Đang tải... (xem toàn văn)
Bài viết được sắp xếp như sau: giới thiệu các khái niệm phân cực và tương ứng Kirillov; dành cho việc tính các K-quĩ đạo của nhóm Heisenberg H (m,n) R . Cuối cùng tìm các phân cực, mô tả các biểu diễn unita, bất khả qui của nhóm ứng với các K-quĩ đạo qua tương ứng Kirillov.
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Nguyễn Việt Hải CÁC BIỂU DIỄN (m,n) CỦA NHÓM HEISENBERG TỔNG QUÁT HR Nguyễn Việt Hải 1 Mở đầu Năm 1960, A.A Kirillov [7] đưa phương pháp quĩ đạo nhóm Lie luỹ linh thực Cơng trình ơng tổng qt hố sang nhóm giải kiểu I L Auslander B Kostant [1] vào năm 1970 với cách làm độc đáo Phép chứng minh hai nhà toán học dựa tồn phân cực phức thoả mãn điều kiện Cách làm Kirillov nhóm Lie luỹ linh thực mở rộng sang nhóm giải exponential đặc trưng ánh xạ exp từ đại số g = Lie(G) sang nhóm Lie G ứng với nó, vi phơi Đối với loại nhóm ta có song ánh K-quĩ đạo biểu diễn, đồng thời sử dụng biểu diễn cảm sinh cách xây dựng tường minh phân cực nhóm Lie luỹ linh thực Trong [3], [4], [5], [6] thu kết đầy đủ tường minh loại nhóm Mặc dù lí thuyết Kirillov nhiều trường hợp cụ thể, trường hợp số chiều lớn, việc tính K-quĩ đạo biểu diễn tương ứng khó khăn Trong báo chúng tơi nghiên cứu phương pháp quĩ đạo đối (m,n) với nhóm Heisenberg tổng quát HR (trường hợp chiều trình bày [5]) theo cách phân cực nhóm để xây dựng biểu diễn unita bất khả qui Bài báo xếp sau: $1 giới thiệu khái niệm phân cực tương ứng Kirillov ; $2 dành cho việc tính K-quĩ đạo nhóm (m,n) Heisenberg HR Cuối cùng, $3, chúng tơi tìm phân cực, mô tả biểu diễn unita, bất khả qui nhóm ứng với K-quĩ đạo qua tương ứng Kirillov Kí hiệu Như thơng thường, Sp(n, R) kí hiệu nhóm symplectic thực bậc n Chúng gọi R(m,n) tập tất ma trận cỡ m × n với phần tử thuộc vành giao hoán R Với A ∈ R(m,m) , Tr(A) kí hiệu vết A Ma trận đồng cấp m kí hiệu Em TS, Khoa Tốn Trường ĐH Hải Phòng 11 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Số 14 năm 2008 Phân cực tương ứng Kirillov Chúng nhắc lại kết Kirillov biểu diễn unita nhóm Lie luỹ linh thực (xem [8],[2]) Gọi G nhóm Lie liên thơng, đơn liên đại số Lie nó, g = Lie(G), khơng gian tiếp xúc đơn vị e Dễ thấy phần tử g ∈ G xác định ánh xạ A(g) : G −→ G, x → gxg −1 cố định phần tử e ∈ G Từ tồn ánh xạ tiếp xúc tương ứng A(g)∗ : g −→ g X∈g→ d g exp(tX)g −1 |t=0 ∈ g dt Ánh xạ xác định tác động, thường kí hiệu AdG , nhóm G đại số Lie(G) Đặt K = Ad∗G : G −→ GL(g∗ ) xác định K(g)F, X := F, AdG (g −1 )X , với F ∈ g∗ , X ∈ g, g ∈ G K gọi biểu diễn đối phụ hợp hay K-biểu diễn nhóm G Ta kí hiệu quĩ đạo đối phụ hợp hay K-quĩ đạo G g∗ , qua F ΩF = K(G)F := {K(g)F |g ∈ G} Dễ thấy, khơng gian đối ngẫu g∗ phân tích thành hợp rời rạc K-quĩ đạo Với F ∈ g∗ , ta xác định dạng song tuyến tính BF g BF (X, Y ) =< [X, Y ], F >, X, Y ∈ g (1) Định nghĩa 2.1 (1) Đại số Lie h g gọi phụ thuộc F ∈ g∗ BF |h×h = (2) Đại số Lie h g phụ thuộc F ∈ g∗ gọi phân cực g F h có tính chất: P không gian véc-tơ g chứa h BF |P ×P = h = P (3) Cho F ∈ g∗ h phân cực g F Gọi H nhóm đóng liên thơng, đơn liên G mà Lie(H) = h Hàm χF,h xác định sau gọi đặc trưng unita H: χF,h (expH (X)) = e2πi , X ∈ h (2) đó, expH : h −→ H kí hiệu ánh xạ exponential từ h sang H, (expH toàn ánh) 12 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Nguyễn Việt Hải Trong [7], Kirillov chứng minh định lí quan trọng sau: Định lí 2.2 G nhóm Lie luỹ linh thực, đơn liên g = Lie(G) Nếu có biểu diễn unita bất khả qui π G tồn ∈ g∗ phân cực h g F cho π ∼ = IndG H χF,h với χF,h đặc trưng unita H xác định (2) Định lí 2.3 G nhóm Lie luỹ linh thực, đơn liên g = Lie(G) Nếu F ∈ g∗ tồn phân cực h g F cho biểu diễn đơn thức IndG H χF,h ∗ biểu diễn bất khả qui Nếu F phần tử g mà thuộc K-quĩ đạo K(G) := Ad∗G (G)F h phân cực g F biểu diễn đơn G thức IndG H χF,h IndH χF ,h tương đương unita, kí hiệu H H nhóm đóng đơn liên, h = Lie(H), h = Lie(H ) Ngược lại, h h phân cực g F ∈ g∗ F ∈ g∗ tương ứng cho biểu diễn G đơn thức IndG H χF,h IndH χF ,h G tương đương unita F F thuộc K-quĩ đạo G g∗ Cuối cùng, với biểu diễn unita bất khả qui τ G tồn K-quĩ đạo Ω G g∗ cho với dạng tuyến tính ∈ Ω phân cực h g F , biểu diễn τ IndG H χ ,h tương đương unita Định nghĩa 2.4 Song ánh từ không gian g∗ /G, K-quĩ đạo G g∗ , lên đối ngẫu unita G G cho Định lí 2.3 gọi tương ứng Kirillov G (m,n) Nhóm Heisenberg tổng quát HR Với hai số nguyên dương m n, ta xét nhóm Heisenberg (xem [9]) (m,n) HR = (A, B, C) | A, B ∈ R(n,m) , C ∈ R(n,n) , C + BAt đối xứng với qui tắc nhân t t (A, B, C) ◦ (A , B , C ) = (A + A , B + B , C + C + AB − BA ) Nhóm nhúng vào nhóm symplectic Sp(m + n, R) nhờ ánh xạ Em 0 Bt A E B C n (m,n) HR (A, B, C) −→ ∈ Sp(m + n, R) t 0 Em −A 0 En 13 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Số 14 năm 2008 (m,n) Ta tìm K-quĩ đạo nhóm Heisenberg HR mơ tả mối liên hệ (m,n) K-quĩ đạo đối ngẫu unita HR cách tường minh (m,n) Để cho gọn ta kí hiệu G := HR , g = Lie(G) g∗ không gian đối ngẫu g Chú ý xem g đại số gồm tất ma trận thực cỡ (m + n) × (m + n) có dạng 0 βt α β γ X(α, β, γ) = , α, β ∈ R(n,m) , γ = γ t ∈ R(n,n) t 0 −α 0 0 đại số Li sp(m + n, R) = Lie(Sp(m + n, R)) Với tính tốn đơn giản ta có: [X(α, β, γ), X(δ, , ξ)] = X(α, β, γ)X(δ, , ξ) − X(δ, , ξ)X(α, β, γ) = = X(0, 0, αt + t α − β t δ − δ t β) (3) Không gian đối ngẫu g∗ g đồng với khơng gian véc-tơ gồm ma trận thực cỡ (m + n) × (m + n) có dạng at 0 0 0 0 F (a, b, c) = , a, b ∈ R(n,m) , c = ct ∈ R(n,n) , cho t 0 b 0 b c −a < F (a, b, c), X(α, β, γ) >= Tr(F (a, b, c) X(α, β, γ)) = 2Tr(αt a + bt β) + Tr(cγ) (4) −1 Biểu diễn phụ hợp Ad G cho AdG (g)X = gXg với g ∈ G X ∈ g Đối với g ∈ G F ∈ g∗ , gF g −1 dạng F (a, b, c) Ta kí hiệu (gF g −1 )∗ phận ∗ 0 0 0 0 0 ∗ 0 ∗ ∗ ∗ ma trận gF g −1 Khi dễ thấy K-biểu diễn K := Ad∗G : G −→ GL(g∗ ) xác định K(g)F = (gF g −1 )∗ với g ∈ G F ∈ g∗ Cụ thể hơn, K(g)F (a, b, c) = F (a + cB, b − cA, c), 14 (5) Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Nguyễn Việt Hải với g = (A, B, C) ∈ G Như vậy, K-quĩ đạo Ωa,b G F (a, b, 0) ∈ g∗ điểm đơn độc Ωa,b = K(F (a, b, 0)) = {F (a, b, 0)} (6) K-quĩ đạo Ωc G F (0, 0, c) ∈ g∗ với c = Ωc = K(F (0, 0, c)) = {F (a, b, c)|a, b ∈ R(n,m) } ∼ = R(n,m) × R(n,m) (7) Như thế, K-quĩ đạo G g∗ phân thành hai lớp: i Điểm đơn độc {Ωa,b |a, b ∈ R(n,m) } = {F (a, b, 0)} phẳng c = ii Phẳng afin {Ωc |c = ct ∈ R(n,n) , c = 0} song song với phẳng c = Vì G nhóm Li luỹ linh liên thơng đơn liên nên theo A Kirillov (xem [7] [8] trang 249), đối ngẫu unita G G cho G = R(n,m) × R(n,m) z ∈ R(n,n) | z = z t , z = , (8) đó, kí hiệu hợp rời rạc A Kirillov khẳng định K-quĩ đạo đa tạp symplectic ông không đưa phép chứng minh Chúng chứng minh kiện đối (m,n) với nhóm Heisenberg tổng quát HR cách chi tiết Cố định phần tử ∗ F g , ta xét dạng R-song tuyến tính BF g xác đinh BF (X, Y ) =< F, [X, Y ] >=< ad∗g (Y )F, X >, X, Y ∈ g, (9) với ad∗g : g −→ End(g∗ ) kí hiệu vi phân K-biểu diễn K : G −→ GL(g∗ ) Cụ thể hơn, F = F (a, b, c), X = X(α, β, γ), Y = X(δ, , ξ), BF (X, Y ) = Tr(F.[X, Y ]) = Tr{c(αt + t α − β t δ − δ t β)} (10) Cố định F ∈ g∗ , ta đặt GF = {g ⊂ G|K(g)F = F } nhóm ổn định tác động K = Ad∗ G lên g∗ F Vì GF nhóm đóng G nên GF nhóm Li G Gọi gF = Lie(GF ), dễ chứng minh gF = rad(BF ) = {X ∈ g|ad∗g (X)F = 0} (11) 15 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Số 14 năm 2008 Trong đó, rad(BF ) kí hiệu BF g Ta gọi B˙F dạng R-song tuyến tính khơng suy biến khơng gian véc-tơ thương g/rad(BF ) cảm sinh từ dạng BF Vì đồng khơng gian tiếp xúc ΩF ∼ = G/GF với g/gF = g/ rad(BF ) nên ta thấy không gian tiếp xúc ΩF F không gian véc-tơ symplectic với dạng symplectic B˙F Ký hiệu X trường véc-tơ nhẵn g∗ kết hợp với X ∈ g Điều nghĩa với ∈ g∗ , ta có: X( ) = ad∗g (X) (12) Chúng ta xác định 2-dạng BΩF ΩF BΩF (X, Y ) = BΩF (ad∗g (X)F, ad∗g (Y )F ) := BF (X, Y ), (13) với X, Y ∈ g Bổ đề 3.1 Dạng BΩF không suy biến Chứng minh Giả sử X trường véc-tơ nhẵn g∗ kết hợp với X ∈ g cho BΩF (X, Y ) = với Y ứng với Y ∈ g Vì BΩF (X, Y ) = BF (X, Y ) = với Y ∈ g, X ∈ gF nên X = Do BΩF khơng suy biến Bổ đề 3.2 BΩF dạng đóng Chứng minh Nếu X1 , X2 , X3 ∈ g∗ ba trường véc-tơ nhẵn kết hợp với X1 , X2 , X3 ∈ g dBΩF (X1 , X2 , X3 ) = X1 (BΩF (X2 , X3 )) − X2 (BΩF (X1 , X3 )) + X3 (BΩF (X1 , X2 )) −BΩF ([X1 , X2 ], X3 ) + BΩF ([X1 , X3 ], X2 ) − BΩF ([X2 , X3 ], X1 ) = − < F, [[X1 , X2 ], X3 ] + [[X2 , X3 ], X1 ] + [[X3 , X1 ], X2 ] >= (theo đồng thức Jacobi) Do BΩF dạng đóng Tóm lại, (ΩF , BΩF ) đa tạp symplectic có chiều 2mn (m,n) Các biểu diễn unita bất khả qui HR Để mô tả biểu diễn unita bất khả qui G ứng với K-quĩ đạo qua tương ứng Kirillov phải xác định cực g dạng tuyến tính F ∈ g∗ Có hai trường hợp sau: 16 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM 4.1 Nguyễn Việt Hải Trường hợp suy biến Khi F = F (a, b, 0) Theo (6), ΩF = {F (a, b, 0)} điểm đơn độc Từ (10) ta suy BF (X, Y ) = với X, Y ∈ g Như g cực g F Tương ứng Kirillov nói biểu diễn unita bất khả qui πa,b G ứng với K-quĩ đạo ΩF t t πa,b (exp X(α, β, γ)) = e2πi = e4πiTr(a α+b β) (14) Nghĩa là, πa,b biểu diễn suy biến chiều G 4.2 Trường hợp không suy biến Khi F = F (0, 0, c), = c = ct ∈ R(n,n) Theo (7), ΩF = Ωc = {F (a, b, c)|a, b ∈ R(n,m) } Từ (10) ta thấy q = { X(0, β, γ)|β ∈ R(n,m) , γ = γ t ∈ R(n,n) } (15) phân cực g F, tức q đại số Li g phụ thuộc F ∈ g∗ thoả mãn ý (2) định nghĩa 1.1 Gọi Q nhóm Li đơn liên G mà Lie(Q) = q Giả sử χc,q : Q −→ C× đặc trưng unita Q xác định theo công thức χc,q (exp X(0, β, γ)) = e2πi = e2πiTr(cγ) , γ = γ t ∈ R(n,n) (16) Tương ứng Kirillov nói biểu diễn unita bất khả qui πc,q G ứng với K-quĩ đạo ΩF = Ωc cho πc,q = IndG Q χc,q (17) Từ kết Kirillov (xem [7]) ta biết biểu diễn cảm sinh πc,q , sai khác tương đương, không phụ thuộc vào cách chọn cực g F Như vậy, ta kí hiệu lớp tương đương πc,q πc Biểu diễn πc tác động không gian biểu diễn L2 (R(n,m) , dξ) theo cách sau: (πc (g)f )(ξ) = e2πiTr{c(C+B t A+2ξ t B)} f (ξ + A), (18) 17 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Số 14 năm 2008 với g = (A, B, C) ∈ G ξ ∈ R(n,m) Cuối cùng, sử dụng đẳng thức exp X(α, β, γ) = (α, β, γ + (αt β − β t α)), ta thấy πc biểu diễn Schrodinger U (χc ) G cảm sinh từ biểu diễn unita chiều χc Q cho χc ((0, B, C)) = e2πiTr(cC) I, xem [9] Tóm lại ta có kết sau: Định lí 4.1 Danh sách biểu diễn unita bất khả qui nhóm Heisenberg (m,n) tổng quát HR là: (m,n) • Với F = F (a, b, 0) ∈ g∗ , biểu diễn unita bất khả qui πa,b HR ứng với K-quĩ đạo ΩF = Ωc qua tương ứng Kirillov biểu diễn suy biến (m,n) HR xác định t t πa,b (exp X(α, β, γ)) = e4πiTr(a α+b β) • Với F = F (0, 0, c) ∈ g∗ mà = c = ct ∈ R(n,n) , biểu diễn unita (m,n) ứng với K-quĩ đạo ΩF = Ωc bất khả qui (πc , L2 (R(n,m) , dξ)) HR qua tương ứng Kirillov tương đương unita với biểu diễn Schrodinger (m,n) U (χc ), L2 (R(n,m) , dξ)) HR cảm sinh từ biểu diễn unita chiều χc Q cho χc ((0, B, C)) = e2πiTr(cC) I TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Auslander L and Kostant B (1971), Polarization and unitary representations of solvable Lie groups , Invent Math., 14, Pp 255-354 [2] Do Ngoc Diep (1999), Methods of Noncommutative Geometry for Group C*-Algebras, Chapman & Hall/CRC Research Notes in Mathematics Series, Vol.416 [3] Do Ngoc Diep, Nguyen Viet Hai (2001), Quantum Half-Planes via Deformation Quantization, Contributions to Algebra and Geometry, 42, No 2, pp 407-417 [4] Do Ngoc Diep, Nguyen Viet Hai (2001), Quantum Co-Adjoint Orbits of the Group of Affine Transformations of the Complex Straight Line, Contributions to Algebra and Geometry, 42, No 2, Pp 419-430 18 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Nguyễn Việt Hải [5] Nguyen Viet Hai (2001), Quantum co-adjoint orbits of MD4 -groups, Vietnam J Math Vol 29, IS Pp.131-158 [6] Nguyen Viet Hai (2005), Quantum Co-adjoint Orbits of the Real Diamond Lie Group, Journal Of Science, TXXI, N03, Vietnam National University, Hanoi [7] Kirillov A.A (1962) Unitary representations of nilpotent Lie groups, Russian Math Surveys, 17Pp 57-110 [8] Kirillov A.A (1978), Elements of the theory of representations, Springer [9] Yang, J.-H (1991), Harmonic Analysis on the Quotient Spaces of Heisenberg Groups, Nagoya Math J., 123, Pp103-117 Tóm tắt (m,n) Các biểu diễn nhóm Heisenberg tổng quát HR (m,n) Chúng tơi tính quĩ đạo đối phụ hợp nhóm Heisenberg HR Từ đó, cách xác định phân cực đại số Lie g, thu biểu diễn unita, bất khả qui theo tương ứng Kirillov Đây phương pháp để xây dựng biểu diễn nhóm Heisenberg tổng quát Abstract (m,n) The Representations of Heisenberg Group HR (m,n) We calculate the Co-adjoint orbits of the general Heisenberg group HR From this, by determination the polarizations of Lie algebra g, we obtain irreducible unitary representations under Kirillov corespondence This is new method for construct representations of the the general Heisenberg group 19 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Số 14 năm 2008 Phần khơng in Tạp chí - dùng để tham chiếu số Người ghi : Thanh Vinh Tài liệu [1] Auslander L and Kostant B.,1971, Polarization and unitary representations of solvable Lie groups , Invent Math., 14, Pp 255-354 [2] Do Ngoc Diep,1999, Methods of Noncommutative Geometry for Group C*Algebras, Chapman & Hall/CRC Research Notes in Mathematics Series, Vol.416 [3] Do Ngoc Diep, Nguyen Viet Hai, 2001, Quantum Half-Planes via Deformation Quantization, Contributions to Algebra and Geometry, 42, No 2, pp 407-417 [4] Do Ngoc Diep, Nguyen Viet Hai, 2001, Quantum Co-Adjoint Orbits of the Group of Affine Transformations of the Complex Straight Line, Contributions to Algebra and Geometry, 42, No 2, Pp 419-430 [5] Nguyen Viet Hai, 2001 Quantum co-adjoint orbits of MD4 -groups, Vietnam J Math Vol 29, IS Pp.131-158 [6] Nguyen Viet Hai, 2005, Quantum Co-adjoint Orbits of the Real Diamond Lie Group, Journal Of Science, TXXI, N03, Vietnam National University, Hanoi [7] Kirillov A.A., 1962 Unitary representations of nilpotent Lie groups, Russian Math Surveys, 17Pp 57-110 [8] Kirillov A.A., 1978, Elements of the theory of representations, Springer, [9] Yang, J.-H., 1991, Harmonic Analysis on the Quotient Spaces of Heisenberg Groups, Nagoya Math J., 123, Pp103-117 20 ... Spaces of Heisenberg Groups, Nagoya Math J., 123, Pp103-117 Tóm tắt (m,n) Các biểu diễn nhóm Heisenberg tổng quát HR (m,n) Chúng tơi tính quĩ đạo đối phụ hợp nhóm Heisenberg HR Từ đó, cách xác... đại số Lie g, thu biểu diễn unita, bất khả qui theo tương ứng Kirillov Đây phương pháp để xây dựng biểu diễn nhóm Heisenberg tổng quát Abstract (m,n) The Representations of Heisenberg Group HR... πc biểu diễn Schrodinger U (χc ) G cảm sinh từ biểu diễn unita chiều χc Q cho χc ((0, B, C)) = e2πiTr(cC) I, xem [9] Tóm lại ta có kết sau: Định lí 4.1 Danh sách biểu diễn unita bất khả qui nhóm