Ề IC Ọ ỘI UYỂ ỌC SI ĂM ỌC 2015 – 2016 Mơn: TỐN 21 12 ĐỀ CHÍNH THỨC IỎI 2015 (Đề thi có trang) Câu (3,0 điểm) a) Giải phương trình nghiệm nguyên: x  8x  38  y b) Tìm số tự nhiên n để n4 + số nguyên tố Câu (4,0 điểm)    a) Cho x  x  2015 y  y  2015  2015 Hãy tính giá trị biểu thức A  x  y  2016 3 b) Chứng minh rằng: Nếu ax  by  cz 1    x y z ax  by  cz  a  b  c Câu (4,0 điểm) a) Giải phương trình:  x  x    11 x    x( x  y )  y  y   b) Giải hệ phương trình:  2   y( x  y)  x  y  Câu (7,0 điểm) Cho đường tròn (O, R) dây cung BC cố định (BC < 2R) Điểm A di động cung lớn BC cho tam giác ABC có ba góc nhọn Kẻ đường cao AD, BE, CF cắt H S a) Chứng minh AEF ABC đồng dạng AEF  cos A S ABC b) Chứng minh rằng: SDEF  1  cos2 A  cos2 B  cos2 C .S ABC c) Xác định vị trí điểm A cung lớn BC cho chu vi tam giác DEF đạt giá trị lớn Câu (2,0điểm) Cho a, b ,c ố thực dương, tìm giá trị nhỏ biểu thức: 3 a  b  c3 a  b b  c c  a P    2abc c  ab a  bc b  ca -HẾT Họ tên thí sinh:…………………………………, SBD:………………… Cán coi thi khơng giải thích thêm ƯỚNG DẪN CHẤM CHỌ ĂM HỌC SINH GIỎI ỌC 2015-2016 MÔN: TỐN Đây ời giải ược, thí sinh có lời giải khác m giám khảo chấm chấm theo th ng điểm ộ du Bài Giải phương trình nghiệm nguyên: x2  8x  38  y x2  8x  38  y  2x  4x  19  3y  2(x  1)  3(7  y ) (*) T thấy: 2(x  1) 2   y 2  y ẻ T ại có:  y   y  Do y   y  1 Lúc đó: 2(x  1)  18  (x  1)  3 nên x1  2; x  4 T thấy cặp ố (2;1), (2;-1), (-4;1), (-4;-1) thỏ mãn (*) nên củ phương trình Ta có n4 + = n4 + + 4n2 – 4n2 = ( n2 + 2)2 – ( 2n)2 = ( n2 – 2n + 2).( n2 + 2n+ 2) Vì n ố tự nhiên nên n2 + 2n+ > nên n2 – 2n + = n = a b   0,5 0,25 0,25 0,25  nghiệm 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Cho x  x  2015 y  y  2015  2015 Hãy tính A iết: A  x  y  2016 ?   Nhân vế củ đẳng thức cho với x  x  2015 t được:     2015 y  y  2015  2015 x  x  2015 (1) a   Nhân vế củ đẳng thức cho với y  y  2015 t được:     2015 x  x  2015  2015 y  y  2015 (2) 2 Cộng (1) với (2) theo vế rút gọn t được: x + y = Vậy A = 2016 ) Chứng minh rằng: Nếu ax  by  cz 3 ax  by  cz  0,25 t t t 1    t    (1) x y z x y z 1 1  x  x    11 x  (1)   x  x     x  x    11  0,5 0,5 Suy ra: a  b  c  t      t (2) x y z Từ (1) v (2) uy r điều phải chứng minh  x2  x  2 0,75 0,25 ax  by  cz  a  b  c Mặt khác: t  x3 a  y3 b  z3 c a 0,5 1    x y z Đặt: ax  by3  cz  t Ta có: 0,5 x2  x    11 x2  x  x  2x   x2  x  2 x2  x  2 0,5 0,25 0,5 0,5 x2  x   ( x  1)2   với x 0,5 x2  x  Đặt t  (t > 0) x2  2x  T phương trình: 6t  11t   Giải (*) t = thỏ mãn yêu cầu Nên t  x  2x  x  2x  5     3x  10 x    x  2 x  2x  x  2x  0,5  x   y ( y  x)  y  x( x  y )  y  y      2 2  y ( x  y )  2( x  1)  y  y ( x  y )  x  y   x2  x y   y   ( x  y )  x    y  uv   u  4v  v  3, u  x2  , v  x  y t có hệ:  Đặt u    y v  2u  v  2v  15  v  5, u  Dễ thấy y  , ta có: b  x2   y  x2  x    x  1, y    +) Với v  3, u  t có hệ:    x  2, y  x y 3  y  3 x  x2   y  x  x  46    VN  x  y  5  y  5  x  y  5  x KL: Vậy hệ cho có h i nghiệm: (1; 2) (2;5) 0,5 0,5 0,5  x2   y +) Với v  5, u  ta có hệ:  0,5 A E F H O B D C AE AB AF Tam giác ACF vuông F nên co A = AC AE AF  AEF ABC (c.g.c) Suy = AB AC T m giác ABE vuông E nên co A = a 0,5 0,5 0,5 b S AE Từ AEF ABC suy AEF     cos2 A S ABC  AB  S S Tương tự câu , BDF  cos2 B, CDE  cos2 C S ABC S ABC S S S S S Từ uy r DEF  ABC AEF BDF CDE   cos2 A  cos2 B  cos2 C S ABC S ABC 0,5 1,0 0,5 Suy SDEF  1  cos2 A  cos2 B  cos2 C  S ABC 0,5 c) Chứng minh OA  EF ; OB  DF ; OC  ED c 0,5 Có 2S ABC  2.(S AEOF  SBDOF  SCDOE ) 0,5  BC AD  OA.EF  OB.FD  OC.ED 0,5  BC AD  R( EF  FD  ED ) 0,5 BC AD R Chu vi t m giác DEF ớn v AD ớn nhất; AD ớn v A điểm giữ cung ớn BC  EF  FD  ED  a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac P      2bc 2ca 2ab c  ab a  bc b  ac a a  bc b2 b2  ac c2 c2  ab M   ;   ;   nên 2bc 2bc 2ac 2ac 2ab 2ab Với ố dương x, y t có 0,5 0,5 0,5 0,5 x y    (x  y)  uôn đúng, dấu ằng y x 0,25 xảy r v x = y Áp dụng t có:  c2  ab 2ab   a  bc 2bc   b2  ac 2ac  P           2 2ab c  ab 2bc a  bc 2ac b  ac       2+2+2 - ≥  2 Dấu ằng xảy r v = = c a  b  c3 a  b b  c c  a Kết uận :giá trị nhỏ củ P     2abc c  ab a  bc b  ca ằng 0,5 a = b = c Đính :Câu 5: P≥ 0,25 ... 0,25 Cho x  x  2015 y  y  2015  2015 Hãy tính A iết: A  x  y  2016 ?   Nhân vế củ đẳng thức cho với x  x  2015 t được:     2015 y  y  2015  2015 x  x  2015 (1) a   Nhân... Nhân vế củ đẳng thức cho với y  y  2015 t được:     2015 x  x  2015  2015 y  y  2015 (2) 2 Cộng (1) với (2) theo vế rút gọn t được: x + y = Vậy A = 2016 ) Chứng minh rằng: Nếu ax  by... ỌC 2015- 2016 MƠN: TỐN Đây ời giải ược, thí sinh có lời giải khác m giám khảo chấm chấm theo th ng điểm ộ du Bài Giải phương trình nghiệm nguyên: x2  8x  38  y x2  8x  38  y  2x  4x  19