Đặng Ngọc Dơng THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định Chuyên đề: tứ giác nội tiếp I) Các kiến thức cần nhớ 1) Khái niệm: Một tứ giác có bốn đỉnh nằm đờng tròn đợc gọi tứ giác nội tiếp đờng tròn (Gọi tắt tứ giác nột tiếp) B A C O D 2) Định lí - Trong tứ giác nội tiếp, tỉng sè ®o hai gãc ®èi diƯn b»ng 1800 -NÕu tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện 180 tứ giác nội tiếp đờng tròn 3) Dấu hiệu nhận biết (các cách chứng minh) tø gi¸c néi tiÕp - Tø gi¸c cã tỉng sè hai gãc ®èi diƯn b»ng 1800 - Tø giác có góc đỉnh góc đỉnh đối diện - Tứ giác có bón đỉnh cách điểm(mà ta xác định đợc) Điểm tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác - Tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh lại dới góc II) Bài tập Bài tập Cho ABC vuông A Trên AC lấy diểm M vẽ đờng tròn đờng kính MC Kẻ BM cắt đờng tròn D Đờng thẳng DA cắt Đờng tròn S Chứng minh r»ng: a) Tø gi¸c ABCD néi tiÕp · · b) A BD = A CD à c) CA phân giác SCB Bài tập Cho tứ giác ABCD nội tiếp nửa đờng tròn đờng kính AD Hai đờng chéo AC BD cắt E Vẽ EF vuông góc với AD Chứng minh: a) Tứ giác ABEF, tứ giác DCEF nội tiếp à b) CA phân giác BCF c) Gọi M trung ®iĨm cđa DE Chøng minh tø gi¸c BCMF néi tiÕp Bài tập Đặng Ngọc Dơng THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định Tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn đờng kính AD Hai đờng chéo AC , BD cắt E Hình chiếu vuông góc E AD F Đờng thẳng CF cắt đờng tròn điểm thứ hai M Giao điểm BD CF N Chứng minh : a) CEFD tứ giác nội tiếp b) Tia FA tia phân giác cña gãc BFM c) BE DN = EN BD Bài tập Cho tam giác ABC vuông A điểm D nằm A B Đờng tròn đờng kính BD cắt BC E Các đờng thẳng CD , AE lần lợt cắt đờng tròn điểm thứ hai F , G Chứng minh : a) Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD b) Tứ giác ADEC AFBC nội tiếp đợc đờng tròn c) AC song song với FG d) Các đờng thẳng AC , DE BF đồng quy Bài tập Cho tam giác vuông ABC ( = 900 ; AB > AC) điểm M nằm đoạn AC (M không A trùng với A C) Gọi N D lần lợt giao điểm thứ hai BC MB với đơng tròn đờng kính MC; gọi S giao điểm thứ hai AD với đờng tròn đờng kính MC; T giao ®iĨm cđa MN vµ AB Chøng minh: a Bèn ®iĨm A, M, N B thuộc đờng tròn à b CM phân giác góc BCS c TA TC = TD TB Bµi tËp Cho đờng tròn (O) điểm A nằm đờng tròn Qua A dựng hai tiếp tuyến AM AN với đờng tròn (M, N tiếp điểm) cát tuyến cắt đờng tròn P, Q Gọi L trung điểm PQ a/ Chứng minh ®iĨm: O; L; M; A; N cïng thc đờng tròn à b/ Chứng minh LA phân giác MLN c/ Gọi I giao điểm MN vµ LA Chøng minh MA2 = AI.AL d/ Gäi K giao điểm ML với (O) Chứng minh KN // AQ e/ Chứng minh KLN cân Bài tập Đặng Ngọc Dơng THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định Cho ng trũn (O; R) tiếp xúc với đường thẳng d A Trên d lấy điểm H không trùng với điểm A AH CD; AB//CD) nội tiếp đờng tròn (O) Tiếp tuyến với đờng tròn (O) A D cắt E Gọi I giao điểm hai đờng chéo AC BD a/ Chøng minh: Tø gi¸c AEDI néi tiÕp b/ Chøng minh AB//EI c/ Đờng thẳng EI cắt cạnh bên AD BC hình thang tơng ứng R S Chứng minh: * I trung điểm RS * 1 + = AB CD RS Bµi tập 24 Cho đờng tròn (O; R) có hai đờng kính AOB COD vuông góc với Lấy điểm E OA, nối CE cắt đờng tròn F Qua F dựng tiếp tuyến Fx với đ]ờng tròn, qua E dựng Ey vuông góc với OA Gọi I giao điểm Fx Ey a/ Chứng minh I; E; O; F nằm đờng tròn b/ Tứ giác CEIO hình gì? sao? c/ Khi E chuyển động AB I chuyển động đờng nào? Bài tập 25 Cho nửa đờng tròn đờng kính BC bán kính R điểm A nửa đờng tròn (A khác B C) Từ A hạ AH vuông góc với BC Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A vẽ nửa đờng tròn đờng kính BH cắt AB E, nửa đờng tròn đờng kính HC cắt AC F a Tứ giác AFHE hình gì? Tại sao? b Chứng minh BEFC tứ giác nội tiếp c HÃy xác định vị trí điểm A cho tứ giác AFHE có diƯn tÝch lín nhÊt TÝnh diƯn tÝch lín nhÊt ®ã theo R Bài tập 26 Cho điểm M, N, P thẳng hàng theo thứ tự Một đờng tròn (O) thay ®ỉi ®i qua hai ®iĨm M, N Tõ P kẻ tiếp tuyến PT, PT với đờng tròn (O) a) Chøng minh: PT2 = PM.PN Tõ ®ã suy (O) thay đổi qua M, N T, T thuộc đờng tròn cố định b) Gọi giao điểm TT với PO, PM I J K trung điểm MN Chứng minh: Các tứ giác OKTP, OKIJ nội tiếp Đặng Ngọc Dơng THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định c) Chứng minh rằng: Khi đờng tròn (O) thay đổi qua M, N TT qua ®iĨm cè ®Þnh d) Cho MN = NP = a Tìm vị trí tâm O để góc TPT = 600 Bài tập 27 Cho ABC vuông A Trên AC lấy điểm M (MA C) Vẽ đờng tròn đờng kính MC Gọi T giao điểm thứ hai cạnh BC với đờng tròn Nối BM kéo dài cắt đờng tròn điểm thứ hai D Đờng thẳng AD cắt đờng tròn (O) điểm thứ hai S Chøng minh: a) Tø gi¸c ABTM néi tiÕp à b) Khi M chuyển động AC A DM có số đo không đổi c) AB//ST Bài tập 28 Cho hai đờng tròn (O) (O') cắt A, B Đờng vuông góc với AB kẻ qua B cắt (O) (O') lần lợt điểm C, D Lấy M cung nhỏ BC đờng tròn (O) Gọi giao điểm thứ hai đờng thẳng MB với đờng tròn (O') N giao điểm hai đờng thẳng CM, DN P a Tam giác AMN tam giác gì, sao? b Chứng minh ACPD nội tiếp đợc đờng tròn c Gọi giao điểm thứ hai AP với đờng tròn (O') lµ Q, chøng minh r»ng BQ // CP Bµi tËp 29 Cho ∆ ABC vuông A (AB < AC) H nằm A C Đường trịn (O) đường kính HC cắt BC I BH cắt (O) D a) Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp b) AB cắt CD M Chứng minh điểm H; I; M thẳng hàng · c) AD cắt (O) K Chứng minh CA tia phân giỏc ca KCB Bài tập 30 Cho đờng tròn (O), đờng kính AB cố định, điểm I nằm A O cho AI = 2/3 AO Kẻ dây MN vuông góc với AB I, gọi C ®iĨm t ý thc cung lín MN cho C không trùng với M, N B Nối Ac cắt MN E Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp Chứng minh tam giác AME đồng dạng víi tam gi¸c ACM Chøng minh AM2 = AE.AC Đặng Ngọc Dơng THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định Chứng minh AE AC AI.IB = AI2 HÃy xác định vị trí C cho khoảng cách từ N đến tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác CME nhỏ Bµi tËp 31 Cho nửa đường trịn (O;R) đường kính AB, dây AC Gọi E điểm cung AC bán kính OE cắt AC H, vẽ CK song song với BE cắt AE K a) Chứng minh tứ giác CHEK nội tiếp b) Chứng minh KH ⊥ AB c) Cho BC = R Tính PK Bµi tập 32 Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I tâm đờng tròn nội tiếp, K tâm đờng tròn bàng tiếp góc A , O trung ®iĨm cđa IK Chøng minh B, C, I, K nằm đờng tròn Chứng minh AC tiếp tuyến đờng tròn (O) Tính bán kính đờng tròn (O) Biết AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm Bài tập 33 Cho điểm A bên đờng tròn (O ; R) Từ A vẽ tiếp tuyến AB, AC cát tuyến ADE đến đờng tròn (O) Gọi H trung điểm DE a) Chứng minh năm điểm : A, B, H, O, C nằm đờng tròn à b) Chứng minh HA tia phân giác BHC c) DE cắt BC I Chứng minh : AB2 = AI.AH d) Cho AB=R vµ OH= R TÝnh HI theo R Bµi tËp 34 Cho nưa đờng tròn tâm O đờng kính AB điểm M nửa đờng tròn ( M khác A,B) Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đờng tròn kể tiếp tuyến Ax Tia BM cắt Ax I; tia phân giác góc IAM cắt nửa đờng tròn E; cắt tia BM F tia BE cắt Ax H, cắt AM K a) Chứng minh rằng: EFMK tứ giác nội tiếp b) Chứng minh r»ng: AI2 = IM IB c) Chøng minh BAF tam giác cân Đặng Ngọc Dơng THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định d) Chứng minh : Tứ giác AKFH hình thoi e) Xác định vị trí M để tứ giác AKFI nội tiếp đợc đờng tròn Bài tập 35 Cho hai đường trịn (O1), (O2) có bán kính cắt A B Vẽ cát tuyến qua B khơng vng góc với AB, cắt hai đường tròn E F (E ∈ (O1); F ∈ (O2)) Chứng minh AE = AF Vẽ cát tuyến CBD vng góc với AB ( C∈ (O1); D ∈ (O2)) Gọi P giao điểm CE DF Chứng minh rằng: a Các tứ giác AEPF ACPD nội tiếp đường tròn b Gọi I trung điểm EF chứng minh ba điểm A, I, P thẳng hàng Khi EF quay quanh B I P di chuyển đường nào? Bµi tập 36 à Cho hình vuông ABCD Trên cạnh BC, CD lần lợt lấy điểm E, F cho EAF = 450 BiÕt BD c¾t AE, AF theo thø tự G, H Chứng minh: a) ADFG, GHFE tứ giác nội tiếp b) CGH tứ giác GHFE cã diƯn tÝch b»ng Bµi tËp 37 Cho đờng tròn tâm O bán kính R, hai điểm C D thuộc đờng tròn, B trung điểm cung nhỏ CD Kẻ đờng kính BA; tia đói cđa tia AB lÊy ®iĨm S, nèi S víi C cắt (O) M; MD cắt AB K; MB cắt AC H a Chứng minh: BMD = BAC , từ suy tứ giác AMHK nội tiếp b Chøng minh: HK // CD c Chøng minh: OK.OS = R2 Bài tập 38 Cho đờng tròn (O), đờng kính AB cố định, điểm I nằm A vµ O cho AI = AO Kẻ dây MN vuông góc với AB I Gọi C điểm tuỳ ý thuộc cung lớn MN, cho C không trùng với M, N B Nối AC cắt MN E a Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp đợc đờng tròn 10 Đặng Ngọc Dơng THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định b Chứng minh V AME đồng dạng với V ACM vµ AM2 = AE.AC c Chøng minh AE.AC AI.IB = AI2 d HÃy xác định vị trí điểm C cho khoảng cách từ N đến tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác CME nhỏ Bài tập 39 Cho ba điểm A, B, C đờng thẳng theo thứ tự đờng thẳng d vuông góc với AC A Vẽ đờng tròn đờng kính BC lấy điểm M Tia CM cắt đờng thẳng d D; Tia AM cắt đờng tròn điểm thứ hai N; Tia DB cắt đờng tròn điểm thứ hai P a) Chứng minh: Tứ giác ABMD nội tiếp đợc b) Chứng minh: Tích CM CD không phụ thuộc vào vị trí điểm M c) Tứ giác APND hình gì? Tại sao? d) Chứng minh trọng tâm G tam giác MAB chạy đờng tròn cố định Bài tập 40 Cho đờng tròn (O) điểm A nằm đờng tròn Các tiếp tuyến với đờng tròn kẻ từ A tiếp xúc với đờng tròn B C Gọi M điểm tuỳ ý đờng tròn (M khác B C) Gọi H; K; I lần lợt chân đờng vuông góc kẻ từ M xuèng BC; CA; AB a/ Chøng minh: Tø gi¸c MHBI, MHCK néi tiÕp · · b/ Chøng minh: MHI = MK H c/ Chøng minh: MH2 = MI.MK Bµi tập 41 Cho đờng tròn (O) đờng kính AB = 2R Đờng thẳng (d) tiếp xúc với đờng tròn (O) A M Q hai điểm (d) cho MA, MQ, QA Các đờng thẳng BM BQ lần lợt cắt đờng tròn (O) điểm thø hai lµ N vµ P Chøng minh: TÝch BN.BM không đổi Tứ giác MNPQ nội tiếp Bất đẳng thức: BN + BP + BM + BQ > 8R Bài tập 42 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn tâm O P trung điểm cung AB không chứa C D Hai dây PC PD lần lợt cắt dây AB E F Các dây AD PC kéo dài cắt I, dây BC PD kéo dài cắt K Chứng minh rằng: a Góc CID góc CKD 11 Đặng Ngọc Dơng THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định b Tứ giác CDFE nội tiếp đợc dờng tròn c IK // AB Bài tập 43 Trên đờng tròn (O; R) ®êng kÝnh AB, lÊy hai ®iÓm M, E theo thø tự A, M, E, B (hai điểm M, E khác hai điểm A, B) AM cắt BE C; AE cắt BM D a Chứng minh MCED tứ giác nội tiếp CD vuông góc với AB b Gọi H giao điểm CD AB Chøng minh BE.BC = BH.BA c Chøng minh c¸c tiÕp tuyến M E đờng tròn (O) cắt điểm nằm đờng thẳng CD d Cho biÕt ∠BAM = 450 vµ ∠BAE = 300 Tính diện tích tam giác ABC theo R Bài tập 44 Cho đờng tròn (O) đờng kính AB Một cát tun MN quay xung quanh trung ®iĨm H cđa OB Giọi I trung điểm MN Từ A kẻ Ax vuông góc với MN K Gọi C giao ®iĨm cđa Ax víi tia BI a/ Chøng minh r»ng: BN// MC b/ Chøng minh r»ng: Tø gi¸c OIKC hình chữ nhật c/ Tiếp tuyến Bt với đờng tròn (O) cắt tia AM E, cắt tia Ax F Gọi D giao điểm thứ hai tia Ax víi (O) Chøng minh r»ng: tø gi¸c DMEF nội tiếp Bài tập 45 Cho ABC cân (AB = AC) góc A nhỏ 600; tia ®èi cđa tia AC lÊy ®iĨm D cho AD = AC a) Tam giác BCD tam giác gì? sao? b) Kéo dài đờng cao CH ABC cắt BD E Vẽ đờng tròn tâm E tiÕp xóc víi CD t¹i F Qua C vÏ tiÕp tuyến CG đờng tròn Chứng minh: Bốn điểm B, E, C, G thuộc đờng tròn c) Các đờng thẳng AB CG cắt M, tứ giác AFGM hình gì? Tại sao? d) Chứng minh: MBG cân Bài tập 46 Cho đờng tròn (O) bán kính R, đờng thẳng d không qua O cắt đờng tròn hai điểm A, B Từ điểm C d (C nằm đờng tròn), kẻ hai tiếp tuyến CM, CN với đờng tròn (M, N thuộc (O)) Gọi H trung điểm AB, đờng thẳng OH cắt tia CN K a Chứng minh bốn điểm C, O, H, N nằm đờng tròn b Chứng minh KN.KC = KH.KO 12 Đặng Ngọc Dơng THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định c Đoạn thẳng CO cắt đờng tròn (O) I, chứng minh I cách CM, CN MN d Một đờng thẳng qua O song song với MN cắt tia CM, CN lần lợt E F Xác định vị trí C d cho diện tích tam giác CEF nhỏ Bài tập 47 Cho BC dây cung cố định đờng tròn (O; R) (0 < BC < 2R) A điểm di động cung lớn BC cho ABC nhọn Các đờng cao AD; BE; CF cắt H (D BC; E ∈ CA; F ∈ AB) Chøng minh: Tø giác BCEF nội tiếp Từ suy AE.AC = AF.AB Gọi A' trung điểm BC Chứng minh rằng: AH = 2OA' Kẻ đờng thẳng d tiếp xúc với đờng tròn (O) A Đặt S lµ diƯn tÝch ∆ABC, 2p lµ chu vi ∆DEF Chøng minh: a d // EF b S = p.R Bµi tập 48 Cho hình thang ABCD có đáy lớn AD đáy nhỏ BC nội tiếp đờng tròn tâm O; AB CD kéo dài cắt I Các tiếp tuyến đờng tròn tâm O B D cắt điểm K a Chứng minh tứ giác OBID OBKD tứ giác néi tiÕp b Chøng minh IK song song víi BC c Hình thang ABCD phải thoả mÃn điều kiện để tứ giác AIKD hình bình hành Bài tập 49 Cho đờng tròn (O;R) điểm A nằm đờng tròn Một góc xAy = 900 quay quanh A thoả mÃn Ax, Ay cắt đờng tròn (O) Gọi giao điểm thứ hai Ax, Ay với (O) tơng ứng B, C Đờng tròn đờng kính AO cắt AB, AC điểm thứ hai tơng ứng M, N Tia OM cắt đờng tròn P Gọi H trực tâm tam giác AOP Chứng minh a) AMON hình chữ nhật b) MN//BC c) Tứ giác PHOB nội tiếp d) Xác định vị trí góc xAy cho tam giác AMN có diện tích lớn Bài tập 50 Cho đờng tròn (O) đờng kính AB điểm I nằm A O (I khác A O) Kẻ dây MN vuông góc với AB I Gọi C điểm t ý thc cung lín MN (C kh¸c M, N khác B) Nối AC cắt MN E Chứng minh: 13 Đặng Ngọc Dơng THCS a) Tứ giác IECB nội tiếp Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định b) AM2 = AE.AC c) AE.AC – AI.IB = AI2 Bài tập 51 Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB hai điểm C, D thuộc nửa đờng tròn cho cung AC nhỏ 900 góc COD = 900 Gọi M điểm nửa đờng tròn cho C điểm cung AM Các dây AM, BM cắt OC, OD lần lợt E, F a) Tứ giác OEMF hình gì? Tại sao? b) Chứng minh: D điểm cung MB c) Một đờng thẳng d tiếp xúc với nửa đờngtròn M cắt tia OC, OD lần lợt I, K Chứng minh tứ giác OBKM OAIM nội tiếp đợc d) Giả sử tia AM cắt tia BD S HÃy xác định vị trí C D cho điểm M, O, B, K, S thuộc đờng tròn Bài tập 52 Cho đờng tròn (O) hai điểm A, B phân biệt thuộc (O) cho đờng thẳng AB không qua tâm O Trên tia đối tia AB lấy điểm lấy điểm M khác A, từ M kẻ hai tiếp tuyến phân biệt ME, MF với đờng tròn (O) (E, F tiếp điểm) Gọi H trung điểm dây cung AB Các điểm K I theo thứ tự giao điểm đờng thẳng EF với đờng thẳng OM OH a) Chứng minh ®iĨm M, O, H, E, F cïng n»m đờng tròn b) Chứng minh: OH.OI = OK OM c) Chứng minh: IA, IB tiếp tuyến đờng tròn (O) Bài tập 53 Cho đờng tròn (O) đờng kính AC Trên bán kính OC lấy điểm B tuú ý (B kh¸c O, C ) Gäi M trung điểm đoạn AB Qua M kẻ dây cung DE vuông góc với AB CD cắt đờng tròn đờng kính BC I Chứng minh tứ giác BMDI néi tiÕp Chøng minh tø gi¸c ADBE hình thoi Chứng minh BI // AD Chứng minh I, B, E thẳng hàng Chứng minh MI tiếp tuyến đờng tròn đờng kính BC Bài tập 54 14 Đặng Ngọc Dơng THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định Cho đờng tròn (0) điểm A nằm đờng tròn Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC cát tuyến AMN với đờng tròn (B, C, M, N thuộc đờng tròn AM < AN) Gọi E trung điểm dây MN, I giao điểm thứ hai đờng thẳng CE với đờng tròn a) Chứng minh: Bốn ®iĨm A, 0, E, C cïng thc mét ®êng trßn b) Chøng minh: gãc AOC b»ng gãc BIC c) Chøng minh: BI // MN d) Xác định vị trí cát tuyến AMN để diện tích tam giác AIN lớn Bài tập 55 Cho đờng tròn (O) có tâm O, đờng kính AB Trên tiếp tuyến đờng tròn O A lấy điểm M (M không trùng với A) Từ M kẻ cát tuyến MCD (C nằm M D; tia MC nằm tia MA tia MO) vµ tiÕp tuyÕn thø hai MI (I lµ tiÕp điểm) với đờng tròn (O) Đờng thẳng BC BD cắt đờng thẳng OM lần lợt tai E F Chứng minh: a Bốn điểm A, M, I O nằm đờng tròn b IAB = AMO c O trung điểm FE Bài tập 56 Cho nửa đờng tròn (0) đờng kính AB, M thuộc cung AB, C thuộc OA Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa M kẻ tia Ax,By vuông góc với AB Đờng thẳng qua M vuông góc với MC cắt Ax, By P Q AM cắt CP E, BM cắt CQ F a/ Chứng minh : Tø gi¸c APMC, EMFC néi tiÕp b/ Chøng minh : EF//AB c/ Tìm vị trí điểm C để tứ giác AEFC hình bình hành Bài tập 57 Cho đờng tròn (O) đờng thẳng xy đờng tròn Đờng thẳng qua O vuông góc với xy H cắt đờng tròn (O) A B M điểm (O), đờng thẳng AM cắt xy E, đờng thẳng BM cắt xy F, tiếp tuyến M cắt xy I, đờng thẳng AF cắt (O) t¹i K Nèi E víi K a) Chøng minh: IM = IF b) Chøng minh: ®iĨm E, M, K, F thuộc đờng tròn c) Chứng minh: IK tiếp tuyến (O) d) Tìm tập hợp tâm đờng tròn ngoại tiếp AMH M di động (O) Bài tập 58 Cho đờng tròn (O; R) có đờng kính AB; điểm I nằm hai điểm A O Kẻ đờng thẳng vuông góc với AB I, đờng thẳng cắt đờng tròn (O; R) M N Gọi S giao điểm 15 Đặng Ngọc Dơng THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định BM AN Qua S kẻ đờng thẳng song song với MN, đờng thẳng cắt đờng thẳng AB AM lần lợt K H HÃy chứng minh: 1) Tứ giác SKAM tứ giác nội tiếp HS.HK=HA.HM 2) KM tiếp tuyến đờng tròn (O; R) 3) Ba điểm H; N; B thẳng hàng Bài tập 59 Cho đờng tròn (0; R), dây CD có trung điểm M Trên tia ®èi cđa tia DC lÊy ®iĨm S, qua S kỴ tiếp tuyến SA, SB với đờng tròn Đờng thẳng AB cắt đờng thẳng SO ; OM P Q a) Chứng minh tứ giác SPMQ, tứ giác ABOM néi tiÕp b) Chøng minh SA2 = SD SC c) Chứng minh OM OQ không phụ thuộc vào vị trÝ ®iĨm S d) Khi BC // SA Chøng minh tam giác ABC cân A e) Xác định vị ®iĨm S trªn tia ®èi cđa tia DC ®Ĩ C, O, B thẳng hàng BC // SA Bài tập 60 Cho nửa đờng tròn (0) đờng kính AB, M điểm cung AB K thuộc cung BM ( K khác M B ) AK cắt MO I a) Chứng minh : Tứ giác OIKB nội tiếp đợc đờng tròn b) Gọi H hình chiếu M lên AK Chứng minh : Tø gi¸c AMHO néi tiÕp c) Tam gi¸c HMK tam giác ? d) Chứng minh : OH phân giác góc MOK e) Xác định vị trí điểm K để chu vi tam giác OPK lớn (P hình chiếu K lên AB) Bài tập 61 Cho tam giác ABC với ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn (0) Tia phân giác góc B, góc C cắt đờng tròn thứ tự D E, hai tia phân giác cắt F Gọi I, K theo thứ tự giao điểm dây DE với cạnh AB, AC a) Chứng minh: tam giác EBF, DAF cân b) Chứng minh tứ giác DKFC nội tiếp FK // AB c) Tứ giác AIFK hình ? Tại ? d) Tìm điều kiện tam giác ABC để tứ giác AEFD hình thoi đồng thời có diện tích gấp lần diện tích tứ giác AIFK Bài tập 62 Cho đờng tròn (O), đờng kính AB cố định, đoạn OA lấy điểm I cho AI = OA Kẻ dây MN vuông góc với AB I Gọi C điểm t ý thc cung lín MN ( C kh«ng trùng với M, N, B) Nối AC cắt MN E 16 Đặng Ngọc Dơng THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định a) Chứng minh : Tứ gi¸c IECB néi tiÕp b) Chøng minh : C¸c tam giác AME, ACM đồng dạng AM2 = AE AC c) Chøng minh : AE AC – AI IB = AI2 d) HÃy xác định vị trí điểm C cho khoảng cách từ N đến tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác CME nhỏ Bài tập 63 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn (O;R)(AB < CD) Gọi P điểm cung nhỏ AB ; DP cắt AB E cắt CB K ; CP cắt AB F cắt DA I a) Chứng minh: Tứ giác CKID nội tiếp đợc b) Chứng minh: IK // AB c) Chứng minh: Tứ giác CDFE nội tiếp đợc d) Chøng minh: AP2 = PE PD = PF PC e) Chứng minh : AP tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tam giác AED f) Gọi R1 , R2 bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác AED BED.Chứng minh: R1 + R2 = 4R PA Bài tập 54 Cho hình vuông ABCD cố định , có độ dài cạnh a E điểm chuyển đoạn CD (E khác D), đờng thẳng AE cắt đờng thẳng BC F, đờng thẳng vuông góc với AE A cắt đờng thẳng CD K 1) Chứng minh ABF = ADK từ suy AFK vuông cân 2) Gọi I trung điểm FK, Chứng minh I tâm đờng tròn qua A , C, F , K 3) TÝnh sè ®o gãc AIF, suy điểm A, B, F, I nằm đờng tròn Bài tập 65 Cho góc vuông xOy , Ox, Oy lần lợt lấy hai điểm A vµ B cho OA = OB M lµ điểm AB Dựng đờng tròn tâm O1 qua M tiếp xúc với Ox A, đờng tròn tâm O2 qua M tiếp xúc với Oy B , (O1) cắt (O2) ®iĨm thø hai N 1) Chøng minh tø gi¸c OANB tứ giác nội tiếp ON phân gi¸c cđa gãc ANB 2) Chøng minh M n»m cung tròn cố định M thay đổi 3) Xác định vị trí M để khoảng cách O1O2 ngắn Bài tập 66 Cho điểm A bên ngồi đường trịn (O ; R) Từ A vẽ tiếp tuyến AB, AC cát tuyến ADE đến đường tròn (O) Gọi H trung điểm DE 17 Đặng Ngọc Dơng THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định a) Chng minh nm im : A, B, H, O, C nằm đường tròn · b) Chứng minh HA tia phân giác BHC c) DE cắt BC I Chứng minh : AB2 = AI.AH Bµi tËp 67 Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đờng tròn tâm O Đờng phân giác góc A , B cắt đờng tròn tâm O D E , gọi giao điểm hai đờng phân giác I , đờng thẳng DE cắt CA, CB lần lợt M , N 1) Chøng minh tam gi¸c AIE tam giác BID tam giác cân 2) Chứng minh tứ giác AEMI tứ giác nội tiếp MI // BC 3) Tứ giác CMIN hình ? Bài tập 68 Cho tam giaực ABC có ba góc nhọn (AB < AC) Đường tròn đường kính BC cắt AB, AC theo thứ tự E F Biết BF cắt CE H AH cắt BC D a) Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp AH vuông góc với BC b) Chứng minh AE.AB = AF.AC c) Gọi O tâm đường tròn ngọai tiếp tam giác ABC K trung điểm BC Tính tỉ số OK tứ giác BHOC nội tiếp BC d) Cho HF = 3cm , HB = 4cm , CE = 8cm vaø HC > HE Tinh HC Bài tập 69 Cho (O) đờng kính AB = 2R, C trung điểm OA dây MN vuông góc với OA C Gọi K điểm tuỳ ý cung nhỏ BM, H giao điểm AK MM a) CMR: BCHK tứ giác nội tiếp b) Tính AH.AK theo R Xác định vị trí điểm K để (KM+KN+KB) đạt giá trị lớn tính giá trị lớn Bài tập 70 Cho hai đờng tròn (O1) (O2) cắt A B Một đờng thẳng qua A cắt đờng tròn (O1) , (O2) lần lợt C,D , gọi I , J trung điểm AC AD 1) Chứng minh tứ giác O1IJO2 hình thang vuông 2) Gọi M lµ giao diĨm cđa CO vµ DO2 Chøng minh O1 , O2 , M , B n»m đờng tròn 3) E trung điểm IJ , đờng thẳng CD quay quanh A Tìm tập hợp điểm E 4) Xác định vị trí dây CD để dây CD có độ dài lớn Bài tập 71 18 Đặng Ngọc Dơng THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định Cho tam giác ABC , góc B góc C nhọn Các đờng tròn đờng kính AB , AC cắt D Một đờng thẳng qua A cắt đờng tròn đờng kính AB , AC lần lợt E vµ F 1) Chøng minh B , C , D thẳng hàng 2) Chứng minh B, C , E , F nằm đờng tròn 3) Xác định vị trí đờng thẳng qua A để EF có độ dài lớn Bài tập 72 Cho đờng tròn tâm O cát tuyến CAB ( C đờng tròn ) Từ điểm cung lớn AB kẻ đờng kính MN cắt AB I , CM cắt đờng tròn E , EN cắt đờng thẳng AB F 1) Chứng minh tứ giác MEFI tứ giác nội tiếp 2) Chøng minh gãc CAE b»ng gãc MEB 3) Chøng minh : CE CM = CF CI = CA CB Bµi tËp 73 Cho ∆ ABC cã gãc nhän AC > BC néi tiÕp (O) Vẽ tiếp tuyến với (O) A B, tiếp tuyến cắt M Gọi H hình chiếu vuông góc O MC CMR a/ MAOH tứ giác nội tiếp b/ Tia HM phân giác góc AHB c/ Qua C kẻ đờng thẳng song song với AB cắt MA, MB lần lợt E, F Nối EH cắt AC P, HF cắt BC Q Chứng minh QP // EF Bài tập 74 Cho tam giác ABC vuông A điểm D nằm A B Đờng tròn đờng kính BD cắt BC E Các đờng thẳng CD , AE lần lợt cắt đờng tròn điểm thứ hai F , G Chøng minh : a) Tam gi¸c ABC đồng dạng với tam giác EBD b) Tứ giác ADEC AFBC nội tiếp đợc đờng tròn c) AC song song víi FG d) C¸c đờng thẳng AC , DE BF đồng quy Bài tập 75 Cho đờng tròn tâm O Từ điểm P đờng tròn kẻ hai tiếp tuyến phân biệt PA, PC (A, C tiếp điểm) với đờng tròn (O) a Chứng minh PAOC tứ giác nội tiếp đờng tròn b Tia AO cắt đờng tròn (O) B; đờng thẳng qua P song song với AB cắt BC D Tứ giác AODP hình gì? c Gọi I giao điểm OC PD; J giao điểm PC DO; K trung điểm AD Chứng tỏ điểm I, J, K thẳng hàng Bài tập 76 19 Đặng Ngọc Dơng THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O M điểm cung AC ( không chứa B ) kẻ MH vuông góc với AC ; MK vu«ng gãc víi BC 1) Chøng minh tứ giác MHKC tứ giác nội tiếp · · 2) Chøng minh AMB = HMK 3) Chøng minh AMB đồng dạng với HMK Bài tËp 77 Cho nửa đường trịn đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Bx với nửa đường tròn Gọi C điểm nửa đường tròn cho cung AC cung CB Trên cung CB lấy điểm D khác C B Các tia AC, AD cắt Bx E F a, Chứng minh ∆ABE vuông cân b, Chứng minh ∆ ABF ∼ ∆ BDF c, Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp d, Chứng minh AC.AE = AD.AF Bài tập 78 Cho tứ giác ABCD có hai đỉnh B C nửa đờng tròn đờng kính AD, tâm O Hai đờng chéo AC BD cắt E Gọi H hình chiếu vuông góc E xuống AD I trung ®iĨm cđa DE Chøng minh r»ng: a) C¸c tø gi¸c ABEH, DCEH nội tiếp đợc; b) E tâm đờng tròn nội tiếp tam giác BCH; c) Năm điểm B, C, I, O, H nằm đờng tròn Bài tập 79 Tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn đờng kính AD Hai đờng chéo AC , BD cắt E Hình chiếu vuông góc E AD F Đờng thẳng CF cắt đờng tròn điểm thứ hai M Giao điểm cđa BD vµ CF lµ N Chøng minh : a) CEFD tứ giác nội tiếp b) Tia FA tia phân giác góc BFM c) BE DN = EN BD Bµi tËp 80 Cho tam giác cân ABC (AB = AC; B > 450 ), đờng tròn (O) tiếp xúc với AB AC lần lợt B C Trên cung nhỏ BC lấy điểm M (M không trùng với B C) hạ đờng vuông góc MI, MH, MK xuống cạnh tơng ứng BC, CA, AB a Chỉ cách dựng đờng tròn (O) b Chứng minh tứ giác BIMK nội tiếp 20 Đặng Ngọc Dơng THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định c Gọi P giao điểm MB IK; Q giao điểm MC IH Chứng minh PQ ⊥ MI Bµi tËp 81 Cho ∆ABC cã ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn tâm O, bán kính R Hạ đờng cao AD, BE tam giác Các tia AD, BE lần lợt cắt (O) điểm thứ hai M, N Chứng minh rằng: Bốn điểm A,E,D,B nằm đờng tròn Tìm tâm I đờng tròn MN// DE Cho (O) dây AB cố định, điểm C di chuyển cung lớn AB Chứng minh độ dài bán kính đờng tròn ngoại tiếp CDE không đổi Bài tập 82 Cho điểm A đờng tròn tâm O KỴ hai tiÕp tun AB , AC víi đờng tròn (B , C tiếp điểm ) M điểm cung nhỏ BC ( M ≠ B ; M ≠ C ) Gäi D , E , F tơng ứng hình chiếu vuông góc M đờng thẳng AB , AC , BC ; H giao điểm MB DF ; K giao điểm MC EF 1) Chøng minh : a) MECF lµ tø giác nội tiếp b) MF vuông góc với HK 2) Tìm vị trí M cung nhỏ BC để tích MD ME lớn Bài tËp 83 Cho ∆ ABC vuông cân A AD trung tuyến thuộc cạnh BC Lấy M thuộc đoạn AD (M không trùng A, D) Gọi I, K hình chiếu vng góc M AB, AC H hình chiếu vng góc I đoạn DK a/Tứ giác AIMK hình gì? b/ A, I, M, H, K thuộc đường tròn Tìm tâm đường trịn c/ B, M, H thẳng hng Bài tập 84 Cho tam giác ABC (có ba góc nhọn) Hai đờng cao AD BF gặp H a/ Chứng minh tứ giác DHFC nội tiếp đợc đờng tròn Xác định tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác b/ Gọi CK đờng cao lại tam giác ABC; KD cắt đờng tròn ngoại tiếp tứ giác DHCF E Chứng minh gócEFH = gãc KBH c/ Gi¶ sư CH = AB TÝnh số đo góc ACB 21 Đặng Ngọc Dơng THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định Bài tËp 85 Cho tø gi¸c ABCD (AB // CD) néi tiếp đờng tròn (O) Tiếp tuyến A tiếp tuyến D đờng tròn (O) cắt E Gọi I giao điểm AC BD Chøng minh: a ∠CAB = ∠AOD b Tø gi¸c AEDO néi tiÕp c EI // AB Bµi tËp 86 Cho đường trịn tâm O đường kính AC Trên AC lấy điểm B , vẽ đường tròn tâm O’ đường kính BC Gọi M trung điểm AB Từ M kẻ đường thẳng vng góc với AB cắt đường tròn tâm O D E Nối DC cắt đường tròn tâm O’ I Chứng minh: a/ AD // BI b/ BE // AD; I, B, E thẳng hàng c/ MD = MI d/ DM2 = AM.MC e/ Tứ giác DMBI nội tiếp Bµi tËp 87 Cho tam giác ABC vuông A Trên AC lấy điểm D, dựng CE vuông góc với BD a Chứng minh tứ giác ABCE nội tiếp đờng tròn b Chøng minh AD.CD = ED.BD c Tõ D kỴ DK vu«ng gãc víi BC Chøng minh r»ng AB, DK, EC đồng quy điểm DKE = ABE Bài tập 88 Từ điểm A đờng tròn(O), ta kẻ tiếp tuyến AB, AC tới đờng tròn (O) (B, C tiếp điểm) M điểm cung nhỏ BC, ( M B; M C ) Từ M hạ đờng vuông góc MI, MH, MK tơng ứng xuống BC, AC, AB Gäi P lµ giao cđa MB vµ IK; Q lµ giao cđa MC vµ IH a Chøng minh tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp đợc đờng tròn b Chứng minh tia đối tia MI phân giác góc KMH c Chứng minh PQ // BC Bài tập 89 22 Đặng Ngọc Dơng THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định Cho đờng tròn tâm O, bán kính R hai đờng kính vuông góc AB CD Trên AO lấy điểm E mà OE = AO, CE cắt (O) M a TÝnh CE theo R b Chøng minh tø giác MEOD nội tiếp đựơc Xác định tâm bán kính đờng tròn ngoại tiếp tứ giác c Chứng minh hai tam giác CEO CDM đồng dạng Tính độ dài đờng cao MH tam giác CDM Bài tập 90 Cho hai đờng tròn (O1) (O2) cắt A B, tiếp tuyến chung với hai đờng tròn (O1) (O2) phía nửa mặt phẳng bờ O 1O2 chøa ®iĨm B, cã tiÕp ®iĨm thø tù E F Qua A kẻ cát tuyến song song với EF cắt đờng tròn (O1), (O2) thứ tự C, D Đờng thẳng CE đờng thẳng DF cắt I a Chứng minh IA vuông góc với CD b Chúng minh tứ giác IEBF tứ giác nội tiếp c Chứng minh đờng thẳng AB qua trung điểm EF Bài tập 91 Cho ng trịn tâm O cát tuyến CAB (C ngồi đường trịn) Từ điểm cung lớn AB kẻ đường kính MN cắt AB I, CM cắt đường tròn E, EN cắt đường thẳng AB F 1) Chứng minh tứ giác MEFI tứ giác nội tiếp 2) Chứng minh góc CAE góc MEB 3) Chứng minh: CE.CM = CF.CI = CA.CB Bµi tËp 92 Cho tam giác ABC vuông A có AB > AC, đờng cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A, vẽ nửa đờng tròn đờng kính BH cắt AB E, vẽ nửa đờng tròn đờng kính HC cắt AC F a Chứng minh tứ giác AEHF hình chữ nhật b Chứng minh AE.AB = AF.AC c Chứng minh BEFC tứ giác nội tiếp Bài tập 93 23 Đặng Ngọc Dơng THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định Cho đờng tròn (O) đờng kính BC Điểm A thuộc đoạn OB (A không trùng với O B), vẽ đờng tròn (O') đờng kính AC Đờng tròn qua trung điểm M đoạn thẳng AB vuông góc với AB cắt đờng tròn (O) D E Gọi F giao điểm thứ hai CD với đờng tròn (O'), K giao điểm thứ hai CE với đờng tròn (O') Chứng minh: a Tứ giác ADBE hình thoi b AF // BD c Ba điểm E, A, F thẳng hàng d Bốn điểm M, F, C E thuộc đờng tròn e Ba đờng thẳng CM, DK, EF đồng quy Bài tập 94 Cho hai đờng tròn (O) (O') cắt A B Đờng tiếp tuyến với (O') vẽ từ A cắt (O) điểm M; đờng tiếp tuyến với (O) vẽ từ A cắt (O') N Đờng tròn tâm I ngoại tiếp tam giác MAN cắt AB kéo dài P a Chứng minh tứ giác OAO'I hình bình hành b Chứng minh bốn điểm O, B, I, O' nằm đờng tròn c Chøng minh r»ng: BP = BA Bµi tËp 95 Tõ điểm P nằm đờng tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến PM PN với đờng tròn (O) (M, N tiếp điểm) Đờng thẳng qua điểm P cắt đờng tròn (O) hai điểm E F Đờng thẳng qua O song song với PM cắt PN Q Gọi H trung điểm đoạn EF Chứng minh rằng: a Tứ giác PMON nội tiếp đờng tròn b Các điểm P, N, O, H nằm đờng tròn c Tam giác PQO cân d PM2 = PE.PF e ∠PHM = ∠PHN Bµi tËp 96 Cho ABC, đờng phân giác góc B C gặp S Các đờng thẳng phân giác cảu góc B C gặp E Chøng minh r»ng: a) Tø gi¸c BSCE néi tiÕp b) A; S; E thẳng hàng Cho nửa đờng tròn đờng kính AB cà dây CD Qua C vẽ đờng thẳng vuông góc với CD cắt AB I Các tiếp tuyến A B nửa đờng tròn cắt đờng thẳng CD theo thứ tự M N Chứng minh rằng: a) Tứ giác AMCI; BNCI nội tiếp b) MNI vuông IMN đồng dạng với CAB 24 Đặng Ngọc Dơng THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định Bài tập 97 Cho đờng tròn (O) điểm A nằm bên đờng tròn Dựng hai tiếp tuyến AM, AN (M, N tiếp điểm) cát tuyến APQ Gọi L trung ®iĨm cđa cđa PQ a Chøng minh ®iĨm O; L; M; A; N nằm đờng tròn b LA tia phân giác góc MLN c Gọi I giao điểm MN LA Chứng minh MA2 = AI.AL d Gọi K giao điểm ML với đờng tròn (O) Chứng minh rằng: KN//AQ e Chứng minh KLN cân Bài tập 98 Cho nửa đờng tròn đờng kính AB, C điểm thuộc nửa đờng tròn Trên tia AC lấy điểm D cho AD = AB, Trên AB lấy điểm E cho AE = AC, DE cắt BC H AH cắt nửa đờng tròn K Chứng minh: a) Góc DAH = gãc BAH b) OK ⊥ BC c) Tø gi¸c ACHE nội tiếp d) B; K; D tẳng hàng Bài tập 99 Cho hai đờng tròn (O) (O) có bán kính R R (R>R) tiếp xúc C Gọi AC, BC hai đờng kính qua C đờng tròn (O) (O) DE dây cung đờng tròn (O) vuông góc với AB trung điểm M AB, CD cắt đờng tròn (O) F a/ Tứ giácAEBD hình gì? b/ B; E; F thẳng hàng c/ Tứ giácMDBF; MCFE nội tiếp d/ BD cắt (O) G Chứng minh DF, EG, AB ®ång quy e/ Chøng minh MF = DE vµ MF lµ tiÕp tun cđa (O’) Bµi tËp 100 Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB Tại B vẽ tia tiếp tuyến Bx nửa đờng tròn (Bx phía với nửa đờng tròn bờ AB) Trên Bx lÊy hai ®iĨm C; D cho C n»m B D, tia AC AD lần lợt cắt nửa đờng tròn E F Hai dây AE BF cắt M, hai tia AF BE cắt N Chứng minh rằng: a MN//Bx b Tø gi¸cMFNE néi tiÕp c Tø gi¸c CDFE nội tiếp Bài tập 101 25 Đặng Ngọc Dơng THCS Giao Hà - Giao Thuỷ - Nam Định Từ điểm M bên đờng tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với đờng tròn (A, B hai tiếp điểm) Trên cung nhỏ AB lấy ®iÓm C VÏ CD⊥AB; CE ⊥MA; CF ⊥MB Gäi I giao điểm AC DF; K giao ®iĨm cđa BC vµ DF Chøng minh r»ng: a Tø gi¸c AECD; BFCD néi tiÕp b CD2 = CE.CF = DE.DF c Tứ giác ICKD nội tiếp d IK//AB Đặng Ngọc Dơng Trờng THCS Giao Hà - Giao Thuỷ Nam Định Email: diepngoc0307@gmail.com.vn 26 ... EBD b) Tứ giác ADEC AFBC nội tiếp đợc đờng tròn c) AC song song với FG d) Các đờng thẳng AC , DE BF đồng quy Bài tập 75 Cho đờng tròn tâm O Từ điểm P đờng tròn kẻ hai tiếp tuyến phân biệt... đờng tròn ngoại tiếp HEF Bài tập 10 Cho đờng tròn tâm O điểm A bên đờng tròn Vẽ tiếp tuyến AB, AC cát tuyến ADE với đờng tròn (B C tiếp điểm) Gọi H trung điểm DE a) CMR: A,B, H, O, C thuộc đờng... Chứng minh AC tiếp tuyến đờng tròn (O) Tính bán kính đờng tròn (O) BiÕt AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm Bài tập 33 Cho điểm A bên đờng trßn (O ; R) Tõ A vÏ tiÕp tuyÕn AB, AC cát tuyến ADE đến đờng tròn