Đang tải... (xem toàn văn)
Bài báo đề cập đến bài toán giá trị biên ban đầu cho phương trình sóng phi tuyến. Đây là tài liệu tham khảo hữu ích dành cho sinh viên chuyên ngành Toán và những ai đang nghiên cứu phương trình sóng phi tuyến.
Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Số 16 năm 2009 VỀ MỘT PHƯƠNG TRÌNH SĨNG PHI TUYẾN LIÊN KẾT VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN DIRICHLET: SỰ TỒN TẠI VÀ KHAI TRIỂN TIỆM CỦA NGHIỆM Lê Khánh Luận* , Trần Minh Thuyết†, Võ Giang Giai‡ , Lê Thị Phương Ngọc§ Mở đầu Trong viết này, xét tốn giá trị biên - ban đầu cho phương trình sóng phi tuyến utt ( (u )u x ) f ( x, t , u , u x , ut ), x 1, t T , x (1) u (0, t ) u (1, t ) 0, (2) u( x, 0) u0 ( x), ut ( x, 0) u1 ( x), (3) u0 , u1 , f hàm số cho trước thỏa số điều kiện rõ phần sau Trong trường hợp hàm (u) thay hàm hay hàm có 2 dạng (t ), ( x, t ), toán tử Kirchhoff - Carrier (t , u , u x , ut ), hàm f vế phải có dạng đơn giản, tốn (1) với điều kiện biên đầu khác nhau, có nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu nhiều chủ đề khác tồn tại, tính trơn, tính chất định tính, xấp tuyến tính, khai triển tiệm, decay nghiệm,…, chẳng hạn như, M Bergounioux, N.T Long, Alain P.N Định [1], C.V Easwaran [6], N.T Long, Alain P.N Định [4, 5, 9], N.T Long, Alain P.N Định, L.X Trường [14], L.X Trường, L.T.P Ngọc, N.T Long [15], N.T Long, T.N Diễm [11], L.T.P Ngọc, L.N.K Hằng, N.T Long [18], M.L Santos [21],… Ficken Fleishman [7] thiết lập tồn tại, nghiệm toàn cục tính ổn định nghiệm cho phương trình: * ThS – Trường ĐH Kinh tế Tp HCM TS – Trường ĐH Kinh tế Tp HCM ‡ ThS – Trường ĐH Bán cơng Hoa Sen Tp HCM § TS – Trường CĐSP Nha Trang † 13 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Lê Khánh Luận, Trần Minh Thuyết, Võ Văn Giai, Lê Thị Phương Ngọc u xx utt 2 ut u u , (4) Rabinowitz [19] chứng minh tồn nghiệm tuần hoàn phương trình (5) uxx utt 2 ut f ( x, t , u, u x , ut ), tham số bé f hàm tuần hoàn thời gian Trong [3], Caughey Ellison hợp trường hợp trước để bàn tồn tại, ổn định tiệm cận nghiệm cổ điển cho hệ động lực phi tuyến liên tục Gần đây, N.T Long, N.C Tâm, N.T.T Trúc [13] nghiên cứu toán (1), (3) với (u ) điều kiện biên hỗn hợp không (6) u x (0, t ) h0u (0, t ) g (t ), u (1, t ) g1 (t ), h0 số khơng âm cho trước, hàm g , g1 C ( ) cho trước số hạng phi tuyến vế phải (1) có dạng (7) f ( x, t , u , u x , ut ) f ( x, t , u , u x , ut ) f1 ( x, t , u , u x , ut ) Với f C N 1 ([0,1] ), f1 C N ([0,1] ) thêm số điều kiện phụ khác, tác giả thu khai triển tiệm cận nghiệm yếu u đến cấp N theo tham số bé Bài báo bao gồm hai phần Trong phần 1, chúng tơi liên kết tốn (1) - (3) với dãy quy nạp tuyến tính bị chặn khơng gian hàm thích hợp Sự tồn nghiệm địa phương tính nghiệm thiết lập nhờ vào phương pháp Faedo - Galerkin, phương pháp compact [8] bổ đề Gronwall Chú ý phương pháp tuyến tính hóa báo báo [5, 11-13, 16, 17, 19, 22] không sử dụng báo [4, 9, 10, 14, 15, 18] Trong phần 2, với C N ( ), 1 C N 1 ( ), (t ) 0 0, t 0, f C N 1 ([0,1] ) f1 C N ([0,1] ), ta thu khai triển tiệm cận nghiệm yếu u ( x, t ) đến cấp N theo tham số bé cho phương trình 14 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM utt Số 16 năm 2009 [ (u ) 1 (u )]u x f ( x, t , u, u x , ut ) f1 ( x, t , u, ux , ut ), x (8) liên kết với (2) (3) Kết tổng quát hóa tương đối kết [2, 4, 5, 11, 13, 19] công bố chi tiết [16] Định lý tồn nghiệm Đặt (0,1) Chúng ta bỏ qua định nghĩa không gian hàm thông C m (), Lp (),W m , p () dụng Ta ký hiệu Lp Lp (), H m H m (), H 0m H 0m () Chuẩn L2 ký hiệu Ta ký hiệu , để tích vơ hướng L2 hay cặp tích đối ngẫu phiếm hàm tuyến tính liên tục với phần tử khơng gian hàm Ta ký hiệu X để chuẩn không gian Banach X X / không gian đối ngẫu X Ta ký hiệu Lp (0,T ; X ), p , không gian Banach hàm đo u : (0, T ) X cho u u u Lp (0,T ; X ) L (0,T ; X ) T u (t ) 0 Lp (0, T ; X ) , với p p X dt , p , ess sup u (t ) t T X , p u (t ), ut (t ) u (t ), utt (t ) u(t ), u x (t ) u (t ), u xx (t ) u (t ) Ký hiệu để u u u 2u ( x, t ), ( x , t ), ( x , t ), ( x, t ), tương ứng Với f f ( x, t , u , v, w), ta t t x x f f f f f đặt D0 f f , D1 f , D2 f , D3 f , D4 f , D5 f x t u v w u ( x, t ), Trên H , ta dùng chuẩn tương đương v H1 v v 12 , v v (1) v 12 (9) Khi đó, ta có bổ đề sau Bồ đề Phép nhúng H C () compact 15 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM v v C0 () C0 () Lê Khánh Luận, Trần Minh Thuyết, Võ Văn Giai, Lê Thị Phương Ngọc , v H , (10) v , v H (11) v H1 Việc chứng minh bổ đề đơn giản, chúng tơi bỏ qua Ta thành lập giả thiết sau ( H1 ) u0 H 01 H , u1 H 01 , (H2 ) C ( ), ( z ) 0 0, z ( H ) f C ( , ) Với M T 0, ta đặt K K ( M , ) sup / // ( ), M (12) K K (M , T , f ) sup Di f ( x, t , u , v, w) : ( x, t , u, v, w) D , i 0 W ( M , T ) {v L (0, T ; H 01 H ) : vt L (0, T ; H 01 ), vtt L2 (QT ), v L (0,T ; H 10 H ) , vt L (0,T ; H 10 ) , vtt L2 ( QT ) M }, W1 ( M , T ) v W (M , T ) : vtt L (0, T ; L2 ) , (13) (14) (15) QT (0, T ) D ( x, t , u, v, w) : x 1, t T , u , v , w M Ta xét thuật giải xấp xỉ tuyến tính sau (i) Ta chọn số hạng u0 u0 W1 ( M , T ) (16) (ii) Giả sử um1 W1 (M , T ), m (17) (iii) Ta tìm um W1 ( M , T ) thỏa toán biến phân sau um (t ), v (um1 (t ))um (t ), v Fm (t ), v , v H 01 , um (0) u0 , u m (0) u1 , 16 (18) (19) Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Số 16 năm 2009 Fm (t ) f ( x, t , um 1 (t ), u m 1 (t ), um 1 (t )) (20) Khi đó, ta có kết sau Định lý Giả sử ( H1 ) - ( H ) Khi tồn số dương M , T cho (i) Tồn dãy quy nạp {um } W1 (M , T ) xác định (18) - (20) (ii) Bài tốn (1) - (3) có nghiệm yếu u W1 (M , T ) (iii) Tồn số dương C phụ thuộc vào T , u0 , u1 kT thỏa um u L (0,T ; H 01 ) um u L (0,T ; L2 ) CkTm , m , (21) kT (0,1) số dương độc lập với m Chứng minh chi tiết định lý tìm thấy [16] Chú thích ● Trong trường hợp 1, f f (t , u , ut ), f C1 ( ), f (t , 0, 0) 0, t 0, thu kết tồn nghiệm tổng quát [5] ● Trong trường hợp 1, f C1 ( ), f (1, t , u , v, w) 0, t , u , v, w , điều kiện biên [11] thay cho (2), thu số kết tương tự [11, 13] Khai triển tiệm cận nghiệm theo tham số bé Giả sử ( H1 ) ( H ) Ta thành lập thêm giả thiết sau ( H ) 1 C ( ( H ) f1 C1 ( ), ) Ta xét toán nhiễu sau đây, (1,1) tham số bé: 17 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM P Lê Khánh Luận, Trần Minh Thuyết, Võ Văn Giai, Lê Thị Phương Ngọc utt x ( (u )u x ) F ( x, t , u , u x , ut ), x 1, t T , u (0, t ) u (1, t ) 0, u ( x, 0) u0 ( x), ut ( x,0) u1 ( x), (u ) (u ) (u ), F ( x, t , u , u x , ut ) f ( x, t , u , u x , ut ) f1 ( x, t , u, u x , ut ), Gọi u0 W1 (M , T ) nghiệm yếu toán ( P0 ) tương ứng với (như định lý 1) Khi đó, ta định lý sau Định lý Giả sử ( H1 ) - ( H ) Khi đó, tồn số dương M , T cho với (1,1), tốn ( P ) có nghiệm yếu u W1 (M , T ) thỏa đánh giá tiệm cận sau u u0 L (0,T ; H 01 ) u u0 L (0,T ; L2 ) CT (22) CT , dương số phụ thuộc vào T , M , K ( M , ), K ( M , 1 ), K ( M , T , f ) K ( M , T , f1 ) Trong phần tiếp theo, thu khai triển tiệm cận nghiệm yếu u đến cấp N theo tham số bé Để cho gọn, ta dùng ký hiệu f [u ] f ( x, t , u , u , u) Với đa số (1 , , N ) N x ( x1 , , xN ) N 1 N , ! 1 ! N !, x x11 xNN , N , , i i , i 1, , N Bây giờ, thành lập bổ sung thêm giả thiết sau ( H ) C N 2 ( ), 1 C N 1 ( ( H ) f C N 1 ( ), ( z ) 0 1, z ), f1 C N ( Trước hết, ta cần sử dụng bổ đề sau 18 ) , , ta đặt Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Số 16 năm 2009 Bổ đề Cho m, N , x ( x1 , , xN ) N Khi m mN N i x Pk[ m ] ( x) k , i i k m (23) hệ số Pk[ m ] ( x), m k mN phụ thuộc vào x ( x1 , , xN ) xác định công thức m! [m] [ m] Pk ( x) Pk ( x1 , , xN ) ( m ) !x , m k mN , I k N I ( m ) N : m, i k i k i 1 (24) Việc chứng minh bổ đề nghiệm lại từ phép tính tốn đại số thơng thường nên chúng tơi bỏ qua chi tiết Gọi u0 W1 ( M , T ) nghiệm yếu toán ( P0 ) ul W1 ( M , T ), l 1, , N (với M T số thích hợp) nghiệm yếu toán sau Ql ul x ( (u0 )ul ) Fl [ul ], x 1, t T , ul (0, t ) ul (1, t ) 0, u ( x, 0) u ( x, 0) 0, l 1, , N , l l (25) if l 0, c0 [ f ], l Fl [ul ] cl [ f ] cl 1[ f1 ] x d k [ ] d k 1[ 1 ] ul k , if l 1, , N , k 1 (26) với 19 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Lê Khánh Luận, Trần Minh Thuyết, Võ Văn Giai, Lê Thị Phương Ngọc if l 0, f [u0 ] f ( x, t , u0 , u0 , u0 ), l p q r cl [ f ] p !q !r ! D3 D4 D5 f [u0 ] s 1 p q r s Pi [ p ] (u ) Pj[ q ] (u ) Pk[ r ] (u ), if l 1, , N , i p , j q , k r , i j k l (27) if l 0, (u0 ), l dl [ ] ( p) [ p] p ! (u0 ) Pl (u ) , if l 1, , N , p 1 (28) Pi ( p ) (u ) Pi ( p ) (u1 , , u N ), Pi ( p ) (u ) Pi ( p ) (u1 , , u N ), Pi ( p ) (u ) Pi ( p ) (u1 , , u N ) N Let u W1 ( M , T ) nghiệm yếu tốn ( P ) Khi v u iui i 0 u h u u0 h1 nghiệm yếu toán biên sau v (v h)v F [v h] F [h ] (v h) (h ) h x x E ( x, t ), x 1, t T , v(0, t ) v(1, t ) 0, v( x, 0) v( x,0) 0, (29) E ( x, t ) F [ h] f [u0 ] N ( h) (u0 ) h i Fi [ui ] x i 1 (30) Khi đó, ta có bổ đề sau Bổ đề Giả sử ( H1 ), ( H ) ( H ) đúng, ta có E L (0,T ; L2 ) C(M , T , N , K , K ) N 1 , (31) C ( M , T , N , K , K ) số dương phụ thuộc vào M , T , N 20 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Số 16 năm 2009 số sau K K ( M , N , , 1 ) sup K K (M , T , N , f , f1 ) sup{ (i ) N 1, 1( j ) ( ) : M , i N 1, j N , ( D11 D3 D4 D55 f N D11 D33 D44 D55 f1 )( x, t , u, v, w) : ( x, t , u, v, w) D}, với (1 , , , ) , ( 1 , , , ) , D ( x, t , u , v, w) : x 1, t T , u , v , w M Chứng minh chi tiết bổ đề xem [15] Sử dụng bổ đề 3, ta xây dựng định lý sau (chứng minh chi tiết tìm thấy [16]) Định lý Giả sử ( H1 ), ( H ) ( H ) Khi đó, tồn số M T cho, với (1,1), tốn ( P ) có nghiệm yếu u W1 ( M , T ) thỏa đánh giá tiệm cận đến cấp N sau N u i ui i N L (0,T ; H 10 ) u i 0 ui i CT N 1 (32) , L (0,T ; L ) C T số dương độc lập với hàm u0 , u1 , , uN nghiệm yếu toán ( P0 ), (Q1 ), , QN tương ứng Chú ý ● Với 1, 1 0, f1 0, f f (t , u, ut ) f C N 1 ( ), thu số kết [5] ● Với 1, 1 0, f C N 1 ([0,1] ) f1 C N ([0,1] ), thu kết tương tự [11, 13] 21 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Lê Khánh Luận, Trần Minh Thuyết, Võ Văn Giai, Lê Thị Phương Ngọc TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Alain Phạm Ngọc Định (1983), Sur un problème hyperbolique faiblement non-linéaire une dimension, Demonstratio Math 16 (1983) 269 – 289 [2] Alain Phạm Ngọc Định, Nguyễn Thành Long (1986), Linear approximation and asymptotic expansion associated to the nonlinear wave equation in one demension, Demonstratio Math 19 (1986) 45 – 63 [3] C.V Easwaran (2004), Asymptotic theory for weakly non-linear wave equations in semi-infinite domains, Electronic J Diff Equations, Vol 2004 (2004) – [4] E.L Ortiz, Alain Phạm Ngọc Định (1987), Linear recursive schemes associated with some nonlinear partial differential equations in one dimension and the Tau method, SIAM J Math Anal 18 (1987) 452 – 464 [5] F Ficken, B Fleishman (1957), Initial value problems and time periodic solutions for a nonlinear wave equation, Comm Pure Appl Math 10 (1957) 331 – 356 [6] J Boujot, Alain Phạm Ngọc Định, J.P Veyrier (1980), Oscillateurs harmoniques faiblement perturbés: L’algorithme numérique des “par de géants”, RAIRO, Analyse numérique 14 (1980) –23 [7] J.L Lions (1969), Quelques méthodes de résolution des problems aux limites non-linéares, Dunod; Gauthier-Villars, Paris, 1969 [8] Lê Khánh Luận, Võ Giang Giai, Trần Minh Thuyết, Lê Thị Phương Ngọc (2008), Existence and asymptotic expansion for a nonlinear wave equation associated with the Dirichlet boundary condition (Sumitted to Electronic J Diff Equations) [9] Lê Khánh Luận, Võ Giang Giai, Trần Minh Thuyết, Lê Thị Phương Ngọc (2008), On the nonlinear wave equation with the mixed nonhomogeneous conditions: Linear approximation and asymptotic expansion of solutions, (Submitted) [10] Lê Thị Phương Ngọc, Lê Nguyễn Kim Hằng, Nguyễn Thành Long (2008), On a nonlinear wave equation associated with the boundary conditions involving convolution, Nonlinear Anal Theory Methods Appl Ser A (accepted for publication) [ http://dx.doi.org/10.1016/j.na.2008.08.004 ] [11] Lê Xuân Trường, Lê Thị Phương Ngọc, Nguyễn Thành Long (2008), Highorder iterative schemes for a nonlinear Kirchhoff – Carrier wave equation associated with the mixed homogeneous conditions, Nonlinear Anal Theory 22 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM [12] [13] [14] [15] [16] Số 16 năm 2009 Methods Appl Ser A (accepted for publication) [ http://dx.doi.org/10.1016/j.na.2008.10.086 ] M Bergounioux, Nguyễn Thành Long, Alain Phạm Ngọc Định (2001), Mathematical model for a shock problem involving a linear viscoelastic bar, Nonlinear Anal 43 (2001) 547 – 561 M.L Santos (2001), Asymptotic behavior of solutions to wave equations with a memory condition at the boundary, Electronic J Diff Equations, Vol 2001(2001) – 11 Nguyễn Thành Long, Alain Phạm Ngọc Định (1995), A semilinear wave equation associated with a linear differential equation with Cauchy data, Nonlinear Anal 24 (1995) 1261 – 1279 Nguyễn Thành Long, Alain Phạm Ngọc Định, Lê Xuân Trường (2008), Existence and decay of solutions of a nonlinear viscoelastic problem with a mixed nonhomogeneous condition, Numerical Functional Analysis and Optimization (to appear) Nguyễn Thành Long, Bùi Tiến Dũng (2004), On the nonlinear wave equation 2 utt B (t , u x )u xx f ( x, t , u , u x , ut , u x ) [17] [18] [19] [20] associated with the mixed nonhomogeneous conditions, J Math Anal Appl 292 (2004) 433 – 458 Nguyễn Thành Long, Lê Thị Phương Ngọc, Võ Giang Giai (2008), A linear wave equation associated with a nonlinear integral equation at the boundary: Existence and asymptotic expansion of solutions, (Submitted to Nonlinear Anal Theory Methods Appl Ser A) Nguyễn Thành Long, Lê Xuân Trường (2007), Existence and asymptotic expansion of solutions to a nonlinear wave equation with a memory condition at the boundary, Electronic J Diff Equations, Vol 2007 (2007), – 19 Nguyễn Thành Long, Nguyễn Công Tâm, Nguyễn Thị Thảo Trúc (2005), On the nonlinear wave equation with the mixed nonhomogenous conditions: Linear approximation and asymptotic expansion of solution, Demonstratio Math 38 (2005) 365 – 386 Nguyễn Thành Long, Trần Ngọc Diễm (1997), On the nonlinear wave equation utt uxx f ( x, t , u, ux , ut ) associated with a mixed homogeneous conditions, Nonlinear Anal 29 (1997) 1217 – 1230 [21] P.H Rabinowitz (1967), Periodic solutions of nonlinear hyperbolic differential equations, Comm Pure Appl Math 20 (1967) 145 – 205 23 Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Lê Khánh Luận, Trần Minh Thuyết, Võ Văn Giai, Lê Thị Phương Ngọc [22] T Caughey, J Ellison (1975), Existence, uniqueness and stability of solutions of a class of nonlinear differential equations, J Math Anal Appl 51 (1975) – 32 Tóm tắt Về phương trình sóng phi tuyến liên kết với điều kiện biên Dirichlet: Sự tồn khai triển tiệm nghiệm Bài báo đề cập đến toán giá trị biên - ban đầu cho phương trình sóng phi tuyến utt x ( (u )u x ) f ( x, t , u , u x , ut ), x 1, t T , u (0, t ) u (1, t ) 0, u ( x, 0) u ( x), u ( x,0) u ( x), t (*) u0 , u1 , f hàm số cho trước Trong báo này, liên kết toán (*) với sơ đồ xấp xỉ tuyến tính, kết hợp với phương pháp Faedo – Galerkin compact yếu để chứng minh tồn nghiệm địa phương toán (*) Trong trường hợp hàm C N ( (t ) t 0, f C N 1 ([0,1] ) f1 C N ([0,1] ), 1 C N 1 ( ), ), ta thu khai triển tiệm cận nghiệm yếu u ( x, t ) đến cấp N theo tham số bé cho phương trình sau liên kết với (*)2,3: utt [ (u ) 1 (u )]u x f ( x, t , u, ux , ut ) f1 ( x, t , u, u x , ut ) ■ x Abstract On the nonlinear wave equation associated with the Dirichlet boundary condition: Existence and asymptotic expansion of solutions The paper deals with the initial - boundary value problem for the nonlinear wave equation utt x ( (u )u x ) f ( x, t , u , u x , ut ), x 1, t T , u (0, t ) u (1, t ) 0, u ( x, 0) u ( x), u ( x,0) u ( x), t 24 (*) Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP HCM Số 16 năm 2009 where u0 , u1 , and f are given functions In this paper, we associate with problem (*) a linear recursive scheme for which the existence of a local and unique weak solution is proved by applying the Faedo – Galerkin method and the weak compact method In case of C N ( 1 C N 1 ( (t ) ), f1 C N ([0,1] t 0, f C N 1 ([0,1] ) ), and ), a weak solution u ( x, t ) having an asymptotic expansion of order N in a small parameter is established for the following equation associated to (*)2,3: utt [ (u ) 1 (u )]u x f ( x, t , u, ux , ut ) f1 ( x, t , u, u x , ut ) x 25 ... tắt Về phương trình sóng phi tuyến liên kết với điều kiện biên Dirichlet: Sự tồn khai triển tiệm nghiệm Bài báo đề cập đến toán giá trị biên - ban đầu cho phương trình sóng phi tuyến utt... trước để bàn tồn tại, ổn định tiệm cận nghiệm cổ điển cho hệ động lực phi tuyến liên tục Gần đây, N.T Long, N.C Tâm, N.T.T Trúc [13] nghiên cứu toán (1), (3) với (u ) điều kiện biên hỗn hợp... khơng gian hàm thích hợp Sự tồn nghiệm địa phương tính nghiệm thiết lập nhờ vào phương pháp Faedo - Galerkin, phương pháp compact [8] bổ đề Gronwall Chú ý phương pháp tuyến tính hóa báo báo [5,