Giúp học sinh học 12 tốt vấn đề : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN LỜI GIỚI THIỆU Vấn đề diện tích của các hình quen thuộc như tam giác , tứ giác , ngũ giác , lục giác, … gọi chung là đa giác học sinh đều đã biết công thức tính diện tích từ các lớp dưới . Cũng tương tự như vậy vấn đề thể tích các khối như ( khối hộp chữ nhật , khối lập phương , khối lăng trụ , khối chóp , ….gọi chung là khối đa diện ) học sinh đều được học công thức tính thể tích . Đây là một vấn đề rất thực tế nhưng để học tốt nó vốn không đơn giản đối với các học sinh có tư duy hình học yếu , đặc biệt là tư duy cụ thể hoá , trừu tượng hoá .Việc dạy và học các vấn đề này ở chương trình toán lớp dưới 8 , 9 , 10 , 11 vốn đã gặp rất nhều khó khăn bởi nhiều nguyên nhân , trong đó yếu tố “trực quan và thực tế” trong các sách giáo khoa đang còn thiếu . Do đó khi học về vấn đề mới : vấn đề diện tích của các hình phẳng , vấn đề thể tích của các vật thể tròn xoay ở chương trình giải tích 12 học sinh gặp rất nhiều khó khăn .Hầu hết các em học sinh thường có cảm giác “sợ” bài toán tính diện tích hình phẳng cũng như bài toán tính thể tích của vật thể tròn xoay . Khi học vấn đề này nhìn chung các em thường vận dụng công thức một cách máy móc chưa có sự phân tích , thiếu tư duy thực tế và trực quan nên các em hay bị nhầm lẫn , học không giải được , đặc biệt là những bài toán cần phải có hình vẽ để “chia nhỏ” diện tích mới tính được. Thêm vào đó trong sách giáo khoa cũng như các sách tham khảo có rất ít ví dụ minh hoạ một cách chi tiết để giúp học sinh học tập và khắc phục “những sai lầm đó”.Càng khó khăn hơn cho những học sinh có kỹ năng tính tích phân còn yếu và kỹ năng “đọc đồ thị” còn hạn chế. Tài liệu “ GIÚP HỌC SINH 12 HỌC TỐT VẤN ĐỀ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN” nhằm giúp cho học sinh 12 rèn kỹ năng tính tích phân , đặc biệt là tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối , rèn kỹ năng đọc đồ thị của hàm số , từ đó khắc phục những khó khăn , sai lầm khi gặp bài toán tính diện tích hình phẳng cũng như tính thể tích của vật thể tròn xoay. Từ đó giúp học sinh phát huy tốt kiến thức về diện tích và thể tích mà học sinh đã học ở lớp dưới , thấy được tính thực tế và sự liên hệ nội tại của vấn đề này trong chương các lớp học , học sinh sẽ cảm thấy hứng thú , thiết thực và học tốt vấn đề ứng dụng của tích phân. Đây làm một tài liệu tham khảo rất tốt cho học sinh cũng như giáo viên để luyện thi và ôn tập thi TN THPT , ôn thi ĐH , CĐ . Tài liệu này gồm các phần : - Phần một : Thực trạng và giải pháp chung giúp học sinh 12 học tốt vấn đề ứng dụng của tích phân hiện nay . 1/ Những khó khăn và sai làm mà học sinh thường mắc phải . 2/ Hướng khắc phục . - Phần hai Diện tích của hình phẳng I.Hình phẳng giới hạn bởi một đồ thị hàm số với trục hoành. 1/ Công thức tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y =f(x) và trục hoành . 2/ Một vài ví dụ minh họa cách tính tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối . 3/ Các bài toán minh họa và bài tập tương tự . 4/ Diện tích của hình tròn và hình elip. II . Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số . 1/ Cách tìm giao điểm của hai đồ thị. 2/ Một vài ví dụ về cách tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số . 3/ Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số . - Phân ba: Thể tích của vật thể tròn xoay. I. Công thức tính thể tích của vật thể tròn xoay . 1/ Vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay một hình phẳng quanh trục hoành. 2/ Vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay một vật thể quanh trục tung. 1 Giúp học sinh học 12 tốt vấn đề : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN II . Thể tích của khối cầu , khối trụ . 1/ Thể tích khối cầu 2/ Thể tích khối trụ Dù tác giả đã rất cố gắng , song bài viết này cũng khó tránh khỏi những thiếu sót,rất mong nhận được sự góp ý của học sinh và quý bạn đồng nghiệp. Xin chân thành cám ơn . PHẦN MỘT 2 Giúp học sinh học 12 tốt vấn đề : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN Thực trạng và giải pháp chung giúp học sinh 12 học tốt vấn đề ứng dụng của tích phân hiện nay . 1/ Những khó khăn và sai lầm mà học sinh thường mắc phải . Chủ đề ứng dụng của tích phân là một trong những kiến thức cơ bản ở chương trình toán giải tích lớp 12 . Việc dạy và học vấn đề này học sinh giúp học sinh hiểu rõ ý nghĩa hình học của tích phân , đặc biệt là tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số ,tính thể tích của vật thể tròn xoay tạo bởi khi quay một hình phẳng quanh trục hoành hoặc trục tung. Đây cũng là một nội dung thường gặp trong các đề thi học kì II , , đề thi TN THPT , đề thi CĐ , ĐH . Nhìn chung khi học vấn đề này , đại đa số học sinh (kể cả học sinh khá giỏi ) thường gặp những khó khăn , sai lầm sau : - Nếu không có hình vẽ thi học sinh thường không hình dung được hình phẳng (hay vật thể tròn xoay ) . Do dó học sinh có cảm giác “xa lạ” hơn so với khi học về diện tích của hình phẳng đã học trước đây ( diện tích đa giác , thể tích các khối đa diện …).Học sinh không tận dụng được kiểu “tư duy liên hệ cũ với mới” vốn có của mình khi nghiên cứu vấn đề này . -Hình vẽ minh họa ở các sách giáo khoa cũng như sách bài tập còn ít “ chưa đủ” để giúp học sinh rèn luyện tư duy từ trực quan đến trừu tượng . Từ đó học sinh chưa thấy sự gần gũi và thấy tính thực tế của các hình phẳng , vật tròn xoay đang học . -Học sinh chưa thực sự hứng thú và có cảm giác nhẹ nhàng khi học vấn đề này , trái lại học sinh có cảm giác nặng nề ,khó hiểu . - Học sinh thường chỉ nhớ công thức tính diện tích hình phẳng ( thể tích vật tròn xoay ) một cách máy móc , khó phát huy tính linh hoạt sáng tạo ,đặc biệt là kỹ năng đọc đồ thị để xét dấu các biểu thức , kỹ năng “ chia nhỏ” hình phẳng để tính ; kỹ năng cộng , trừ diện tích ; cộng , trừ thể tích . Đây là một khó khăn rất lớn mà học sinh thường gặp phải . -Học sinh thường bị sai lầm trong việc tính tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối . Chẳng hạn , thường áp dụng sai công thức : ∫∫ == b a b a dxxfdxxfI )()( Học sinh không biết rằng : công thức trên chỉ đúng trong trường hợp biểu thức f(x) không đổi dấu trong khoảng (a ; b). Ví dụ : dxxxS ∫ +−= 3 0 2 23 Học sinh viết sai là : dxxxS ∫ +−= 3 0 2 )23( 2/ Hướng khắc phục . - Giúp học thành thạo kỹ năng phá dấu giá trị tuyệt đối một cách linh hoạt tùy thuộc vào từng tình huống cụ thể bằng một trong các cách sau : + Hoặc bằng cách xét của biểu thức dưới dấu giá trị tuyệt đối . + Hoặc dựa vào hình vẽ (đồ thị ) để xét dấu của biểu thức dưới dấu giá trị tuyệt đối . + Hoặc dùng công thức sau : ∫∫ == b a b a dxxfdxxfI )()( Với điều kiện f(x) không đổi dấu trên khoảng (a ;b) . - Đưa ra nhiều bài tập minh họa có lời giải chi tiết để giảng dạy trong các giờ dạy phụ đạo và để học sinh tham khảo . Qua đây rèn luyện cho học sinh kỹ năng đọc đồ thị và vận 3 Giúp học sinh học 12 tốt vấn đề : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN dụng vào giải toán . Giúp học có hình ảnh trực quan về các hình phẳng .Từ đó học sinh có cảm giác nhẹ nhàng , gần gũi thực tế hơn , hứng thú hơn . - Đưa ra hệ thống bài tập tương tự có hình vẽ kèm theo hoặc không có hình vẽ để học sinh luyện tập từ dễ tới khó . Giáo viên chọn bài tập tiêu biểu để giảng giải , số còn lại để học sinh tự thảo luận làm nhóm ở nhà và nộp bài làm cho giáo viên. PHẦN HAI DIỆN TÍCH CỦA HÌNH PHẲNG I/ HÌNH PHẲNG GIỚI HẠN BỞI MỘT ĐỒ THỊ HÀM SỐ VÀ TRỤC HOÀNH 4 Giúp học sinh học 12 tốt vấn đề : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 1/ Công thức tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) , trục hoành và hai đường thẳng x = a , x = b Chú ý : Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [ ] b ; a . Khi đó hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) , trục hoành và hai đường thẳng x = a , x = b có diện tích là S và được tính theo công thức : ∫ = b a dxxfS )( (1)  Để tính diện tích S ta phải tính tích phân (1) , muốn vậy ta phải “phá” dấu giá trị tuyệt đối . • Nếu [ ] b ; a x , 0)( ∈∀≥ xf thì ∫∫ == b a b a dxxfdxxfS )()( • Nếu [ ] b ; a x , 0)( ∈∀≤ xf thì ( ) ∫∫ −== b a b a dxxfdxxfS )()(  Muốn “phá” dấu giá trị tuyệt đối ta phải xét dấu của biểu thức f(x) . Thường có hai cách làm như sau : -Cách 1: Dùng định lí “dấu của nhị thức bật nhất” , định lí “dấu của tam thức bậc hai” để xét dấu các biểu thức f(x) ; đôi khi phải giải các bất phương trình f(x) ≥ 0 , f(x) ≤ 0 trên đoạn [ ] b ; a -Cách 2: Dựa vào đồ thị của hàm số y =f(x) trên đoạn [ ] b ; a để suy ra dấu của f(x) trên đoạn đó . • Nếu trên đoạn [a ; b] đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía “trên” trục hoành thì [ ] b ; a x , 0)( ∈∀≥ xf • Nếu trên đoạn [a ; b] đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía “dưới” trục hoành thì [ ] b ; a x , 0)( ∈∀≤ xf -Cách 3 Nếu f(x) không đổi dấu trên [a ; b] thì ta có : ∫∫ == b a b a dxxfdxxfS )()( 2/ Một vài ví dụ minh hoạ cách tính tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối Vd 1 : Tính dxxI ∫ − += 0 2 42 Xét dấu nhị thức bậc nhất f(x) = 2x + 4 x -∞ -2 0 +∞ f(x)=2x + 4 - 0 +  + Suy ra [ ] 2;0-x , 042 ∈∀≥+ x Do đó [ ] 4)2(4)2(0 2 0 )4()42(42 22 0 2 0 2 =−+−−= − +=+=+= ∫∫ −− xxdxxdxxI Vd 2 : dxxxJ ∫ −+−= 3 0 2 22 Xét dấu tam thức f(x) = - x 2 + 2x – 2 , có 0121)2)(1(1' 2 <−=−=−−−=∆ , a = - 1 < 0 Suy ra f(x) < 0 R ∈∀ x 5 Giúp học sinh học 12 tốt vấn đề : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN x -∞ 0 3 +∞ f(x)= -x 2 + 2x - 2 - -2 - -5 - Suy ra [ ] 0;3x , 0)( ∈∀< xf 0 3 )2 3 ()22(22 2 3 3 0 2 3 0 2 xx x dxxxdxxxJ +−=+−=−+−= ∫∫ 6069 3 27 0.20 3 0 3.23 3 3 2 3 2 3 =−+−=       −−−+−= Vd 3 dxxxK ∫ +−= 2 0 2 23 Cách 1 Xét dấu tam thức f(x) = x 2 – 3x + 2 , có a = 1 > 0 ; và    = = ⇔=+− 2 1 023 2 x x xx x -∞ 0 1 2 +∞ f(x)= x 2 - 3x + 2 + 2 + 0 - 0 + Suy ra [ ] 0;1x , 0)( ∈∀≥ xf và [ ] 1;2x , 0)( ∈∀≤ xf Do đó : ∫∫∫ +−−+−=+−= 2 1 2 1 0 2 2 0 2 )23()23(23 dxxxdxxxdxxxK 1 2 )2 2 3 3 ( 0 1 )2 2 3 3 ( 2323 x xx x xx +−−+−= = 6 5 - ) 6 1 ( − =1 Cách 2 1 6 1 6 5 )23()23(23 2 1 2 1 0 2 2 0 2 = − +=+−++−=+−= ∫∫∫ dxxxdxxxdxxxK 3/ Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi một đồ thị hàm số với trục hoành. Bài toán 1 Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 2x + 4 , trục hoành , các đường thẳng x = - 2 , x = 0 . y x f x ( ) = 2 ⋅ x+4 4 -2 O 1 Hình 1 Giải Diện tích S của hình phẳng trên là dxxS ∫ − += 0 2 42 Từ hình vẽ , suy ra [ ] 2;0-x , 042 ∈∀≥+ x 6 Giúp học sinh học 12 tốt vấn đề : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN Do đó [ ] 4)2(4)2(0 2 0 )4()42(42 22 0 2 0 2 =−+−−= − +=+=+= ∫∫ −− xxdxxdxxS (đvdt) Bài toán 2 . Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường y= - 2x - 4 , trục hoành Ox, trục tung Oy và đường thẳng x = - 2 . y x f x ( ) = -2 ⋅ x-4 4 -2 O 1 Hình 2 Giải Hình phẳng trên được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = -2x – 4 , trục hoành và hai đường thẳng x = - 2 , x = 0 . Diện tích S của hình phẳng trên là dxxS ∫ − −−= 0 2 42 Từ hình vẽ , suy ra [ ] 2;0-x , 042 ∈∀≥−− x Do đó [ ] 4)2(4)2(0 2 0 )4()42(42 22 0 2 0 2 =−+−−= − +=+=−−= ∫∫ −− xxdxxdxxS (đvdt) Bài toán 3 . Tính diện tích của hình phẳng (được tô màu ) sau đây : y x f x ( ) = x 3 4 -2 O 1 A B Hình 3 Giải : Hình phẳng trên được giới hạn bởi bốn đường y = x ,trục hoành và hai đường thẳng x = 0 , x = 3. Diện tích S của hình phẳng trên là dxxS ∫ = 3 0 Vì [ ] 0;3x , 0 ∈∀≥ x 2 9 2 0 2 3 0 3 ) 2 ( 222 3 0 3 0 =−==== ∫∫ x dxxdxxS (đvdt) 7 Giúp học sinh học 12 tốt vấn đề : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN Bài toán 4. Tính diện tích của hình phẳng (có tô màu ) sau đây . y x f x ( ) = x 2 3 4 -2 O 1 A B Hình 4 Hình phẳng trên được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x 2 , trục hoành và hai đường thẳng x = 0 , x = 2. Diện tích S của hình phẳng trên là dxxS ∫ = 2 0 2 Vì [ ] 0;2x , 0 2 ∈∀≥ x 3 8 3 0 3 2 0 2 ) 3 ( 333 2 0 2 2 0 2 =−==== ∫∫ x dxxdxxS (đvdt) Bài toán 5 . Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = - x 2 , trục hoành Ox và hai đường thẳng x = -1 ; x = 2 . y x f x ( ) = -x 2 3 -4 -1 -2 O 1A B Hình 5 Giải Diện tích S của hình phẳng trên là dxxS ∫ − −= 2 1 2 Từ hình vẽ , suy ra [ ] 1;2-x , 0 2 ∈∀≤ x 3 3 1 3 8 3 )1( 3 2 1 2 ) 3 ( 333 2 1 2 2 1 2 =+= − −= − ==−= ∫∫ −− x dxxdxxS (đvdt) Bài toán 6. Hình thang sau được giới hạn bởi các đường thẳng y = -x – 2 , y = 0 , x = 0 và x = 3. Hãy tính diện tích hình thang đó . 8 Giúp học sinh học 12 tốt vấn đề : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN y x f x ( ) = -x-2 3 -4 2 -1-2 O 1 A B Hình 6 Giải Diện tích S của hình phẳng trên là dxxS ∫ −−= 3 0 2 Từ hình vẽ , suy ra [ ] 0;3x , 02 ∈∀≤−− x 2 21 6 2 9 0.2 2 0 3.2 2 3 0 3 )2 2 ()2(2 222 3 0 3 0 =+=       +−+=+=+=−−= ∫∫ x x dxxdxxS (đvdt) Bài toán 7. Cho hàm số y = -x 2 +2x – 2 có đồ thị (C ) .Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) , trục hoành và hai đường thẳng x =0 , x = 3 (C) y x f x ( ) = -x 2 +2 ⋅ x ( ) -2 3 -4 2 -1-2 O 1 A B Hình 7 Giải Hình phẳng trên được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = -x 2 +2x - 2 , trục hoành và các đường thẳng x = 0 , x = 3 . Diện tích S của hình phẳng trên là dxxxS ∫ −+−= 3 0 2 22 Từ hình vẽ , suy ra [ ] 0;3x , 022 2 ∈∀≤−+− xx 0 3 )2 3 ()22(22 2 3 3 0 2 3 0 2 xx x dxxxdxxxS +−=+−=−+−= ∫∫ 6069 3 27 0.20 3 0 3.23 3 3 2 3 2 3 =−+−=       −−−+−= (đvdt) 9 Giúp học sinh học 12 tốt vấn đề : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN Bài toán 8. Hãy tính diện tích của hình phẳng (có tô màu ) sau đây: y x f x ( ) = x 2 +2 ⋅ x+2 3 6 2 -1 4 -2 O 1 A B Hình 8 Giải Hình phẳng trên được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x 2 +2x +2 , trục hoành và các đường thẳng x = -1 , x = 1 . Diện tích S của hình phẳng trên là dxxxS ∫ − ++= 1 1 2 22 Từ hình vẽ , suy ra [ ] 1;1-x , 022 2 ∈∀≥++ xx 1 1 )2 3 ()22(22 2 3 2 1 2 1 1 2 − ++=++=++= ∫∫ −− xx x dxxxdxxxS 3 14 1 3 1 3 3 1 )21 3 1 (3 3 1 2)1( 3 )1( 1.21 3 1 2 3 2 3 =+++=−+ − −+=       −−+ − −++= (đvdt) Bài toán 9.Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C ) của hàm số y = x 3 –x 2 + 2 , trục hoành Ox và các đường thẳng x = - 1 ; x = 2 . y x f x ( ) = x 3 -x 2 ( ) +2 3 6 2 -1 4 -2 O 1 A B Hình 9 Giải : Diện tích S của hình phẳng trên là dxxxS ∫ − +−= 2 1 23 2 Từ hình vẽ , suy ra [ ] 1;2-x , 02 23 ∈∀≥+− xx 10 [...]... = 4 −3 ln 5 4/ Diện tích hình tròn , hình elip : a) Diện tích hình tròn : Trong hệ toạ độ Oxy cho đường tròn có phương x2 + y2 = r2 ( r > 0) Khi đó hình tròn đó có diện tích là : S = πr 2 Giải : Ta có x 2 + y 2 = r 2 ⇔ y = ± r 2 − x 2 19 , trục Giúp học sinh học 12 tốt vấn đề : ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN y (P) 4 2 x -2 -r -1 O 2 1 r 3 -1 Với y ≥ 0 ta có : y = r 2 − x2 r Và có diện tích S1 = ∫ −r Hình 23... tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số : Cho hai đồ thị của hai hàm số y = f(x) , y = g(x) và hai đường thẳng x = a , x =b (a . . Do đó khi học về vấn đề mới : vấn đề diện tích của các hình phẳng , vấn đề thể tích của các vật thể tròn xoay ở chương trình giải tích 12 học sinh gặp. giúp học sinh 12 học tốt vấn đề ứng dụng của tích phân hiện nay . 1/ Những khó khăn và sai lầm mà học sinh thường mắc phải . Chủ đề ứng dụng của tích phân