Đang tải... (xem toàn văn)
Chủ đề này nằm trong một bộ chủ đề Bồi dưỡng học sinh giỏi THCS. Chủ đề Gồm các kiến thức: Hằng đẳng thức, Phương pháp Hệ số bất định; Đồng dư; và hai phương pháp chứng minh Quy nạp, phản chứng. Đây là bộ tài liệu do thầy Đinh Quang Trung sưu tầm và biên soạn
c gọi đẳng tất hệ số hạng tử lũy thừa Phương pháp hệ số bất định: a) Là phương pháp đồng hệ số đa thức b) Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: f(x)= x 2x 13x 38x 24 Hướng suy nghĩ sau: - Đa thức đề cho có bậc bốn, phân tích thành nhân tử tích nhị thức bậc nhất; tích hai nhị thức bậc với tam thức bậc hai; tích tam thức bậc hai=> lựa chọn lấy tích hai tam thức bậc hai ta có cách phân tích đa thức thành nhân tử tam thức bậc hai (đã biết lớp 9) - Hệ số biến x có lũy thừa cao Với hướng suy luận trên, ta viết: 2 f(x)= x 2x 13x 38x 24 (x ax b)(x cx d) với a, b, c, d �� (1) Nếu suy luận b hệ số x phải thêm m n Tức phải viết đầy 2 đủ là: x 2x 13x 38x 24 (m x ax b)(n x cx d) Nhưng có suy luận b nên bớt hai hệ số 2 Vậy ta có: x 2x 13x 38x 24 (x ax b)(x cx d) Lúc khai triển vế trái viết gom theo lũy thừa giảm dần: (x ax b)(x cx d) x (c a)x (d ac b)x (ad bc)x bd x (c a)x (d ac b)x (ad bc)x bd x 2x 13x 38x 24 Suy ra: ca � � d ac b 13 � � ad bc 38 � � db 24 � (I) Chọn a=3, a+c=2 nên c=-1, thay vào phương trình lại hệ | Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi THCS- Người soạn Đinh Quang Trung | Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi THCS- Người soạn Đinh Quang Trung 1 � � d b 10 � � 3d b 38 � � db 24 � Từ phương trình 3, ta tìm d= -12; b=2 Thử vào phương trình (4) ta đẳng thức Vậy f(x)= x 2x 13x 38x 24 (x 3x 2)(x x 12) Đến đây, phân tích hai đa thức bậc hai cách phương pháp học đơn giản 2 IV Đồng Dư Định nghĩa: Nếu hai số nguyên a b có cố dư phép chia cho số tự nhiên m khác 0, ta nói a b đồng dư với theo mô đun m ký hiệu a �b (mod m) Ví dụ a) 16 chia cho dư 1; 21 chia cho dư Vậy 16 �21 (mod 5) b) 122 �12 (mod 11) Tính chất đồng dư: 2.1 Nếu a �b (mod m) (a-b) Mm 2.2 Tính chất phản xạ: a �a (mod m) 2.3 Tính chất đối xứng: Nếu a �b (mod m) b �a (mod m) 2.4 Tính chất bắc cầu: Nếu a �b (mod m); b �c (mod m) a �c (mod m) 2.5 Cộng trừ vế hai đồng dư thức theo mô đun: a �b(mod m) � a �c �b �d(mod m) � c �d(mod m) � Hệ quả: a) Có thể cộng thêm vào hai vế đồng dư với số nguyên c: a �b(mod m) => a �c �b �c(mod m) (với c�� b) Có thể chuyển vế, đồng thời đổi dấu số số hạng đồng dư thức: a �b c d(mod m) a b �c d(mod m) c) Có thể cộng vế đồng dư với bội mô đun a �b(mod m) a mk �b(mod m) (k��) 2.6 Nhân vế hai đồng dư theo mô đun | Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi THCS- Người soạn Đinh Quang Trung | Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi THCS- Người soạn Đinh Quang Trung a �b(mod m) � a.c �b.d(mod m) � c �d(mod m) � Hệ quả: a) Có thể nhân hai vế đồng dư với số nguyên c: a �b(mod m) => a.c �b.c(mod m) (với c�� b) Có thể nâng hai vế đồng dư với lũy thừa a �b(mod m) a n �b n (mod m) 2.7 Ta nhân hai vế mơ đun với số nguyên dương a �b(mod m) ac �bc(mod mc) (c��* ) 2.8 Có thể chia hai vế mô đun với ước chung dương chúng: ac �bc(mod mc) a �b(mod m) (c��* ) Ví dụ 2: Ta có 22 �6 (mod 8)=> 11 �3 (mod 4) 2.9 Trong trường hợp ước chung hai vế ngun tố với mơ đun, ta chia hai vế đồng dư thức cho ước chung ac �bc(mod m) � a �b(mod m) � (c, m) � Ví dụ Ta có 16 �2 (mod 7); (2, 7)=1 => �1 (mod 7) Chú ý: Không chia hai vế hai đồng dư thức IV Hai phương pháp chứng minh mới: 1) Phương pháp chứng minh Quy nạp: Giả sử phải chứng minh A n chia hết cho b Ta sử dụng bước sau: Bước 1: Chứng minh A n với n=0; 1; (Bắt đầu từ giá trị n nhỏ điều kiện toán) Bước 2: Giả sử A n với n=k Ta phải chứng minh với n=k+1 n n 1 Ví dụ Cho A n = 2.3 Chứng minh A n chia hết cho với n �1, n�N Giải: 11 Xét n=1 => A1 2.3 chia hết cho Xét n=2 => A 32 chia hết cho | Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi THCS- Người soạn Đinh Quang Trung | Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi THCS- Người soạn Đinh Quang Trung k k 1 Giả sử A n với n=k, nghĩa A k 2.3 chia hết cho Ta phải chứng minh A n chia hết cho với n=k+1 k 1 k k k 1 Thật vậy: A k 1 2.3 5.5 6.3 A k 1 5k 2.3k 1 4.5k 4.3k 1 5k 2.3k 1 4(5k 3k 1 ) k k 1 k k 1 Vì số chẵn ( luôn số lẻ, số lẻ, tổng hai số lẻ k k 1 k k 1 số chẵn) Vậy chia hết cho => 4(5 ) chia hết cho Vậy A k 1 chia hết cho 2) Phương pháp phản chứng: Để chứng minh A>B, ta giả sử A �B Dùng lập luận phép biến đổi để dẫn đến mâu thuẫn mà biết (mâu thuẫn với định lý, mệnh đề, tính chất… khẳng định) mâu thuẫn với giả thiết abc0 (1) � � ab bc ca (2) � � abc (3) Ví dụ: Cho ba số a, b, c thỏa mãn điều kiện � Chứng minh ba số số dương Giải Chứng minh phản chứng Giả sử ba số có số số khơng dương vai trò bình đẳng a, b, c nên giả sử a số không dương, nghĩa a �0 - Nếu a=0 abc=0 , mâu thuẫn với (3) - Nếu a bc 4(5 ) chia hết cho Vậy A k 1 chia... định lý, mệnh đề, tính chất… khẳng định) mâu thuẫn với giả thiết abc0 (1) � � ab bc ca (2) � � abc (3) Ví dụ: Cho ba số a, b, c thỏa mãn điều kiện � Chứng minh ba số số dương Giải... � Chứng minh ba số số dương Giải Chứng minh phản chứng Giả sử ba số có số số khơng dương vai trò bình đẳng a, b, c nên giả sử a số không dương, nghĩa a �0 - Nếu a=0 abc=0 , mâu thuẫn với (3) -