SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NGÃI ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2016 -2017 MƠN TỐN LỚP Thi ngày 08 tháng 12 năm 2016 (Thời gian làm 120 phút, không kể thời gian giao đề) - (Đề thi gồm 01 trang) Bài (4,0 điểm) 1) Rút gọn biểu thức: A = 2) Cho A  3  3  3  3 x  x x  x  x  x 1 x  x 1 2 a) Nêu điều kiện xác định rút gọn biểu thức A b) Đặt B = A + x – Tìm giá trị nhỏ biểu thức B Bài (4,0 điểm) Giải phương trình 1) Giải phương trình : x  x   x  x   x3 2) Giải phương trình: x2  5x  12  x2  3x   x  Bài (3,0 điểm) 1) Chứng minh với k số ngun 2016k + khơng phải lập phương số nguyên 2) Tìm nghiệm nguyên phương trình x2  25  y( y  6) Bài (7,0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Gọi C điểm nằm nửa đường tròn (O) (C khác A, C khác B) Gọi H hình chiếu vng góc C AB, D điểm đối xứng với A qua C, I trung điểm CH, J trung điểm DH a) Chứng minh CIJ CBH b) Chứng minh CJH đồng dạng với HIB c) Gọi E giao điểm HD BI Chứng minh HE.HD = HC2 d) Xác định vị trí điểm C nửa đường tròn (O) để AH + CH đạt giá trị lớn Bài (2,0 điểm) Cho a, b, c  Chứng minh a b c    bc ca ab -HẾT -Họ tên thí sinh:…………… …… …… Họ, tên chữ ký GT1:…………………… Số báo danh:……………….…… ……… Họ, tên chữ ký GT2:…………………… GD-ĐT Quảng Ngãi Bài HƯỚNG DẪN CHẤM THI KỲ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016 - 2017 Môn thi : Toán Nội dung Câu 3 Rút gọn biểu thức: A = Câu (1,75đ) 3 A= A=  3 2(  3)  (  1) 2  3 3   3  2(3  5)  (  1) = Điểm 3   3 2(  3) 2 62   2(3  5) 0,75 2 62 2(  3) 2(3  5)  3 3 0,5 0,5 A= 2 x2  x x2  x  x  x 1 x  x 1 a) ĐKXĐ: x  A  Bài (4 đ)    0,25 0,5  x x3 1 x x3 1 x2  x x2  x A    x  x 1 x  x 1 x  x 1 x  x 1 Câu (2,25)  x  x     x   x 1 x  x 1 x 1 x  x 1 x  x 1 x  x 1  x 1  x   0,5 x   x  x  x  x  2 x b) B = A + x – 1= 2 x  x   x  x    x  1   2 0,5 Dấu “=” xảy  x 1   x  ( TM ĐKXĐ) Vậy GTNN biểu thức B=-2 x=1 0,25 0,25 1) Giải phương trình : x  x   x  x   x3 ĐKXĐ : x  0,25 x  x 1  x  x 1  Bài (4 đ) Câu (2đ) x3 x3  x 1  x 1   x 1  x 1   2 x3  x 1   x 1 1  x3  x 1   x 1 1  (*) Nếu x  phương trình (*) x3 x3  x 1   x 1 1   x 1   x 1  x  2     0,5 0,25 0,25 0,25  16( x  1)  x2  x   x2  10 x  25   ( x  5)2   x  (TM) Nếu  x  phương trình (*) 0,25 Vậy phương trình có nghiệm x=1 x=5 2) Giải phương trình: x2  5x  12  x2  3x   x  0,25 Đặt u  x2  5x  12, v  x2  3x  ( u  0, v  0) 0,25  u  x2  5x  12, v  x  3x   u  v  x  10  2( x  5) 0,25 0,25 0,25 x3 x3  x 1    x 1  2   x   x  ( TM) 2 Từ (1)  2(u  v)  (u  v2 )  (u  v)(u  v  2)  (2) Vì u  0, v  , từ (2) suy ra: u  v   Vì x2  5x  12  x2  3x   (3) Câu (2đ) Bình phương vế thu gọn ta phương trình 2 x  3x   x  0,25  x  3  x  3  x        2 2 x  3x   x  7 x  x   (7 x  7)  (6 x  6)   x  3  ( x  1)(7 x  1)  0,5  x  3    x  1, x   tm   x  1, x  Vậy phương trình có hai nghiệm x = -1, x= Câu (1,5đ) Bài (3 đ) 1) Chứng minh với k số ngun 2016k + khơng phải lập phương số nguyên Giả sử 2016k + = a3 với k a số nguyên Suy ra: 2016k = a3 - Ta chứng minh a3 – không chia hết cho Thật vậy: Ta biểu diễn a = 7m + r, với r 0;1; 1;2; 2;3; 3 Trong tất trường hợp ta có a3 – khơng chia hết cho Mà 2016k chia hết cho 7, nên a3 –  2016k ĐPCM 2) Tìm nghiệm nguyên phương trình: Câu (1,5đ) 0,25 0,5 0,25 0,5 0,25 x2  25  y( y  6) Từ x2  25  y( y  6) Ta có : (y+3+x)(y+3-x) = - 16 0,25 Để ý phương trình chứa ẩn số x với số mũ , ta hạn chế giải với x số tự nhiên Khi đó: y+3+x  y+3-x Ta có ( y+3+x)+(y+3-x) = 2(y+3) số chẵn Suy số ( y+3+x ) (y+3-x) tính chẵn lẻ Ta lại có tích chúng số chẵn , số ( y+3+x ) (y+3-x) số chẵn Ta có cách phân tích - 16 tích số chẵn sau đây: -16 = (-2) = (-4) = (-8) thừa số đầu giá trị (y+3+x) Khi y+3+x= , y+3-x = -2 ta cã x= , y= Khi y+3+x= , y+3-x = -4 ta cã x= , y= -3 Khi y+3+x= , y+3-x = -8 ta cã x= , y= -6 Vì ph-ơng trình cho cã c¸c nghiƯm : ( x,y)   5,0 ;  5, 6  ;  4, 3  0,5 0,25 0,5 D Bài (7 đ) C E I A Câu a (1,5 đ) J H B O + Vì ABC nội tiếp đường tròn đường kính AB nên AC  BC Suy BC  CD (1) 0,5 + Lập luận để IJ // CD (2) + Từ (1) (2) suy IJ BC + Suy CIJ CBH (cùng phụ với HCB ) (3) 0,5 0,5 +) Trong  vng CBH ta có: tan CBH Câu b (2 đ) 0,5 CH (4) BH + Lập luận chứng minh CJ // AB + Mà CH  AB (gt) + Suy CJ  CH +) Trong tam giác vng CIJ ta có tan CIJ + Từ (3), (4), (5)  CH CJ  HB HI 0,5 CJ CI CJ CI HI HI (5) 0,5 + Xét CJH HIB có HCJ  BHI  900 + Nên CJH đồng dạng với CH CJ (cmt)  HB HI 0,5 HIB 0,5 + Lập luận để chứng minh HEI  90 + Chứng minh HEI đồng dạng với HCJ Câu c (1,5 đ) 0,5 HE HI + Suy  HC HJ + Suy HE.HJ = HI.HC 0,5 + Mà HJ  HD; HI  HC + Suy HE.HD = HC2 C M 450 A Câu d (2 đ) H O K B N + Lấy điểm M nửa đường tròn (O) cho BOM 450 + Tiếp tuyến nửa đường tròn (O) M cắt AB N Ta có M N cố định + Kẻ MK  AB K + Chứng minh MON vuông cân M KM = KN Suy ANC  450 Xét C M Ta có C M nên H K Do AH + CH = AK + KM = AK + KN = AN (không đổi) 0,5 + Xét C khác M Tia NC nằm hai tia NA NM Do ANC ANM 450 + HNC có NHC 900 nên HNC HCN 900 Mà HNC 450 nên HCN 450 Suy HNC HCN Suy HC < HN 0,5 0,5 0,5 + Do AH + CH < AH + HN = AN + Vậy Khi C nửa đường tròn (O) cho BOC 450 AH + CH đạt giá trị lớn Chứng minh a b c    bc ca ab Áp dụng BĐT Cauchy ta có a  b  c  a b  c   Bài (2 đ) 0,5 a 2a  bc abc Chứng minh tương tự ta b 2b c 2c  ;  ca abc ab abc 2a  b  c a b c    2 Suy bc ca ab abc a  b  c Dấu xảy  b  c  a  a  b  c  (Trái với giả thiết) c  a  b  Vậy dấu = không xảy suy đpcm 0,5 0,5 0,5 ...GD-ĐT Quảng Ngãi Bài HƯỚNG DẪN CHẤM THI KỲ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016 - 2017 Môn thi : Toán Nội dung Câu 3 Rút gọn biểu thức: A = Câu (1,75đ) 3 A= A=  3 2(  3)  (  1) 2  3 3