Đang tải... (xem toàn văn)
Bài viết trình bày cách áp dụng phương pháp sai phân hữu hạn để tính ổn định cho cột có độ cứng tiết diện thay đổi theo quy luật bất kỳ với các điều kiện biên khác nhau. Việc giải các phương trình vi phân được thay thế bằng hệ phương trình đại số xác định các thông số tính ổn định cho cột. Từ đó, thiết lập trình tự tính toán bằng phần mềm lập trình Mathcad cho bài toán ổn định cột có độ cứng tiết diện thay đổi theo quy luật bất kỳ.
Tính ổn định cột có độ cứng tiết diện thay đổi phương pháp sai phân hữu hạn Column stability analysis with variation cross section using finite difference method Trần Thị Thúy Vân, Hồng Việt Bách Tóm tắt Bài báo trình bày cách áp dụng phương pháp sai phân hữu hạn để tính ổn định cho cột có độ cứng tiết diện thay đổi theo quy luật với điều kiện biên khác Việc giải phương trình vi phân thay hệ phương trình đại số xác định thơng số tính ổn định cho cột Từ đó, thiết lập trình tự tính tốn phần mềm lập trình Mathcad cho tốn ổn định cột có độ cứng tiết diện thay đổi theo quy luật Từ khóa: Cột có độ cứng tiết diện thay đổi, ổn định cột, phương pháp sai phân hữu hạn, tải trọng tới hạn Abstract This paper presents the application of finite difference method to calculate maximum buckling load of columns with random variation cross section and different boundary conditions Solving of differential equation was replaced by solving of algebraic equations system that determines the parameters to calculate the maximum buckling load of columns Thereof, establishing the calculation procedure by Mathcad programming software for stability problem of column with random variation cross section Keywords: column with variation cross section, stability of column, finite difference method, maximum buckling load TS Trần Thị Thúy Vân Khoa Xây dựng, Trường Đại học Kiến trúc Hà Nội Email: ThS Hoàng Việt Bách Cty TNHH TVTK&XD Đô thị Hà Nội UCDC Email: Đặt vấn đề Trong cơng trình xây dựng dân dụng công nghiệp, cột cấu kiện chịu lực Việc tính tốn khả chịu lực cột phải đảm bảo ba yêu cầu độ bền, độ cứng độ ổn định Có nhiều trường hợp kết cấu thỏa mãn điều kiện bền cứng sử dụng khơng đảm bảo điều kiện ổn định Hình dáng kích thước mặt cắt ngang cột lựa chọn phụ thuộc vào sơ đồ làm việc hình thức tác dụng tải trọng Trong phần lớn kết cấu xây dựng kích thước mặt cắt ngang lựa chọn không đổi đoạn cột Tuy nhiên, số trường hợp yêu cầu kiến trúc đặc trưng tác dụng tải trọng yêu cầu tính kinh tế, người ta sử dụng cột có kích thước mặt cắt ngang thay đổi theo quy luật định Bài tốn ổn định cột có tiết diện thay đổi đề cập tài liệu học cơng trình cho số trường hợp đơn giản như: cột có chiều cao bề rộng thay đổi theo quy luật bậc nhất; cột có độ cứng tiết diện thay đổi theo đoạn định Các đường lối giải toán xây dựng sở phương pháp giải tích cho lời giải xác trường hợp đơn giản Đối với toán phức tạp cột độ cứng tiết diện thay đổi theo quy luật có điều kiện biên việc sử dụng phương pháp giải tích gặp phải khó khăn mặt toán học Hiện nay, phần mềm ứng dụng phương pháp phần tử hữu hạn cho phép tính ổn định cột có độ cứng tiết diện thay đổi, phù hợp độ cứng tiết diện thay đổi theo quy luật đơn giản khó áp dụng độ cứng tiết diện thay đổi theo hàm Với phát triển công nghệ thơng tin cơng cụ lập trình tốn phức tạp giải cách áp dụng phương pháp số Một phương pháp số áp dụng giải tương đối triệt để vấn đề nghiên cứu đặt phương pháp sai phân hữu hạn Bài báo trình bày cách áp dụng phương pháp sai phân hữu hạn việc thiết lập đường lối tính ổn định cột có tiết diện thay đổi theo quy luật Từ đưa thuật tốn giải sử dụng phần mềm lập trình MathCad Thiết lập đường lối tính ổn định cột có độ cứng tiết diện thay đổi phương pháp sai phân hữu hạn 2.1 Phương pháp sai phân hữu hạn tính tốn ổn định cột có tiết diện thay đổi Theo [4] việc áp dụng phương pháp sai phân hữu hạn giải tốn ổn định cột triển khai theo trình tự sau: - Lập phương trình vi phân đường biến dạng hệ trạng thái lệch khỏi trạng thái ban đầu; - Giả thiết chuyển vị số điểm chia hệ trạng thái cân lệch Thay phương trình vi phân phương trình sai phân tương ứng điểm chia nhận hệ phương trình đại số với ẩn chuyển vị yi (là chuyển vị điểm chia thứ i); - Thiết lập phương trình ổn định: Cho định thức hệ phương trình đại số khơng; - Giải phương trình ổn định để tìm lực tới hạn Sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn, chia thành n khoảng số ẩn số yi (n+1) bao gồm y0, y1, , yn, số phương trình sai phân có (n-1) Do đó, để giải toán ta cần bổ sung thêm phương trình điều kiện biên Để tăng độ xác phương pháp ta vận dụng sai phân bậc cao tăng số lượng đoạn chia Xét chịu lực nén dọc trục, có độ cứng thay đổi dọc theo chiều dài theo quy luật Jz(x)=J0.f(x) Thanh đầu liên kết ngàm cứng đầu liên kết ngàm trượt thể hình Sử dụng phương pháp lực để giải toán, loại bỏ liên kết đầu thay S¬ 27 - 2017 23 KHOA HC & CôNG NGHê th bng cỏc phản lực tương ứng R0 M0 Phương trình vi phân đường đàn hồi thời điểm bị ổn định viết dạng sau: EJz y ′′ = -M0 - R0 x - Pth y (1) Chia lưới sai phân với bước sai phân Thay đạo hàm biểu thức biểu thức sai phân hữu hạn điểm chia thứ i, công thức (1) viết lại dạng sau: EJ0 fi ∆ yi h2 = -M0 - R0 xi - Pth yi (2) Biến đổi biểu thức (2), ta có ˜ 0.i + M ˜ = 0, i = 0, 1, 2, , n fiΔ2yi - βyi + R (3) Trong đó: R = Pth M0 R0 β h h = h M= EJ EJ0 EJ0 ; ; Hình Sơ đồ tính ổn định đầu ngàm, đầu ngàm trượt Để tính giá trị lực tới hạn Pth bị ổn định ta cần xác định giá trị tham số β thỏa mãn phương trình (3) Từ đó, giá trị lực tới hạn Pth xác định từ công thức: EJ0 EJ = Pth β = β n2 h2 l • Thanh có liên kết đầu ngàm đầu khớp Trong trường hợp M0=0 định thức (6) bỏ hàng cột cuối (cột có giá trị đơn vị), lúc định thức d(β) có dạng sau: (4) Khai triển với sai phân bậc hai Δ2, phương trình (3) viết sau: ×i +M =0 fi yi-1 + ( -2fi + b ) yi + fi yi+1 +R 0 i = 0,1, 2, ,n d(b) = , (5) Trên sở phương trình (5) thu hệ phương trình đại số ẩn số chuyển vị yi phản lực chưa biết R0 M0 Để hệ phương trình đại số (5) có nghiệm khác khơng (nghiệm khác nghiệm tầm thường), định thức hệ số phương trình phải Lần lượt cho i nhận giá trị từ 0, 1, 2, …n, thu định thức hệ số phương trình cho trường hợp đầu ngàm cứng, đầu ngàm trượt sau: 2f0 -2f1 + β f2 d( β ) = 0 0 f1 -2f2 + β f3 0 f2 0 0 fn-2 -fn-2 + β 0 fn-2 -fn-1 + β 2fn n-2 n -1 n 1 1 1 f1 -2f2 + β f2 0 0 f3 0 fn-2 -2fn-2 + β n-2 fn-2 -2fn-1 + β 2fn 0 n -1 n (7) • Thanh có liên kết hai đầu khớp Lúc phản lực M0 R0 Trong định thức bỏ hàng hàng cuối cột cuối Định thức d(β) có dạng sau: d(b) = -2f1 + β f2 f1 -2f2 + β f3 f2 0 0 fn-2 -2fn-2 + β fn-2 -2fn-1 + β (8) • Thanh có liên kết đầu ngàm, đầu tự (6) Khi xây dựng hệ phương trình (5) sử dụng điểm biên y-1 yn+1 kể tới điều kiện biên y0=yn=0, y’0=y’n=0 Hai điều kiện cuối phương trình y-1=y1, yn+1 = yn-1 Các dấu chấm định thức thể thành phần trùng lặp theo đường chéo fi -2fi+β fi số không bên trái bên phải đường chéo Khai triển định thức ta thu đa thức bậc (n-1) tham số β Từ việc tìm giá trị nhỏ nghiệm phương trình dạng đa thức xác định giá trị lực tới hạn (theo công thức (4), giá trị lực hệ bắt đầu ổn định Trường hợp định thức d(β) bỏ hàng cột ngồi cùng, hai hàng cuối thay hàng sau: fn-1 -2fn-1 + β 0 fn-1 -2fn + β 2fn Như vậy, với đầu ngàm đầu tự định thức d(β) có dạng sau: d(b) = Thực tương tự với điều kiện liên kết khác định thức (6) có số thay đổi, cụ thể là: 24 -2f1 + β f2 TP CH KHOA HC KIƯN TRC - XY DẳNG f1 -2f2 + β f3 f2 0 0 fn-2 -2fn-2 + β fn-1 fn-2 -2fn-1 + β 2fn n-2 fn-1 -2fn + β (9) Hình Sơ đồ tính tốn ổn định kích thước cột Bước 5: Giải phương trình ổn định chứa tham số β: |d(β)| =0 Bước 6: Xác định giá trị lực tới hạn hệ bị ổn định: EJ0 EJ = Pth β = β n2 D2 l b) Sơ đồ khối toán Trên sở trình tự giải tốn, thiết lập sơ đồ khối hình Ví dụ tính tốn Sử dụng chương trình tính ổn định cột có tiết diện thay đổi phương pháp sai phân hữu hạn thiết lập trên, tác giả thực việc tính lực tới hạn cho cột có tiết diện thay Hình Sơ đồ khối phương pháp sai phân hữu hạn đổi theo quy luật với điều kiện biên khác (đầu ngàm đầu khớp, đầu khớp, đầu ngàm đầu tự do), triển khai cụ thể 2.2 Thiết lập trình tự giải tốn sơ đồ khối [1] Trong giới hạn báo tác giả trình bày kết tính tốn cho ví dụ cụ thể: Trên sở phương pháp giải tốn ổn định cột có Tính ổn định cho cột đầu ngàm đầu khớp, có chiều dài tiết diện thay đổi trình bày mục 2.1, tác giả viết l=6m, môđun đàn hồi vật liệu E=2.108KPa; độ cứng tiết diện chương trình tính ổn định cột có tiết diện thay đổi phần ban đầu I0=0.85m4, hàm số thể thay đổi độ cứng tiết mềm lập trình MathCad [1] Sơ đồ khối thuật toán giải diện ⋅ z ⋅ (l - z) trình bày chi tiết sau: f(x) = l2 a) Trình tự giải tốn Thực giải toán phương pháp sai phân hữu Bước 1: Khai báo thông số ban đầu chia lưới sai hạn với bước sai phân khác [1] kiểm nghiệm phân: Chiều dài cột: l (m); số đoạn chia: n; lưới sai phân: phương pháp Bubnov-Galerkin [2] ta thu giá trị tải Δ=l/n; Thông số vật liệu: Môđun đàn hồi vật liệu E; độ cứng trọng tới hạn bảng tiết diện ban đầu I0 ; Hàm số thể thay đổi độ cứng Các kết tính tốn thể bảng cho thấy giá tiết diện f(x): EI(x)=EI0.f(x) trị tải trọng tới hạn tính theo phương pháp có sai khác Bước 2: Vẽ đồ thị hàm số thể thay đổi độ cứng không đáng kể Tuy nhiên, sử dụng phương pháp tác giả tiết diện đề xuất đơn giản hiệu trường hợp tiết diện Bước 3: Thiết lập ma trận hệ số phương trình đường cột thay đổi theo hàm số Bước sai phân nhỏ đàn hồi [Qii] kết xác so với phương pháp giải tích phương pháp phổ biến khác Bước 4: Thiết lập ma trận chứa tham số β: [d(β)] Bảng Giá trị tải trọng tới hạn theo phương pháp Giá trị Pth, kN ∆, % Phương pháp Bubnov-Galerkin 3.778x10 Phương pháp sai phân hữu hạn N=4 3.862x10 2.176% N=8 3.822x10 1.15% N=16 3.788x10 0.264% N=20 N=30 3.784x10 0.16% 3.778x104 0% Sơ 27 - 2017 25 KHOA HC & CôNG NGHê Kết luận Tài liệu tham khảo Phương pháp sai phân hữu hạn áp dụng để tính ổn định cột có tiết diện thay đổi cho phép thực với hàm số thay đổi tiết diện theo quy luật mà không gặp trở ngại mặt tốn học áp dụng phần mềm lập trình Mathcad để giải tốn Trên sở lý thuyết trình bày, tác giả thiết lập trình tự giải tốn ổn định cột có tiết diện thay đổi phần mềm lập trình Mathcad, nội dung báo trình bày kết ví dụ cụ thể để kiểm nghiệm phương pháp tính / Hồng Việt Bách, Nghiên cứu tính tốn ổn định cột có tiết diện thay đổi phương pháp sai phân hữu hạn, Luận văn thạc sĩ kỹ thuật, Trường đại học kiến trúc Hà nội, 2016 Lều Thọ Trình, Ổn định cơng trình, NXB khoa học kỹ thuật, Hà Nội, 2008 Nguyễn Mạnh Yên, Phương pháp số học kết cấu, NXB khoa học kỹ thuật, Hà Nội, 2000 В.Н Иванов, Основы численных методов расчета конструкций, Москва, 2007 А.В Александров, В.Д Потапов, Б.П Державин, Сопротивление материалов, Москва «высшая школа», 2003 Postbuckling behavior of functionally graded sandwich (tiếp theo trang 22) Fig gives the postbuckling behavior of FGM SSSSs with various values of non-dimensional foundation stiffness K1, K2 It is obvious that elastic foundations have very beneficial influences on the load carrying capability of FGM SSSSs under uniform external pressure On the one hand, the extreme-type buckling pressures and load-deflection curves are considerably enhanced as the stiffness parameters of foundations, especially Pasternak type foundations, are increased On the other hand, the severity of snap-through instability is decreased, that is, the difference between upper and lower point pressures is reduced because of the presence of elastic foundations Concluding remarks The postbuckling behavior of sandwich shallow spherical shells (SSSS) constructed from two functionally graded material (FGM) face sheets and thicker metal core layer, rested on elastic foundations and subjected to uniform external pressure has been investigated Governing equations are based on the first order shear deformation shell theory taking geometrical nonlinearity and Pasternak type foundation interaction into consideration Approximate analytical solutions are assumed to satisfy immovably clamped boundary condition and Galerkin procedure is applied to derive explicit expression of nonlinear loaddeflection relation from which the nonlinear stability of FGM SSSSs is analyzed The results show that pressure-loaded FGM SSSS exhibit an extreme type buckling response and an unstable postbuckling behavior with a relatively intense snap-through phenomenon The study also reveals that increase in the volume fraction index, thickness of face sheets and the rise of spherical shell lead to an increase in buckling loads, load-deflection curves and severity of snapthrough instability In addition, the load carrying capacity is enhanced and the postbuckling behavior of pressure-loaded FGM SSSSs is more stable due to the support of elastic foundations, especially Pasternak type elastic foundations./ Tài liệu tham khảo T Hause, L Librescu, and C Carmarda, Postbuckling of anisotropic flat and doubly-curved sandwich panels under complex loading conditions, Int J Solids Struct., Vol 35, 30073027, 1998 L Librescu and T Hause, Recent developments in the modeling and behavior of advanced sandwich constructions: a survey, Compos Struct., Vol 48, 1-17, 2000 A.M Zenkour, A comprehensive analysis of functionally graded sandwich plates: part 2-buckling and free vibration, Int J Solids Struct., Vol 42, 5243-5258, 2005 A.M Zenkour and M Sobhy, Thermal buckling of various types of FGM sandwich plates, Compos Struct., Vol 93, 93-102, 2010 H.S Shen and S.R Li, Postbuckling of sandwich plates with 26 T„P CHŠ KHOA H“C KI¦N TR”C - XŸY D¼NG FGM face sheets and temperature-dependent properties, Compos Part B-Eng., Vol 39, 332-344, 2008 H.V Tung, Thermal and thermomechanical postbuckling of FGM sandwich plates resting on elastic foundations with tangential edge constraints and temperature dependent properties, Compos Struct., Vol 131, 1028-1039, 2015 H.V Tung, Nonlinear thermomechanical stability of shear deformable FGM shallow spherical shells resting on elastic foundations with temperature dependent properties, Compos Struct., 114, 107-116, 2014 H.V Tung, Nonlinear axisymmetric response of FGM shallow spherical shells with tangential edge constraints and resting on elastic foundations, Compos Struct., Vol 149, 231-238, 2016 M Sathyamoorthy, Vibrations of moderately thick shallow spherical shells at large amplitudes, J Sound Vib., Vol 13, 157-170, 1978 ... hình Ví dụ tính tốn Sử dụng chương trình tính ổn định cột có tiết diện thay đổi phương pháp sai phân hữu hạn thiết lập trên, tác giả thực việc tính lực tới hạn cho cột có tiết diện thay Hình Sơ... E=2.108KPa; độ cứng tiết diện chương trình tính ổn định cột có tiết diện thay đổi phần ban đầu I0=0.85m4, hàm số thể thay đổi độ cứng tiết mềm lập trình MathCad [1] Sơ đồ khối thuật tốn giải diện ⋅... CôNG NGHê Kt luận Tài liệu tham khảo Phương pháp sai phân hữu hạn áp dụng để tính ổn định cột có tiết diện thay đổi cho phép thực với hàm số thay đổi tiết diện theo quy luật mà khơng gặp trở ngại