Đang tải... (xem toàn văn)
Bài giảng Tín hiệu và hệ thống - Bài 8: Phép biến đổi Laplace, hàm truyền đạt, các tính chất đặc trưng của hệ thống cung cấp cho người học các kiến thức: Dẫn xuất phép biến đổi Laplace, phép biến đổi Laplace ngược, các tính chất của phép biến đổi Laplace
Tín Hiệu Hệ Thống Bài 8: Phép biến đổi Laplace, Hàm truyền đạt, Các tính chất đặc trưng hệ thống Đỗ Tú Anh tuanhdo-ac@mail.hut.edu.vn Bộ môn Điều khiển tự động, Khoa Điện CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chương 6: Phép biến đổi Laplace 6.1 Dẫn xuất phép biến đổi Laplace 6.2 Phép biến đổi Laplace ngược 6.3 Các tính chất phép biến đổi Laplace 6.4 Hàm truyền đạt 6.4.1 Khái niệm hàm truyền đạt 6.4.2 Hàm truyền đạt với tính chất hệ thống 6.4.2 Xác định hàm truyền đạt từ phương trình vi phân EE3000-Tín hiệu hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Hàm truyền đạt hệ thống Hàm truyền đạt hệ LTI, H(s), định nghĩa biến đổi Laplace đáp ứng xung hệ thống Khi s = jω, biến đổi Fourier (hệ thống phải ổn định) cách tổng quát, biến đổi Laplace Hàm truyền đạt quan trọng EE3000-Tín hiệu hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Hàm truyền đạt: Ví dụ Khâu vi phân: tín hiệu đạo hàm theo thời gian tín hiệu vào x(t ) H(s) X ( s) dx(t ) dt Y ( s ) = sX ( s ) y (t ) = H (s) = s Khâu tích phân: tín hiệu tích phân tín hiệu vào x(t ) t H(s) X ( s) y (t ) = ∫ x(τ ) dτ −∞ Y (s) = X (s) s H (s) = s Khâu chậm trễ: tín hiệu tín hiệu vào dịch khoảng thời gian (thời gian trễ) x(t ) H(s) X ( s) y (t ) = x(t − τ ) H ( s ) = e −τ s Y ( s ) = e −τ s X ( s ) EE3000-Tín hiệu hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chương 6: Phép biến đổi Laplace 6.1 Dẫn xuất phép biến đổi Laplace 6.2 Phép biến đổi Laplace ngược 6.3 Các tính chất phép biến đổi Laplace 6.4 Hàm truyền đạt 6.4.1 Khái niệm hàm truyền đạt 6.4.2 Hàm truyền đạt với tính chất hệ thống 6.4.2 Xác định hàm truyền đạt từ phương trình vi phân EE3000-Tín hiệu hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Hệ nhân phản nhân Do đáp ứng xung nhân h(t) tín hiệu phía phải, MHT H(s) jω phải thỏa mãn Re {s} > σ max σ MHT phải nằm bên phải tất điểm cực hệ Do đáp ứng xung phản nhân h(t) tín hiệu phía trái, MHT H(s) phải thỏa mãn jω Re {s} < σ MHT phải nằm bên trái tất điểm cực hệ σ EE3000-Tín hiệu hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Hệ nhân phản nhân Nếu H(s) phân tích thành dạng − sk , k = 1, 2,…, N rk , k = 1, 2,…, N N r B( s) = bN + ∑ k , A( s ) k =1 s + sk điểm cực đgl residue h(t) nhân với Re {s} > σ max phản nhân với Re {s} < σ Ví dụ , s +1 Re {s} > −1 Hệ nhân es H (s) = , s +1 Re {s} > −1 Hệ phi nhân H (s) = EE3000-Tín hiệu hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Hệ ổn định Hệ LTI ổn định BIBO h(t) khả tích tuyệt đối ∞ ∫−∞ h(t ) dt < ∞ Đây điều kiện Dirichlet để hàm h(t) có ảnh Fourier (trừ trường hợp đặc biệt) Để tồn đáp ứng tần số H(jω) hệ phải ổn định Mặt khác xác định H(jω) từ H(s) cách thay s = jω MHT H(s) phải chứa trục jω jω jω jω σ σ jω σ σ Để hệ nhân ổn định, tất điểm cực phỉa nằm bên trái mặt phẳng phức s EE3000-Tín hiệu hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Hệ khả nghịch đảo Nếu hệ LTI h(t) khả nghịch đảo, tồn hệ nghịch đảo hI(t) cho h(t ) ∗ hI (t ) = δ (t ) H I ( s) = H ( s) Nếu H(s) = B(s)/A(s) HI(s) = A(s)/B(s) Các điểm cực H(s) điểm không HI(s) ngược lại Nói chung, hệ nghịch đảo HI(s) H(s) khơng có nhiều khả khác MHT (phân thức A(s)/B(s) có điểm cực) Tuy nhiên thường có hệ nghịch đảo sử dụng thực tế có u cầu khác (như tính ổn định và/hoặc tính nhân quả) EE3000-Tín hiệu hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Hệ khả nghịch đảo: Ví dụ Cho hệ ổn định nhân H ( s) = s +1 , s+2 Re {s} > −2 Hai khả cho hệ nghịch đảo tương ứng s +1 H I1 ( s) = , s+2 Re {s} > −1 H I (s) = s +1 , s+2 Re {s} > −1 Tuy nhiên HI1(s) ích hữu thực tế vừa ổn định nhân quả, HI2(s) khơng s+2 H I1 ( s) = , Re {s} > Ví dụ 2: s −1 Không ổn định, nhân s −1 H (s) = , Re {s} > −2 s+2 s+2 H I (s) = , Re {s} < s −1 ổn định, nhân EE3000-Tín hiệu hệ thống CuuDuongThanCong.com Ổn định, không nhân https://fb.com/tailieudientucntt 10 Ghép nối hệ thống 11 EE3000-Tín hiệu hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chương 6: Phép biến đổi Laplace 6.1 Dẫn xuất phép biến đổi Laplace 6.2 Phép biến đổi Laplace ngược 6.3 Các tính chất phép biến đổi Laplace 6.4 Hàm truyền đạt 6.4.1 Khái niệm hàm truyền đạt 6.4.2 Hàm truyền đạt với tính chất hệ thống 6.4.2 Xác định hàm truyền đạt từ phương trình vi phân 12 EE3000-Tín hiệu hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Phương trình vi phân Trên thực tế, phần lớn hệ thống quan tâm mô tả phương trình vi phân tuyến tính hệ số d k y (t ) M d k x(t ) ∑ ak dt k = ∑ bk dt k k =0 k =0 N với bậc mơ hình số lớn hai số M N Sử dụng biến đổi Laplace tính chất nó, ta có M H (s) = Y (s) = X (s) k b s ∑k k =0 ∞ ∑ ak s k = B(s) A( s ) k Về lý thuyết, cho phép M > N (ví dụ với khâu vi phân lý tưởng) Các hệ thống thực tế bị ràng buộc M ≤ N ??? 13 EE3000-Tín hiệu hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Phương trình vi phân: Ví dụ Xét PTVP tuyến tính cấp Sử dụng biến đổi Laplace Do dy (t ) dx(t ) + ay (t ) = a dt dt B( s) as = A( s ) s + a - Nến hệ nhân H1 ( s ) = as , s+a Re {s} > − a - Nếu hệ phản nhân H (s) = as , s+a Khâu vi phân thực tế Re {s} < − a Với điều kiện a H1(s) ổn định Với điều kiện a H2(s) ổn định ??? a>0 a − a s+a Đáp ứng xung h(t ) = L−1 {h(t )} = e − at u (t ) Với a > 0, MHT H(s) chứa trục jω, tồn đáp ứng tần số H(jω), có nghĩa lọc thơng thấp ổn định 15 EE3000-Tín hiệu hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Hệ thống bậc hai Xét PTVP tuyến tính cấp d y (t ) dy (t ) + a + by (t ) = x(t ) dt dt Hàm truyền đạt (hệ nhân quả) H (s) = 1 = , Re {s} > max {Re {− r1} , Re {− r2 }} s + as + b ( s + r1 )( s + r2 ) Đáp ứng xung h(t ) = L−1 {h(t )} = k1e− r1t u (t ) + k1e − r2t u (t ) tổng hàm mũ phức Đồ thị đáp ứng xung ??? 16 EE3000-Tín hiệu hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Hệ thống bậc hai Phụ thuộc vào vị trí điểm cực Thực Thuần ảo Phức EE3000-Tín hiệu hệ thống CuuDuongThanCong.com 17 https://fb.com/tailieudientucntt ... dụ Khâu vi phân: tín hiệu đạo hàm theo thời gian tín hiệu vào x(t ) H(s) X ( s) dx(t ) dt Y ( s ) = sX ( s ) y (t ) = H (s) = s Khâu tích phân: tín hiệu tích phân tín hiệu vào x(t ) t H(s)... xung ??? 16 EE3000 -Tín hiệu hệ thống CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Hệ thống bậc hai Phụ thuộc vào vị trí điểm cực Thực Thuần ảo Phức EE3000 -Tín hiệu hệ thống CuuDuongThanCong.com... {s} < s −1 ổn định, nhân EE3000 -Tín hiệu hệ thống CuuDuongThanCong.com Ổn định, không nhân https://fb.com/tailieudientucntt 10 Ghép nối hệ thống 11 EE3000 -Tín hiệu hệ thống CuuDuongThanCong.com