ với a, b tìm Câu phần Câu (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Gọi D E hình chiếu điểm H AB AC Biết BH = cm, BC = 13 cm Tính độ dài DE Chứng minh AB.AD = AC.AE Các dường vng góc với DE D Elần lượt cắt BC M N Chứng minh M trung diểm BH, N trung điểm CH Tính diện tích tứ giác DEM N Diện tích có thay đổi khơng tam giác ABC có diện tích khơng đổi, A chuyển động cạnh BC cố định Câu (3,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A= √ x + y + z − 6007 − x − 2004 − y − 2005 − Có hay khơng hai số tự nhiên x, y có tổng 2003 thỏa mãn đẳng thức: x2004 + y 2005 = 20062007 HSG9.tex 45 √ z − 2006 New think - New life Đề thi học sinh giỏi Huyện Thường Tín 21 Đề thi lớp chọn đội tuyển, năm học 2006 - 2007 Câu (4,0 điểm) Giải phương trình hệ phương trình sau: √ 5x3 + 3x2 + 3x − = x2 + 3x − 2  √  x + y = yz      y + z = 2√zx √   z + x = xy      x2 + y + z = 12 Câu (2,0 điểm) Giả bất phương trình sau: x−1+ với y = 6+ 847 + 27 6− √ 4x − + x+2+ √ 16x − 32 > 7y 847 27 Câu (3,0 điểm) Chứng minh a, b, c số nguyên khác thỏa mãn điều kiện b c a + + = tích abc lập b c a phương số nguyên Câu (7,0 điểm) Cho đường tròn O; R hai đường kính AB ⊥ CD M điểm chạy đoạn AB, CM cắt đường tròn O N Kẻ M x ⊥ AB tiếp tuyến N y cắt P Chứng minh bốn điểm O, M , N , P nằm đường tròn Tứ giác OCM P hình gì? Vì sao? có vị trí M để tứ giác OCM P hình thoi khơng? Hãy xác định vị trí đỉnh M để tích M C.M N lớn nhất? Tính giá trị lớn ấy? Khi M chuyển động đoạn thẳng AB trọng tâm G tam giác OP M chuyển động đường nào? Câu (4,0 điểm) Cho x, y thỏa mãn: x + y = y2 + − M = x+y √ x2 + Tính giá trị nhỏ biểu thức: − x+y + x2007 + y 2007 + x2 + 2y + 2007 Tìm số tự nhiên n biết tổng chữ số n2 − 2007n + HSG9.tex 46 New think - New life Đề thi học sinh giỏi Huyện Thường Tín 22 Đề thi lớp vòng 1, năm học 2005 - 2006 Câu (4,5 điểm) Xét biểu thức: P = √ √ a a+b b √ √ − ab √ a+ b √ √ b a a−8 √ √ · : a−b + √ a− a−2 a+ b Tìm điều kiện xác định rút gọn biểu thức P Tìm giá trị biểu thức P a = √ 2005 − 2003 − √ 8029 − 12 2005 Tìm a cho P < 4 Tìm số nguyên a để biểu thức rút gọn P nhận giá trị nguyên Câu (4,0 điểm) Giải phương trình sau: √ x + 4x2 − 4x + = x−2 x−3 x−4 x−5 x−1 + + + = 2003 2002 2001 2000 501 1 1 + + = x + 9x + 20 x + 11x + 30 x + 13x + 42 18 8x + 3x + x + = Câu (3,0 điểm) Tìm số có hai chữ số ab biết ab − 14 số phương a + b = ab Câu (6,0 điểm) Xét tam giác ABC có ba góc nhọn khác 60◦ Vẽ đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB AC theo thứ tự E F CE BF cắt H Gọi K điểm đối xứng H qua tâm O; M , N chân đường vuông góc kẻ từ B, C đến EF Chứng minh AH ⊥ BC D tính góc ABK, ACK? Chứng minh M E = N F Chứng minh tam giác AF E đồng dạng với tam giác ABC AF.CD.BE = BC.AB.AC cos A cos B cos C Cho biết BC = 9, AC = 7, AB = Tính góc tam giác ABC (các phép tốn làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba kết quả; kết tính góc làm tròn đến phút) Câu (2,5 điểm) Tìm số nguyên tố x, y nghiệm phương trình x2 − 2y − = Cho a, b, c ba số dương Chứng minh rằng: a8 + b8 + c8 1 ≥ + + a3 b3 c3 a b c HSG9.tex 47 New think - New life Đề thi học sinh giỏi Huyện Thường Tín 23 Đề thi lớp chọn đội tuyển, năm học 2005 - 2006 Câu (2,0 điểm) Rút gọn biểu thức: x2 y + xy P = x−y √ x−y × x2 − x y2 y Câu (4,0 điểm) Giải phương trình sau: √ x2 − x − 1002 + 8016x = 1002 48x x + x3 − = x4 + 8x + 12 Câu (4,0 điểm) Cho hệ phương trình với tham số m   mx + 2y =  3x + m + y = −1 Giải hệ phương trình với m = Giải biện luận hệ phương trình theo m Tìm giá trị nguyên m để nghiệm hệ phương trình số nguyên Câu (6,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn có AB = c, AC = b, BC = a Gọi I, O tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác ABC A , B , C tiếp điểm BC, AC, AB với đường tròn I Biết đoạn thẳng IA, IB, IC cắt đường tròn I M , N , P Tia AI cắt BC D Chứng minh AD2 + DB.DC = AB.AC Tính AD theo a, b, c Tia AI cắt đường tròn tâm O G Chứng minh IB.IC = 2r r bán kinh đường tròn nội tiếp IG tam giác ABC Chứng minh tam giác ABC cân cos2 A + cos2 B cot2 A + cot2 B = 2 sin A + sin B Câu (4,0 điểm) Tìm giá trị lớn biểu thức A= √ 2004x2 + 6006x + x3 − 2x2 + x − − 8003 x2 + 3x − Cho hai số tự nhiên m n thỏa mãn √ lớn m + n HSG9.tex m+1 n+1 + số nguyên Chứng minh UCLN m, n không n m 48 New think - New life Đề thi học sinh giỏi Huyện Thường Tín 24 Đề thi lớp vòng 1, năm học 2004 - 2005 Câu (6,0 điểm) Cho biểu thức: A= √ x+ x 1+ √ x+1 √ x− x 1− √ ; x−1 B= x2 − 4x + x3 − 2x2 − 4x + Rút gọn biểu thức M = A × B Tìm giá trị biểu thức M x − với a = √ 5− 3− = a20 + a11 − 12004 11 √ 29 − 12 Tìm x ∈ Z để M ∈ Z Tìm x M = abc = 11 a + b + c Câu (2,0 điểm) Cho a3 + b3 = 3abc − c3 với abc = Tính số trị biểu thức P = 1+ a b 1+ b c 1+ c a Câu (4,0 điểm) Cho a, b ∈ Z+ Chứng minh a5 b − ab5 30 Tìm nghiệm nguyên phương trình xy = x + y Câu (7,0 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R = cm Gọi I trung điểm AB Tia OI cắt cung AB M Từ B, C kẻ hai tiếp tuyến với đường tròn chúng cắt điểm S Gọi N điểm cung nhỏ BC, tiếp tuyến với đường tròn điểm N cắt hai tiếp tuyến B C P Q Cho biết dây cung AB dài cm Tính độ dài dây cung AM Biết SO = 10 cm Tính chu vi tam giác SP Q Đặt góc SBC = α Tính diện tích tứ giác SCOB theo R α Cho α = 60◦ Gọi r bán kính đường tròn nội tiếp tam giác SBC Tìm hệ thức liên hệ R, r α Câu (1,0 điểm) Cho A, B số có hai chữ số Biết tổng chúng số có hai chữ số Nếu đổi vị trí chữ số hàng chục hàng đơn vị hai số ta hiệu hai số A B Tìm cặp số A B cho HSG9.tex 49 New think - New life Đề thi học sinh giỏi Huyện Thường Tín 25 Đề thi lớp chọn đội tuyển, năm học 2004 - 2005 Câu (4,5 điểm) Tính giá trị biểu thức A × B biết: A = x23 + x2 − 2005 với x= 4+ √ √ 48 − 10 + × 3+5 B = x2 + y với x, y thỏa mãn điều kiện √ 5+2 √ 5+ √ 17 15 − 38 √ 14 −   x3 − 3xy = 1930  y − 3x2 y = 2005 Câu (3,0 điểm) Giải phương trình 4x2 + 9y + 16z − 4x − 6y − 8z + = Giải phương trình nghiệm nguyên x6 + 3x3 + = y Câu (3,0 điểm) Phân tích a b a b − thành hai nhân tử cho tổng chúng + với a, b ∈ Z b a b a Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = Chứng minh rằng: a4 + a2 + b4 + b2 + c4 + c2 ≤ + a2 + b2 + c2 Câu (7,5 điểm) Các đường cao AD, BE, CF cua tam giác ABC nhọn gặp H Các đường cao kéo dài cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC theo thứ tự A1 , B1 , C1 Tính tổng AA1 BB1 CC1 + + AD BE CF B1 C1 cắt AB, AC R, S; B1 A1 cắt AC, BC I, G; A1 C1 cắt AB, BC T , Q Chứng minh ba đường thẳng RG, SQ, IT đồng qui Từ A B kẻ hai tiếp tuyến với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, chúng cắt P Gọi M , N trung điểm P A P O Đường thẳng BM cắt đường tròn K Chứng minh KN ⊥ AK Đặt AD = ; BE = hb ; CF = hc r bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC Chứng minh + hb + hc ≥ 9r Dấu đẳng thức xảy nào? Câu (2,0 điểm) Tìm tất số có ba chữ số cho chia số cho 11 thương số tổng bình phương chữ số HSG9.tex 50 New think - New life Đề thi học sinh giỏi Huyện Thường Tín 26 Đề thi lớp vòng 1, năm học 2003 - 2004 Câu (6,0 điểm) Cho biểu thức: A = − x2 : √ 1−x x √ √ + x 1− x √ 1+x x √ √ − x 1+ x ; B= √ √ x+2 x−1− x−1 Rút gọn biểu thức M = A + B Tìm x để = 1001 M Tìm giá trị biểu thức M x + = √ 5− 3− √ 29 − 12 Tìm x ∈ Z để M ∈ Z Câu (4,0 điểm) Giải phương trình sau: x−1 x+3 + = x−2 x−4 x−2 4−x x2 − x − 56 = √ x+2 x−1+ √ x−2 x−1=2 Câu (3,0 điểm) Cho hàm số y = mx + có đồ thị đường thằng d Tìm m để đường thẳng d qua điểm M 1; Vẽ đồ thị hàm số y = |mx + 1| với giá trị m Trong mặt phẳng tọa độ Oxy vẽ ba điểm A 3; −1 , B − 1; −3 , C 2; −4 Chứng minh hai đường thẳng AB BC vng góc với Câu (5,0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB 2R Gọi M điểm chuyển động nửa đường tròn (M khác A B) Vẽ đường tròn tâm M tiếp xúc với đường kính AB H Từ A, B kẻ hai tiếp tuyến có tiếp điểm với đường tròn tâm M C D Chứng minh ba điểm C, M , D nằm tiếp tuyến với đường tròn tâm O M Chứng minh tích CD2 AC.BD = Chứng minh tổng AC + BD khơng đổi Từ tìm vị trí điểm M nửa đường tròn tâm O để diện tích tứ giác ACDB đạt giá trị lớn Tim giá trị lớn Gọi I trung điểm đoạn M A, K trung điểm đoạn M B Khi M chuyển động nửa đường tròn tâm O trung điểm S đoạn thẳng IK chuyển động đường nào? Câu (1,0 điểm) Cho A, B số có hai chữ số Biết tổng chúng số có hai chữ số Nếu đổi vị trí chữ số hàng chục hàng đơn vị hai số ta hiệu hai số A B Tìm cặp số A B cho HSG9.tex 51 New think - New life Đề thi học sinh giỏi Huyện Thường Tín 27 Đề thi lớp chọn đội tuyển, năm học 2003 - 2004 Câu (6,0 điểm) Cho phương trình: x3 + − m x2 + m − x + m2 − 6m + = Giải phương trình với m − = √ 10 + 22 − (m tham số) √ 10 − 22 Giải phương trình với m ≥ Câu (2,0 điểm) Cho ba số x, y, z > thỏa mãn xy + yz + zx = Tính giá trị biểu thức: A = 1002 × x + y2 + z2 +y + x2 + z + x2 +z + y2 + x2 + y + z2 Câu (7,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (khác 60◦ ), trực tâm H Gọi D điểm đối xứng H qua BC Chứng tỏ D thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh rằng: AB.CD + BD.AC = AD.BC Gọi M , N , L theo thứ tự hình chiếu điểm D lên đường thẳngAB, BC, AC Chứng minh rằng: AB BC AC = = DM ND Dl Câu (3,0 điểm) Tìm tất số tự nhiên n để 2n + 15 số phương Tìm chữ số a, b, c thỏa mãn abc a = bc a − bc Câu (2,0 điểm) Số thực x thay đổi thỏa mãn điều kiện x2 + − x thức: P = x4 + − x HSG9.tex 52 + 6x3 − x2 ≥ 5.Tìm giá trị nhỏ biểu New think - New life Đề thi học sinh giỏi Huyện Thường Tín 28 Đề thi lớp chọn đội tuyển, năm học 2002 - 2003 Câu (4,0 điểm) Cho biểu thức: M =1− √ √ √ 2x − + x 2x x + x − x √ + 1−x 1+x x · x− √ √ x 1− x √ x−1 Rút gọn M Tính giá trị biểu thức M với x = + 20022 + 20022 2002 + 2003 2003 Câu (4,0 điểm) Giải phương trình: x2 + 2x + = 5√ x + 4x2 + 5x + với x > −3    ax + y + z =    Giải hệ phương trình: x + ay + z = a     x + y + az = a2 Câu (3,0 điểm) Cho ba số a, b, c thỏa mãn c ≥ b ≥ a > −2003 Chứng minh rằng: A= a + c + 4006 ≤ b + 2003 1 a + 2003 c + 2003 a + c − b + 2003 Câu (6,5 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, ba đường cao AD, BE, CF gặp H Gọi I điểm đối xứng H qua BC Chứng tỏ tứ giác ABIC nội tiếp đường tròn Cho BC cố định, A chuyển động cung lớn BC đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF khơng đổi Trên cạnh BC lấy điểm D Vẽ đường tròn tâm O1 qua D tiếp xúc với AB B Vẽ đường tròn tâm O2 qua D tiếp xúc với AC C Hai đường tròn cắt K Khi A, B, C cố định, D chuyển động cạnh BC K chuyển động đường nào? Chứng minh KD qua điểm cố định Câu (2,5 điểm) Hãy tìm hai số phương khác a1 a2 a3 a4 b1 b2 b3 b4 biết a1 − b1 = a2 − b2 = a3 − b3 = a4 − b4 HSG9.tex 53 New think - New life Đề thi học sinh giỏi Huyện Thường Tín 29 Đề thi lớp vòng 1, năm học 2001 - 2002 Câu (3,0 điểm) Cho biểu thức: √ x √ + √ + x−4 2− x 2+ x A= : √ 10 − x x−2+ √ x+2 Rút gọn biểu thức A Tính giá trị A biết √ + x = 9B B = 6+2 3− 13 − √ 48 Tìm giá trị x ∈ Z để A ∈ Z Câu (3,0 điểm) Giải phương trình: x2 − |x| − = Câu (6,0 điểm) Cho đường tròn O; R Từ điểm A ngồi đường tròn vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B C tiếp tuyến) Vẽ đường kính song song với BC cắt hai tiếp tuyến D E, cắt đường tròn M N (M nằm O D) Đường vng góc với AB A cắt tia OC S Gọi I trung điểm BC Tứ giác BCED hình gì? Chứng minh ba điểm A, I, O thẳng hàng SA = SO K điểm cung nhỏ BC Tiếp tuyến với đường tròn K cắt hai tiếp tuyến AB, AC P , Q Tính chu vi tam giác AP Q biết AB = cm Khi K chạy cung nhỏ BC trung điểm T M K chạy đường nào? Câu (3,0 điểm) Tìm hai số có hai chữ số biết 10 lần số lớn số bé 189 đơn vị Nếu viết số bé vào sau số lớn ta số có bốn chữ số Nếu viết số lớn vào sau số bé ta số có bốn chữ số, số số có bốn chữ số vừa lập 891 đơn vị Câu (3,0 điểm) Chứng minh với m, n, p ∈ Z m5 + n5 + p5 30 Tìm ba số nguyên dương lớn cho tổng chúng tích chúng 3 Cho biết n! = 1.2.3 · · · n Tính tổng: T = HSG9.tex 2001 + + + ··· + 2! 3! 4! 2002! 54 + 2002! ... nhỏ HSG9.tex 21 New think - New life Đề thi học sinh giỏi Thành phố Hà Nội 18 Đề thi lớp 9, năm học 199 9 - 2000 Câu (4,0 điểm) Viết liên tiếp 2000 số 199 9 ta số A = 199 9 199 9 · · · 199 9 Hãy tìm... ơn Hà Nội, ngày 09 tháng 01 năm 2020 Tác giả BÙI QUỐC HOÀN Chương ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP THÀNH PHỐ HÀ NỘI New think - New life Đề thi học sinh giỏi Thành phố Hà Nội Đề thi lớp 9, năm học 20 19. .. 18 Đề thi lớp 9, năm học 199 9 - 2000 22 19 Đề thi lớp 9, năm học 199 8 - 199 9 23 20 Đề thi lớp 9, năm học 199 7 - 199 8
- Xem thêm -

Xem thêm: TUYỂN TẬP ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 HÀ NỘI, TUYỂN TẬP ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 HÀ NỘI

Từ khóa liên quan

Mục lục

Xem thêm

Gợi ý tài liệu liên quan cho bạn