An Nhơn - Bình Đònh 12 Đề ôn thi HSG - Thi Chuyên Toán ĐỀ 01 Bài 1: Chứng tỏ phương trình sau không có nghiệm nguyên: x 2 – 2y 2 = 5 HD: Suy ra x lẻ ; x = 2k+1; thay vào PT suy ra y chẵn ; y=2t; dẫn đến m.(m+1) lẻ (vô lý) Bài 2: Giải phương trình 5 1 3 + x = 2 (x 2 +2) HD: ĐKXĐ: ? Đặt a = 1 + x và b = 1 2 +− xx ; suy ra: a 2 + b 2 =5ab; KQ: x= 2 375 ± ; Bài 3: Tìm GTNN biểu thức T = 222 111 z z y y x x − + − + − ; trong đó x,y,z là các số dương thoã mãn x 2 + y 2 + z 2 = 1. HD: p dụng BĐT Cau chy cho ba số dương 2x 2 ; 1-x 2 1-x 2 từ đó suy ra x(1-x 2 ) 33 2 ≤ ; Suy ra 2 2 2 33 1 x x x ≥ − ;…… Bài 4: Cho tam giác ABC cân tại A, trên cạnh BC lấy D sao cho BD = 2 DC. Trên đoạn AD lấy P sao cho · · BAC BPD= . CMR: · · 1 2 DPC BAC= . HD:Trên các cạnh AB , AC lần lượt lấy M , N sao cho DM s/song AC, MN s/song BC ; CM: BDPM; AMPN nội tiếp, từ đây s/ra: DPNC nội tiếp – Gọi Q là trung điểm NC, Cminh QC = QN = QD ; s/ra:Q là tâm đường tròn ngoại tiếp DPNC suy ra: · DPC = · 1 2 DQC ĐỀ 02 Bài 1: Tìm số nguyên tố p sao cho 2p +1 là lập phương của một số tự nhiên . HD: 2p+1 = n 3 (n N ∈ ) ; thử p = 2 ; nếu p > 2 thì p lẻ (?) ; (p ; 2) = 1; 2p = (n-1)(n 2 +n+1) ; chú ý n 2 +n+1 lẻ và n 2 + n + 1 > n - 1 nên chỉ có thể n -1 = 2 ; thử lại (?) Bài 2: Giải phương trình 3 2111244 2 3 +−=− xxx HD: C/m VP > 0 ; s/ra: x -1 > 0 ; dùng BĐT Cauchy cho x - 1 ; 2 ; 2 và kết hợp PT s/ra: (x - 3) 2 ≤ 0 ; s/ra: x = 3; thử lại (?). Bài 3: Tìm GTNN biểu thức B = (x+1)( 1 1 + y ) + (y+1)( 1 1 + x ) ; trong đó x, y là các số dương thoã mãn x 2 + y 2 = 1 . ( Trích thi HSG Tỉnh BĐònh 2006-2007). HD: B/đổi B = (x+ x2 1 ) + ( y+ y2 1 ) + 1 1 1 2 2 x y x y y x     + + + +  ÷  ÷     ; KQ: Min B= 4+3 2 khi chỉ khi x = y = 2 1 . Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn có AD , BE , CF là các đường cao . Gọi M là điểm nằm giữa D và F ; trên tia đối của tia ED lấy N sao cho · · MAN BAC= . Chứng minh rằng: AM là tia phân giác · NMF . HD: Gọi H là trực tâm ; c/minh: DA là tia phân giác · FDE ; gọi I đối xứng M qua DA thì I thuộc đoạn DE (?) và MI s/song BC ; hãy c/minh AMIN nội tiếp; để ý rằng · · AIN AMF= . ĐỀ 03 Bài 1: Tìm nhgiệm nguyên tố của phương trình : x y + y x = z . HD: z = x y + y x ≥ 2 2 + 2 2 ; s/ra : z n/tố lẻ ; s/ra: x và y khác tính chẵn lẻ ; giả sử x chẵn , s/ra: x = 2 (?) ; y lẻ , trường hợp y =3 (…) ; nếu y > 3 thì ( y ; 3) =1 (?) ; z = (2 y +1 y ) + (y 2 -1) ; Mà (2 y +1 y ) 3 (?) ; (y-1)y(y+1) 3 ⇒ (y 2 -1) 3 (?) ; vậy z có ước thực sự là 3 nên z không là số n/tố . Bài 2: Giải phương trình: x 3 +1 = 2 3 12 − x Nguyễn Tấn Ngọc 1 An Nhơn - Bình Đònh 12 Đề ôn thi HSG - Thi Chuyên Toán HD: Đặt y =    =+ =+ ⇒− xy yx x 21 21 12 3 3 3 (hệ đối xứng loại hai)- Trừ vế theo vế ; đưa về PT tích ! Bài 3: Tìm GTNN biểu thức A = tx xz xz zy zy yt yt tx + − + + − + + − + + − ; trong đó x , y , z , t là các số dương. HD: B/đổi A+4 = (x+y)         + + + ++         + + + txzy zt xzyt 11 )( 11 ; Dùng a > 0 ; b > 0 thì baba + ≥+ 411 ( Dấu “=” 0 >=⇔ ba ); KQ: MinA = 0    = = ⇔ tz yx Bài 4: Cho điểm K nằm bên ngoài đường tròn (O) ; gọi KA và KT là hai tiếp tuyến (A và T là tiếp điểm) . Trên tia đối của tia TK lấy điểm C sao cho AC cắt (O) tại B và B là trung điểm AC ; BK cắt (O) lần nữa tại L . CMR: TL // AC . HD: AKL~ BKA (g.g); TKL ~ BKT (g.g) s/ra: Hai tỉ lệ thức t/hợp cùng với KA = KT , s/ra BT TL BC AL BT TL BA AL =⇒= (?) ; · · ALT TBC= ( cùng bù góc ? ); S/ra: ALT~ CBT (c.g.c) ; · · · LAT BCT LTK= = (đ.v) ĐỀ 04 Bài 1: Tìm tất cả các tam giác vuông có các cạnh là các số nguyên dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi ? HD: lập hệ    ++= =+ )(2 222 zyxxy zyx ; khử z s/ra: (x-4)(y-4)= 8 . Bài 2: Giải phương trình: 121 3 −+=+ xx . HD: ĐKXĐ: (?); Đặt u = 3 1 + x và v = 2 + x ; lập hệ (?) Bài 3: Cho a , b , c là các số dương ; ch/minh BĐT: 2 > + + + + + ba c ac b cb a HD: Dùng BĐT Cau chy cho a và b+c thu được (…) cba a cb a ++ ≥ + ⇒ 2 (?); cuối cùng dấu bằng không xảy ra (?). Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn , H là trực tâm . Đường phân giác ngoài ở dỉnh H của tam giác BHC lần lượt cắt các cạnh AB , AC tại D và E . Đường thẳng qua D vuông góc AB và đường thẳng qua E vuông góc AC cắt nhau tại K . CMR: HK đi qua trung điểm BC ? HD: Gọi N ; P là các chân đường cao hạ từ B ; C ; DK cắt BC tại T; EK cắt BC tại R; HK cắt BC tại O . CMR: DB:DP = HB:HP = HC:HN = EC:EN = RC:RB = TB:TC TCRB =⇒ (…) ĐỀ 5 Bài 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 7(x + y) = 3(x 2 - xy + y 2 ). (Ttrích thi HSG Tỉnh BĐònh 2006-2007) HD: Chuyển về PT bậc hai đối với ẩn x ;=> ▲ x ≥ 0 ; từ đó tìm y (?) . Bài 2: Cho a > 1; b > 1. Tìm GTNN biểu thức: A = 11 22 − + − b b a a . HD: Đặt x = a-1 , y = b-1 ( với x, y > 0) => A = 4) 1 () 1 ( )1()1( 22 ++++= + + + y y x x y y x x Bài 3: Giải phương trình : 3 424 23 ++=+ xxxx HD: ĐKXĐ: (?) ; Đặt u = xvx =+ ;4 2 => u 2 +2v 2 -3uv = 0 . Bài 4: Cho △ABC có I là tâm đường tròn nội tiếp ; O là tâm đường tròn ngoại tiếp ; G là trọng tâm và giả sử rằng · AIO = 1v . CMR: IG // BC . HD: AI cắt (O) tại E và cắt BC tại D => EB = EC = EI = IA ; theo Đ/lý Ptôlêmê: EA . BC = EC . AB + EB . AC => 2BC = AB + AC ; t/c p/giác có: AB : DB = AC : DC = IA : ID = (AB + AC ) : ( DB + DC) Nguyễn Tấn Ngọc 2 An Nhơn - Bình Đònh 12 Đề ôn thi HSG - Thi Chuyên Toán Hay IA :ID = (AB + AC ) : BC = 2 = GA : GM ( M là trung điểm BC) => GI // MD (Talet đảo) ĐỀ 6 Bài 1: Tìm nghiệm nguyên của hệ:    =+ =− 2 13 ytxz ztxy ; HD: => (x 2 + 3t 2 )(y 2 + 3z 2 ) = 13 (?)  x 2 +3t 2 =1 hoặc y 2 +3z 2 = 1 Bài 2: Cho a > 0 , b > 0 và a+b =1 . Tìm GTNN biểu thức K = ab ba 11 22 + + . HD: K = ( ab ba 2 11 22 + + ) + ab2 1 ; dùng x > 0; y > 0 thì yxyx + ≥+ 411 và (x + y) 2 ≥ 4xy. Bài 3: Giải phương trình: 1 3 + x = x 2 -3x -1 . HD: ĐKXĐ: (?) ; đặt u = 1 + x ; v = 1 2 +− xx ( với u ≥ 0 ; v > 0) => v 2 - 2u 2 - uv = 0 ; Bài 4: Cho △ABC vuông ở A ; vẽ đường tròn (B) đường kính AD. Trên đường thẳng BC lấy E và F sao cho B là trung điểm EF . Các tia DE và DF lần lượt cắt (B) tại các điểm khác là M và N . CMR: C, M , N thẳng hàng . HD: Kẽ tiếp tuyến CK (K là tiếp điểm ; K khác A) ; giả sử E , F nằm bên trong (B) và E nằm giữa B và C ( các trường hợp còn lại CM t/tự) . Hãy CM: CMEK nội tiếp ; · 1AND v= ; △ABE = △DBF (c.g. c) => · · CME NMD+ = 180 0 ĐỀ 7 Bài 1: a) Cho C = (a - b) 3 + (b - c) 3 + (c - a) 3 ( với a,b,c ∈ Z) . CMR: C  6 . HD: C = 3(a-b)(b-c)(c-a) – Dùng nguyên tắc Di rich le. b)Tìm nghiệm nguyên của PT: x 2 – 3y 2 = 17. HD:  ( x 2 + 1) -3y 2 = 18 => (x 2 +1)  3 ( không xảy ra ?) Bài 2: Cho x,y,z ≥ 0 và x+y+z ≤ 3 . Tim GTLN biểu thức A = 111 222 + + + + + z z y y x x HD: C/m: 1 1 1 2 2 2 2 + + ≤ + x x x x ; KQ: MinA = 3/2 x = y = z = 1. Bài 3: Cho a,b > 0 và a + b = 1 ; tìm GTNN biểu thức: B = ab ba 23 22 + + . HD: B = 3       + + ab ba 2 11 22 + ab2 1 ; dùng (x+y) 2 ≥ 4xy ; yxyx + ≥+ 411 ( với x,y > 0) Bài 4: Cho nửa đường tròn (O) , đường kính AB . Trên đường thẳng AB lấy điểm C ( C nằm bên ngoài (O) ). Từ C kẽ tiếp tuyến CE và cát tuyến CMN ( E, M, N thuộc nửa (O) ). Gọi I là hình chiếu của E lên AB . CMR: · · AIM BIN= . HD: C/m: CI . CO = CM . CN ( = CE 2 ) => △CIM ∽ △CNO => MION nội tiếp => đpcm ĐỀ 8 Bài 1: Tìm tất cả các số nguyên dương n để tổng n 4 + n 3 + 1 là một số chính phương . HD: n 4 + n 3 + 1 > (n 2 ) 2 => n 4 + n 3 + 1 = (n 2 + k) 2 ( với k thuộc N * ) (?)  n 2 (n - 2k) = k 2 - 1 ≥ 0 (1) => (k 2 -1)  n 2 => k 2 -1 = 0 hoặc k 2 -1≥ n 2 ; Nếu k 2 -1 = 0 => k = 1 => n = 2 ( thử lại ?) - Nếu k 2 -1 ≥ n 2 => k > n => n - 2k < 0 => (1) > < Bài 2: Giải phương trình: 2 2 11 2 = − + x x . HD: ĐKXĐ: (?) Đặt y = 2 2 x − ( với y > 0) Nguyễn Tấn Ngọc 3 An Nhơn - Bình Đònh 12 Đề ôn thi HSG - Thi Chuyên Toán =>      =+ =+ 2 11 2 22 yx yx =>     − = = 2 1 1 xy xy ( ……….) => S =       −− 2 31 ;1 . Bài 3: a) Tìm GTNN biểu thức A = x 3 + y 3 + z 3 ; trong đó x , y , z ≥ -1 và x 2 +y 2 +z 2 = 12 . HD: (x+1)(x-2) 2 ≥ 0  (…) MinA = 24  x = y = z = 2. b) Cho a,b,c,d > 0 và a+b+c+d ≤ 1 . Tìm GTLN biểu thức: B = ( ba + ) 4 + ( ca + ) 4 + ( da + ) 4 + ( 444 )()() dcdbcb +++++ HD: ( )6(2)()() 2244 4 abbabababa ++=−++≤+ (dấu “=”  a = b); T/tự (….) MaxB = 6  a = b = c = d = ¼ . Bài 4: Cho △ABC nhọn , BC > AC và nội tiếp (O) ; H là trực tâm ; CF là đường cao của △ABC ; trên cạnh AC lấy điểm P sao cho · PEO = 1v . CMR: · · FHP BAC= . HD: Gọi T đối xứng H qua AB ; C/m: T ∈ (O) ; PF cắt BT tại Q , c/m: FP = FQ (bài toán Con Bướm) – △PFH = △QFT (c.g.c) => · · · PHE QTF BAC= = . ĐỀ 9 Bài 1: Tìm tất cả các giá trò hữu tỷ của x để x 2 + x + 6 có giá trò là số chính phương. HD: C/m: x phải là số nguyên (?) ; x 2 +x+6 = y 2 (ythuộc N) ; nhân hai vế cho 4 . Bài 2: Tìm GTNN biểu thức A = xx 1 2 2 + − (với 0 < x < 2) HD: A = x xx x xx 2 )2( 2 )2( +− + − +− ; KQ: MinA = 1,5+ 2222 −=⇔ x . Bài 3: Tìm GTNN biểu thức B = nm 536 − ; với m , n là các số nguyên dương. HD: A là số tự nhiên có tận cùng bằng 1 hoặc 9 – Xét A = 1  36 m – 5 n = 1  36 m -1 m = 5 n ( không xảy ra vì theo HĐTTQ thì VT chia hết cho 7) . Bài 4: Cho △ABC ; M là điểm nằm bên trong tam giác sao cho: · · · · AMB ACB AMC ABC− = − . CMR:AM và các đường phân giác · · ;ABM ACM đồng quy . HD: Về phía ngoài △ABC dựng △APB ∽ △AMC => △APM ∽ △ABC (c.g.c) => · APM = · ABC ; k/hợp · · APB AMC= => · · · · APB APM AMC ABC− = − hay · · · BPM AMC ABC= − (*) · · AMP ACB= (do hai t/g đ d) => · · · · · PMB AMB AMP AMB ACB= − = − (**) . Từ (*) , (**) và đẳng thức bài toán => · · BPM PMB= => △BPM cân tại B => BP = BM ; △APB ∽ △AMC => AB:BP=AC:CM =>AB:BM=AC:CM; gọi BD là p/giác △ABM => AB:BM = DA:DM => AC:CM = DA:DM => CD là p/giác △ACM => đpcm. ĐỀ 10 Bài 1: a) Tìm nghiệm nguyên của PT: 4(x + y) = 3xy - 8 ; HD:  (…)(…) = m (m )Z ∈ . b)C/tỏ PT: 1 111 22 =++ y xy x không có nghiệm nguyên dương . HD: G/sử 1≤ x y ≤ =>(><). Bài 2: Giải PT: x 4 + 3x 3 + 4x 2 + 3x + 1 = 0 . HD: x = 0 (?) → chia hai vế cho x 2 → đặt ẩn phụ ? Bài 3: a) Tìm GTNN biểu thức C = 2 3 3 − + x x (với x > 2); HD: Thêm,bớt 2/3. b)Cho x + y + z = 5 và x 2 + y 2 + z 2 = 9 . CMR: 1 3 7 ,, ≤≤ zyx . HD: Dùng BĐT Bunhiacôpsky có (1 2 + 1 2 )(y 2 + z 2 ) 2 )( zy +≥  2(9 - x 2 )≥ (5 - x) 2 . Bài 4: Cho △ABC có A’;B’;C’ l/lượt là trung điểm BC; CA; AB. Gọi M là điểm tuỳ ý thuộc miền trong △ABC . Gọi A 1 là giao điểm MA và B’C’ ; B 1 là g/điểm MB và C’A’; C 1 là g/điểm MC và A’B’. CMR: A’A 1 ; B’B 1 ; C’C 1 đồng quy. Nguyễn Tấn Ngọc 4 An Nhơn - Bình Đònh 12 Đề ôn thi HSG - Thi Chuyên Toán HD: ( Dùng ĐL thuận & đảo Xe-Va); gọi M 1 ;M 2 ;M 3 l/lượt là g/điểm AM và BC ; BM và AC ; CM và AB – Dùng Xe-Va thuận cho △ABC với ba đường đ/quyAM 1 ;BM 2 ;CM 3 Có:AM 3 :M 3 B ……= 1 (1); Ta-lét có: M 1 C:M 1 B = A 1 B’:A 1 C’ (2) ; t/tự có (3), (4)- Nhân (1) ,(2), (3),(4) vế theo vế => (…); dùng Xê-Va đảo cho △A’B’C’ ĐỀà 11 Bài 1: a) Cho n * N ∈ và A = 6 2n + 19 n - 2 n+1 . CMR: A 17 ; HD: A = (36 n - 19 n ) + 2(19 n - 2 n ). b)Tìm nghiệm nguyên dương của hệ:    =−+−+ =++++ )2(754443 )1(1254445 222 222 yzxyzyx yzxyzyx HD: (1) +(2) => x + 2y = 10 (x,y > 0) ; (1) – (2) => y + 2z = 5 (y,z > 0) => x = 4z ; y = 5 - 2z x > 0, y > 0 ; => 0 < z < 2,5 => z = 1;2 Bài 2: Giải PT: x 4 - 5x 3 + 10x 2 - 10x + 4 = 0 ; HD: x = 0 (?) ; chia hai vế cho x 2 – đặt ẩn phụ (?). Bài 3: a- Tìm GTNN biểu thức B = xx 1 1 2 + − ( với 0 < x < 1) ; KQ: MinB = 3+ 2 2 . b- Cho a,b,c [ ] 2;0 ∈ ; tìm GTLN biểu thức E = ab c ca b bc a + + + + + 444 ; HD: G/sử 0 2 ≤≤≤≤ cba => 4 bcacab +≤+≤+≤ 444 (1) – Nghòch đảo các vế => ac b ab b bc a ab a + ≥ ++ ≥ + 44 ; 44 ; => E ab cba + ++ ≤ 4 ; dùng (2 - a)(2 - b) 0 ; 2 4c≥ ≤ => 4+ ab )(2 ba +≥ => 4 +ab + ab )(2 ba +≥ (dấu “=”  ab = 0) =>2(4 + ab) ≥ 2(a + b + c); Max E = 1  (a,b,c) là các hoán vò (0;2;2). Bài 4: Cho △ABC với AH là đường cao. Về phía ngoài t/g vẽ △ABE vuông tại B; vẽ △ ÀCF vuông tại C sao cho △ACF ∽ △ABE . CMR: BF; CE; AH đồng quy . HD: Từ hai t/g đ dạng => AB : BE = AC : CF – Trên tia đối tia AH lấy K sao cho AK = ( AB . BC) : EB = ( AC . BC) : FC => AK:AB = BC:BE (1) ; · · KAB CBE= (2) => △KAB ∽ △CBE => · · · · 0 90ABK EBK BEC EBK+ = + = => CE ⊥ BK => đpcm ĐỀ 12: Bài 1: Tìm x Z∈ sao cho đa thức x 3 -2x 2 +7x -7 chia hết cho đa thức x 2 +3 . HD: x(x 2 + 3) -2(x 2 + 3) +(4x -1)  (x 2 + 3) => (4x -1)  (x 2 + 3) => (4x -1)(4x + 1)  (x 2 + 3)  ( 16(x 2 + 3) - 49)  (x 2 + 3) => 49  (x 2 + 3) => x 2 + 3 = 7;49 – Thử lại (?) Bài 2: Giải PT: 323312 222 +−=−++− xxxxxx ; HD: ĐKXĐ: (?) – nhân hai vế cho 2 – Dùng Cau-Chy cho 2x 2 –x và 1 ; t/tự => VT ≤ 4 ; VP ≥ 4 (dấu “=”  x = 1) ; thử lại ! Bài 3: Tìm GTNN biểu thức P = abc cabcba )()( 22 +++ ; trong đo ùa,b,c là độ dài ba cạnh một t/g vuông ; clà độ dài cạnh huyền . HD: B/đổi P = c ba ab ba + + + 22 =         + ++ +       − c ba ab c ab ba 22 1 1 222 ; KQ:MinP= 2+ 2  a cb == 22 . Bài 4: Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) ( · ABC < 90 0 ). Các tia BA và CD cắt nhau tại M ; các tia AD và BC cắt nhau tại N . Đường tròn ngoại tiếp △BMN cắt (O) lần nữa tại E . CMR: Đường thẳng DE đi qua trung điểm MN. HD: ED cắt MN tại I ; => · · · · · · 0 180IME EBN EDC EBN IME EDC+ = + = ⇒ = · · · · · · IMD IME DME EDC DME MED= − = − = ( góc ngoài △ DME) => IM là tiếp tuyến tại M của đ/t ngoại tiếp △DME => IM 2 = ID . IE ; IN 2 = ID .IE => IM = IN Nguyễn Tấn Ngọc 5 An Nhơn - Bình Đònh 12 Đề ôn thi HSG - Thi Chuyên Toán Nguyễn Tấn Ngọc 6 . 2 (? ) ; y lẻ , trường hợp y =3 ( ) ; nếu y > 3 thì ( y ; 3) =1 (? ) ; z = (2 y +1 y ) + (y 2 -1 ) ; Mà (2 y +1 y ) 3 (? ) ; (y-1)y(y+ 1) 3 ⇒ (y 2 -1 ). + 3) => (4 x -1 )( 4 x + 1)  (x 2 + 3)  ( 16(x 2 + 3) - 4 9)  (x 2 + 3) => 49  (x 2 + 3) => x 2 + 3 = 7; 49 – Thử lại (? ) Bài 2: Giải PT: 323312