Đang tải... (xem toàn văn)
Luận án đưa ra điều kiện để thu được sự hội tụ đầy đủ theo trung bình cấp p của mảng các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Rademacher dạng p (1 ≤ p ≤ 2).
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ THỦY LUẬT SỐ LỚN VÀ SỰ HỘI TỤ ĐẦY ĐỦ THEO TRUNG BÌNH ĐỐI VỚI MẢNG CÁC PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN NHẬN GIÁ TRỊ TRONG KHÔNG GIAN BANACH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Nghệ An, năm 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ THỦY LUẬT SỐ LỚN VÀ SỰ HỘI TỤ ĐẦY ĐỦ THEO TRUNG BÌNH ĐỐI VỚI MẢNG CÁC PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN NHẬN GIÁ TRỊ TRONG KHÔNG GIAN BANACH Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 9460106 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Lê Văn Thành GS TSKH Nguyễn Duy Tiến Nghệ An, năm 2018 i LỜI CAM ĐOAN Luận án hoàn thành Trường Đại học Vinh, hướng dẫn PGS TS Lê Văn Thành GS TSKH Nguyễn Duy Tiến Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi Các kết trình bày luận án trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng chưa cơng bố trước Tác giả Nguyễn Thị Thủy ii LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành hướng dẫn PGS TS Lê Văn Thành GS TSKH Nguyễn Duy Tiến Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng, biết ơn sâu sắc tới hai Thầy- người đặt toán, hướng dẫn, động viên, giúp đỡ tận tình chu đáo suốt trình tác giả học tập thực luận án Tác giả xin cảm ơn ThS Vũ Thị Ngọc Ánh TS Dương Xuân Giáp thảo luận góp ý từ lúc viết thảo hồn thiện luận án Trong q trình hồn thành luận án, tác giả nhận quan tâm góp ý GS TS Nguyễn Văn Quảng, TS Nguyễn Thị Thế, TS Nguyễn Trung Hòa, TS Nguyễn Thanh Diệu, TS Võ Thị Hồng Vân, PGS TS Kiều Phương Chi, PGS TS Phan Đức Thành, ThS Nguyễn Ngọc Tứ, nhà khoa học bạn bè đồng nghiệp Tác giả xin chân thành cảm ơn giúp đỡ quý báu Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Viện Sư phạm tự nhiên Phòng Đào tạo Sau đại học, Trường Đại học Vinh hỗ trợ tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành nhiệm vụ nghiên cứu sinh Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Viện Nghiên cứu cao cấp Tốn hỗ trợ tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả học tập nghiên cứu Viện Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Sở Giáo dục Đào tạo tỉnh Nghệ An, Trường THPT Thanh Chương Tổ Toán Trường THPT Thanh Chương 3, đặc biệt ThS Trịnh Văn Thạch cô Trần Thị Lương tạo điều kiện giúp đỡ tác giả thời gian thực nhiệm vụ nghiên cứu sinh Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình ln chỗ dựa vững cho tác giả yên tâm học tập, nghiên cứu công tác Nguyễn Thị Thủy iii MỤC LỤC Một số kí hiệu thường dùng luận án Mở đầu Chương Một số luật số lớn mảng phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 9 1.2 Luật số lớn mảng phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach 22 Chương Sự hội tụ đầy đủ theo trung bình hội tụ đầy đủ mảng phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach 41 2.1 Sự hội tụ đầy đủ theo trung bình mảng phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach 41 2.2 Sự hội tụ đầy đủ mảng phần tử ngẫu nhiên độc lập đôi nhận giá trị không gian Banach 54 Chương Dạng tổng quát số bất đẳng thức cực đại mảng phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach 3.1 Một số kiến thức chuẩn bị 68 68 3.2 Dạng tổng quát số bất đẳng thức cực đại mảng phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach 71 3.3 Luật mạnh số lớn dạng (p, q) 83 Kết luận kiến nghị 96 Danh mục cơng trình liên quan trực tiếp đến luận án 97 Tài liệu tham khảo 98 MỘT SỐ KÍ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN N R R+ (Ω, F, P) E B(E) logx log+ x E∗ EX Var(X) I(A) h.c.c m∨n m∧n tr i tr i-j µ( X ) d(k) [x] d X=Y lim inf Amn lim sup Amn Xs f (n) ∼ g(n) Tập hợp số nguyên dương Tập hợp số thực Tập hợp số thực không âm Không gian xác suất đầy đủ Không gian Banach thực khả li σ - đại số Borel E Logarit số tự nhiên số thực x log(x ∨ e), x ∈ R Không gian liên hợp không gian E Kì vọng phần tử ngẫu nhiên X Phương sai X Hàm tiêu tập hợp A Hầu chắn Giá trị lớn hai số thực m n Giá trị nhỏ hai số thực m n Trang thứ i tài liệu trích dẫn Từ trang thứ i đến trang thứ j tài liệu trích dẫn Median biến ngẫu nhiên X Số ước nguyên dương số nguyên k Phần nguyên số thực x Phần tử ngẫu nhiên X Y phân phối Giới hạn mảng biến cố Amn Giới hạn mảng biến cố Amn Phần tử ngẫu nhiên đối xứng hóa phần tử ngẫu nhiên X Hàm f (n) tương đương với hàm g(n) n → ∞, theo nghĩa f (n) =1 n→∞ g(n) lim ✷ C Kết thúc chứng minh Kí hiệu cho số dương khơng giống lần xuất MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài 1.1 Luật số lớn toán cổ điển lý thuyết xác suất, khẳng định trung bình cộng biến ngẫu nhiên độc lập phân phối hội tụ kì vọng biến ngẫu nhiên theo nghĩa Trong nhiều năm gần đây, luật số lớn nhiều nhà toán học tiếp tục quan tâm nghiên cứu Luật số lớn có nhiều ứng dụng thống kê, tốn kinh tế, khoa học tự nhiên nhiều lĩnh vực khác Chính vậy, việc nghiên cứu luật số lớn khơng có ý nghĩa lý thuyết mà có ý nghĩa thực tiễn 1.2 Logic tự nhiên phát triển định lý giới hạn lý thuyết xác suất dẫn đến nhiều kết tổng quát kết cổ điển Một hướng tổng quát từ kết có biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực mở rộng sang cho phần tử nhận giá trị không gian Banach, từ kết có dãy mở rộng sang kết mảng hai hay nhiều số phần tử ngẫu nhiên Có nhiều câu hỏi đặt “từ kết cho dãy số có, liệu thiết lập kết tương tự cho mảng nhiều số không?”, “phương pháp chứng minh kết cho dãy số có vận dụng trường hợp mảng nhiều số không?”, Trong luận án này, nghiên cứu số định lý giới hạn dạng luật số lớn mảng hai số phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach thực khả li Các kết thu mảng hai số tổng quát thành mảng nhiều số phương pháp hoàn toàn tương tự Đối với cấu trúc nhiều số, quan hệ thứ tự thơng thường tập số khơng có tính chất tuyến tính Vì vậy, mở rộng định lý giới hạn đối từ trường hợp dãy số sang trường hợp mảng nhiều số gặp nhiều khó khăn Điều góp phần làm cho kết nghiên cứu định lý giới hạn mảng nhiều số có nhiều ý nghĩa 1.3 Bên cạnh dạng hội tụ hầu chắn, hội tụ đầy đủ, hội tụ theo xác suất, hội tụ theo trung bình, lý thuyết xác suất ta xét đến hội tụ đầy đủ theo trung bình Hội tụ đầy đủ theo trung bình dạng hội tụ mạnh hội tụ đầy đủ hội tụ theo trung bình Tuy nhiên, kết hội tụ chưa thật phong phú 1.4 Xác suất không gian Banach hướng nghiên cứu quan trọng lý thuyết xác suất Có nhiều định lý giới hạn khơng gian thực khơng không gian Banach Với lý nêu trên, chọn đề tài nghiên cứu cho luận án là: “Luật số lớn hội tụ đầy đủ theo trung bình mảng phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach” Mục đích nghiên cứu Trong luận án này, chúng tơi đưa điều kiện để luật mạnh số lớn luật yếu số lớn mảng phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach tương đương với Bên cạnh đó, luận án đưa điều kiện để thu hội tụ đầy đủ theo trung bình cấp p mảng phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Rademacher dạng p (1 ≤ p ≤ 2) Trong trường hợp không gian Banach không không gian Rademacher dạng p, chứng minh hội tụ đầy đủ theo trung bình kéo theo luật mạnh số lớn Luận án nghiên cứu điều kiện cần đủ cho hội tụ đầy đủ tổng kép có trọng số phần tử ngẫu nhiên độc lập đôi một, phân phối Cuối cùng, chúng tơi trình bày dạng tổng quát số bất đẳng thức cổ điển ứng dụng bất đẳng thức để chứng minh luật mạnh số lớn dạng (p, q) mảng phần tử ngẫu nhiên kéo theo luật mạnh số lớn Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu mảng phần tử ngẫu nhiên độc lập phân phối, độc lập không phân phối độc lập đôi phân phối nhận giá trị không gian Banach thực khả li 4 Phạm vi nghiên cứu Luận án tập trung nghiên cứu luật số lớn, hội tụ đầy đủ theo trung bình hội tụ đầy đủ mảng phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach thực, khả li với giả thiết độc lập độc lập đôi Đồng thời, luận án nghiên cứu dạng tổng quát số bất đẳng thức cổ điển bất đẳng thức Etemadi, Lévy, Ottaviani, Hoffmann-Jørgensen cho mảng phần tử ngẫu nhiên độc lập Sau đó, chúng tơi vận dụng dạng tổng quát bất đẳng thức Ottaviani để chứng minh luật mạnh số lớn dạng (p, q) mảng phần tử ngẫu nhiên kéo theo luật mạnh số lớn Phương pháp nghiên cứu Chúng sử dụng phương pháp độc lập nghiên cứu tài liệu, seminar theo nhóm chủ trì thầy hướng dẫn, trao đổi với nhà khoa học nước Các công cụ chủ yếu sử dụng luận án bất đẳng thức cực đại bất đẳng thức de Acosta, bất đẳng thức Lévy, bất đẳng thức Hoffmann-Jørgensen, bất đẳng thức Ottaviani, bất đẳng thức đối xứng yếu, bất đẳng thức đối xứng mạnh Đặc biệt, luận án sử dụng phương pháp dãy con, phương pháp xấp xỉ, phương pháp đối xứng hóa để chứng minh kết luật số lớn hội tụ mảng phần tử ngẫu nhiên Ý nghĩa khoa học thực tiễn Các kết luận án góp phần làm phong phú thêm cho hướng nghiên cứu luật số lớn, hội tụ đầy đủ, hội tụ đầy đủ theo trung bình mảng phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach Luận án tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao học nghiên cứu sinh chuyên ngành Lý thuyết xác suất Thống kê toán học Tổng quan cấu trúc luận án 7.1 Tổng quan luận án Không để nói lịch sử lý thuyết xác suất câu chuyện định lý giới hạn, có luật mạnh số lớn luật yếu số lớn Luật số lớn Bernoulli [4] công bố vào năm 1713 Về sau kết mở rộng Poisson, Chebyshev, Markov Khintchin Tuy nhiên phải đến năm 1909 luật mạnh số lớn Borel [5] phát kết Kolmogorov [23] hoàn thiện vào năm 1933 Luật mạnh số lớn Kolmogorov trường hợp dãy biến ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} độc lập có moment cấp hữu hạn, ∞ E(Xn − EXn )2 n=1 n i=1 (Xi n − EXi ) n2 < ∞, → h.c.c n → ∞ Đồng thời, Kolmogorov dãy biến ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} độc lập phân phối điều kiện cần đủ để luật mạnh số lớn xảy biến ngẫu nhiên có kỳ vọng hữu hạn Sau kết mở rộng Marcinkiewicz Zygmund [30], [31] Đối với mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực, năm 1973 Smythe [47] thiết lập luật mạnh số lớn dạng Kolmogorov Sau đó, luật mạnh số lớn Marcinkiewicz-Zygmund mảng nhiều số nghiên cứu Gut [16], Klesov [21] Ở Việt Nam, luật số lớn mảng hai số biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực nghiên cứu tác giả Giang Tiến [15], Thành [50], Quảng Huy [39], Quảng Huấn [38], Trong năm gần đây, nhiều tác giả tiếp tục nghiên cứu định lý giới hạn mảng phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian p khả trơn Quảng Huấn [40], [41] không gian Banach Rademacher dạng p Rosalsky Thành [43], [45] Trong luận án, tiếp tục nghiên cứu luật số lớn mảng phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị khơng gian Banach Cụ thể hơn, đưa điều kiện để luật mạnh số lớn luật yếu số lớn tương đương với Về dạng hội tụ đầy đủ theo trung bình cấp p (p > 0), khái niệm đưa Chow [7] cho trường hợp dãy biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực Năm 2006, tác giả Rosalsky, Thành Volodin [44] thiết lập hội tụ đầy đủ theo trung bình cấp p dãy phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị 88 3.3.6 Bổ đề Giả sử < p < {X, Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} mảng phần tử ngẫu nhiên độc lập, phân phối, thỏa mãn E X p log+ ( X ) < ∞ Khi đó, luật mạnh số lớn (3.3.2) thỏa mãn S2m 2n P − → (m+n)/p m ∨ n → ∞ (3.3.10) Chứng minh Luật mạnh số lớn (3.3.2) kéo theo luật yếu số lớn (3.3.10) hiển nhiên Vì vậy, ta cần chứng minh luật yếu số lớn (3.3.10) kéo theo luật mạnh số lớn (3.3.2) Theo Bổ đề 1.2.12, với < p < 1, ta có lim m∨n→∞ (mn)1/p m n Xij = h.c.c E ( X p log(1 + X )) < ∞ i=1 j=1 Như vậy, với < p < 1, luật mạnh số lớn (3.3.2) thỏa mãn Tiếp theo, ta xét ≤ p < Từ E ta có E X p log+ ( X ) < ∞ với ≤ p < X log+ ( X ) < ∞ Vì khơng gian Banach khả li không gian Rademacher dạng nên vận dụng Hệ 1.2.14 cho mảng {Xmn = Xmn − EXmn , m ≥ 1, n ≥ 1} ta có Smn = EX h.c.c m∨n→∞ mn lim Khi S2m 2n P − → EX m ∨ n → ∞ 2m+n (3.3.11) Từ hai điều kiện (3.3.10) (3.3.11), ta suy EX = Như vậy, luật mạnh số lớn (3.3.2) thỏa mãn p = Với < p < 2, ta lập luận sau Từ EX = Bổ đề 2.1.3, với m ≥ 1, n ≥ 1, 2m−1 ≤ k < 2m , 2n−1 ≤ l < 2n , ta có 0≤ 22/p 22/p m 2n E S ≤ E S ≤ E S2sm 2n kl (kl)1/p (2m 2n )1/p (2m 2n )1/p Mặt khác, từ (3.3.10), ta suy S2sm 2n 2(m+n)/p P − → m ∨ n → ∞ Điều nghĩa với ε > 0, tồn số nguyên dương nε cho P S2sm 2n > 2(m+n)/p ε ≤ với m ∨ n ≥ nε 24 (3.3.12) 89 Hơn nữa, vận dụng phần thứ hai Bổ đề 3.1.4 cho dãy đối xứng S2sm 2n , ta thu E S2sm 2n ≤ 6E maxm Xijs +6×2(m+n)/p ε ≤ 12E maxm Xij +6×2(m+n)/p ε 1≤i≤2 1≤j≤2n 1≤i≤2 1≤j≤2n với m ∨ n ≥ nε Do E S2sm 2n 2(m+n)/p ≤ 12 × 2−(m+n)/p E maxm Xij + 6ε với m ∨ n ≥ nε (3.3.13) 1≤i≤2 1≤j≤2n Đặt Ymn = (mn)−1/p max 1≤i≤m 1≤j≤n Khi với ε > 0, Xij , m ≥ 1, n ≥ P(Ymn > ε ) = P max Xij > (mn)1/p ε ≤ mnP X > (mn)1/p ε 1≤i≤m 1≤j≤n Từ E X p log+ ( X ) < ∞ ta suy E X p (3.3.14) < ∞ Do đó, từ (3.3.14) ta có P Ymn − → mn → ∞ Hơn nữa, E(Ymn )p ≤ E X p < ∞ với < p < nên ta suy mảng biến ngẫu nhiên {Ymn , m ≥ 1, n ≥ 1} khả tích Vì ta có EYmn → mn → ∞ Từ điều này, ta suy 2−(m+n)/p E maxm Xij → m ∨ n → ∞ 1≤i≤2 1≤j≤2n Do ε > tùy ý, nên từ hai điều kiện (3.3.13) (3.3.15) ta có E S2sm 2n 2(m+n)/p → m ∨ n → ∞ Theo bất đẳng thức (3.3.12) ta có khẳng định sau E Skl → k ∨ l → ∞ (kl)1/p (3.3.15) 90 Điều nghĩa Smn P − → m ∨ n → ∞ (mn)1/p (3.3.16) Từ Định lý 1.2.10, ta thu luật mạnh số lớn (3.3.2) Chứng minh Định lý 3.3.2 Đầu tiên, ta luật mạnh số lớn (3.3.1) kéo theo S2m 2n P − → (m+n)/p m ∨ n → ∞ (3.3.17) Với m ≥ 1, n ≥ ma trận (xij )2m ×2n với xij ∈ E, ≤ i ≤ 2m , ≤ j ≤ 2n , ta xét 2m+1 −1 2n+1 −1 g2m 2n (π((xij )2m ×2n )) = u=2m Khi hàm g2m 2n : E2 (3.2.4) với α = m v=2n (uv)1+q/p q u+1−2m l+1−2n xij i=1 v=1 ×2n 1, 2q−1 , → [0, ∞) đo được, đối xứng thỏa mãn điều kiện < q ≤ q > Đặt V11 = S2m 2n , 2m 2n V1j = X2m +i−1,j , Vij = X2m +i−1,2n +j−1 , ≤ i ≤ 2m , ≤ j ≤ 2n , Vi,2n +j−1 , Vi1 = i=1 j=1 U2klm 2n = (Uij )2m ×2n , Uij = i ≤ k, j ≤ l , ≤ k ≤ 2m , ≤ l ≤ 2n , vị trí khác Vij D2klm 2n = (Dij )2m ×2n , Xij i ≥ k + 1, j ≥ l + Dij = , ≤ k ≤ 2m − 1, ≤ l ≤ 2n − 1, vị trí khác S(2m , 2n , k, l) = S2klm 2n = g2m 2n π(U2klm 2n ) , ≤ k ≤ 2m , ≤ l ≤ 2n , T (2m , 2n , k, l) = T2klm 2n = g2m 2n π(D2klm 2n ) , ≤ k ≤ 2m − 1, ≤ l ≤ 2n − Khi ta có đánh giá sau: 2m+1 −1 2n+1 −1 S(2m , 2n , 1, 1) = g2m 2n π(U211m 2n ) = u=2m ≥ v=2n S2m 2n (uv)1+q/p S2m 2n 22+2q/p 2(m+n)/p q q (3.3.18) 91 Từ cách đặt trên, ta thu {Vmn , m ≥ 1, n ≥ 1} độc lập Do áp dụng dạng tổng quát bất đẳng thức Ottaviani (Định lý 3.2.4), với ε > ta có P S(2m , 2n , 1, 1) > 7α3 ε ≤ P maxm S(2m , 2n , k, l) > 7α3 ε 1≤k≤2 1≤l≤2n 2P (S(2m , 2n , 2m , 2n ) > ε) ≤ 1 − max 0≤k≤2m −1 0≤l≤2n −1 (3.3.19) 2 P (T (2m , 2n , k, l) > ε) Mặt khác, từ điều kiện (3.3.1), ta suy 2m+1 −1 2n+1 −1 S(2m , 2n , 2m , 2n ) = u=2m v=2n Suv (uv)1+q/p q → h.c.c m ∨ n → ∞ Vì vậy, ta có P (S(2m , 2n , 2m , 2n ) > ε) → m ∨ n → ∞ (3.3.20) Hơn 2m+1 2n+1 m n m n m n T (2 , , 0, 0) = S(2 , , , ) ≤ k=1 l=1 Skl (2n 2m )1+q/p q Với ≤ k ≤ 2m − 1, ≤ l ≤ 2n − 1, ta có 2m+1 −1 2n+1 −1 T (2m , 2n , k, l) = u=2m v=2n (uv)1+q/p 2m+1 −1 2n+1 −1 = u=2m +k v=2n +l (uv)1+q/p q u+1−2m v+1−2n Vij i=k+1 j=l+1 q u+1−2m v+1−2m X2m +i−1,2n +j−1 i=k+1 j=l+1 Do đó, ta suy 2m+1 −1 2n+1 −1 d T (2m , 2n , k, l) = u=2m +k v=2n +l (uv)1+q/p Xi−k,j−l i=k+1 j=l+1 (vì {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} độc lập X ) 2m+1 −1 2n+1 −1 ≤ u=2m m+1 v=2n (uv)1+q/p ≤ t=1 s=1 q u+1−2m v+1−2m Xij i=1 n+1 Sts (2n 2m )1+q/p q j=1 q u+1−2m v+1−2m 92 Với ≤ k ≤ 2m − 1, ta có 2m+1 −1 2n+1 −1 m n T (2 , , k, 0) = u=2m +k v=2n m+1 −1 n+1 −1 d = u=2m +k v=2n u+1−2m (uv)1+q/p q v X2m +i−1,j i=k+1 j=1 u+1−2m (uv)1+q/p q v Xi−k,j i=k+1 j=1 (vì {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} độc lập X ) 2m+1 −1 2n+1 −1 ≤ u=2m m+1 v=2n u+1−2m (uv)1+q/p q v Vij i=1 j=1 n+1 ≤ t=1 s=1 Sts (2n 2m )1+q/p q Tương tự, với ≤ l ≤ 2n − 1, ta có 2m+1 −1 2n+1 −1 d T (2m , 2n , 0, l) = u=2m v=2n +l q u v+1−2n (uv)1+q/p Vi,j−l 2m+1 2n+1 ≤ t=1 s=1 i=1 j=l+1 Sts (2n 2m )1+q/p Do max m 0≤k≤2 −1 0≤l≤2n −1 2m+1 2n+1 P(T (2m , 2n , k, l) > ε) ≤ P t=1 s=1 (2n 2m )1+q/p Sts q (3.3.21) > ε Đặt a(m, n, k, l) = kl m 2n 1+q/p ≤ k ≤ 2m+1 ≤ l ≤ 2n+1 vị trí khác Khi đó, sup |a(m, n, k, l)| < ∞ m≥1,n≥1 k≥1,l≥1 lim m∨n→∞ a(m, n, k, l) = 0, với k ≥ 1, l ≥ Mặt khác, với m ≥ 1, n ≥ 1, ta có 2m+1 2n+1 k=1 l=1 Skl (2n 2m )1+q/p ∞ q ∞ = a(m, n, k, l) k=1 l=1 kl Skl (kl)1/p q Khi theo Bổ đề 3.3.5, điều kiện (3.3.1) kéo theo 2m+1 2n+1 lim m∨n→∞ k=1 l=1 (2n 2m )1+q/p Skl q = h.c.c (3.3.22) q 93 Kết hợp hai điều kiện (3.3.21) (3.3.22), ta có max 0≤k≤2m −1 0≤l≤2n −1 P (T (2m , 2n , k, l) > ε) → m ∨ n → ∞ (3.3.23) Từ điều kiện (3.3.19), (3.3.20) (3.3.23), ta có P S(2m , 2n , 1, 1) > 7α3 ε → m ∨ n → ∞ Vì ε > tùy ý, điều nghĩa P S(2m , 2n , 1, 1) − → m ∨ n → ∞ (3.3.24) Từ điều kiện (3.3.18) (3.3.24) ta thu (3.3.17) Tiếp theo, ta điều kiện (3.3.1) kéo theo X E p log+ X < ∞ (3.3.25) < ∞ h.c.c , (3.3.26) Theo (3.3.1) ta thu ∞ ∞ s amn Smn q m=1 n=1 amn = , m ≥ 1, n ≥ Đặt (mn)1+q/p ∞ ∞ akl , m ≥ 1, n ≥ bmn = k=m l=n Sử dụng Bổ đề 3.3.4, với t ≥ ta có ∞ P sup m≥1, n≥1 s q bmn Xmn > γt ∞ s amn Smn ≤ 2P m=1 n=1 Kết hợp điều kiện (3.3.26) (3.3.27), ta có sup m≥1, n≥1 s bmn Xmn q < ∞ h.c.c Hơn nữa, ta có bmn ∼ p q (mn)q/p q >t (3.3.27) 94 Do q s Xmn sup 1/p m≥1, n≥1 (mn) = q s Xmn < ∞ h.c.c q/p m≥1, n≥1 (mn) sup Điều suy s q Xmn > λ = q/p m≥1, n≥1 (mn) lim P sup λ→∞ Mặt khác, ta lại có s Xmn > λ(mn)1/p lim sup ⊂ sup m≥1, n≥1 s Xmn > λ(mn)1/p Từ điều này, ta suy s > λ(mn)1/p Xmn P lim sup = Do {X, Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} phần tử ngẫu nhiên độc lập, phân phối nên theo bổ đề Borel-Cantelli, tồn λ > thỏa mãn ∞ ∞ P( X s p > λmn) < ∞ (3.3.28) m=1 n=1 Khi đó, áp dụng (1.1.12), ta có đánh giá sau ∞ ∞ ∞ P( X s p dk P ( X s > λmn) = m=1 n=1 k=1 ∞ = > λk) ∞ P(λl < X s p ≤ λ(l + 1)) dk P(λl < X s p ≤ λ(l + 1)) dk k=1 ∞ p l=k l = (3.3.29) l=1 k=1 ∞ ≥ C l log+ (l)P(λl < X s p ≤ λ(l + 1)) l=1 ≥ E C Xs p log+ ( X s ) Kết hợp điều kiện (3.3.28) (3.3.29) ta thu E Xs p log+ ( X s ) < ∞ Theo Bổ đề 3.1.3 ta chứng minh (3.3.25) Cuối cùng, kết hợp điều kiện (3.3.17), (3.3.29) Bổ đề 3.3.6 ta chứng minh (3.3.2) 95 Kết luận Chương Trong chương này, luận án giải vấn đề sau: - Chứng minh dạng tổng quát bất đẳng thức Etemadi, Lévy, Ottaviani Bất đẳng thức Hoffmann-Jørgensen mảng hai số phần tử ngẫu nhiên độc lập - Đưa khái niệm luật mạnh số lớn dạng (p, q) cho mảng phần tử ngẫu nhiên chứng minh luật mạnh số lớn dạng (p, q) kéo theo luật mạnh số lớn 96 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận chung Luận án thu kết sau đây: - Đưa điều kiện để luật yếu số lớn luật mạnh số lớn tương đương với mảng phần tử ngẫu nhiên độc lập không phân phối độc lập phân phối - Đưa đặc trưng không gian Rademacher dạng p liên quan đến hội tụ đầy đủ theo trung bình cấp p Trong khơng gian Banach khả li tùy ý, luận án chứng minh hội tụ đầy đủ theo trung bình cấp p tổng Smn /(mn)(p+1)/p kéo theo luật mạnh số lớn Smn /mn → h.c.c m ∨ n → ∞ - Đưa điều kiện cần đủ cho hội tụ đầy đủ tổng có trọng số phần tử ngẫu nhiên độc lập đôi một, phân phối - Thiết lập dạng tổng quát bất đẳng thức Etemadi, Lévy, Ottaviani bất đẳng thức Hoffmann-Jørgensen - Đưa khái niệm luật mạnh số lớn dạng (p, q) cho mảng phần tử ngẫu nhiên chứng minh luật mạnh số lớn dạng (p, q) kéo theo luật mạnh số lớn Kiến nghị hướng nghiên cứu Trong thời gian tới, dự định nghiên cứu vấn đề sau đây: - Chuyển kết cho trường hợp số Li, Qi and Rosalsky tài liệu [27] sang trường hợp hai số - Đưa điều kiện để hội tụ đầy đủ hội tụ theo trung bình cấp p kéo theo hội tụ đầy đủ theo trung bình cấp p - Nghiên cứu hội tụ đầy đủ theo trung bình cấp p tổng có trọng số mảng phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach 97 DANH MỤC CƠNG TRÌNH LIÊN QUAN TRỰC TIẾP ĐẾN LUẬN ÁN A Rosalsky, L V Thanh and N T Thuy (2014), On the laws of large numbers for double arrays of independent random elements in Banach spaces Acta Mathematica Sinica, English Series 30, 1353-1364 L V Thanh and N T Thuy (2016), On complete convergence in mean for double sums of independent random elements in Banach spaces, Acta Math Hungar., 150, 456-471 L V Thanh and N T Thuy (2018), Necessary and sufficient conditions for complete convergence for double weighted sums of pairwise independent identically distributed random elements in Banach spaces, to appear in Acta Math Hungar V T N Anh, L V Thanh and N T Thuy (2016), On generalizations of maximal inequalities for double arrays of independent random elements in Banach spaces, Vietnam Institute for Advanced study in Mathematics (VIASM) preprint V T N Anh and N T Thuy (2017), On the conditions for the complete convergence in mean for double sums of independent random elements in Banach spaces, Vinh University Journal of Science: Natural sciences., 46 no 2A, 31-42 98 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] A de Acosta (1981), Inequalities for B -valued random vectors with applications to the strong law of large numbers, Ann Probab 9, 157-161 [2] V T N Anh, L V Thanh and N T Thuy (2016), On generalizations of maximal inequalities for double arrays of independent random elements in Banach spaces, Vietnam Institute for Advanced Study in Mathematics (VIASM) preprint [3] P Bai, P Y Chen and S H Sung (2014), On complete convergence and the strong law of large numbers for pairwise independent random variables, Acta Math Hungar 142, no 2, 502–518 [4] J Bernoulli (1713), On the law of large numbers, part four of Ars conjectandi (Enghlish translation), translated by Oscar Sheynin, Berlin: NG Verlag [5] E Borel (1909), Sur les probabilitiés et leurs applications arithmétiques, Rend Circ Mat Palermo 26, 247-271 [6] P Y Chen and D C Wang (2012), Lr convergence for B -valued random elements Acta Math Sin (Engl Ser.) 28, no 4, 857–868 [7] Y S Chow (1988), On the rate of moment convergence of sample sums and extremes, Bull Inst Math Acad Sinica, 16, 177-201 [8] S Csăorgo, K Tandori, and V Totik (1983), On the strong law of large numbers for pairwise independent random variables, Acta Math Hungar 42, no 3-4, 319-330 [9] L V Dung and N D Tien (2010), Strong laws of large numbers for random fields in martingale type p Banach spaces, Statist Probab Lett 80, 756-763 [10] N Etemadi (1981), An elementary proof of the strong law of large numbers, Z Wahrsch Verw Gebiete 55, 119-122 [11] N Etemadi (1985), Tail probabilities for sums of independent Banach space valued random variables, Sankhy¯ a Ser A 47, no 2, 209-214 99 [12] N Etemadi (1985), On some classical results in probability theory Sankhy¯a Ser A 47 , no 2, 215-221 [13] N Etemadi (1991), Maximal inequalities for partial sums of independent random vectors with multi-dimensional time parameters Comm Statist Theory Methods 20, 3909-3923 [14] N V Giang (1995), Marcinkiewicz-Zygmund laws for Banach space valued random variables with multidimensional parameters, Teor Veroyatnost i Primenen, 40, 213-219 [in Russian] (English translation in Theory Probab Appl 40, 175–181) [15] N V Giang and N D Tien (1991), The strong law of large numbers for multiparametric independent random variables, (Russian); translated from Litovsk Mat Sb 31, 103-114 [16] A Gut (1978), Marcinkiewicz laws and convergence rates in the law of large numbers for random variables with multidimensional indices, Ann Probab, 6, 469-482 [17] A Gut (2005), Probability: A graduate course Springer-Verlag, New York [18] G H Hardy and E M Wright (1960), An introduction to the theory of numbers.,4th Ed Oxford: Clarendon [19] J Hoffmann-Jørgensen (1974), Sums of independent Banach space valued random variables Studia Math 52, 159-186 [20] J Hoffmann-Jørgensen and G Pisier (1976), The law of large numbers and the central limit theorem in Banach spaces Ann Probab 4, 587-599 [21] O Klesov (1985), Strong law of large numbers for multiple sums of independent identically distributed random variables, Theory Probab Math Statist 50, 1006-1014 [22] O Klesov (2014), Limit theorems for multi-indexed sums of random variables Springer-Verlag, New York [23] A N Kolmogorov (1933), Grundbegriffe der wahrscheinlichkeitsrechnung English translation: Foundations of the Theory of Probability (1956) Chelsea, New York [24] M Ledoux and M Talagrand (1991), Probability in Banach spaces Isoperimetry and processes., Springer-Verlag, Berlin 100 [25] D Li and A Rosalsky (2013), New versions of some classical stochastic inequalities, Stoch Anal Appl 31, no 1, 62-79 [26] D Li, Y Qi and A Rosalsky (2015), An extension of theorems of Hechner and Heinkel Asymptotic Laws and Methods in Stochastics: A Volume in Honour of Miklús Csăorgo Fields Institute Communications Series, SpringerVerlag, New York [27] D Li, Y Qi and A Rosalsky (2016), A characterization of a new type of strong law of large numbers Trans American Math Soc 368, no 1, 539-561 [28] M Ledoux and M Talagrand (1991), Probability in Banach spaces Isoperimetry and processes., Springer-Verlag, Berlin [29] M Loève (1977), Probability Theory I, 4th Ed.; Springer-Verlag, New York [30] J Marcinkiewicz and A Zygmund (1937), Sur les fonctions indépendantes, Fund Math 29, 60-90 [31] J Marcinkiewicz and A Zygmund (1938), Quelque theéorémes sur les functions indépendantes, Studia Math VII 104-120 [32] T Mikosch and R Norvaiˇsa (1987), Strong laws of large numbers for fields of Banach space valued random variables, Probab Theory Related Fields 74, 241-253 [33] F Móricz (1977), Moment inequalities for the maximum of partial sums of random fields Acta Sci Math (Szeged), 39, no 3-4, 353–366 [34] F Móricz (1980), Strong laws of large numbers for quasistationary random fields Z Wahrsch Verw Gebiete, 51, no 3, 249–268 [35] F Móricz (1981), The Kronecker lemmas for multiple series and some applications, Acta Math Acad Sci Hungar., 37, 39-50 [36] R Parker and A Rosalsky (2017), On complete convergence in mean for double sums of independent random elements in Banach spaces, Lobachevskii Journal of Mathematics., 38, 177-191 [37] G Pisier (1986), Probabilistic methods in the geometry of Bannach spaces, Springer-Verlag, Berlin [38] N V Quang and N V Huan (2008), Weak law of large numbers for adapted double arrays of random variables, J Probab Stat Sci , (2), 125-134 101 [39] N V Quang and N N Huy (2008), On the weak law of large numbers for double arrays of Banach space valued random elements, J Korean Math Soc , 45 (3), 795-805 [40] N V Quang and N V Huan (2009), On the strong law of large numbers and Lp -convergence for double arrays of random elements in p-uniformly smooth Banach spaces, Statist Probab Lett., 79 (18), 1891-1899 [41] N V Quang and N V Huan (2009), A characterization of p-uniformly smooth Banach spaces and weak laws of large numbers for d-dimensional adapted arrays, Sankhya: The Indian Journal of Statistics, 72-A (2), 344358 [42] A Rosalsky, L.V Thanh and N T Thuy (2014), On the laws of large numbers for double arrays of independent random elements in Banach spaces Acta Mathematica Sinica 30, 1353-1364 [43] A Rosalsky and L V Thanh (2006), Strong and weak laws of large numbers for double sums of independent random elements in Rademacher type p Banach spaces, Stochastic Analysis Applications, 24, 1097-1117 [44] A Rosalsky, L V Thanh and A Volodin (2006), On complete convergence in mean of normed Sums of independent random elements in Banach spaces, Stoch Anal Appl., 24, 23-35 [45] A Rosalsky and L V Thanh (2007), On almost sure and mean convergence of normed double sums of Banach space valued random elements, Stochastic Analysis Applications, 25, 895-911 [46] A Rosalsky and L V Thanh (2009), Weak laws of large numbers of double sums of independent random elements in Rademacher type p and stable type p Banach spaces Nonlinear Anal 71, e1065-e1074 [47] R.T Smythe (1973), Strong laws of large numbers for r-dimensional arrays of random variables Ann Probab 1, no 1, 164-170 [48] T C Son, D H Thang and L V Dung (2014), Complete convergence in mean for double arrays of random variables with values in Banach spaces Appl Math 59, no 2, 177-190 [49] U Stadtmă uller and L V Thanh (2011), On the strong limit theorems for double arrays of blockwise M -dependent random variables Acta Math Sin (Engl Ser.) 27, 1923-1934 102 [50] L V Thanh (2005), Strong law of large numbers and Lp convergence for double arrays of independent random variables Acta Math Vietnam 30, 225232 [51] L V Thanh and N T Thuy (2016), On complete convergence in mean for double sums of independent random elements in Banach spaces, Acta Math Hungar., 150, 456-471 [52] L V Thanh and N T Thuy (2018), Necessary and sufficient conditions for complete convergence for double weighted sums of pairwise independent identically distributed random elements in Banach spaces, to appear in Acta Math Hungar [53] L X Wang, L Zheng, C Xu and S Hu (2015), Complete consistency for the estimator of nonparametric regression models based on extended negatively dependent errors Statistics 49, no 2, 396-407 [54] L X Zhang and J W Wen (2001), A strong law of large numbers for B valued random fields Chinese Ann Math Ser A 22, no 2, 205-216 ... 2.1 Sự hội tụ đầy đủ theo trung bình mảng phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach 41 2.2 Sự hội tụ đầy đủ mảng phần tử ngẫu nhiên độc lập đôi nhận giá trị không gian Banach. .. chắn, hội tụ đầy đủ, hội tụ theo xác suất, hội tụ theo trung bình, lý thuyết xác suất ta xét đến hội tụ đầy đủ theo trung bình Hội tụ đầy đủ theo trung bình dạng hội tụ mạnh hội tụ đầy đủ hội tụ theo. .. mảng phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach 22 Chương Sự hội tụ đầy đủ theo trung bình hội tụ đầy đủ mảng phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach