Đang tải... (xem toàn văn)
Bài viết này xét phương trình sóng phi tuyến với điều kiện biên hỗn hợp không thuần nhất. Bằng cách liên kết bài toán với một thuật giải qui nạp tuyến tính đồng thời sử dụng phương pháp Faedo – Galerkin và phương pháp compact, sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán được chứng minh. Hơn nữa, một khai triển tiệm cận cấp cao theo nhiều tham số bé cũng được thiết lập.
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Lê Khánh Luận tác giả VỀ MỘT PHƯƠNG TRÌNH SĨNG PHI TUYẾN VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN HỖN HỢP KHÔNG THUẦN NHẤT: KHAI TRIỂN TIỆM CẬN CỦA NGHIỆM THEO NHIỀU THAM SỐ BÉ Lê Khánh Luận*, Trần Minh Thuyết† Lê Thị Phương Ngọc‡, Nguyễn Anh Triết§ Giới thiệu Trong báo này, chúng tơi xét phương trình sóng phi tuyến u tt - (m(u )u x ) = f (x , t , u , u x , u t ), < x < 1, < t < T , (1.1) u x (0, t ) = g(t ), u(1, t ) = 0, (1.2) u (x , 0) = u%0 (x ), u t (x , 0) = u%1 (x ), (1.3) x u%0, u%1, m, f , g hàm số cho trước thỏa điều kiện cụ thể đặt sau Phương trình (1.1) trường hợp riêng phương trình có dạng tổng quát sau: u tt - (m(x , t , u )u x ) = f (x , t , u , u x , u t ) x (1.4) Trong trường hợp đặc biệt, hàm m(x , t , u ) độc lập với u , chẳng hạn m(x , t , u ) = m(x , t , u ) = m(x , t ), hàm phi tuyến f có dạng đơn giản, toán (1.4) với điều kiện biên điều kiện đầu khác nghiên cứu [1 – 3, – 19, 21, 22] Trong [4], Ficken Fleishman thiết lập tồn toàn cục ổn định nghiệm phương trình u xx - u tt - 2a u t - b u = eu + g, e > (1.5) * ThS, Trường ĐH Kinh tế Tp HCM, TS, Trường ĐH Kinh tế Tp HCM, ‡ TS, Trường CĐ Sư phạm Nha Trang, § HV Cao học, Trường ĐH Kiến Trúc Tp Hồ Chí Minh † 27 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Số 18 năm 2009 Rabinowitz [20] chứng minh tồn nghiệm tuần hồn phương trình u xx - utt - 2a ut = e f (x , t , u , u x , u t ), (1.6) với e tham số bé f hàm tuần hồn theo thời gian Trên sở cơng trình trên, viết này, chúng tơi xét tốn (1.1) – (1.3) Bằng cách liên kết toán với thuật giải qui nạp tuyến tính đồng thời sử dụng phương pháp Faedo – Galerkin phương pháp compact, tồn nghiệm toán chứng minh Hơn nữa, khai triển tiệm cận cấp cao nghiệm theo nhiều tham số bé thiết lập Kết thu tổng quát hóa cách tương đối kết [1 – 22] Các kí hiệu Đặt W= (0, 1) Trong báo này, kí hiệu Lp = Lp (W), H m = H m (W) sử dụng cho phép bỏ qua định nghĩa khơng gian hàm thơng dụng Tích vơ hướng L2 chuẩn sinh tích vơ hướng kí hiệu á×× , đ || ×|| Kí hiệu á×× , ñ dùng để tích đối ngẫu phiếm hàm tuyến tính liên tục với phần tử khơng gian hàm Kí hiệu || ×||X chuẩn khơng gian Banach X Kí hiệu Lp (0,T ; X ), £ p £ ¥ , để không gian Banach hàm thực u : (0,T ) ® X đo được, cho || u ||Lp ( 0,T ;X ) < + ¥ với ìï ïï ỉ T p p , Ê p < + Ơ , ù ỗỗỗũ || u (t ) ||X dt ÷ ÷ ø÷ || u ||Lp ( 0,T ;X ) = ïí è ïï ïï ess sup || u (t ) || , p = Ơ X ùợ 0< t < T Ta đặt V = {v Ỵ H : v(1) = 0}, a(u , v ) = ò u (x )v (x ) dx , x 28 x " u, v Ỵ V Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Khi V || v ||V = Lê Khánh Luận tác giả không gian đóng H V , || v ||H a(v, v ) = || vx || chuẩn tương đương Định lí tồn nghiệm Ta thành lập giả thit (H1) u%0 ẻ V ầ H , u%1 Î V , (H2) g Î C ( ¡ + ), (H3) m Ỵ C ( ¡ ), m(z ) ³ m0 > 0, " z Ỵ ¡ , (H4) f Ỵ C 1(W´ ¡ + ´ ¡ ) Đặt j (x , t ) = ( x - 1)g(t ) Bằng cách đổi biến v(x , t ) = u (x , t ) - j (x , t ), ta đưa toán (1.1) – (1.3) toán điều kiện biên sau ìï v - (m(v + j )v ) = f%(x , t , v, v , v ), < x < 1, < t < T , ïï tt x x x t ïï ïí v (0, t ) = u (1, t ) = 0, ïï x ïï ïïỵ v(x , 0) = v%0 (x ), v t (x , 0) = v%1(x ), (3.1) ïìï f%( x , t , v , v x , vt ) = f ( x , t , v + j , v x + j , v t + j ) - (x - 1)g ¢¢(t ) ïï + m¢(v + j )(v x + g )g, ïï í ïï v%0 (x ) = u%0 (x ) - j (x , 0) = u%0 ( x ) - ( x - 1)g(0), ïï ïïỵ v%1 (x ) = u%1(x ) - j t (x , 0) = u%1( x ) - (x - 1)g ¢(0), g u%0 thỏa điều kiện tương thích g(0) = u x (0, 0) = u%0¢(0) Cố định T * > 0, với T Ỵ (0,T * ] M > 0, ta đặt W 1(M ,T ) = {v Ỵ W (M ,T ) : u tt Ỵ L¥ (0,T ; L2 )}, 29 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Số 18 năm 2009 W (M ,T ) = {v ẻ LƠ (0,T ;V ầ H ) : v t ẻ LƠ (0,T ;V ), vtt ẻ L2 (QT ), || v ||LƠ ( 0,T ;V ÇH ) £ M , || v t || L¥ (0,T ;V )£ M , || vtt ||L2 (Q ) £ M }, T QT = (0,1) ´ (0, T ) Thuật giải xấp xỉ tuyến tính Chọn số hạng ban đầu v = v%0 Giả sử vm - Ỵ W 1(M ,T ), ta liên kết toán (3.1) với tốn sau: Tìm vm Ỵ W (M ,T ) thỏa tốn biến phân tuyến tính sau: ìï áv ¢¢, w ñ+ ám (t )v , w ñ = áF (t ), w đ, " w Ỵ V , m mx x m ïï m í ïï v (0) = v%, v Â(0) = v%, m ùợ m (3.9) với ìï m (t ) = m( h (t )), h (t ) = v (t ) + j (t ), m m m- ï m í ïï Fm (t ) = f%(x , t , vm - 1, ẹ vm - 1, vmÂ- ) ợ (3.10) Khi đó, ta có định lí sau Định lí 3.1 Giả sử (H1) – (H4) Khi tồn số M > T > phụ thuộc vào T * , v%0 , v%1, m, g, f% cho, với v = v%0, tồn dãy quy nạp tuyến tính {vm } Ì W 1(M ,T ) xác định (3.9) (3.10) Định lí 3.2 Giả sử (H1) – (H4) Khi đó: (i) Tồn số M > T > xác định định lí 3.1, cho tốn (3.1) có nghiệm yếu v Ỵ W (M ,T ) (ii) Dãy quy nạp tuyến tính {vm } xác định (3.9), (3.10) hội tụ mạnh nghiệm v khơng gian W 1(T ) = {w Ỵ LƠ (0,T ;V ) : w Âẻ LƠ (0,T ; L2 )} 30 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Lê Khánh Luận tác giả Hơn nữa, ta có đánh giá sai số || vm - v ||LƠ ( 0,T ;V ) + || v m - v Â||LƠ ( 0,T ;L2 ) Ê CkTm , số kT Ỵ (0,1) C "m Ỵ ¥, số phụ thuộc vào T , T * , f%, g, v%0 , v%1 kT Chứng minh định lí dựa vào phương pháp xấp xỉ Faedo – Galerkin liên hệ với đánh giá tiên nghiệm Sử dụng định lí nhúng compact, ta thu dãy dãy nghiệm xấp xỉ hội tụ nghiệm yếu toán Kết thu tổng quát hóa kết trước [18, 19] Khai triển tiệm cận nghiệm theo nhiều tham số bé Trong phần này, giả sử (H1) – (H4) đúng, ta bổ sung giả thiết sau: (H5) mi Î C ( ¡ ), mi ³ 0, i = 1, , p Ta xét toán nhiễu đây, e1, K , ep p tham số bé cho £ ei £ ei *, i = 1, , p : ïìï u - é(m(u ) + e m (u ) + + e m (u ))u ù = f (x , t , u , u , u ), 1 p p xú x t ïï tt êë ûx ïï < x < 1, < t < T , ï (Per ) ïí ïï u (0, t ) = g(t ), u(1, t ) = 0, ïï x ïï ïïỵ u (x , 0) = u%0 (x ), u t (x , 0) = u%1(x ) Theo định lí 3.1, tốn (Per ) có nghiệm yếu phụ thuộc vào r r tham số e = ( e1, K , ep ) : u er = u ( e1 , K , ep ) Khi e = (0, K , 0), (Per ) kí hiệu (P0 ) Ta nghiên cứu khai triển tiệm cận u er theo p tham số bé e1 , K , ep 31 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Số 18 năm 2009 r Trong phần này, ta sử dụng kí hiệu sau: cho e = ( e1 , K , ep ) Ỵ ¡ p , đa số a = ( a 1, K , a p ) ẻ  p+ , ta đặt ìï | a | = a + K + a , a ! = a !K a !, ïï p p ïï ïï r a r ap a 2 í e = e1 K ep , || e ||= e1 + K + ep , ùù ùù ùù a , b ẻ  p , a £ b Û a £ b , " i = 1, p + i i ïỵ (4.1) B 4.1 Cho m , N ẻ Ơ v u a ẻ Ă , a ẻ  p+ , £ | a | £ N Khi m ổ r a ửữ ỗỗ ữ u e = ữ ỗỗ a ữ ữ Ê a Ê N è ø å r T a( m ) [u ]e a , (4.2) m £ a £ mN hệ số T a( m ) [u ], m £ | a | £ mN phụ thuộc u = {u a }, a ẻ  p+ , £ | a | £ N xác định cơng thức truy hồi ìï ïï (1) ïï T a [u ] = u a , £ | a | £ N , ïï ïï (m ) ( m - 1) [u ], m £ | a | £ m N , m ³ 2, (4.3) í T a [u ] = å u a - bT b ïï b Ỵ A a( m ) ïï ïï ïï A (m ) = b ẻ  p : b Ê a , £ | a - b | £ N , m - £ | b | £ (m - 1)N + ïỵ a { } Chứng minh Bổ đề tìm thấy [13] Bây giờ, ta giả sử rằng: (H6) m Ỵ C N + ( ¡ ), mi Ỵ C N + 1( ¡ ), m ³ m0 > 0, mi ³ 0, i = 1, p, (H7) f Ỵ C N + 1([0, 1]´ ¡ + ´ ¡ ) Để thuận tiện ta sử dụng kí hiệu f [u ] = f (x , t , u, u x , u t ) 32 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Lê Khánh Luận tác giả Giả sử u nghiệm yếu toán (P%0 ) tương ứng với r e = (0, K , 0), tức ìï u ¢¢- (m(u )u ) = f (x , t , u , u , u ¢), < x < 1, < t < T , ïï 0 0x x 0x ïï ïï u (0, t ) = g(t ), u (1, t ) = 0, ï 0x (P%0 ) í ïï u (x , 0) = u%(x ), u ¢(x , 0) = u%(x ), 0 ïï ïï ïï u Ỵ W (M ,T ) ïỵ Xét dãy hữu hạn nghiệm yu u g , g ẻ  p+ , £ | g | £ N xác định tốn sau ìï u ¢¢- m(u )u = Fg , < x < 1, < t < T , ïï g gx x ïï ïï u (0, t ) = u (1, t ) = 0, g ï gx % (Pg ) ïí ïï ïï u g (x , 0) = u g¢(x , 0) = 0, ïï ïï u Ỵ W (M ,T ), ïỵ g ( ) Fg , g Î ¢ p+ , £ | g | £ N , xác định công thức truy hồi sau ìï f [u ] º f (x , t , u , u , u ¢), ïï 0 0x ïï Fg = í ¶ éêỉ ïï p [ f ] + ả x ờỗỗỗốr n [m] + ïï g 1£ n £ g , n£ g êë ïỵ với r d [m] = r d [m;{u g }g £ d ], g = 0, p å i=1 ù ư÷ ÷Đ u g - n ú, £ g £ N , r n(i )[mi ]÷ ú ø÷ úû r d( i ) [m] = r d(i )[m;{u g }g £ d ], (4.4) p d[f ] = p d[f ;{u g }g£ d ], d £ N , xác định công thức truy hồi sau ìï m(u ), | d | = 0, ïï ïï r d [m] = í d ïï (m ) m (u )T d( m ) [u ], £ | d | £ N , ïï å ïỵ m = m ! (4.5) 33 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Số 18 năm 2009 ìï r di ³ 1, ïï d1,K ,di - 1, di - 1, di + 1,K ,dp [m], r [m] = r d( i - ) [m] = í ïï r ïïỵ d1,K ,di - 1,- 1,di + ,K , dp [m] = 0, di = 0, (i ) d (4.6) với d(i - ) = ( d1 , K , di - , di - 1, di + 1, K , dp ), d = ( d1 , K , dp ) ẻ  p+ , ỡù ïï f [u ], | d | = 0, ïï ïï ï m (m ) (m ) (m ) p d [f ] = ïí å D f [u ]T a [u ]T b [Ñ u ]T g [u ¢], å ïï 1£ m £ d ( a , b , g )Ỵ A (m ,N ) m ! a+ b+ g= d ïï ïï ïï £ | d |£ N , ïỵ (4.7) với m m m m = (m 1, m 2, m ) ẻ  3+ , m = m + m + m , m ! = m !m !m !, D m f = D D D5 f , A (m , N ) = {( a , b , g ) ẻ (  p+ )3 : m £ | a | £ m 1N , m £ | b | £ m 2N , m £ | g | £ m 3N } Khi đó, ta có định lí sau Định lí 4.2 Cho (H1), (H2), (H6) (H7) thỏa Khi đó, tồn số r r M > T > cho với e , với e £ e* < 1, toán (Per ) có nghiệm yếu u = u er cho u - g Ỵ W 1(M ,T ) u thỏa khai triển tiệm cận đến cấp N + sau r || u ¢- å g Ê N u gÂe g ||LƠ ( 0,T ;L2 ) + || u x - å g£N r r u gx e g ||L¥ ( 0,T ;L2 ) £ C T || e ||N + 1, hàm u g , g £ N nghiệm yếu tương ứng toán (P%g ), g £ N Kết thu tổng quát hóa tương đối kết trước chúng tơi Để chứng minh định lí 4.2, chúng tơi thiết lập hai bổ đề cần thiết sau: 34 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Lê Khánh Luận tác giả Bổ đề 4.3 Cho p n [f ], n £ N , hàm xác định công thức (4.7) Đặt h = å r u g e g , ta có g£N f [h ] º f (x , t , h , h x , ht ) = r r N+1 r p n [f ]e g + || e || R N(1)[f , e ], å n£N r R N(1)[f , e ] L¥ ( 0,T ;L2 ) £ C , với C số phụ thuộc vào N , T , f , m, u g , g £ N Bổ đề 4.4 Cho (H1), (H2), (H6) (H7) thỏa Đặt E er (x , t ) = f [h ] - f [u ] + ¶ [m(h ) - m(u ) + ¶x ( å p ) e mi (h )]hx - i=1 i å r Fg e g 1£ g £ N Khi E er (x , t ) có đánh sau r || E er ||L¥ (0,T ;L2 ) £ Kˆ * || e ||N + , với Kˆ * số phụ thuộc vào số N , T , f , m, mi , u g , g £ N , i = 1, p Chú thích Bài toán khai triển tiệm cận theo tham số bé tìm thấy [3, 6, 8, 9, 13, 14, 16] tài liệu tham khảo Tuy nhiên, theo hiểu biết chúng tôi, chưa có nhiều cơng trình nghiên cứu tốn khai triển tiệm cận theo nhiều tham số bé, số kết vấn đề tìm thấy [10 – 12, 17, 18] TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] T Caughey, J Ellison (1975), Existence, uniqueness and stability of solutions of a class of nonlinear differential equations, J Math Anal Appl 51, – 32 [2] A.P.N Định (1983), Sur un problème hyperbolique faiblement nonlinéaire une dimension, Demonstratio Math 16, 269 – 289 35 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Số 18 năm 2009 [3] A.P.N Định, N.T Long (1986), Linear approximation and asymptotic expansion associated to the nonlinear wave equation in one demension, Demonstratio Math 19, 45 – 63 [4] F Ficken, B Fleishman (1957), Initial value problems and time periodic solutions for a nonlinear wave equation, Comm Pure Appl Math 10, 331 – 356 [5] J.L Lions (1969), Quelques méthodes de résolution des problems aux limites non-linéares, Dunod; Gauthier-Villars, Paris [6] N.T Long (2001), Asymptotic expansion of the solution for nonlinear wave equation with the mixed homogeneous conditions, Nonlinear Anal., 45, 261 – 272.] [7] N.T Long, A.P.N Định (1995), A semilinear wave equation associated with a linear differential equation with Cauchy data, Nonlinear Anal 24, 1261 – 1279 [8] N.T Long, T.N Diễm (1997), On the nonlinear wave equation associated with a mixed homogeneous conditions, Nonlinear Anal 29, 1217 – 1230 [9] N.T Long, A.P.N Định, T.N Diễm (2002), Linear recursive schemes and asymptotic expansion associated with the Kirchhoff – Carrier operator, J Math Anal Appl 267 (1), 116 – 134 [10] N.T Long, A.P.N Định, T.N Diễm (2005), On a shock problem involving a nonlinear viscoelastic bar, Bound Value Probl 2005 (3), 337 – 358 [11] N.T Long, L.X Trường(2007), Existence and asymptotic expansion of solutions to a nonlinear wave equation with a memory condition at the boundary, Electronic J Differential Equations, No 48, p – 19 [12] N.T Long, L.X Trường (2007), Existence and asymptotic expansion for a viscoelastic problem with a mixed homogeneous condition, Nonlinear Analysis, Theory, Methods & Applications, Series A: Theory and Methods, 67 (3), 842 – 864 36 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Lê Khánh Luận tác giả [13] N.T Long, N.C Tâm, N.T.T Trúc (2005), On the nonlinear wave equation with the mixed nonhomogenous conditions: Linear approximation and asymptotic expansion of solution, Demonstratio Math 38 (2), 365 – 386 [14] N.T Long, L.T.P Ngọc (2007), On a nonlinear Kirchhoff – Carrier wave equation in the unit membrane: The quadratic convergence and asymptotic expansion of solutions, Demonstratio Math 40 (2), 365 – 392 [15] N.T Long, L.T.P Ngọc (2009), On nonlinear boundary value problems for nonlinear wave equations, Vietnam J Math 37 (2 – 3), 141 – 178 [16] L.T.P Ngọc, L.N.K Hằng, N.T Long (2009), On a nonlinear wave equation associated with the boundary conditions involving convolution, Nonlinear Analysis, Theory, Methods & Applications, Series A: Theory and Methods, 70 (11), 3943 – 3965 [17] L.T.P Ngọc, L.K Luận, T.M Thuyết, N.T Long (2009), On the nonlinear wave equation with the mixed nonhomogeneous conditions: Linear approximation and asymptotic expansion of solutions, Nonlinear Analysis, Theory, Methods & Applications, Series A: Theory and Methods, 71 (11), 5799 – 5819 [18] L.T.P Ngọc, N.A Triết, N.T Long, On a nonlinear wave equation involving the term ( x, t, u,|| ux ||2 )ux : Linear approximation and x asymptotic expansion of solution in many small parameters, Nonlinear Analysis, Series B: Real World Applications (to appear) [19] E.L Ortiz, A.P.N Định (1987), Linear recursive schemes associated with some nonlinear partial differential equations in one dimension and the Tau method, SIAM J Math Anal 18, 452 – 464 [20] P.H Rabinowitz (1967), Periodic solutions of nonlinear hyperbolic differential equations, Comm Pure Appl Math 20, 145 – 205 37 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Số 18 năm 2009 [21] L.X Trường, L.T.P Ngọc, N.T Long (2009), High-order iterative schemes for a nonlinear Kirchhoff – Carrier wave equation associated with the mixed homogeneous conditions, Nonlinear Analysis, Theory, Methods & Applications, Series A: Theory and Methods, 71 (1 – 2), 467 – 484 [22] L.X Trường, L.T.P Ngọc, A.P.N Định, N.T Long, The regularity and exponential decay of solution for a linear wave equation associated with two-point boundary conditions, Nonlinear Analysis Series B: Real World Applications (to appear) Tóm tắt Trong báo này, chúng tơi xét phương trình sóng phi tuyến với điều kiện biên hỗn hợp không Bằng cách liên kết toán với thuật giải qui nạp tuyến tính đồng thời sử dụng phương pháp Faedo – Galerkin phương pháp compact, tồn nghiệm toán chứng minh Hơn nữa, khai triển tiệm cận cấp cao theo nhiều tham số bé thiết lập Abstract On a nonlinear wave equation with mixed non-homogeneous boundary conditions: asymptotic expansion of solutions in accordance with many small parameters The paper is about the study of a nonlinear wave equation associated with mixed non-homogeneous boundary conditions By associating the problem with inductive linear method as well as the Faedo – Galerkin and the compact one, existence and uniqueness of the solution are proved What‘s more, an asymptotic expansion of high order in accordance with many small parameters is also established 38 ... chúng tơi xét phương trình sóng phi tuyến với điều kiện biên hỗn hợp không Bằng cách liên kết toán với thuật giải qui nạp tuyến tính đồng thời sử dụng phương pháp Faedo – Galerkin phương pháp compact,... khảo Tuy nhiên, theo hiểu biết chúng tơi, chưa có nhiều cơng trình nghiên cứu tốn khai triển tiệm cận theo nhiều tham số bé, số kết vấn đề tìm thấy [10 – 12, 17, 18] TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] T... hệ với đánh giá tiên nghiệm Sử dụng định lí nhúng compact, ta thu dãy dãy nghiệm xấp xỉ hội tụ nghiệm yếu tốn Kết thu tổng qt hóa kết trước [18, 19] Khai triển tiệm cận nghiệm theo nhiều tham số