Đang tải... (xem toàn văn)
Mục tiêu của đề tài nhằm nghiên cứu, hệ thống các khái niệm và tính chất của phương tích, trục đẳng phương và tâm đẳng phương, từ đó ứng dụng để giải một số dạng toán hình học phẳng trong chương trình Toán phổ thông trung học. Mời các bạn cùng tham khảo.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN TẤN NINH PHƯƠNG TÍCH VÀ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TỐN HÌNH HỌC PHẲNG Chun ngành: Phương pháp Tốn sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng - Năm 2015 Cơng trình hoàn thành ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS TRẦN ĐẠO DÕNG Phản biện 1: PGS.TSKH TRẦN QUỐC CHIẾN Phản biện 2: PGS.TS HUỲNH THẾ PHÙNG Luận văn bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ khoa học họp Đại học Đà Nẵng vào ngày 12 tháng 12 năm 2015 Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Trường Đại Học Sư Phạm, Đại học Đà Nẵng MỞ ĐẦU Lí lựa chọn đề tài Phương tích, trục đẳng phương tâm đẳng phương công cụ hữu hiệu để giải toán hình học phẳng Kiến thức chúng đơn giản dễ hiểu, lại có nhiều ứng dụng để giải toán chứng minh đẳng thức hình học, tìm tập hợp điểm thuộc đường tròn, điểm cố định, tốn quan hệ thẳng hàng, đồng quy, vng góc, Sử dụng tính chất phương tích, trục đẳng phương tâm đẳng phương để giải tốn hình học phẳng thường cho lời giải hay dễ hiểu Được định hướng PGS.TS.Trần Đạo Dõng, chọn đề tài “Phương tích ứng dụng giải tốn hình học phẳng” làm đề tài luận văn thạc sĩ với mong muốn tìm hiểu phương tích, kiến thức liên quan vận dụng để giải số tốn hình học phẳng chương trình Tốn trung học phổ thơng, đặc biệt kỳ thi học sinh giỏi Toán Mục tiêu nội dung nghiên cứu Mục tiêu đề tài nhằm nghiên cứu, hệ thống khái niệm tính chất phương tích, trục đẳng phương tâm đẳng phương, từ ứng dụng để giải số dạng tốn hình học phẳng chương trình Tốn phổ thơng trung học Với mục tiêu nêu trên, luận văn chia thành chương: Chương trình bày khái niệm, tính chất phương tích, trục đẳng phương tâm đẳng phương Chương trình bày ứng dụng phương tích, trục đẳng phương, tâm đẳng phương vào giải số tốn hình học phẳng chương trình phổ thơng trung học Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài kiến thức phương tích, trục đẳng phương tâm đẳng phương, ứng dụng chúng giải số dạng tốn hình học phẳng Phạm vi nghiên cứu đề tài toán chứng minh quan hệ thẳng hàng, đồng quy, xác định điểm cố định, chứng minh tập hợp điểm thuộc đường tròn tính đại lượng hình học, hình học phẳng thuộc chương trình phổ thơng trung học Phương pháp nghiên cứu Thu thập báo cáo khoa học, chuyên đề tài liệu tác giả nghiên cứu kiến thức liên quan đến phương tích, trục đẳng phương tâm đẳng phương Thu thập toán đề thi học sinh giỏi liên quan đến phương tích, trục đẳng phương tâm đẳng phương, giải tốn chưa có lời giải tham khảo giải phương pháp khác Trao đổi, tham khảo ý kiến người hướng dẫn, bạn đồng nghiệp Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Nâng cao hiệu dạy học số chủ đề nâng cao hình học phẳng thuộc chương trình Tốn trung học phổ thơng Phát huy tính tự học sáng tạo học sinh Cấu trúc luận văn Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận Chương trình bày khái niệm, tính chất phương tích, trục đẳng phương tâm đẳng phương Chương trình bày ứng dụng phương tích, trục đẳng phương, tâm đẳng phương vào giải số tốn hình học phẳng chương trình phổ thơng trung học CHƯƠNG CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ Trong chương chúng tơi trình bày số định nghĩa, định lý tính chất phương tích, trục đẳng phương tâm đẳng phương chương trình Tốn trung học phổ thông để làm sở cho chương sau Các kiến thức trình bày chương tham khảo từ tài liệu [3], [4], [6] 1.1 PHƯƠNG TÍCH CỦA MỘT ĐIỂM ĐỐI VỚI ĐƯỜNG TRÒN Định lý 1.1.1 ([3] , Định lý) Cho đường tròn (O; R) điểm M cố định Một đường thẳng thay đổi qua M cắt đường tròn hai −→ −→ −→ −→ điểm A B tích vơ hướng MA.MB số không đổi MA.MB = MO2 − R2 Chứng minh Kẻ OI ⊥ AB ⇒ I trung điểm AB → − → − Suy IB = −IA −→ −→ − − − − − − → → → → − − → → → → Ta có MA.MB = (MI + IA)(MI + IB) = (MI + IA)(MI − IA) −−→ −→ = MI − IA2 = (MO2 − OI ) − (OA2 − OI ) = MO2 − OA2 = MO2 − R2 −→ −→ Định nghĩa 1.1.1 Giá trị MA.MB không đổi định lý gọi phương tích điểm M đường tròn (O) kí hiệu ℘M/(O) −→ −→ Như ℘M/(O) = MA.MB = MO2 − R2 = d − R2 Hệ 1.1.1 Trong mặt phẳng, cho đường tròn (O; R) điểm M nằm (O) Qua M kẻ cát tuyến MAB tiếp tuyến MT tới −→ −→ (O) Khi MA.MB = MT = OM − R2 Hệ 1.1.2 Cho hai đường thẳng AB, CD cắt M Khi bốn điểm A, B, C, D thuộc đường tròn −→ −→ −→ −−→ MA.MB = MC.MD Hệ 1.1.3 Qua điểm M vẽ đường thẳng cắt (O) A, B −→ −→ −→ −−→ C, D MA.MB = MC.MD MA.MB = MC.MD Hệ 1.1.4 Cho tam giác ABC, M điểm thuộc đường thẳng AB nằm đoạn thẳng AB Điều kiện cần đủ để MC tiếp xúc −→ −→ với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC MA.MB = MC2 Hệ 1.1.5 Cho hai đường thẳng AB, MT phân biệt cắt −→ −→ M (M khộng trùng với A, B, T) Khi đó, MA.MB = MT đường tròn ngoại tiếp tam giác ABT tiếp xúc với MT T 1.2 TRỤC ĐẲNG PHƯƠNG CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN Định lý 1.2.1.([3] , Định lý) Cho hai đường tròn khơng đồng tâm (O1 ; R1 ) (O2 ; R2 ) Quỹ tích điểm có phương tích hai đường tròn đường thẳng Chứng minh Giả sử điểm M có phương tích hai đường tròn cho Gọi H hình chiếu M O1 O2 , I trung điểm O1 O2 Ta có ℘M/(O1 ) = ℘M/(O2 ) ⇔ MO21 − R21 = MO22 − R22 ⇔ MO21 − MO22 = R21 − R22 ⇔ (MH + HO21 ) − (MH + HO22 ) = R21 − R22 ⇔ HO21 − HO22 = R21 − R22 −−→ −−→ −−→ −−→ ⇔ (HO1 − HO2 )(HO1 + HO2 ) = R21 − R22 −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−−→ Lại có HO1 − HO2 = HO1 + O2 H = O2 H + HO1 = O2 O1 −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ − → −→ HO1 + HO2 = −O1 H + HO2 = −O1 H + HI + IO2 −→ − → − → −→ = −(O1 I − HI) + HI + IO2 −→ − → −→ − → = −O1 I + 2HI + IO2 = 2HI −−→ −−→ −−→ −−→ Do (HO1 − HO2 )(HO1 + HO2 ) = R21 − R22 −−−→ − → ⇔ O2 O1 2HI = R21 − R22 − → R2 − R22 −−−→ ⇔ IH = O1 O2 : không đổi nên H cố định 2O1 O2 Suy quỹ tích điểm M có phương tích hai đường tròn cho đường thẳng qua H vng góc với O1 O2 Định nghĩa 1.2.1 Đường thẳng nói định lý 1.2.1 gọi trục đẳng phương hai đường tròn (O1 ; R1 ) (O2 ; R2 ) Hệ 1.2.1 Trục đẳng phương hai đường tròn vng góc với đường thẳng nối tâm Hệ 1.2.2 Nếu hai đường tròn cắt A B AB trục đẳng phương chúng Hệ 1.2.3 Nếu điểm M có phương tích (O1 ) (O2 ) đường thẳng qua M vng góc với O1 O2 trục đẳng phương hai đường tròn Hệ 1.2.4 Nếu hai điểm M, N có phương tích hai đường tròn đường thẳng MN trục đẳng phương hai đường tròn Hệ 1.2.5 Nếu điểm có phương tích hai đường tròn điểm thẳng hàng Hệ 1.2.6 Nếu (O1 ) (O2 ) tiếp xúc A đường thẳng qua A vng góc O1 O2 trục đẳng phương hai đường tròn * Cách xác định trục đẳng phương hai đường tròn khơng đồng tâm Trong mặt phẳng cho hai đường tròn khơng đồng tâm (O1 ) (O2 ) Xét trường hợp sau Trường hợp Hai đường tròn cắt hai điểm phân biệt A,B Khi đường thẳng AB trục đẳng phương hai đường tròn Trường hợp Hai đường tròn tiếp xúc T Khi tiếp tuyến chung T trục đẳng phương hai đường tròn Trường hợp Hai đường tròn khơng có điểm chung Dựng đường tròn (O3 ) cắt hai đường tròn Trục đẳng phương cặp đường tròn (O1 ) (O3 ); (O2 ) (O3 ) cắt K Đường thẳng qua K vng góc với O1 O2 trục đẳng phương (O1 ), (O2 ) Nhận xét Nếu kẻ tiếp tuyến chung A1 A2 , B1 B2 (O1 ) (O2 ) đường nối trung điểm đoạn A1 A2 , B1 B2 trục đẳng phương (O1 ) (O2 ) 1.3 TÂM ĐẲNG PHƯƠNG CỦA BA ĐƯỜNG TRÒN Định lý 1.3.1.([3] , Định lý) Cho đường tròn (C1 ), (C2 ), (C3 ) Khi trục đẳng phương cặp đường tròn trùng song song qua điểm Chứng minh Gọi di j trục đẳng phương hai đường tròn (Ci ) (C j ) Ta xét trường hợp sau Trường hợp Giả sử có cặp đường thẳng song song, khơng 10 tâm ba đường tròn thẳng hàng Hệ 1.3.3 Nếu ba đường tròn qua điểm có tâm thẳng hàng trục đẳng phương trùng 1.4 THỂ HIỆN TRONG HỆ TỌA ĐỘ DESCARTES 1.4.1 Phương tích hệ tọa độ Descartes Trong mặt phẳng, với hệ tọa độ Descartes, cho điểm M(x0 ; y0 ) đường tròn (O): x2 + y2 + 2ax + 2by + c = Đặt F(x; y) = x2 + y2 + 2ax + 2by + c Khi ℘M/(O) = F(x0 ; y0 ) = x02 + y20 + 2ax0 + 2by0 + c Điểm M nằm bên đường tròn (O) ℘M/(O) > Điểm M nằm đường tròn (O) ℘M/(O) = Điểm M nằm bên đường tròn (O) ℘M/(O) < 1.4.2 Trục đẳng phương hệ tọa độ Descartes Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn khơng đồng tâm (O1 ) : x2 + y2 + 2a1 x + 2b1 x + c1 = 0, (O2 ) : x2 + y2 + 2a2 x + 2b2 x + c2 = Từ biểu thức phương tích điểm đường tròn mặt phẳng tọa độ Oxy suy trục đẳng phương (O1 ) (O2 ) đường thẳng có phương trình 2(a1 − a2 )x + 2(b1 − b2 )y + c1 − c2 = 1.4.3 Tâm đẳng phương hệ tọa độ Descartes Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (O1 ), (O2 ), (O3 ) có tâm không thẳng hàng 11 (O1 ) : x2 + y2 + 2a1 x + 2b1 x + c1 = 0; (O2 ) : x2 + y2 + 2a2 x + 2b2 x + c2 = 0; (O3 ) : x2 + y2 + 2a3 x + 2b3 x + c3 = Khi tọa độ tâm đẳng phương ba đường tròn nghiệm hệ phương trình sau ( a1 − a2 ) x + ( b1 − b2 ) y + c1 − c2 = ( a − a ) x + ( b − b ) y + c − c = 3 12 CHƯƠNG ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TÍCH, TRỤC ĐẲNG PHƯƠNG VÀ TÂM ĐẲNG PHƯƠNG VÀO GIẢI TỐN HÌNH HỌC PHẲNG Phương tích, trục đẳng phương tâm đẳng phương có nhiều ứng dụng việc giải toán chứng minh đẳng thức hình học, quan hệ thẳng hàng, đồng quy, điểm cố định tập hợp điểm thuộc đường tròn, quan hệ vng góc Các tốn chương tham khảo từ tài liệu [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7], [8] 2.1 ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TÍCH Trong phần chúng tơi trình bày ứng dụng phương tích vào giải tốn hình học phẳng, cụ thể tốn chứng minh đẳng thức hình học, toán quan hệ thẳng hàng, đồng quy, toán điểm cố định, tập hợp điểm thuộc đường tròn, tốn quan hệ vng góc 2.1.1 Các tốn chứng minh đẳng thức hình học Phương pháp giải: Đối với toán chứng minh đẳng thức hình học ta thường sử dụng định nghĩa 1.1, hệ 1.1.2 số tính chất khác để chứng minh Dưới số toán minh họa Bài toán 2.1.1 Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O), M giao điểm AB CD, N giao điểm AD BC Chứng minh MN = PM/(O) + PN/(O) Bài toán 2.1.2 Cho tam giác ABC nội tiếp (O, R) ngoại tiếp (I, 13 r) Chứng minh OI = R2 − 2Rr (Hệ thức Ơ-le) Bài toán 2.1.3 (Romani TST 2006) Cho (O) điểm A nằm (O) Từ A kẻ cát tuyến ABC, ADE ( B thuộc đoạn thẳng AC, D thuộc đoạn thẳng AE) Qua D kẻ đường thẳng song song với AC cắt (O) lần thứ F, AF cắt (O) G, EG cắt AC M Chứng minh 1 = + AM AB AC Bài toán 2.1.4 Cho hai đường tròn cắt A B Một đường thẳng tiếp xúc với hai đường tròn M N Đường thẳng qua A B cắt MN điểm I Chứng minh IM=IN 2.1.2 Các toán quan hệ thẳng hàng Phương pháp giải: Để chứng minh toán quan hệ thẳng hàng ta chứng minh điểm có phương tích đường tròn nên chúng nằm đường thẳng tức chúng thẳng hàng Bài tốn 2.1.5 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) Gọi E = AC ∩ BD, F = AB ∩CD Gọi H, K trực tâm tam giác AED, BEC Chứng minh điểm F, H, K thẳng hàng Bài tốn 2.1.6 Cho tam giác ABC có trực tâm H Đường tròn qua B, C cắt AB, AC D, E Gọi F trực tâm tam giác ADE I giao điểm BE CD Chứng minh I, H, F thẳng hàng 14 2.1.3 Các toán điểm cố định, tập hợp điểm thuộc đường tròn Phương pháp chung giải - Để chứng minh điểm cố định ta sử dụng tính chất phương tích tìm đẳng thức vectơ chứng tỏ điểm cố định - Để chứng minh tập hợp điểm thuộc đường tròn ta sử dụng hệ −→ −→ −→ −−→ 1.1.2 MA.MB = MC.MD suy điểm A, B, C, D thuộc đường tròn Bài tốn 2.1.7 Cho đường tròn đường kính AB đường thẳng ∆ vng góc với AB H (H không trùng với A B) Một đường thẳng quay quanh H cắt đường tròn M, N đường thẳng AM, AN cắt ∆ M’, N’ a) Chứng minh bốn điểm M, N, M’, N’ thuộc đường tròn (C) b) Chứng minh đường tròn (C) ln qua hai điểm cố định Bài toán 2.1.8 Cho (O, R) hai điểm P, Q cố định (P nằm ngồi (O)) Dây cung AB (O) ln qua Q PA, PB cắt (O) lần thứ hai D, C Chứng minh CD qua điểm cố định Bài toán 2.1.9 (Đề chọn đội tuyển trường phổ thông khiếu năm 2008) Cho tam giác ABC có đỉnh A cố định B, C thay đổi đường thẳng d cố định cho gọi A’ hình chiếu −→ −→ A lên d A B.A C âm khơng đổi Gọi M hình chiếu A’ lên AB Gọi N hình chiếu A’ lên AC, K giao điểm tiếp 15 tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác A’MN M N Chứng minh K thuộc đường thẳng cố định Bài tốn 2.1.10 Cho đường tròn (O) hai điểm A, B cố định Một đường thẳng quay quanh A, cắt (O) M N Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN thuộc đường thẳng cố định Bài tốn 2.1.11 Cho đường tròn (O) tiếp xúc đường thẳng d −−→ −→ H Hai điểm M, N di động d cho HM.HN = −k2 (k = cho trước ) Từ M, N kẻ tiếp tuyến MA NB (O) ( với A, B khác H) a) Chứng minh đường tròn (OMN) ln qua điểm cố định b) Chứng minh đường thẳng AB qua điểm cố định 2.1.4 Các toán quan hệ vng góc Phương pháp giải: Sử dụng hệ phương tích bổ đề để chứng minh hai đường thẳng vng góc Bổ đề 2.1.13 Cho ∆ABC, H điểm nằm cạnh BC Khi đó, AH⊥BC AB2 − AC2 = HB2 − HC2 Bài toán 2.1.14 Cho tam giác ABC Dựng tam giác cân A tam giác ABP ACQ thỏa mãn ABP = ACQ Gọi R giao điểm BQ CP, O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR Chứng minh AO⊥BC Bài toán 2.1.15 Cho tam giác ABC, D thuộc đoạn thẳng BC, E thuộc đoạn thẳng AD Đường thẳng CE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD Q P, đường thẳng BE cắt đường tròn ngoại tiếp tam 16 giác ACD M N a) Chứng minh M, N, P, Q thuộc đường tròn b) Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MPNQ Chứng minh OD⊥BC Bài toán 2.1.16 Cho tam giác ABC, D thuộc BC, E thuộc đoạn AD Đường tròn ngoại tiếp ∆BDE cắt AB K Đường tròn ngoại tiếp ∆CDE cắt AC L Gọi M giao điểm DK với BE, N giao điểm DL với CE, O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác EBC Chứng minh AO vng góc với MN Nhận xét chung Phương tích có nhiều ứng dụng việc giải tốn hình học phẳng đặc biệt toán chứng minh đẳng thức hình học chứng minh điểm thuộc đường tròn 2.2 ỨNG DỤNG CỦA TRỤC ĐẲNG PHƯƠNG Trục đẳng phương có nhiều ứng dụng việc giải tốn quan hệ thẳng hàng, đồng quy, toán điểm cố định, tập hợp điểm thuộc đường tròn, quan hệ vng góc Bây ta vào tốn cụ thể 2.2.1 Các tốn quan hệ thẳng hàng, đồng quy Phương pháp giải: Để chứng minh ba điểm thẳng hàng ta chứng minh ba điểm thuộc trục đẳng phương hai đường tròn Để chứng minh ba đường thẳng đồng quy ta chứng minh ba đường thẳng trục đẳng phương hai số ba đường tròn 17 Bài tốn 2.2.1 Cho bốn điểm A, B, C, D theo thứ tự nằm đường thẳng Gọi E, F giao điểm đường tròn (O1 ) đường kính AC đường tròn (O2 ) đường kính BD Lấy P điểm thuộc đường thẳng EF , CP cắt (O1 ) M BP cắt (O2 ) N Chứng minh AM, DN, EF đồng quy Bài tốn 2.2.2 Cho tam giác ABC có đường tròn tâm I nội tiếp, tiếp xúc cạnh BC, CA, AB D, E, F ; AI cắt đường tròn (I) M N (M nằm A N); DM cắt cạnh EF K , NK cắt đường tròn (I) điểm P (khác N) Chứng minh điểm A, P, D thẳng hàng Bài toán 2.2.3 Cho tam giác ABC nội tiếp (O), đường cao AA1 , BB1 , CC1 đồng quy H BC cắt B1C1 A2 , AC cắt A1C1 B2 , AB cắt A1 B1 C2 Chứng minh điểm A2 , B2 , C2 thẳng hàng Bài tốn 2.2.4 Cho hai tam giác vng ABC DBC vuông A D phía với cạnh huyền BC Gọi I giao điểm AC BD H chân đường vng góc với kẻ từ I tới BC Chứng minh AB, IH, DC đồng quy Bài toán 2.2.5 (VMO 2014) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O), B, C cố định A thay đổi (O) Trên tia AB, AC lấy điểm M N cho MA=MC NA=NB Các đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN ABC cắt P (P = A) Đường thẳng MN cắt đường thẳng BC Q Chứng minh điểm A, P, Q thẳng hàng Bài toán 2.2.6 Cho H trực tâm ta giác ABC không cân 18 góc A nhọn Hình chiếu vng góc H lên cạnh AB, AC theo thứ tự E, F Gọi D trung điểm BC, hai đường tròn đường kính AD, BC cắt P, Q Chứng minh H, P, Q thẳng hàng đường thẳng BC, EF, PQ đồng quy 2.2.2 Các toán điểm cố định, tập hợp điểm thuộc đường tròn Phương pháp giải: Ứng dụng hệ trục đẳng phương để tìm hệ thức chứng minh điểm cố định, tốn chứng minh tập hợp điểm thuộc đường tròn ta sử dụng hệ 1.1.2 để giải Bài toán 2.2.7 Cho hai đường tròn (O; R) (O; R’) khơng có điểm chung, d trục đẳng phương chúng Gọi I điểm thay đổi d Từ I kẻ tiếp tuyến IM, IN, IM’, IN’ tới hai đường tròn a) Chứng minh điểm M, N, M’, N’ nằm đường tròn có tâm I, ta kí hiệu đường tròn (I) b) Với điểm I’ nằm d tương tự có đường tròn (I’) Chứng minh đường thẳng OO’ trục đẳng phương hai đường tròn (I) (I’), I thay đổi, đường tròn (I) ln ln qua hai điểm cố định Bài tốn 2.2.8 Cho đường tròn tâm O đường kính AB, điểm H cố định thuộc AB Từ điểm K thay đổi tiếp tuyến B O, vẽ đường tròn (K; KH) cắt (O) C D Chứng minh CD qua điểm cố định 19 Bài toán 2.2.9 Cho đường tròn (O; R) nằm đường tròn (O’), điểm M chạy (O) Tiếp tuyến (O) M cắt (O’) A B Chứng minh tâm đường tròn (OAB) chạy đường tròn cố định Bài tốn 2.2.10 Cho đường tròn (O) đường thẳng ∆ không cắt (O) M điểm chạy ∆ Qua M kẻ tiếp tuyến MA, MB tới (O) Chứng minh AB qua điểm cố định Bài toán 2.2.11 Cho tam giác ABC, đường thẳng ∆ cắt BC, CA, AB M, N, P; O điểm không thuộc đường thẳng ∆ Các đường thẳng OM, ON, OP cắt đường tròn ngoại tiếp tam OBC, OCA, OAB X, Y, Z (khác O) Chứng minh bốn điểm O, X, Y, Z thuộc đường tròn Bài tốn 2.2.12 (Đề thi học sinh giỏi quốc gia năm học 20022003) Cho (O1 , R1 ) tiếp xúc với (O2 , R2 ) M (R2 > R1 ) Xét điểm A di động đường tròn (O2 , R2 ) cho A, O1 , O2 không thẳng hàng Từ A kẻ tiếp tuyến AB, AC tới (O1 ) Các đường thẳng MB, MC cắt lại (O2 ) E, F; D giao điểm EF với tiếp tuyến A (O2 ) Chứng minh D di động đường thẳng cố định 2.2.3 Các tốn quan hệ vng góc Phương pháp giải: Để chứng minh hai đường thẳng vng góc ta sử dụng hệ 1.2.1 trục đẳng phương hai đường tròn vng góc với đường nối hai tâm hai đường tròn Bài tốn 2.2.13 Cho tam giác ABC, đường cao AD, BE, CF 20 đồng quy H, M trung điểm BC, EF cắt BC I J, O trung điểm MH, AH Chứng minh IH vng góc với AM Bài toán 2.2.14 (India, 1995) Cho tam giác ABC Một đường thẳng song song với BC cắt AB, AC D E Gọi P điểm bên tam giác ADE, F G giao DE với BP CP Đường tròn tâm (O) ngoại tiếp tam giác PDG, đường tròn tâm (I) ngoại tiếp tam giác PEF cắt điểm thứ hai Q Chứng minh AQ⊥OI Bài toán 2.2.15 Cho tam giác ABC nhọn Các đường cao BE, CF cắt H Trên tia FB, EC theo thứ tự lấy điểm P, Q cho FP=FC, EQ=EB; BQ cắt CP K; I, J theo thứ tự trung điểm BQ, CP; IJ cắt BC, PQ theo thứ tự M, N Chứng minh HK⊥IJ Bài tốn 2.2.16 Cho hình chữ nhật OABC, đường tròn (O; OA) cắt BC D, tiếp tuyến D (O; OA) cắt OC E Chứng minh AE⊥OB Bài toán 2.2.17 Cho tứ giác lồi ABCD nội tiếp đường tròn (O), M giao AD BC, N giao AB CD, I giao AC BD Chứng minh I trực tâm tam giác MON 2.3 ỨNG DỤNG CỦA TÂM ĐẲNG PHƯƠNG Trong phần chúng tơi trình bày ứng dụng tâm đẳng phương vào giải toán quan hệ thẳng hàng, đồng quy, điểm cố định, tập hợp điểm thuộc đường tròn Bây ta vào toán cụ thể 21 2.3.1 Các toán quan hệ thẳng hàng, đồng quy Phương pháp giải: Để chứng minh ba điểm thẳng hàng ta sử dụng tính chất tâm đẳng phương chứng minh ba điểm nằm trục đẳng phương Để chứng minh ba đường thẳng đồng quy ta chứng minh minh ba đường thẳng ba trục đẳng phương đường tròn, theo định lý tâm đẳng phương ba đường tròn chúng đồng quy điểm Bài toán 2.3.1 Cho đường tròn tâm O đường kính AB Một điểm H thuộc đoạn AB Đường thẳng qua H cắt đường tròn C Đường tròn đường kính CH cắt AC, BC (O) D, E F a) Chứng minh AB, DE CF đồng quy b) Đường tròn tâm C bán kính CH cắt (O) P Q Chứng minh P, D, E, Q thẳng hàng Bài toán 2.3.2 Cho tam giác ABC Dựng hình vng ACZT, ABVU, BCYX Gọi A1 giao BT CU, A2 giao BZ CV, B1 giao AX CV, B2 giao AY CU, C1 giao AY CZ, C2 giao AX BT Chứng minh A1 A2 , B1 B2 , C1C2 đồng quy Bài tốn 2.3.3 Cho hai đường tròn tâm O O’ tiếp xúc với P Dây cung AB đường tròn (O) cắt tiếp tuyến chung E Một đường tròn qua A, B cắt đường tròn (O’) C D Chứng minh C, D, E thẳng hàng 22 Bài toán 2.3.4 Cho nửa đường tròn đường kính AB, M điểm nằm nửa đường tròn Hạ MH⊥AB Đường tròn đường kính MH cắt nửa đường tròn N, cắt MA, MB E, F Chứng minh AB, MN, EF đồng quy Bài toán 2.3.5 Cho tam giác ABC, bên tam giác này, vẽ tam giác cân BCD, CAE, ABF có cạnh đáy tương ứng BC, CA, AB chứng minh ba đường thẳng vng góc kẻ từ A, B, C tương ứng xuống EF, FD, DE đồng quy Bài toán 2.3.6 Cho tam giác ABC đường thẳng d Gọi A’, B’, C’ hình chiếu A, B, C d Gọi d1 , d2 , d3 theo thứ tự đường thẳng qua A’, B’, C’ vng góc với BC, CA, AB Chứng minh đường thẳng d1 , d2 , d3 đồng quy Bài toán 2.3.7 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, kẻ đường cao AH Gọi E F điểm đối xứng chân đường cao H qua AB AC EF cắt AB AC P Q Chứng minh AH, BQ, CP đồng quy 2.3.2 Các toán điểm cố định, tập hợp điểm thuộc đường tròn Bài tốn 2.3.8 Cho tam giác ABC có D trung điểm cạnh BC Gọi d đường thẳng qua D vng góc với đường thẳng AD Trên đường thẳng d lấy điểm M Gọi E, F trung điểm đoạn thẳng MB, MC Đường thẳng qua E vng góc với d cắt đường thẳng AB P, đường thẳng qua F vng góc với d cắt đường 23 thẳng AC Q Chứng minh đường thẳng qua M, vng góc với đường thẳng PQ ln qua điểm cố định M di động đường thẳng d Bài toán 2.3.9 Cho tam giác ABC, điểm A’, B’ nằm hai cạnh BC CA Chứng minh trục đẳng phương hai đường tròn đường kính AA’ BB’ qua trực tâm H tam giác ABC Bài toán 2.3.10 Cho (O) dây AB Các đường tròn (O1 ), (O2 ) nằm phía (AB), tiếp xúc với (AB) tiếp xúc với (O); (O1 ) ∩ (O2 ) = {H, K} Chứng minh HK qua điểm cố định Nhận xét chung: Tâm đẳng phương có nhiều ứng dụng việc giải tốn hình học phẳng đặc biệt ứng dụng vào giải toán quan hệ đồng quy 24 KẾT LUẬN Với mục tiêu đề tài, luận văn “Phương tích ứng dụng giải tốn hình học phẳng” thực nội dung sau: Hệ thống kiến thức liên quan đến phương tích, trục đẳng phương tâm đẳng phương chương trình Tốn bậc trung học phổ thơng Hệ thống phân loại chủ đề tốn hình học giải phương tích, trục đẳng phương tâm đẳng phương cụ thể sau: - Bài toán chứng minh đẳng thức hình học; - Bài tốn quan hệ thẳng hàng, đồng quy; - Bài toán điểm cố định, tập hợp điểm thuộc đường tròn; - Bài tốn quan hệ vng góc; Đối với chủ đề, có toán minh họa toán tham khảo kèm theo Đối với dạng tốn, có phân tích định hướng giải sau phần có nhận xét phân tích, đánh giá phương pháp giải Hy vọng nội dung luận văn tiếp tục mở rộng hoàn thiện thời gian đến, thân có điều kiện tiếp tục khảo sát phát triển nội dung luận văn để giải nhiều chủ đề tốn hình học thuộc chương trình Tốn bậc trung học phổ thơng Trong q trình làm luận văn hạn chế thời gian lực nên luận văn nhiều thiếu sót, mong nhận ý kiến nhận xét từ quý thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn ! ... phương có nhiều ứng dụng việc giải tốn hình học phẳng đặc biệt ứng dụng vào giải toán quan hệ đồng quy 24 KẾT LUẬN Với mục tiêu đề tài, luận văn Phương tích ứng dụng giải tốn hình học phẳng thực... 2.1 ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TÍCH Trong phần chúng tơi trình bày ứng dụng phương tích vào giải tốn hình học phẳng, cụ thể tốn chứng minh đẳng thức hình học, toán quan hệ thẳng hàng, đồng quy, toán. .. tích ứng dụng giải tốn hình học phẳng làm đề tài luận văn thạc sĩ với mong muốn tìm hiểu phương tích, kiến thức liên quan vận dụng để giải số tốn hình học phẳng chương trình Tốn trung học phổ