Trường THPT Vinh Xuân Tổ Toán Tin KIỂM TRA HỌC KỲ II NĂM HỌC 2008-2009 MÔN TOÁN LỚP 10 ( Thời gian làm bài: 90 phút ) I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 8 điểm ) Câu I ( 2 điểm ) 1. Giải bất phương trình ( ) ( ) ( ) 2 3 1 2 1 4 3 0x x x− + − − ≥ 2. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có hai nghiệm trái dấu: ( ) ( ) 2 2 2 1 4 3 0m x m x m− + + − + = Câu II ( 3 điểm ) 1. Cho 3 sin 5 x = và 0 2 x π < < . Hãy tính giá trị của cos 4 x π   +  ÷   2. Chứng minh đẳng thức: 1 cos2 sin 2 sin 2 1 cos2 x x x x − = + ( khi các biểu thức có nghĩa ) 3. Chứng minh rằng biểu thức A không phụ thuộc vào x: 2 sin cos .cos 6 6 A x x x π π     = + + −  ÷  ÷     Câu III ( 3 điểm ) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm ( ) ( ) 7;11 , 5; 3A B − và đường thẳng d có phương trình 4 3 11 0x y+ − = . 1. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng AB. 2. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Viết phương trình đường tròn có tâm I và tiếp xúc với đường thẳng d. 3. Tìm tọa độ của điểm M trên đường thẳng d sao cho tam giác MAB cân tại M. II. PHẦN RIÊNG ( 2 điểm ) Thí sinh học chương trình nào thì chỉ được làm phần dành riêng cho chương trình đó ( phần 1 hoặc phần 2 ). Phần 1. Theo chương trình Chuẩn: Câu IV.a ( 1 điểm ) Giải bất phương trình 1 1 2 1 x x x x + − + < − Câu V.a ( 1 điểm ) Viết phương trình chính tắc của Elip (E), biết rằng (E) đi qua điểm 3 ; 3 2 M    ÷   và có độ dài trục bé bằng 4. Phần 2. Theo chương trình Nâng cao: Câu IV.b ( 1 điểm ) Giải bất phương trình 2 2 8 7 8 8 0x x x x+ + + + ≥ Câu V.b (1 điểm ) Viết phương trình chính tắc của Hypebol (H), biết rằng (H) có tâm sai 5 3 e = và đi qua điểm ( ) 3 2;4M . ------------------HẾT------------------ HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN LỚP 10 KIỂM TRA HỌC KỲ II - NĂM HỌC 2008-2009 I.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (8 điểm ) Câu Nội dung Điểm I.1. 1,00 đ Giải bất phương trình ( ) ( ) ( ) 2 3 1 2 1 4 3 0x x x− + − − ≥ Bpt 2 2 6 3 2 1 16 24 9 0x x x x x⇔ + − − − + − ≥ 2 10 25 10 0x x⇔ − + − ≥ 2 1 2 5 2 0 2 2 x x x⇔ − + ≤ ⇔ ≤ ≤ Vậy bất phương trình có tập nghiệm là 1 ;2 2 S   =     0,25 0,25 0,25 0,25 I.2. 1,00 đ Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có hai nghiệm trái dấu: ( ) ( ) 2 2 2 1 4 3 0m x m x m− + + − + = Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi 0ac < ( ) ( ) 2 4 3 0m m⇔ − − + < 2 4 11 6 0m m⇔ − + − < 3 4 m⇔ < hoặc 2m > 0,25 0,25 0,50 II.1. 1,00 đ Cho 3 sin 5 x = và 0 2 x π < < . Hãy tính giá trị của cos 4 x π   +  ÷   Từ công thức 2 2 sin cos 1x x+ = , suy ra 2 2 cos 1 sinx x= − 9 16 1 25 25 = − = Vì 0 2 x π < < nên cos 0x > , do đó 4 cos 5 x = . Ta có cos 4 x π   +  ÷   cos .cos sin .sin 4 4 x x π π = − 4 2 3 2 2 . . 5 2 5 2 10 = − = 0,25 0,25 0,25 0,25 II.2. 1,00 đ Chứng minh đẳng thức: 1 cos2 sin 2 sin 2 1 cos2 x x x x − = + Ta có VT = 1 cos2 sin 2 x x − = ( ) ( ) ( ) 1 cos 2 1 cos2 sin 2 1 cos2 x x x x − + + ( ) 2 1 cos 2 sin 2 1 cos2 x x x − = + ( ) 2 sin 2 sin 2 1 cos2 x x x = + sin 2 1 cos2 x x = + = VP 0,25 0,25 0,25 0,25 II.3. 1,00 đ Chứng minh rằng biểu thức A không phụ thuộc vào x: 2 sin cos .cos 6 6 A x x x π π     = + + −  ÷  ÷     Ta có 2 1 sin cos cos2 2 3 A x x π   = + +  ÷   0,25 2 1 1 sin cos2 2 2 x x   = + +  ÷   2 2 1 1 sin 1 2sin 2 2 x x   = + + −  ÷   3 4 = ( không phụ thuộc vào x ) 0,25 0,25 0,25 III.1. 1,00 đ Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm ( ) ( ) 7;11 , 5; 3A B − và đường thẳng d có phương trình 4 3 11 0x y+ − = . 1. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng AB. Đường thẳng AB đi qua điểm A và nhận ( ) ( ) 2; 14 2 1;7AB = − − = − uuur làm véctơ chỉ phương nên có phương trình tham số là: 7 11 7 x t y t = +   = +  7 49 7 11 7 x t y t = +  ⇒  = +  7 38x y⇒ − = Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng AB là 7 38 0x y− − = . 0,25 0,25 0,25 0,25 III.2. 1,00 đ 2. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Viết phương trình đường tròn có tâm I và tiếp xúc với đường thẳng d. Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là: ( ) 6;4I Khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng d là: ( ) 24 12 11 , 5 16 9 d I d + − = = + Đường tròn tâm I tiếp xúc với đường thẳng d có bán kính ( ) , 5R d I d= = . Vậy phương trình đường tròn cần tìm là ( ) ( ) 2 2 6 4 25x y− + − = . 0,25 0,25 0,25 0,25 III.3. 1,00 đ 3. Tìm tọa độ của điểm M trên đường thẳng d sao cho tam giác MAB cân tại M. Vì tam giác MAB cân tại M nên MA MB= , do đó M thuộc đường trung trực ∆ của đoạn thẳng AB , suy ra M là giao điểm của ∆ và d. Đường trung trực ∆ của đoạn thẳng AB đi qua trung điểm I của AB và nhận ( ) 2 1;7AB = − uuur làm véctơ pháp tuyến , suy ra phương trình đường thẳng ∆ là: ( ) ( ) 1 6 7 4 0x y− + − = hay 7 34 0x y+ − = Tọa độ của điểm M là nghiệm của hệ phương trình 4 3 11 0 7 34 0 x y x y + − =   + − =  1 5 x y = −  ⇔  =  Vậy tọa độ điểm M cần tìm là ( ) 1;5M − . 0,25 0,25 0,25 0,25 II. PHẦN RIÊNG ( 2 điểm ) Phần 1. Theo chương trình chuẩn IV.a 1,00 đ Giải bất phương trình 1 1 2 1 x x x x + − + < − Điều kiện : 0x ≠ và 1x ≠ Bpt ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 1 0 1 x x x x x x x + + − − − ⇔ < − 2 2 2 1 0 x x x x + − ⇔ < − 0,25 0,25 Từ Bảng xét dấu 2 2 2 1x x VT x x + − = − , suy ra 1 0 0 1 1 2 x VT x − < <   < ⇔  < <  Vậy bất phương trình có tập nghiệm là ( ) 1 1;0 ;1 2 S   = −  ÷   U 0,25 0,25 V.a 1,00 đ Viết phương trình chính tắc của Elip (E), biết rằng (E) đi qua điểm 3 ; 3 2 M    ÷   và có độ dài trục bé bằng 4. Phương trình chính tắc của Elip (E) có dạng 2 2 2 2 1 x y a b + = ( với 0a b> > ) Elip đi qua điểm 3 ; 3 2 M    ÷   nên ta có 2 2 9 3 1 4a b + = Elip có độ dài trục bé bằng 4, do đó 2 4 2b b= ⇒ = . Giải hệ phương trình: 2 2 9 3 1 4 2 a b b  + =    =  ta được 3 2 a b =   =  Vậy phương trình chính tắc của Elip là 2 2 1 9 4 x y + = . 0,25 0,25 0,25 0,25 Phần 2. Theo chương trình Nâng cao: IV.b 1,00 đ Giải bất phương trình 2 2 8 7 8 8 0x x x x+ + + + ≥ Đặt 2 8 8y x x= + + , điều kiện 0y ≥ . Khi đó, bất phương trình trở thành 2 7 8 0y y+ − ≥ ( ) 8 0 1 y y y  ≤ − ≥ ⇔  ≥  lo¹i do Với 1y ≥ ta có 2 8 8 1x x+ + ≥ 2 8 7 0x x⇔ + + ≥ 7 1 x x ≤ −  ⇔  ≥ −  Vậy bất phương trình có tập nghiệm là ( ] [ ) ; 7 1;S = −∞ − − +∞U 0,25 0,25 0,25 0,25 V.b 1,00 đ Phương trình chính tắc của Hypebol (H) có dạng 2 2 2 2 1 x y a b − = ( , 0a b > ) Hypebol đi qua điểm ( ) 3 2;4M nên ta có 2 2 18 16 1 a b − = Hypebol có tâm sai 5 3 e = , suy ra 5 3 c a = 5 3 a c⇒ = Từ công thức 2 2 2 a b c+ = , suy ra 2 2 2 25 9 a a b+ = 2 2 16 9 a b⇒ = Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 18 16 1 16 9 a b a b  − =     =   ta được 2 2 9 16 a b  =   =   Vậy phương trình chính tắc của Hypebol (H) là 2 2 1 9 16 x y − = 0,25 0,25 0,25 0,25 . 4 2 3 2 2 . . 5 2 5 2 10 = − = 0 ,25 0 ,25 0 ,25 0 ,25 II .2. 1,00 đ Chứng minh đẳng thức: 1 cos2 sin 2 sin 2 1 cos2 x x x x − = + Ta có VT = 1 cos2 sin 2 x. cos 2 1 cos2 sin 2 1 cos2 x x x x − + + ( ) 2 1 cos 2 sin 2 1 cos2 x x x − = + ( ) 2 sin 2 sin 2 1 cos2 x x x = + sin 2 1 cos2 x x = + = VP 0 ,25 0 ,25 0 ,25