PHÒNG GD&ĐT THANH OAI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2013 - 2014 Mơn: Tốn Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm có: 01 trang Câu 1: (6 điểm) a) Cho M  (1  x 3 x 2 x 2 ):(   ) x 1 x 2 3 x x 5 x 6 x Rút gọn M Tìm giá trị nguyên x để biểu thức M nhận giá trị số nguyên b) Tính giá trị biểu thức P P  3x 2013  5x 2011  2006 với x   2    18   Câu 2: (4 điểm) Giải phương trình a) ( x  3)( x  4)( x  5)( x  6)  24 b) | 2x  x  | = 2x  x  Câu 3: (4 điểm) a/ Cho hai số dương x, y thoả mãn x + y =   Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M   x   y   y  x   1 1   6 x y yz zx 1 Chứng minh rằng:    x  y  z 3x  y  3z x  y  3z b/ Cho x, y, z số dương thoả mãn Câu 4: (5 điểm) Cho đường tròn (O; R) hai đường kính AB CD cho tiếp tuyến A đường tròn (O; R) cắt đường thẳng BC BD hai điểm tương ứng E F Gọi P Q trung điểm đoạn thẳng AE AF Chứng minh trực tâm H tam giác BPQ trung điểm đoạn thẳng OA Gọi α số đo góc BFE Hai đường kính AB CD thoả mãn điều kiện biểu thức P  sin   cos  Đạt giá trị nhỏ nhất? tìm giá trị nhỏ BE CE 3 Chứng minh hệ thức sau: CE.DF.EF = CD  BF DF Câu 5: (1 điểm) Tìm n  N* cho: n4 +n3+1 số phương 6 PHÒNG GD&ĐT THANH OAI HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2013 - 2014 Mơn: Tốn Câu 1: (6 điểm) (4,5đ) a) ĐKXĐ: x  0; x  4; x  (*) 1)Rút gọn M : Với x  0; x  4; x   x 1 x   x  : M     x     x 2 x 2 x 3 (0,5đ)    ( x  2)( x  3)  x 2   ( x  3)( x  3)  ( x  2)( x  2)  ( x  2)  :  x 1  ( x  2)( x  3)    x 1 : x   ( x  4)  x  ( x  2)( x  3) x 2 x 1 Vậy M  2) M  x 2 x 1 x 2 x 1  (với x  0; x  4; x  ) (*) x 1 x 1  x 1 x 1  x 1  1 (2,5đ) x 1 (0,75đ) Biểu thức M có giá trị nguyên khi: 3 x   x   U (3) Ư(3)   1;3  Vì x   x   x   Nên x  1 1;3  Xảy trường hợp sau: (0,5đ) x    x   x  (TMĐK (*) ) x    x   x  (không TMĐK (*) loại ) Vậy x = M nhận giá trị nguyên b_ (0,25đ) x   2    18   (0,5đ) Có 18   (4  )     2       (  1)  1 (0,25đ) x   2      2       x   (  1)         x  (  1)   1   1  (0,75đ) Với x = 1.Ta có P  3.12013  5.12011  2006    2006  2014 Vậy với x = P = 2014 Câu 2: (4 điểm) a ( x  3)( x  6)( x  4)( x  5)  24  ( x  x  18)( x  x  20)  24 (1) Đặt x  x  19  y (1)  ( y + 1)(y – ) – 24 =  y2 – 25 =  ( x  x  24)( x  x  14)   ( x  2)( x  7)( x  x  24)  Chứng tỏ x  x  24  Vậy nghiệm phương trình : x  2; x  7 b Ta có x  x   ( x  x  1)  ( x  1)  pt trở thành : x  x   x  x   x 1 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,25 đ Câu 3: (4 điểm) a Cho hai số dương thỏa mãn: x + y =1  Tìm GTNN biểu thức: M =  x      y   y2   x  x4 y  x2 y     2 M =  x   y   = x y    2  x y x2 y y  x   2đ x y  2  1 2  x2 y          xy   2 x y xy   xy     15 Ta có: xy    xy   xy  16 xy  16 xy 0,5 0, 1 1  xy   (1) * 16 xy 16 xy x y 1 1 15 15 xy    xy    4     (2) 2 xy 16 xy 16 16 xy * Ta có: xy   Từ (1) (2)   xy      15 15 17       xy   xy   16 xy  16 xy 4    17  289 Vậy M =  xy       xy    16     xy   xy  16 xy   4x y Dấu “=” xảy   (Vì x, y > 0)  x y  x  y  Vậy M = 0,5 0,25 0,25 289 x = y = 16 0,5 b 1   6 x  y y  z z  x Cho x, y số dương thỏa mãn: 1    Chứng minh rằng: 3x  y  z 3x  y  3z x  y  3z 1   Áp dụng BĐT a b a  b  Ta có: 11 1     ab 4 a b  (với a, b > 0) 2đ 0.5  1 1 1      3x  y  z  x  y  z    x  y  z   x  y  z x  y  z    1  1 1 1             x  y    x  z   x  y    y  z     x  y x  z x  y y  z    1 1      16  x  y x  z y  z  1 1       x  y  z 16 x  z x  y y  z   Tương tự: 1 1       x  y  3z 16  y  z x  y x  z  cộng vế theo vế, ta có: 1 1 4         3x  y  z 3x  y  3z x  y  3z 16  x  y x  z y  z  4 1         16  x  y x  z y  z  0,5 0,5 0,5 0,5 Caai 4: (5 điểm) B D I O C 0,25 H E P A Q F BA đường cao tam giác BPQ suy H thuộc BA 0,75đ Nối OE,  BEF vuông B; BA  EF nên AB2 = AE AF AE AB AE AB AE AB       1 AB AF OA AQ AB AF 2 Vậy  AEO  ABQ(c.g.c) Suy ABQ  AEO mà ABQ  P1 (góc có cạnh tương ứng vng góc) nên AEO  P1 , mà hai góc đồng vị => PH // OE Trong  AEO có PE = PA (giả thiết); PH// OE suy H trung điểm OA Ta cã: P  sin   cos6    sin     co s   0,25đ 0,75đ P   sin   cos   sin   sin  cos   cos   0,75đ 2 P   sin   cos2    3sin  cos2    3sin  cos  0,5đ Ta cã: sin   cos2    4sin  cos2    4sin  cos2   sin  cos2   2 Suy ra: P   3sin  cos    Do ®ã: Pmin  vµ chØ khi: 4  4 0,25đ 0,25đ sin   cos2   sin   cos  (vì sin tg    450 cos  Khi CD vng góc với AB gãc nhän)  0,25đ 0,25đ 0,25đ Ta có  ACB  ADB nội tiếp đường tròn (O) có AB đường kính nên ACB  ADB  900 => ADBC hình chữ nhật 0,25đ Ta có: CD2 = AB2 = AE AF => CD4 = AB4 = AE2 AF2 = (EC.EB)(DF.BF)=(EC.DF)(EB.BF)= EC.DF.AB.EF  AB3 = CE.DF.EF Vậy CD3 = CE.DF.EF Ta có: BE EA.EF AE BE AE CE.BE BE CE        BF DF BF FA.EF AF BF AF DF BF Câu 5: Giả sử n4 +n3 + số phương n4 +n3 + 1> n4 = (n2)2 0,25đ   n4  n3 1  n2  K   n  2Kn  K (K  N * )  n  2Kn  K   n (n  2k)  K   Mà K  1 n  K  n  K  Nếu K   K   n (n  2)   n  Thử lại  23   52 ( thỏa mãn) Khi K   K  K   n  K  n  n  2k  mâu thuẫn với điều kiện n n  2K   K   Vậy n = (1đ) ...PHÒNG GD&ĐT THANH OAI HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2013 - 2014 Môn: Toán Câu 1: (6 điểm) (4,5đ) a) ĐKXĐ: x  0; x  4; x  (*)... 1.Ta có P  3. 12013  5.12011  2006    2006  2014 Vậy với x = P = 2014 Câu 2: (4 điểm) a ( x  3)( x  6)( x  4)( x  5)  24  ( x  x  18)( x  x  20)  24 (1) Đặt x  x  19  y (1) ... 16 xy 4    17  2 89 Vậy M =  xy       xy    16     xy   xy  16 xy   4x y Dấu “=” xảy   (Vì x, y > 0)  x y  x  y  Vậy M = 0,5 0,25 0,25 2 89 x = y = 16 0,5 b 1