SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2015 - 2016 Mơn thi: TỐN (Chun) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề (Đề thi gồm: 01 trang) Câu I (2,0 điểm) 1) Cho a  b  29  12  Tính giá trị biểu thức: A  a (a  1)  b2 (b  1)  11ab  2015 2) Cho x, y hai số thực thỏa mãn xy  (1  x )(1  y )  Chứng minh x  y  y  x  Câu II (2,0 điểm) 1) Giải phương trình x   x2  x   x   x  2  2 x  y  xy  x  y   y  x    3x 2) Giải hệ phương trình   x  y 1  4x  y   x  y  Câu III (2,0 điểm) 1) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn x4  x2  y  y  20  2) Tìm số nguyên k để k  8k  23k  26k  10 số phương Câu IV (3,0 điểm) Cho đường tròn (O; R) dây BC cố định không qua tâm Trên tia đối tia BC lấy điểm A (A khác B) Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM AN với đường tròn (O) (M N tiếp điểm) Gọi I trung điểm BC 1) Chứng minh A, O, M, N, I thuộc đường tròn IA tia phân giác góc MIN 1 2) Gọi K giao điểm MN BC Chứng minh   AK AB AC 3) Đường thẳng qua M vng góc với đường thẳng ON cắt (O) điểm thứ hai P Xác định vị trí điểm A tia đối tia BC để AMPN hình bình hành Câu V (1,0 điểm) Cho a, b số dương thỏa mãn điều kiện (a  b)3  4ab  12 1 Chứng minh bất đẳng thức   2015ab  2016 1 a 1 b -Hết Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt Câu I (2,0 điểm) 1) Cho a  b  29  12  Tính giá trị biểu thức: A  a (a  1)  b2 (b  1)  11ab  2015 a  b  29  12   3   2 3 A  a  b3  a  b  11ab  2015  (a  b)(a  b  ab)  a  b  11ab  2015  3(a  b  ab)  a  b  11ab  2015  4(a  2ab  b )  2015  4(a  b)  2015  2051 2) Cho x, y hai số thực thỏa mãn xy  (1  x )(1  y )  Chứng minh x  y  y  x  xy  (1  x )(1  y )   (1  x) (1  y )   xy  (1  x )(1  y )  (1  xy )   x  y  x y   xy  x y  x  y  xy   ( x  y )   y   x  x  y  y  x2  x  x2  x  x2  Câu II (2,0 điểm) 1) Giải phương trình x   x2  x   x   x  1 Pt  x   ( x  2)(4 x  1)  x   x  ĐK: x   t 9 Đặt t  x  ( x  2)(4 x  1)   x  ( x  2)(4 x  1)  PTTT t  4t    t  t = TH1 t = giải vô nghiệm kết hợp với ĐK t  bị loại TH t   x   x   Giải pt tìm x   (TM) Vậy pt có nghiệm x   2  2 x  y  xy  x  y   y  x    3x 2) Giải hệ phương trình   x  y 1  4x  y   x  y  ĐK: y  2x   0, x  y   0, x  y   0, x  0   y  2x 1  x   TH  (Không TM hệ)   1  10  3  3x  y 1  TH x  1, y  Đưa pt thứ dạng tích ta x y2 ( x  y  2)(2 x  y  1)  y  x    3x Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt   ( x  y  2)   y  x  1  Do y  x    y  x    3x   y  2x 1   x  y   nên y  x    3x Thay y   x vào pt thứ ta x2  x   3x    x  x  x   3x      x 3x  2 x  ( x  2)( x  1)   3x     x    ( x  2)   1  x   3x     x  Do x  nên  1 x  3x     x Vậy x    x  2  y  (TMĐK) Câu III (2,0 điểm) 1) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn x4  x2  y  y  20  (1) Ta có (1)  x4  x  20  y  y Ta thấy x4  x2  x4  x2  20  x4  x2  20  8x2  x2 ( x2  1)  y( y  1)  ( x2  4)( x2  5) Vì x, y ∈ nên ta xét trường hợp sau + TH1 y( y  1)  ( x  1)( x  2)  x  x  20  x  3x   x2  18  x2   x  3 Với x  , ta có y  y  92   20  y  y  110   y  10; y  11(t.m) + TH2 y( y  1)  ( x  2)( x  3)  x  x  20  x  5x   x  14  x  (loại) + TH3 y( y  1)  ( x  3)( x  4)  x   x  (loại) 2 2 + TH4 y( y  1)  ( x  4)( x  5)  8x   x   x  Với x  , ta có y  y  20  y  y  20   y  5; y  Vậy PT cho có nghiệm nguyên (x;y) : (3;10), (3;-11), (-3; 10), (-3;-11), (0; -5), (0;4) 2) Tìm số nguyên k để k  8k  23k  26k  10 số phương Đặt M  k  8k  23k  26k  10 Ta có M  (k  2k  1)  8k (k  2k  1)  9k  18k   (k  1)2  8k (k  1)2  9(k  1)2  (k  1)2 (k  3)  1 M số phương (k  1)2  (k  3)2  số phương TH (k  1)2   k  Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt TH (k  3)2  số phương, đặt (k  3)2   m2 (m  )  m2  (k  3)2   (m  k  3)(m  k  3)  Vì m, k   m  k   , m  k   nên m  k   m  k   1  m  1, k    k 3  m  k   m  k   1  m  1, k  Vậy k = k = k  8k  23k  26k  10 số phương Câu IV (3,0 điểm) Cho đường tròn (O; R) dây BC cố định khơng qua tâm Trên tia đối tia BC lấy điểm A (A khác B) Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM AN với đường tròn (O) (M N tiếp điểm) Gọi I trung điểm BC 1) Chứng minh A, O, M, N, I thuộc đường tròn IA tia phân giác góc MIN Theo giả thiết AMO = ANO = AIO = 90o = > điểm A, O, M, N, I thuộc đường tròn đường kính AO 0,25 => AIN = AMN, AIM = ANM (Góc nội tiếp chắn cung) AM = AN => ∆AMN cân A => AMN = ANM => AIN = AIM => đpcm 1 2) Gọi K giao điểm MN BC Chứng minh   AK AB AC 1    AB AC  AK ( AB  AC )  AB AC  AK AI AK AB AC (Do AB+ AC = 2AI) ∆ABN đồng dạng với ∆ANC => AB.AC = AN2 ∆AHK đồng dạng với ∆AIO => AK.AI = AH.AO Tam giác ∆AMO vng M có đường cao MH => AH.AO = AM2 => AK.AI = AM2 Do AN = AM => AB.AC = AK.AI 3) Đường thẳng qua M vng góc với đường thẳng ON cắt (O) điểm thứ hai P Xác định vị trí điểm A tia đối tia BC để AMPN hình bình hành Ta có AN  NO, MP  NO, M  AN => AN // MP Do AMPN hình bình hành  AN = MP = 2x AN NO 2x2   NE  Tam giác ∆ANO đồng dạng với ∆NEM => NE EM R 2x  R  R2  x2  2x2  R2  R R2  x2 TH 1.NE = NO – OE => R Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt Đặt R2  x2  t , t   x2  R2  t  2t   R PTTT 2( R  t )  R  R t  2t  Rt  R    t  R Do t   t  R  R2  x  R  x   A  B (loại) 2x2 TH NE = NO + OE =>  R  R2  x2  2x2  R2  R R2  x2 R Đặt R2  x2  t , t   x2  R2  t  2t  R PTTT 2( R  t )  R  Rt  2t  Rt  R    t   R R Do t   2t  R  R  x  R  x   AO  2R (loại) Vậy A thuộc BC, cách O đoạn 2R AMPN hbh Câu V (1,0 điểm) Cho a, b số dương thỏa mãn điều kiện (a  b)3  4ab  12 1 Chứng minh bất đẳng thức   2015ab  2016 1 a 1 b  Ta có 12  (a  b)3  4ab  ab   4ab Đặt t  ab , t  12  8t  4t  2t  t    (t  1)(2t  3t  3)  Do 2t  3t   0, t nên t 1   t  Vậy  ab  1 Chứng minh   , a, b  thỏa mãn ab  1  a  b  ab 1 1 Thật vậy, BĐT    0  a  ab  b  ab  b  a  a ab  a ab  b b          (1  a)(1  ab ) (1  b)(1  ab )   ab   a  b  ( b  a )2 ( ab  1)   Do  ab  nên BĐT (1  ab )(1  a)(1  b) Tiếp theo ta CM  2015ab  2016, a, b  thỏa mãn ab  1  ab Đặt t  ab ,0  t  t ta  2015t  2016 1 t 2015t  2015t  2016t  2014   (t  1)(2015t  4030t  2014)  BĐT t :  t  1 Vậy   2015ab  2016 Đẳng thức xảy a = b = 1 a 1 b Website chuyên cung cấp đề thi file word có lời giải www.dethithpt.com SĐT : 0982.563.365 Facebook : https://facebook.com/dethithpt ...  2015ab  2016, a, b  thỏa mãn ab  1  ab Đặt t  ab ,0  t  t ta  2015t  2016 1 t 2015t  2015t  2016t  2014   (t  1)(2015t  4030t  2014)  BĐT t :  t  1 Vậy   2015ab  2016. ..  11ab  2015 a  b  29  12   3   2 3 A  a  b3  a  b  11ab  2015  (a  b)(a  b  ab)  a  b  11ab  2015  3(a  b  ab)  a  b  11ab  2015  4(a  2ab  b )  2015  4(a... có nghiệm nguyên (x;y) : (3 ;10) , (3;-11), (-3; 10) , (-3;-11), (0; -5), (0;4) 2) Tìm số nguyên k để k  8k  23k  26k  10 số phương Đặt M  k  8k  23k  26k  10 Ta có M  (k  2k  1)  8k