Đang tải... (xem toàn văn)
Bài viết giới thiệu cách giải bài toán dầm có điều kiện biên bất kỳ bằng phương pháp sai phân hữu hạn với việc sử dụng các hàm xấp xỉ trong phần mềm lập trình MathCad. Sử dụng hàm xấp xỉ của phần mềm Mathcad cho phép giảm đáng kể số lượng lưới sai phân mà vẫn đạt được kết quả chính xác tương đối theo yêu cầu.
Sử dụng hàm xấp xỉ phần mềm MathCad tính tốn nội lực chuyển vị dầm phương pháp sai phân hữu hạn Apply approximate functions of MathCad software for determining internal forces and displacement of beams using finite difference method Hồng Thị Linh Qun Tóm tắt Bài báo giới thiệu cách giải tốn dầm có điều kiện biên phương pháp sai phân hữu hạn với việc sử dụng hàm xấp xỉ phần mềm lập trình MathCad Sử dụng hàm xấp xỉ phần mềm Mathcad cho phép giảm đáng kể số lượng lưới sai phân mà đạt kết xác tương đối theo u cầu Từ khóa: phương pháp sai phân hữu hạn, dầm, hàm xấp xỉ MathCad Abstract This paper presents an approach to solve problem of beams with any constraints using finite difference method with the applying of approximate functions in the MathCad programming software Using the approximate functions of MathCad software gives a significant reduction of mesh number in the achieving of relative accuracy results Key words: finite difference method, beam, approximate functions in MathCad Đặt vấn đề Dầm cấu kiện chịu lực rộng rãi kết cấu cơng trình Trong lí thuyết tính tốn, nội lực chuyển vị dầm xác định sở phương pháp giải tích cho lời giải xác, áp dụng trường hợp đơn giản Đối với toán dầm với điều kiện biên chịu lực phức tạp việc áp dụng phương pháp giải tích gặp phải khó khăn mặt tốn học Cùng với phát triển công nghệ thông tin cơng cụ lập trình tốn phức tạp giải cách áp dụng phương pháp số Một phương pháp số phổ biến phát triển phương pháp sai phân hữu hạn Phương pháp sai phân hữu hạn phương pháp số gần để giải phương trình vi phân phương trình đạo hàm riêng sở thay đạo hàm phương trình vi phân điều kiện biên hiệu giá trị hàm tương ứng khoảng chia hữu hạn Áp dụng phương pháp sai phân hữu hạn đưa việc giải hệ phương trình vi phân việc giải hệ phương trình đại số Tuy nhiên, sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn cho phép xác định giá trị hàm điểm nút, giá trị nội lực chuyển vị tải điểm lại xác định cách nội suy Để đơn giản hóa việc xây dựng lời giải người ta giả thiết giá trị đại lượng cần tìm khoảng chia thay đổi theo quy luật tuyến tính, điều dẫn tới sai số lớn tính tốn nội lực chuyển vị dầm đại lượng cần tìm tốn dầm có mối liên hệ vi phân bậc 2, bậc 3, bậc Vì để kết toán giải theo phương pháp sai phân hữu hạn xác thường phải chia lưới sai phân nhỏ, dẫn tới khối lượng tính tốn lớn Đây điểm yếu phương pháp sai phân hữu hạn Ngày nay, với phát triển công nghệ thơng tin, phần mềm ứng dụng có hàm tính nội suy bậc cao cho phép giải tốn với độ xác cao mà khơng cần phải chia nhỏ lưới sai phân phương pháp sai phân hữu hạn Nội dung báo trình bày cụ thể việc sử dụng hàm nội suy phần mềm lập trình MathCad phương pháp sai phân hữu hạn để tính tốn nội lực chuyển vị cho dầm Phương pháp sai phân hữu hạn tính tốn nội lực chuyển vị dầm 2.1 Phương pháp sai phân hữu hạn cho hàm biến Xét hàm biến y(x) liên tục miền xác định Gọi ∆x bước sai phân Ta có giá trị hàm điểm chia thứ n yn Trên hình thể đồ thị biểu diễn hàm tính theo phương pháp sai phân hữu hạn Đạo hàm phương trình biểu thị sai phân hàm sau ThS Hồng Thị Linh Qun Bộ mơn Sức bền vật liệu – Cơ học kết cấu, Khoa Xây dựng Email: hoanglinhquyen@gmail.com Điện thoại: 084.974688919 Ngày nhận bài: 29/5/2017 Ngày sửa bài: 10/6/2017 Ngày duyệt đăng: 05/10/2018 • Đạo hàm cấp 1: ∆y yn+1 − yn−1 dy ≈ n = dx n ∆x 2∆x (1) • Đạo hàm cấp 2: ( y − 2yn + yn−2 ) d2 y ≈ n+ 2 dx n ( ∆x ) (2) o hm cp 4: Sơ 32 - 2018 33 KHOA HC & CôNG NGHê yn d4 y ≈ dx n ( ∆x )4 = yn+ − 4yn+1 + 6yn − 4yn−1 + yn−2 ( ∆x ) (3) 2.2 Hệ phương trình sai phân tính nội lực chuyển vị dầm Xét dầm chịu tải trọng hình 2, theo lý thuyết tính tốn sức bền vật liệu ta có mối liên hệ vi phân đại lượng độ võng, mômen uốn, lực cắt tải trọng phân bố sau: d 2M =q dx Hình Đồ thị biểu diễn hàm theo phương pháp sai phân hữu hạn (4) d y M = dx EI x (5) d y q = dx EI x (6) Hình Sơ đồ tải trọng chuyển vị dầm Trong M: mơmen uốn có chiều dương căng thớ ; Hình Đồ thị minh họa hàm nội suy tuyến tính Hình Đồ thị minh họa nội suy lập phương dùng véctơ hệ số cspline Hình Đồ thị minh họa nội suy lập phương dùng véc tơ hệ số pspline Hình Đồ thị minh họa nội suy lập phương dùng véc tơ hệ số lspline 34 TP CH KHOA HC KIƯN TRC - XY DẳNG lng tính tốn phức tạp Trong phần mềm MathCad có hàm nội suy cho phép xấp xỉ hóa tập hợp giá trị rời rạc (x, y) dùng hàm cho phép xác định đại lượng nội lực chuyển vị dầm phương pháp sai phân hữu hạn 3.1 Các hàm xấp xỉ nội suy 3.1.1 Hàm nội suy tuyến tính Hình Dầm đầu ngàm q: cường độ tải trọng phân bố, chiều dương hướng từ lên ; y(x): chuyển vị dầm; EIx: độ cứng chống uốn Áp dụng phương pháp sai phân hữu hạn ta có phương trình đại số xác định mô men uốn chuyển vị dầm sau: Mn−1 − 2Mn + Mn+1 = ∆ x qn Để thiết lập hàm nội suy tuyến tính người ta dùng hàm linterp(x, y, t) – hàm xấp xỉ véctơ x y theo quan hệ tuyến tính đoạn, : x – véctơ biến số, phần tử xếp theo thứ tự tăng dần; y – véctơ giá trị tương ứng; (7) t – giá trị biến số mà điểm cần thực phép nội suy ∆ x Mn yn−1 − 2yn + yn+1 = EIx Hàm nội suy tuyến tính hàm nội suy đơn giản nhất, tập hợp quan hệ cần tìm A{X} biểu diễn theo đường gấp khúc Hàm nội suy A{X} gồm đoạn thẳng nối điểm chia thể hình 3.1.2 Hàm nội suy lập phương (8) ∆ x qn yn−2 − 4yn−1 + 6yn − 4yn+1 + yn+ = EIx (9) Hàm xấp xỉ nội suy MathCad tính toán nội lực chuyển vị dầm MathCad phần mềm lập trình tốn học tương đối phổ biến sử dụng rộng rãi lĩnh vực liên quan tới phương pháp tính Đây phần mềm toán học đơn giản giúp giải hiệu tốn có khối Trong thực tế cần phải nối điểm với thường nối đường thẳng gấp khúc mà người ta hay nối đường cong mịn để tăng độ xác Để làm điều người ta thường dùng đường nội suy spline bậc 3, tức đoạn nối với đường cong bậc Sử dụng hàm interp(s, x, y, t) – hàm xấp xỉ véctơ x y spline lập phương thể hình , ngồi véc tơ x,y,t giống hàm nội suy tuyến tính bổ sung thêm véc tơ sau: s – véctơ đạo hàm bậc 2, suy từ hàm cspline, pspline lspline; Hình Đồ thị so sánh kết tính nội lực chuyển vị phương pháp sai phân hữu hạn hàm nội suy lập phương với véc tơ hệ số cspline lập phương S¬ 32 - 2018 35 KHOA HC & CôNG NGHê Hỡnh th so sỏnh kết tính nội lực chuyển vị phương pháp sai phân hữu hạn hàm nội suy lập phương với véc tơ hệ số pspline lập phương lspline(x, y) – véctơ giá trị hệ số spline tuyến tính; pspline(x, y) – véctơ giá trị hệ số spline bình phương; Nghiệm giải tích tốn viết dạng sau: q ql q ⋅l2 V (z) = z4 + z3 − − ⋅ z2 24 EI x 12 EI x 24 EI x ; cspline(x, y) – véctơ giá trị hệ số spline lập phương; x, y – véc tơ liệu đầu vào 3.2 Sử dụng hàm xấp xỉ nội suy toán dầm q EI x Khi sử dụng hàm xấp xỉ phần mềm ứng dụng MathCad cho phép giải tốn tính nội lực chuyển vị dầm có điều kiện biên chịu tải trọng Để minh họa việc triển khai thao tác lập trình MathCad ta xét tốn dầm liên kết đầu ngàm chịu uốn tác dụng tải trọng phân bố q thể hình Bảng So sánh giá trị nội lực chuyển vị lớn dầm theo phương pháp giải tích phương pháp sai phân hữu hạn Đại lượng Tính theo phương Tính theo Sai số (%) pháp SPHH phương với bước sai phân Δ pháp giải tích Δ=0.06m l M xmax = M 2 22.5 kNm 22.44 0.27 Qymax = Q ( ) 45 kN 44.1 ϕmax l =ϕ 2 l Vmax = V 2 36 0.024 rad 0.023 5.6 7.604x103 m 7.026x103 7.6 ϕ (z) = − z3 + ql q ⋅ l z − ⋅z EI x 12 EI x ; q ql q ⋅l2 M x (z) = − z2 + z − 2 12 ; Bảng Sai số hàm độ võng, góc xoay, mơ men uốn lực cắt tính theo phương pháp sai phân hữu hạn sử dụng hàm nội suy khác phương pháp giải tích Sai số hàm mơmen, lực cắt, góc xoay chuyển vị phương pháp sai phân hữu hạn có sử dụng hàm nội suy có véc tơ khác Đại lượng phương pháp giải tích Véc tơ hệ số cspline Véc tơ hệ số pspline Véc tơ hệ số lspline ∆M 0.21% 0.85% 4.5% ∆Q 0.26% 1.2% 4.6% ∆ϕ 0.28% 3.2% 5.4% ∆V 0.5 % 4.1% 6.2% TP CH KHOA HC KIƯN TRC - XY DẳNG Hỡnh 10 Đồ thị so sánh kết tính nội lực chuyển vị phương pháp giải tích phương pháp sai phân hữu hạn có sử dụng hàm nội suy lập phương với véc tơ hệ số lspline lập phương Qy (z) = −qz + ql (10) Từ công thức (10) thấy chuyển vị đường cong bậc 4, góc xoay tiết diện biểu thị đường cong bậc 3, mômen uốn đường cong bậc 2, lực cắt đường bậc Điều có nghĩa giải tốn phương pháp sai phân hữu hạn hàm xấp xỉ lực cắt điểm chia đoạn chọn hàm bậc nhất, hàm xấp xỉ mômen chọn hàm bậc 2, tương tự hàm góc xoay tiết diện bậc 3, để xấp xỉ hàm chuyển vị điểm chia cần phải dùng hàm bậc Như vậy, giả thiết phân bố bậc hàm chuyển vị, góc xoay, mô men uốn lực cắt điểm chia đoạn phương pháp sai phân hữu hạn dẫn đến sai số tương đối lớn Vì vậy, ta dùng hàm nội suy nêu để áp dụng vào tốn Ví dụ tính tốn Trong phạm vi báo, tác giả thực ví dụ dầm liên kết đầu ngàm có chiều dài l=6m hình 7, làm từ thép với mơđun đàn hồi E=2.15x108 KPa có mặt cắt ngang hình chữ nhật có kích thước bxh=0.22x0.45 m, chịu tải trọng q=15kN/m phân bố Dưới kết tính tốn nội lực chuyển vị phương pháp sai phân hữu hạn có sử dụng hàm nội suy khác nhau: Các giá trị lớn độ võng, góc xoay, mơmen uốn lực cắt theo cơng thức giải tích (10) thể bảng Sai số hàm độ võng, góc xoay, mơ men uốn lực cắt tương ứng tính theo cơng thức giải tích (10) tính theo phương pháp sai phân hữu hạn khoảng l=6m với bước sai phân thể bảng Khi áp dụng hàm xấp xỉ nội suy khác ta thu đồ thị hình 8, hình 9, hình 10 Bảng thể sai số hàm độ võng, góc xoay, mơmen uốn lực cắt tương ứng tính theo phương pháp giải tích xác định cơng thức (10) tính theo phương pháp sai phân hữu hạn hạn khoảng l=6m với bước sai phân Δx=0.5m có sử dụng hàm xấp xỉ nội suy lập phương với véc tơ hệ số khác Kết luận Sử dụng hàm xấp xỉ nội suy tính tốn nội lực chuyển vị dầm phương pháp sai phân hữu hạn cho phép giảm đáng kể khối lượng tính tốn Việc lựa chọn sử dụng véctơ hệ số ảnh hưởng rõ rệt tới độ xác kết tính tốn./ T¿i lièu tham khÀo Võ Như Cầu (2005), Tính kết cấu theo phương pháp phần tử hữu hạn Nhà xuất Xây dựng Nguyễn Mạnh Yên, Phương pháp số học kết cấu, NXB khoa học kỹ thuật, Hà Nội, 2000 Nguyễn Tiến Cường (dịch sách giáo sư, phó tiến sĩ KHKT T.Karaminxki), Phương pháp số học kết cấu, NXB Khoa Học Kỹ Thuật, Hà Nội, 1985 Макаров Е.Г., Инженерные расчеты в MathCad: Учеб Курс СПБ, 2005 Бакушев С.В., Расчёт конструкций методом конечных разностей с использованием аппроксимирующих функций MathCad 2015 S¬ 32 - 2018 37 ... pháp sai phân hữu hạn hạn khoảng l=6m với bước sai phân Δx=0.5m có sử dụng hàm xấp xỉ nội suy lập phương với véc tơ hệ số khác Kết luận Sử dụng hàm xấp xỉ nội suy tính tốn nội lực chuyển vị dầm. .. Bảng Sai số hàm độ võng, góc xoay, mơ men uốn lực cắt tính theo phương pháp sai phân hữu hạn sử dụng hàm nội suy khác phương pháp giải tích Sai số hàm mơmen, lực cắt, góc xoay chuyển vị phương pháp. .. x, y – véc tơ liệu đầu vào 3.2 Sử dụng hàm xấp xỉ nội suy toán dầm q EI x Khi sử dụng hàm xấp xỉ phần mềm ứng dụng MathCad cho phép giải tốn tính nội lực chuyển vị dầm có điều kiện biên chịu tải