Đang tải... (xem toàn văn)
Nội dung của tài liệu bao gồm: rời rạc hóa một hệ thống phản ứng được mô tả bằng phương trình vi phân đạo hàm riêng PDE dùng phương pháp sai phân hữu hạn để nhận được một hệ ODE; tìm nghiệm số của hệ ODE; xấp xỉ nghiệm của bài toán dùng phương pháp nội suy Lagrange; kết luận về ảnh hưởng của số điểm nút chọn trên các nghiệm số.
Bài thực hành mơn học Mơ hình hóa, mơ tối ưu hóa q trình hóa học BÀI THỰC HÀNH SỐ KHẢO SÁT ĐỘNG HỌC MỘT HỆ PHẢN ỨNG DẠNG ỐNG LÝ TƯỞNG Mục đích thực hành mô phỏng, giải tốn CNHH Cụ thể : Rời rạc hóa hệ thống phản ứng mô tả phương trình vi phân đạo hàm riêng PDE dùng phương pháp sai phân hữu hạn để nhận hệ ODE Tìm nghiệm số hệ ODE Xấp xỉ nghiệm toán dùng phương pháp nội suy Lagrange Kết luận ảnh hưởng số điểm nút chọn nghiệm số Tài liệu tham khảo thực hành: [1] Martin Ruszkowski et al., Passivity based control of transport reaction systems, AIChE Journal, 2005 Mô tả hệ thống phản ứng ống: Hệ khảo sát thực hành hệ phản ứng dạng ống (tubular reactor) lý tưởng phân bố, mô tả hình đây: Dòng A vào R Dòng B L x Hệ thống giới hạn diễn điều kiện đẳng nhiệt, T=const., thay đổi đại lượng vật lý (nồng độ,…) theo phương truc x, bỏ qua thay đổi theo phương bán kính Hệ xem xét cung cấp lối vào chất phản ứng A Bên ống xảy phản ứng bậc dạng B với tốc độ phản ứng : σ = −kc (1) vói k số c nồng độ (cục bộ) cấu tử hóa học A Câu hỏi (Mơ hình hóa động học) : Nghiên cứu cân vật chất hệ đẳng nhiệt trên, biến thiên nông độ c chi phối phương trình vi phân đạo hàm riêng sau [1]: ∂c ∂ 2c ∂c = D −υ + σ ∂t ∂x ∂x (2) Copyright © by Hồng Ngọc Hà CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Bài thực hành mơn học Mơ hình hóa, mơ tối ưu hóa q trình hóa học Trong phương trình (2) t ∈ [0, + ∞ ) , x ∈ [0, L] ; υ D vận tốc dòng đối lưu hệ số khuếch tán □ Nghiệm có phương trình (2) cần bổ sung điều kiện ban đầu điều kiện biên: • Với điều kiện ban đầu : c( x,0) = c ( x) • (3) Với điều kiện biên Hulburt (ĐK biên Direchlet + ĐK biên Neumann): ⎧c(0, t ) = c0 (t ) ⎪ ⎨ ∂c( x, t ) =0 ⎪ ∂x x= L ⎩ (4) Phương trình (2) với (3) (4) miêu tả đầy đủ hệ thống Bảng cho liệu tham số hệ phản ứng nghiên cứu : υ (cm/s) D (cm2/s) L (cm) k (1/s) R (cm) c0 (t ) (mol/cm3) c (t ) (mol/cm3) (Sinh viên tùy chọn giá trị tham số cho phù hợp Có điểm ưu tiên cho việc chọn lựa tốt, sáng tạo) Nghiệm số dùng phương pháp sai phân hữu hạn bước trung tâm: Trước tiên xác định biểu diễn đại số phương trình vi phân (2) mà nhận rời rạc hóa dùng phương pháp sai phân hữu hạn điểm nút Gọi h bước rời rạc không gian cho khoảng [0, L ] chia thành N khoảng có L chiều dài h, có nghĩa h = Chúng ta ký hiệu xi điểm rời rạc : N x0 = 0, x1 = h, x2 = 2h, , x N = L Các điểm phân bố hình học sau : x0 = x1 = h x2 = 2h x x123x h xN = L x x x N +1 x Copyright © by Hồng Ngọc Hà CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Bài thực hành mơn học Mơ hình hóa, mơ tối ưu hóa q trình hóa học Tiếp theo, để đơn giản cách trình bày kí hiệu c0 = c(0), c1 = c(h), , c N = c( Nh) Tại điểm trung gian x1 , x2 , , x N −1 sử dụng biểu thức sau để xấp xỉ đạo hàm bậc hai bậc sau : ∂ 2c ∂x ≅ x = xi ∂c ∂x ci +1 + ci −1 − 2ci , i = 1, , N − h2 (5) ci +1 − ci −1 , i = 1, , N − 2h (6) ≅ x = xi Chúng ta đưa vào tập điểm rời rạc điểm ảo x N +1 (và ký hiệu c N +1 = c(( N + 1)h) , xem sơ đồ phân bố điểm bên trên) cho mục đích rời rạc hóa điểm biên x N , cụ thể : ∂ 2c ∂x ≅ x = xN ∂c ∂x c N +1 + c N −1 − 2c N h2 (7) c N +1 − c N −1 2h (8) ≅ x = xN Dùng quan hệ thứ (4), (8) xấp xỉ thành: ∂c ∂x ≅ x= xN c N +1 − c N −1 = ⇔ c N +1 = c N −1 2h (9) Sau cùng, để thuân lợi cho biểu diễn ký hiệu : ⎡c(h, t ) ⎤ ⎡c1t ⎤ ⎢ c ( h, t ) ⎥ ⎢ c ⎥ ⎥ = ⎢ 2t ⎥ C (t ) = ⎢ ⎥ ⎢M ⎥ ⎢M ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣c( Nh, t )⎦ ⎣c Nt ⎦ (10) Yêu cầu : Chọn số điểm nút (N>2) N= ? Câu hỏi : a) Dùng xấp xỉ (5)Ỉ(6), phương trình (4) điểm rời rạc i trở thành : dcit ⎛ D υ ⎞ ⎛ 2D ⎞ ⎛D υ ⎞ = ⎜ + ⎟c(i −1)t − ⎜ + k ⎟cit + ⎜ − ⎟c(i +1) t , i = 1, , N dt ⎝ h 2h ⎠ 2h ⎠ ⎝h ⎠ ⎝h (11) Copyright © by Hồng Ngọc Hà CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Bài thực hành mơn học Mơ hình hóa, mơ tối ưu hóa q trình hóa học b) Tính đến điều kiên biên (4) (9), phương trình (11) viết dạng hệ phương trình vi phân thường sau : dC = AC + b dt (12) với C (t ) vector cho (10) giá trị ban đầu C (t = 0) có dùng (3) Xác định ma trận A, b ? c) Tìm nghiệm (12) với Matlab dùng lệnh ode Biểu diễn biên dạng (profile) nồng độ nhận điểm rời rạc d) Viết biểu thức nghiệm c(x,t) dùng nội suy kiểu đa thức Lagrange từ nút cit (12) có Biểu diễn thay đổi nồng độ với Matlab Câu hỏi (Câu hỏi mở rộng) Biết biểu thức số mol A ống phản ứng cho : N (t ) = πR L ∫ c( x, t )dx (13) Dùng qui tắc hình thang, chứng minh (13) xấp xỉ sau : N −1 (cit + c( i +1)t ) i =0 N (t ) = πR h∑ (14) Lập trình tính giá trị số (14) với giá trị cit tìm thấy (12) Quan sát ảnh hưởng số điểm nút (tăng/giảm N) nghiệm số mô ? Kết luận Copyright © by Hồng Ngọc Hà CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt .. .Bài thực hành mơn học Mơ hình hóa, mơ tối ưu hóa q trình hóa học Trong phương trình (2) t ∈ [0, + ∞ ) , x ∈ [0, L] ; υ D vận tốc dòng đối lưu hệ số khuếch tán □ Nghiệm có phương trình (2)... https://fb.com/tailieudientucntt Bài thực hành mơn học Mơ hình hóa, mơ tối ưu hóa q trình hóa học b) Tính đến điều kiên biên (4) (9), phương trình (11) viết dạng hệ phương trình vi phân thường sau :... CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Bài thực hành mơn học Mơ hình hóa, mơ tối ưu hóa q trình hóa học Tiếp theo, để đơn giản cách trình bày kí hiệu c0 = c(0), c1 = c(h), , c N = c( Nh) Tại điểm