Đang tải... (xem toàn văn)
Trong bài viết này, chúng tôi tính toán số Betti thứ hai của các đại số Lie lũy linh kiểu Jordan được ra trong Duong, Pinczon và Ushirobira (2012) thông qua cách tính tích superPoisson trên đại số các dạng đa tuyến tính phản xứng của chúng.
TẠP CHÍ KHOA HỌC TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH HO CHI MINH CITY UNIVERSITY OF EDUCATION JOURNAL OF SCIENCE Tập 16, Số 12 (2019): 877-890 ISSN: 1859-3100 Vol 16, No 12 (2019): 877-890 Website: http://journal.hcmue.edu.vn Bài báo nghiên cứu* SỐ BETTI THỨ HAI CỦA CÁC ĐẠI SỐ LIE LŨY LINH KIỂU JORDAN Cao Trần Tứ Hải1, Dương Minh Thành2* Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn, Ninh Thuận Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh * Tác giả liên hệ: Dương Minh Thành – Email: thanhdm@hcmue.edu.vn Ngày nhận bài: 15-7-2019; ngày nhận sửa: 25-7-2019; ngày duyệt đăng: 15-8-2019 TÓM TẮT Trong báo này, chúng tơi tính tốn số Betti thứ hai đại số Lie lũy linh kiểu Jordan Duong, Pinczon Ushirobira (2012) thông qua cách tính tích superPoisson đại số dạng đa tuyến tính phản xứng chúng Từ khóa: đại số Lie tồn phương; đối đồng điều; tích super-Poisson Mở đầu Đại số Lie toàn phương đối tượng đại số xuất thời gian gần nghiên cứu nhiều khía cạnh khác Xét mặt cấu trúc, đại số Lie toàn phương kiểu tổng quát đại số Lie nửa đơn, dạng Killing tổng quát thành dạng song tuyến tính đối xứng, bất biến khơng suy biến Khi tồn dạng song tuyến tính thế, đại số Lie tồn phương tách thành tổng trực tiếp trực giao ideal không suy biến tổng trực tiếp trực giao ideal tâm khơng suy biến ideal có tâm đẳng cự toàn (Bordemann, 1997; Favre, & Santharoubane, 1987; Pinczon, & Ushirobira, 2007) Xét mặt xây dựng, đại số Lie tồn phương khơng tầm thường coi mở rộng kép đại số Lie tồn phương khác có số chiều nhỏ đạo hàm phản xứng (Kac, 1985; Medina, & Revoy, 1985), xây dựng từ mở rộng T* đại số Lie đối chu trình cyclic (trong trường hợp giải chẵn chiều) Bordemann (1997) Những ứng dụng vật lí đại số Lie tồn phương độc giả xem Figueroa-O’Farrill Stanciu (1996) Một tốn lí thú nghiên cứu đại số Lie nói chung đại số Lie tồn phương nói riêng mơ tả nhóm đối đồng điều Santharoubane (1983) mơ tả đối đồng điều đại số Lie Heisenberg n chiều h2n +1 Gần Pouseele (2005), tác giả đưa phương pháp khác để mô tả đối đồng điều Cite this article as: Cao Tran Tu Hai, & Duong Minh Thanh (2019) The second Betti number of nilpotent Jordan-type Lie algebras Ho Chi Minh City University of Education Journal of Science, 16(12), 877-890 877 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 16, Số 12 (2019): 877-890 số đại số Lie chứa đại số Lie Heisenberg cho đại số Lie Heisenberg ideal đối chiều Trong trường hợp g đại số Lie tồn phương, tốn mơ tả nhóm đối đồng điều hệ số g có liên quan mật thiết đến tích super-Poisson báo Pinczon et al (2007) Cách tiếp cận mở hướng việc tìm kiếm họ đại số Lie thích hợp với cách tính thơng qua tích super-Poisson từ giúp cung cấp nhiều thơng tin cho tốn nghiên cứu đại số Lie tồn phương Mục tiêu chúng tơi báo tính số Betti thứ hai họ đại số Lie lũy linh kiểu Jordan đưa Duong et al (2012) Bài báo chia làm mục: Mục nhắc lại số khái niệm kết đối đồng điều đại số Lie toàn phương; Mục Mục trình bày kết mơ tả số Betti thứ hai họ đại số Lie lũy linh kiểu Jordan; tính phương pháp dựa tích super-Poisson Các khơng gian vectơ xét báo hữu hạn chiều trường số phức Đối đồng điều đại số Lie toàn phương Cho g đại số Lie, V không gian vectơ r : g End(V ) biểu diễn g V Với k ³ , kí hiệu C k (g,V ) không gian ánh xạ k -tuyến tính phản xứng từ g ´ g ´ ´ g vào V k ³ C (g,V ) = V Toán tử đối bờ dk : C k (g,V ) C k +1(g,V ) định nghĩa sau: ( k ) , , X ) dk f (X 0, , Xk ) = å (-1)i r(Xi ) f (X 0, , X i k i =0 k ( , , X , , X + å (-1)i + j f éêX j , X j ùú , X 0, , X i j k ë û i Do {I , a j0 } = b ai0 +1 a j + b ai0 an nên ci0 -1 = -ai0 j0 , ai1 j1 = -ai0 j0 với i1 = i0 + 1, j1 = j0 - Ta lại có {I , a j1 } = b ai1 +1 a j1 + b ai1 a j1 +1 nên ai2 j2 = -ai1 j1 với i2 = i1 + 1, j2 = j1 - Tiếp tục trình ta ais js = -ais -1 js -1 với is = is -1 + = i0 + s, js = js -1 - = n - s - cho js = is + js = is + Nếu js = is + {I , ais a js } = b ais +1 ais +2 + b ais ais + Từ cách tính {I , w } trên, ta triệt tiêu b ais +1 ais +2 , trường hợp không xảy Nếu js = is + {I , ais a js } = b ais +1 ai2 + + b ais ai2 + Khi để triệt tiêu b ais +1 ai2 + , ta cần chọn bis +1 = -ais js Nên ta cần chọn i0 > 1, s ³ én ù cho i0 + s + = n - s - hay i0 = n - 2l với £ l £ ê ú - ëê ûú 882 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Cao Trần Tứ Hải tgk ìï k é n ùü ï Do ker I , 2 (V ) == span ïíå (-1)i an -2k +i an -i +1 : k = 1, 2, , ê úïý ê úï ïï i =1 ë ûï ợ ỵ 2 (4) Trờn (W) , tng tự tính tốn (V ) , ta có { } ü ïì k é n ùï ker {I , 2 (W)} = span íïå (-1)i bi b2k -i +1 : k = 1,2, , ê ỳýù ù ờở ỳỷùùỵ ù ợ i =1 (5) Trên V W , với i = 1, n - , j = 2, n ta có {I , {I , a n bj } = -b a n b j } = b +1 b j - b b j -1 , { } b j -1, I , b1 = b +1 b1 , {I , an b1 } = Do an b1 Ỵ ker {I ,V W} Giả sử n-1 n i =1 j =2 åbi.ai b1 + åcj.an bj Ỵ ker {I,V W} cho bi khơng đồng thời khơng Ta có n -1 n i =1 j =2 {I , w} = å bi b ai +1 b1 - å c j b an bj -1 = i0 Gọi {I , tiêu số nhỏ cho bi0 ¹ Nếu i0 < n - , b1 } = b ai0 +1 b1 ta triệt tiêu nên i0 = n - Khi để triệt {I , b1 } = b an b1 , ta cần chọn c2 = bn-1 an -1 b1 + an b2 Ỵ ker {I ,V V } Giả sử å w= i =1,n -1, j =2,n n -1 n i =1 j =2 a ij.ai b j2 + å bi b1 + å c j.an b j Ỵ ker {I ,V W} cho a ij khơng đồng thời khơng Ta có {I , w} = å i =1,n -1, j =2,n ( aij b +1 b j - b b j -1 n -1 m i =1 j =2 ) +å bi b ai +1 b1 - å c j b an b j -1 = Gọi i0 số nhỏ cho tồn j0 để ai0 j0 ¹ (khơng tính tổng qt, ta chọn ai0 j0 = ) Nếu j > , để triệt tiêu -ai0 j0 b ai0 b j0 -1 phải có ai0 -1, j0 -1 = ai0, j0 ¹ , mâu thuẫn với tính nhỏ i0 Do j0 = Nếu i0 = {I , b j0 } = {I , a1 b2 } = b a2 b2 - b a1 b1 , 883 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 16, Số 12 (2019): 877-890 ta triệt tiêu -b a1 b1 , vơ lí Nên i0 > Do {I , b j0 } = b ai0 +1 b j - b ai0 b1 nên bi0 -1 = ai0 j0 , ai1 j1 = ai0 j0 với i1 = i0 + 1, j1 = j0 + Ta lại có {I , b j1 } = b ai1 +1 b j1 - b ai1 b j1 -1 nên ai2 j2 = ai1 j1 với i2 = i1 + 1, j2 = j1 + Tiếp tục q trình đến lúc đó, ta ais js = ais -1 js-1 với is = is -1 + = i0 + s, js = js -1 + = s + cho i0 + s = n - s + = n Nếu i0 + s £ n - s + = n {I , s b js } = b ais +1 bn - b ai0 bn -1 , ta triệt tiêu b ais +1 bn nên trường hợp không xảy Nếu i0 + s = n - s + < n {I , s b js } = b an b js - b an -1 b js -1 Để triệt tiêu b an b js cần chọn c js +1 = ais js Do để có w Ỵ ker {I ,V W} ta phải có i0 > , s ³ , cho i0 + s = n - s + < n Điều tương đương với < i0 £ n - Ta cần chọn i0 = 2, , n - Do ìa b + a b + + a b , , ï ïüï ï 1 2 n n ïý ker {I ,V W} = span ï í ï a b1 + an -1 b2 + an b , an -1 b1 + an b2 , an b1 ùù ù ù n -2 ợ ỵù n n n ïì ïü hay ker {I ,V W} = span ï íå bi ,å +1 bi ,å +2 bi , , an b1 ïý ïïỵ i =1 ùùỵ i =1 i =1 ổn -1 (6) Trờn a b , ta có {I , a b } = b ỗỗỗồ +1 bi ữữữ thuc {I , (V W)} ữứ ỗố i =1 Đồng thời, ta tính n n ì üï ï ï íI , a b - å (n + - i )ai bi ïý = nên a b - å (n + - i )ai bi Ỵ ker {I ,.} ï ùỵù i =1 i =1 ù ợ T tt c điều tính tốn trên, ta suy kết 2-đối chu trình đối đồng điều sau { } { } Z ( j2n ) = b (V Å W ) Å ker I , 2 (V ) Å ker I , (W) Å ker {I ,V W} n Å a b - å (n + - i )ai bi i =1 884 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Cao Trần Tứ Hải tgk énù én ù én ù Do dim Z ( j2n ) = 2n + ê ú + n + = 3n + ê ú + Vậy b2 ( j2n) =n +2ê ú +2 ê 2ú êë úû êë úû ë û 3.3 Đối đồng điều thứ hai j3 ( n = ) Ta có tích Lie khác khơng sau: éëêY0, Tùúû = X1 , éêY0 ,Y1 ùú = -T , êéT ,Y1 ë û ë ù úû = X Dạng song tuyến tính xác định B (X i ,Y j ) = dij với i, j = 0, , B (T ,T ) = Gọi {a, b, a , g, b } cở sở đối ngẫu {X ,Y 1 0 } , X1 ,T ,Y1 Dễ dàng kiểm tra 3-dạng liên kết với j3 xác định I = b g b1 Khi B ( j3 ) = span {g b1, b b1, b g } dim B ( j3 ) = Tính tốn ta H ( j3 ) = span {[b a1 ],[b1 a ],[b a - b1 a1 ]} b2 ( j3 ) = 3.4 Đối đồng điều thứ hai j2n+1 với n ³ Ta có tích Lie éêY0, X ùú = X1 , , ë û éY ,Y ù = -Y , éY ,Y ù = -T , [X ,Y ] = X , êë n úû êë n -1 úû n éY , X ù = X , éY ,Y ù = -Y , , êë ûú n -1 ëê n ûú [X3,Y2 ] = X0 , , [Xn -1,Yn -2 ] = X0 , [Xn ,Yn -1 ] = X0 Dạng song tuyến tính xác định B (T ,T ) = Gọi {a, b, a1, , an , g, b1, , bn } B (X i ,Y j ) = dij với i, j = 0, n , cở sở đối ngẫu {X0,Y0 , X1, , Xn ,T ,Y1 , ,Yn } V = span {a1, , an } , W = span {b1, , bn } Dễ dàng kiểm tra 3-dạng liên kết với j2n+1 xác định bởi: I = b W Ta có B ( j2n +1 ) = span {W, b +1, b b j , b g : i = 1, n - 1, j = 1, n } dim B ( j2n +1 ) = 2n + C ( j2n +1 ) phân tích thành tổng trực tiếp khơng gian 2-dạng: a (V ÅW ) , b (V ÅW ) , a g , b g , 2 (V ) , 2 (W) , ((V Å g ÅW ) W ) \ (2W ) , g V , ab Sau ta tính tốn toán tử {I ,.} hạng tử trực tiếp (1) Trên a (V ÅW ) , ker {I , a (V ÅW )} = {0} (2) Trên b (V ÅW ) , dim ker {I , b (V ÅW )} = 2n n -1 (3) Trên a g , ta có {I , a g } = g å +1 bi - a b bn i =1 885 Tạp chí Khoa học Trường ĐHSP TPHCM Tập 16, Số 12 (2019): 877-890 { } (4) Trên b g , ta có {I , b g } = Và 2 (V ) , ta có ker I , 2 (V ) = {0} (5) Trên 2 (W ) , tương tự tính tốn đối đồng điều j2n , ta có ìï k é n ùüï ker I , 2 (W ) = span ïíå (-1)i bn -2k +i bn -i +1 : k = 1, 2,¼, ê úïý ê úï ï ï ë ûï ỵ i =1 ỵ { } ) ( ( ) (6) Trên (V Å g Å W ) W \ 2W , với i = 1, n - 1, j = 2, n ta có {I , b j } = b +1 b j - b b j -1, {I , an b j } = b g b j - b an b j -1, {I , b1 } = b +1 b1, {I , an b1 } = b g b1 Nên {I ,V W } Ì (b V W ) Å (b g W ) {I , g bi } = -b bn bi - b g bi -1 , i = 2, n - 1, {I , g bn } = -b g bn -1, {I , g b1 } = -b bn b1 Nên {I , g W } Ì (b bn W ) Å (b g W ) Giả sử n -1 n i =1 j =2 w = åi =1,n -1, aij b j + å bi b1 + å c j an b j + d an b1 j =2,n å + 1