Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu tìm nghiệm số của một hệ thống được mô tả bằng phương trình vi phân đạo hàm riêng dùng phương pháp sai phân hữu hạn. Tính toán xấp xỉ nghiệm dùng phương pháp nội suy Lagrange; so sánh nghiệm xấp xỉ với nghiệm giải tích (nghiệm chính xác); kết luận về ảnh hưởng của số điểm nút chọn trên các nghiệm số.
Bài thực hành mơn học Mơ hình hóa, mơ tối ưu hóa q trình hóa học BÀI THỰC HÀNH SỐ KHẢO SÁT MỘT HỆ PHẢN ỨNG DẠNG ỐNG LÝ TƯỞNG TRẠNG THÁI DỪNG Mục đích thực hành mô phỏng, giải tốn CNHH Cụ thể : Tìm nghiệm số hệ thống mô tả phương trình vi phân đạo hàm riêng dùng phương pháp sai phân hữu hạn Tính tốn xấp xỉ nghiệm dùng phương pháp nội suy Lagrange So sánh nghiệm xấp xỉ với nghiệm giải tích (nghiệm xác) Kết luận ảnh hưởng số điểm nút chọn nghiệm số Tài liệu tham khảo thực hành: [1] Martin Ruszkowski et al., Passivity based control of transport reaction systems, AIChE Journal, 2005 Mô tả hệ thống phản ứng ống: Hệ khảo sát thực hành hệ phản ứng dạng ống (tubular reactor) lý tưởng phân bố, mô tả hình đây: Dòng A vào R Dòng B L x Hệ thống giới hạn diễn điều kiện đẳng nhiệt, T=const., thay đổi đại lượng vật lý (nồng độ,…) theo phương truc x, bỏ qua thay đổi theo phương bán kính Hệ xem xét cung cấp lối vào chất phản ứng A Bên ống xảy phản ứng bậc dạng B với tốc độ phản ứng : σ = −kc (1) vói k số c nồng độ (cục bộ) cấu tử hóa học A Câu hỏi (Mơ hình hóa động học) : Nghiên cứu cân vật chất hệ đẳng nhiệt trên, biến thiên nông độ c chi phối phương trình vi phân đạo hàm riêng sau [1]: ∂c ∂ 2c ∂c = D −υ + σ ∂t ∂x ∂x (2) Copyright © by Hồng Ngọc Hà CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Bài thực hành mơn học Mơ hình hóa, mơ tối ưu hóa q trình hóa học Trong phương trình (2) t ∈ [0, + ∞ ) , x ∈ [0, L] ; υ D vận tốc dòng đối lưu hệ số khuếch tán □ Giới hạn thực hành: Trong thực hành nghiên cứu nghiệm dừng, tức nghiệm không phụ thuộc vào thời gian : ∂c = ⇔ c = c( x) ∂t (3) Nghiệm có phương trình (2) với (3) cần bổ sung điều kiện biên (đựợc gọi ĐK biên Hulburt) : ⎧c(0) = c0 ⎪ ⎨ ∂c( x) =0 ⎪ ∂x x= L ⎩ (4) Bảng cho liệu tham số hệ phản ứng nghiên cứu : υ (cm/s) D (cm2/s) L (cm) k (1/s) R (cm) c0 (t ) (mol/cm3) (Sinh viên tùy chọn giá trị tham số cho phù hợp Có điểm ưu tiên cho việc chọn lựa tốt, sáng tạo) Câu hỏi : a) Chứng minh hệ thống nghiên cứu (2) với điều kiện dừng (3) trở thành : D ∂ 2c ∂c − υ − kc = ∂x ∂x (5) có phương trình đặc trưng : aλ2 + bλ + c = với a = , b = − υ D c = − (6) k ? D b) Chứng minh phương trình (6) ln có hai nghiệm thực phân biệt λ1 λ2 ? c) Suy nghiệm tường minh xác (5) với điều kiện biên (4) ? Copyright © by Hồng Ngọc Hà CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Bài thực hành mơn học Mơ hình hóa, mơ tối ưu hóa q trình hóa học Nghiệm số dùng phương pháp sai phân hữu hạn bước trung tâm: Trước tiên xác định biểu diễn đại số phương trình vi phân (5) mà nhận rời rạc hóa dùng phương pháp sai phân hữu hạn điểm nút Gọi h bước rời rạc không gian cho khoảng [0, L ] chia thành N khoảng có L chiều dài h, có nghĩa h = Chúng ta ký hiệu xi điểm rời rạc : N x0 = 0, x1 = h, x2 = 2h, , x N = L Các điểm phân bố hình học sau : x0 = x1 = h x2 = 2h x x123x h xN = L x x x N +1 x Tiếp theo, để đơn giản cách trình bày kí hiệu c0 = c(0), c1 = c(h), , c N = c( Nh) Tại điểm trung gian x1 , x2 , , x N −1 sử dụng biểu thức sau để xấp xỉ đạo hàm bậc hai bậc sau : ∂ 2c ∂x ≅ x = xi ∂c ∂x ci +1 + ci −1 − 2ci , i = 1, , N − h2 (7) ci +1 − ci −1 , i = 1, , N − 2h (8) ≅ x = xi Chúng ta đưa vào tập điểm rời rạc điểm ảo x N +1 (và ký hiệu c N +1 = c(( N + 1)h) , xem sơ đồ phân bố điểm bên trên) cho mục đích rời rạc hóa điểm biên x N , cụ thể : ∂ 2c ∂x ≅ x = xN ∂c ∂x c N +1 + c N −1 − 2c N h2 (9) c N +1 − c N −1 2h (10) ≅ x = xN Và điều kiện biên (4) xấp xỉ thành: ∂c ∂x ≅ x= xN c N +1 − c N −1 = ⇔ c N +1 = c N −1 2h (11) Sau cùng, để thuân lợi cho biểu diễn ký hiệu : Copyright © by Hồng Ngọc Hà CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Bài thực hành mơn học Mơ hình hóa, mơ tối ưu hóa q trình hóa học ⎡c(h) ⎤ ⎡c1 ⎤ ⎢c ( h ) ⎥ ⎢c ⎥ ⎥=⎢ 2⎥ C=⎢ ⎢M ⎥ ⎢M ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣c( Nh)⎦ ⎣c N ⎦ (12) Câu hỏi : a) Dùng xấp xỉ (7)Ỉ(10), phương trình (5) điểm rời rạc i trở thành : ⎛ υ ⎞ ⎛ k⎞ ⎛ υ ⎞ ⎜ 2+ ⎟ci −1 − ⎜ + ⎟ci + ⎜ − ⎟ci +1 = 0, i = 1, , N D 2h ⎠ D⎠ D 2h ⎠ ⎝h ⎝h ⎝h (13) b) Tính đến điều kiên biên (11), phương trình (9) viết dạng hệ tuyến tính sau : AC = b (14) với C vector cho (12) Xác định ma trận A, b ? c) Tìm nghiệm hệ (14) với Matlab : Bước : Khai báo ma trận A, b Bước : Ma trận A khả nghịch ? Bước : Tìm nghiệm dùng lệnh học thực hành số d) Viết biểu thức nghiệm dùng nội suy kiểu đa thức Lagrange Biểu diễn đồ họa biên dạng phân bố nồng độ c so sánh với nghiệm giải tích có câu hỏi (c) Câu hỏi (Câu hỏi mở rộng) Biết biểu thức số mol A ống phản ứng cho : L N = πR ∫ c( x)dx (15) Dùng qui tắc hình thang, chứng minh (15) xấp xỉ sau : N −1 N = πR h∑ i =0 (ci + ci +1 ) (16) Lập trình tính giá trị số (16) với giá trị ci tìm thấy (14) Quan sát ảnh hưởng số điểm nút (tăng/giảm N) độ xác nghiệm số mơ ? Kết luận Copyright © by Hồng Ngọc Hà CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt .. .Bài thực hành mơn học Mơ hình hóa, mơ tối ưu hóa q trình hóa học Trong phương trình (2) t ∈ [0, + ∞ ) , x ∈ [0, L] ; υ D vận tốc dòng đối lưu hệ số khuếch tán □ Giới hạn thực hành: Trong thực. .. https://fb.com/tailieudientucntt Bài thực hành mơn học Mơ hình hóa, mơ tối ưu hóa q trình hóa học Nghiệm số dùng phương pháp sai phân hữu hạn bước trung tâm: Trước tiên xác định biểu diễn đại số phương trình vi phân... https://fb.com/tailieudientucntt Bài thực hành mơn học Mơ hình hóa, mơ tối ưu hóa q trình hóa học ⎡c(h) ⎤ ⎡c1 ⎤ ⎢c ( h ) ⎥ ⎢c ⎥ ⎥=⎢ 2⎥ C=⎢ ⎢M ⎥ ⎢M ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣c( Nh)⎦ ⎣c N ⎦ (12) Câu hỏi : a) Dùng xấp xỉ (7)Ỉ(10), phương trình