SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN HÙNG VƯƠNG NĂM HỌC 2015-2016 Mơn Tốn (Dành cho thí sinh thi vào chuyên Toán) Thời gian àm bài: 150 hút, khơng kể thời gian giao đề Đề thi có 01 trang ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (1,5 điểm) a) Chứng minh số nguyên n n thoả mãn n2  n2  16 số nguyên tố n chia hết cho b) Tìm nghiệm nguyên hương trình: x2  y( x  y)  2( x  1) Câu (2,0 điểm) a) Rút gọn biểu thức: A   3  2  3   3  2  3 b) Tìm m để hương trình:  x  2 x  3 x   x  5  m có nghiệm hân biệt Câu (2,0 điểm) a) Giải hương trình: x  x   x  1  x   x3  xy  10 y   b) Giải hệ hương trình:  x  y  10   Câu (3,5 điểm) Cho đường tròn (O; R) dây cung BC  R cố định Điểm A i đ ng cung n BC cho tam gi c ABC nhọn Gọi E điểm đối ứng đối ứng i B qua AC F điểm i C qua AB C c đường tròn ngoại tiế c c tam gi c ABE ACF cắt K (K không tr ng A) Gọi H giao điểm BE CF a) Chứng minh KA hân gi c góc BKC tứ gi c BHCK n i tiế b) c định ị trí điểm A để iện tích tứ gi c BHCK n nh t, tính iện tích n nh t tứ gi c theo R c) Chứng minh AK uôn qua m t điểm cố định Câu (1,0 điểm) Cho số thực ương x, y, z thỏa mãn: 1    Tìm gi trị nhỏ nh t x2 y z biểu thức: P y2 z2 z x2 x2 y   x  y  z  y  z  x2  z  x2  y  HẾT Họ tên thí sinh: anh: Thí sinh khơng sử ụng tài liệu C n ộ c i thi không giải thích thêm SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀOTẠO PHÚ THỌ ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN HÙNG VƯƠNG NĂM HỌC 2015-2016 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN: TỐN (Dành cho thí sinh thi vào chuyên Toán) (Hướng ẫn ch m gồm 05 trang) I Một số ý chấm  ng n ch m thi i ựa ời giải sơ c m t c ch, ch m thi, c n b ch m thi cần b m s t yêu cầu trình bày ời giải đầy đủ, chi tiết, h ơ-gic chia nhỏ đến 0,25 điểm  Thí sinh àm th o c ch kh c i ng n mà t ch m cần thống nh t cho điểm tương ứng i thang điểm ng n ch m  Điểm thi t ng điểm c c câu khơng àm tròn số II Đ -tha g điểm Câu (1,5 điểm) a) Chứng minh số nguyên n n thoả mãn n2  n2  16 c c số nguyên tố n chia hết cho b) Tìm nghiệm nguyên hương trình: x2  y( x  y)  2( x  1) Nội du g Điểm a) (0,5 điểm) Ta có i số nguyên m m chia cho , 0,25 + Nếu n chia cho n2  5k   n2   5k  5; k  * nên n2  không số nguyên tố + Nếu n chia cho n2  5k   n2  16  5k  20 5; k  * nên n2  16 không số nguyên tố Vậy n hay n chia hết cho b) (1,0 điểm) x2  y( x  y)  2( x  1)  x  2( y  1) x  2( y  1)  (1) Để hương trình (1) có nghiệm ngun x  ' theo y hải số hương Ta có  '  y  y   y    y  y     y  1  0,25 0,25 0,25  ' hương nên  '  0;1;4 Nếu  '    y  1   y  thay hương trình (1) ta có : x  x2  4x   x  x  4    x  Nếu  '    y  1   y  0,25 y  Nếu  '    y  1     y  1 + V i y  thay hương trình (1) ta có: x  8x  16    x     x  + V i y  1 thay hương trình (1) ta có: x2   x  Vậy hương trình (1) có nghiệm ngun :  x; y   0;1 ;  4;1 ;  4;3 ;  0; 1 0,25 Câu (2,0 điểm) a) Rút gọn biểu thức: A   3  2  3   3  2  3 b) Tìm m để hương trình:  x  2 x  3 x   x  5  m có nghiệm hân biệt Nội du g Điểm a) (1,0 điểm) A 2(3  5) 4 62  2(3  5) 0,25 4 62    3 3  3 3   2  2         (  1)  (  1)     (3  5)(5  5)  (3  5)(5  5)   15   5   15   5    2     25  (5  5)(5  5)     20   Vậy A  20 b) (1,0 điểm) Phương trình  x  2 x  3 x  4 x  5  m  ( x  x  8)( x  x  15)  m 1 0,25 0,25 0,25 0,25 Đặt x  x    x  1  y  y   , hương trình (1) tr thành:  y  9 y  16  m  y  25 y  144  m  (2) i gi trị y  hương trình:  x  1  y có nghiệm Nhận t: V i m hân biệt, o hương trình (1) có nghiệm hân biệt  hương trình (2) có nghiệm ương hân biệt  '   '  4m  49  49     S   25    m  144 P  144  m    49 Vậy i   m  144 hương trình (1) có nghiệm hân biệt Câu (2,0 điểm) 0,25 0,25 0,25 a) Giải hương trình: x  x   x  1  x    x  xy  10 y  b) Giải hệ hương trình:  2   x  y  10 Nội du g Điểm a) (1,0 điểm) Điều kiện: x  (*) 2 Ta có: x  x   x  1  x   x  x x   x   2( x  x  1)   0,25 Đặt x  x   y (Điều kiện: y  ** ), phương trình tr thành y  y   0,25  y  1 y  y     y  1 y  3    y  V i y  1 không thỏa mãn điều kiện ( ) + V i y  ta có hương trình: 0,25 0,25 x  x  x   x  x 1   x 1   x      x   x  2 x    6x  x  x  x  10   x   thỏa mãn điều kiện ( ) Vậy hương trình có nghiệm x  b) (1,0 điểm) 2    x  xy  10 y   x  xy  x  y y  (1)   2 2  x  y  10 (2)    x  y  10 T hương trình (1) ta có x3  xy   x  y  y   x3  xy  x y  y     x  x y  x y  xy  3xy  y    x  y   x  xy  y 2 2 0,25 0 x  2y  x  y   x2  xy  y     0,25 2  x  xy  y  y  11y  + Trường h 1: x  xy  y    x    0 x  y 0 2  V i x  y  khơng thỏa mãn hương trình (2) Trường h 2: x  y thay hương trình (2) ta có: y 1 x  y  y  12  y     y  1  x  2 0,25 2 0,25 Vậy hệ hương trình có nghiệm  x ; y    2;1 ;  2; 1 Câu (3,5 điểm) Cho đường tròn (O; R) dây cung BC  R cố định Điểm A i đ ng cung n BC cho tam gi c ABC nhọn Gọi E điểm đối ứng i i B qua AC F điểm đối ứng C qua AB C c đường tròn ngoại tiế c c tam gi c ABE ACF cắt K (K không tr ng A) Gọi H giao điểm BE CF a) Chứng minh KA hân gi c góc BKC tứ gi c BHCK n i tiế b) c định ị trí điểm A để iện tích tứ gi c BHCK n nh t, tính iện tích n nh t tứ gi c theo R c) Chứng minh AK uôn qua điểm cố định Nội du g Điểm E A F P Q H B O I M C N K a) (1,5 điểm) Ta có AKB  AEB ( ì c ng chắn cung AB đường tròn ngoại tiế tam gi c AEB) ABE  AEB (tính ch t đối ứng) suy AKB  ABE (1) AKC  AFC ( ì c ng chắn cung AC đường tròn ngoại tiế tam gi c AFC) ACF  AFC (tính ch t đối ứng) suy AKC  ACF (2) ặt kh c ABE  ACF (c ng h i BAC ) (3) T (1), (2) , ( ) suy AKB  AKC hay KA hân gi c góc BKC Gọi P, Q ần t c c giao điểm BE i AC CF i AB Ta có BC  R nên BOC  1200 ; BAC  BOC  600 Trong tam gi c uông ABP 0 có APB  90 ; BAC  60  ABP  30 hay ABE  ACF  300 Tứ gi c APHQ có AQH  APH  1800  PAQ  PHQ  1800  PHQ  1200  BHC  1200 (đối đ nh) Ta có AKC  ABE  300 , AKB  ACF  ABE  300 (th o chứng minh hần a) BKC  AKC  AKB  AFC  AEB  ACF  ABE  600 suy BHC  BKC  1800 nên tứ gi c BHCK n i tiế b) (1,5 điểm) Gọi (O’) đường tròn qua bốn điểm B, H,C, K Ta có dây cung BC  R 3, BKC  600  BAC nên bán kính đường tròn (O’) b n kính R đường tròn (O) Gọi M giao điểm AH BC MH ng góc i BC, k KN ng góc i BC (N thu c BC), gọi I giao điểm HK BC 1 Ta có S BHCK  S BHC  S BCK  BC.HM  BC.KN  BC  HM  KN  2 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 1 BC ( HI  KI )  BC.KH (do HM  HI; KN  KI ) 2 Ta có KH dây cung đường tròn (O’; R) suy KH  2R (không đ i) nên S BHCK n nh t KH  2R HM  KN  HK  2R Gi trị n nh t S BHCK  R 3.2 R  R Khi HK đường kính đường tròn (O’) M, I, N trùng suy I trung điểm BC nên ABC cân A Khi A điểm cung n BC c) (0,5 điểm) Ta có BOC  1200 ; BKC  600 suy BOC  BKC  1800 nên tứ gi c BOCK n i tiế đường tròn Ta có OB=OC=R suy OB  OC  BKO  CKO hay KO hân gi c góc BKC th o hần (a) KA hân gi c góc BKC nên K ,O, A th ng hàng hay AK qua O cố định Câu (1,0 điểm) 1 Cho số thực ương x, y, z thỏa mãn:    Tìm gi trị nhỏ nh t biểu thức: x y z 2 2 y z z x x2 y P   x  y  z  y  z  x2  z  x2  y  S BHCK  Nội du g P Ta có  a 1  a  2 0,25 0,25 0,25  0,25 0,25 số ương ta có 1  2a   a   a   2a (1  a )(1  a )     2  27 a2 3  a(1  a )    a (1) a(1  a ) 3 b2 3 c2 3  b (2);  c Tương tự: 2 b(1  b ) c(1  c ) 2 0,25 Điểm 1  1   1   x   y   z   x  y  y  z z x 1 Đặt  a;  b;  c a, b, c  a  b2  c2  x y z a b c a2 b2 c2 P 2      b  c c  a a  b a 1  a  b 1  b  c 1  c  ng b t đ ng thức Côsi cho 0,25 (3) 3 3 a  b2  c   Đ ng thức ảy  a  b  c   2 3 Vậy gi trị nhỏ nh t P 0,25 T (1); (2); ( ) ta có P  hay x  y  z  HẾT 0,25 ... GIÁO DỤC VÀ ĐÀOTẠO PHÚ THỌ ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN HÙNG VƯƠNG NĂM HỌC 2015- 2016 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN: TỐN (Dành cho thí sinh thi vào chun Tốn) (Hướng...  x  x  10   x   thỏa mãn điều kiện ( ) Vậy hương trình có nghiệm x  b) (1,0 điểm) 2    x  xy  10 y   x  xy  x  y y  (1)   2 2  x  y  10 (2)    x  y  10 T hương... 0,25 0,25 0,25 a) Giải hương trình: x  x   x  1  x    x  xy  10 y  b) Giải hệ hương trình:  2   x  y  10 Nội du g Điểm a) (1,0 điểm) Điều kiện: x  (*) 2 Ta có: x  x   x 