SỞ GD&ĐT HÀ NỘI ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁP THÀNH PHỐ LỚP NĂM HỌC 2018-2019 MƠN TỐN Bài a) Giải phương trình:  x   x       b) Cho S  1  1   .1   tích 2019 thừa số  2.3  3.4   2020.2021  Bài a) Biết a, b số nguyên dương thỏa mãn a  ab  b2 chia hết cho Chứng minh a b chia hết cho b) Tìm số nguyên dương n cho 9n  11 tích k  k  ; k   số tự nhiên liên tiếp Bài a) Cho x, y, z số thực dương nhỏ Chứng minh số 1 1 1  ;  ;  luôn tồn x 4 y y 4 z z 4 x số lớn b) Với số thực dương a, b, c thỏa mãn a2  b2  c2  2abc  Tìm GTLN biểu thức P  ab  bc  ca  abc Bài Cho tam giác ABC vng A AB  AC  Đường tròn  I  nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB D, E, F Gọi S giao điểm AI DE a) Chứng minh IAB EAS b) Gọi K trung điểm AB, O trung điểm BC Chứng minh ba điểm K , O, S thẳng hàng c) Gọi M giao điểm KI AC Đường thẳng chứa đường cao AH tam giác ABC cắt đường thẳng DE N Chứng minh AM  AN Bài Xét bảng ô vuông cở 10 10 gồm có 100 hình vng có cạnh đơn vị Người ta điền vào ô vuông bảng số nguyên tùy ý cho hiệu hai số điền hai ô chung cạnh có giá trị tuyệt đối khơng vượt q Chứng minh tồn số nguyên xuất bảng lần ĐÁP ÁN Bài a  b  3    2 x a  2  x  a a) ĐKXĐ: x  Đặt    a   b  x   b  x   b      b   a Do : a  b   a  1  a  a    a  a  1 a     a    a  2 2  x  TH 1: a   b     x  2(tm) x    2  x  TH : a   b     x  1(tm) x    2  x  8 TH 3: a  2  b     x  10(tm) x    Vậy S  1;2;10 b) Với n * ta có: n2  n   n  1 n   1   Thay n  2;3 .;2020 ta có: n  n  1 n  n  1 n  n  1 S 1.4 2.5 3.6 2019.2022 1.2.3 2019   4.5.6 2022 2022 337    2.3 3.4 4.5 2020.2021  2.3.4 2020  3.4.5 .2021 2020.3 1010 Bài 2 a) Ta có :  a  ab  b2    a  ab  b2   3 a  b    a  b   (*)   2  3 a  b    a  b     a  b    a  b  Từ (*) ta lại suy ra:    a  b  a 2  2a   3 a  b    a  b    a  b  Do  b  a  b  b) Nhận xét : tích số tự nhiên liên tiếp chia hết cho Ta thấy với n nguyên dương 9n  11 không chia hết k  Đặt 9n  11  a  a  1 với a nguyên dương Ta có 9n  11  a  a  1  4.9n  45  4a  4a    2a  1   2.3n   45   2a   2.3n  2a   2.3n   45 2 Vì a, n nguyên dương nên 2a   2.3n  Ta có trường hợp sau: n 2a   2.3  TH 1:   4a   14  a   9n  11  12  n  0(ktm) n 2a   2.3  n 2a   2.3  15 TH :   4a   18  a   9n  11  20  n  1(tm) n 2a   2.3  2a   2.3n  45 TH 3:   4a   46  a  11  9n  11  132  9n  121(ktm) n 2a   2.3  Vậy n  1, k  thỏa mãn toán Bài 1 1 1  0;   0;   Áp dụng BĐT Bunhia ta có: a) Ta có :  x 4 y y 4 z z 4 x  1 1 1  36   x   y  y   z  z   x   x  y y  z z  x   1 1 1    x   y  y   z  z   x        x 4 y y 4 z z 4 x 1 1 1  1  1   ;  ; Do số             x 4 y y 4 z  x 4 y  y 4 z  z 4 x 1 ;  ln ln tồn số lớn z 4 x b) Ta có 2P   ab  bc  ca   2abc   ab  bc  ca   a  b2  c    a  b  c   Mặt khác : a2  b2  c2  2abc   a2b  2abc  c2   a  b2  a 2b2   ab  c  2   a  b   a  b2   a  b2  1  a 1  b     ab  c  c  2   2  a  b Do a  b  c    a  b 5    2P     P  2 4 Vậy GTLN P Đạt a  b  c  Bài 2 A E F K B I M S D H C O N BAC  ABC 1800  C C  180   900   AIB  AES a) Ta có AIB  180  2 Và EAS  IAB nên IAB EAS b) Ta có IAB EAS  ASE  IBA  IBD tứ giác IBDS nội tiếp  ISB  IDB  900 mà IAB  450 nên ASB vuông cân S có KA  KB nên SK trung trực AB Mặt khác ABC vng có OB  OC nên OA  OB suy O  đường trung trực AB Hay ba điểm K , O, S thẳng hàng AK IK  Áp dụng định lý Talet hệ ta AM IM IK FK AK FK AK AM AN SA AK      (1) Mặt khác , có:   (2) IM FA AM FA FK FA ID SI FK AM AN  Từ (1) (2) suy mà FA  ID nên AM  AN FA ID c) Vì IA phân giác AMK nên Bài Ta thấy vng hai góc hình vng 10 10 xa Gọi số điền vào vng a1; a2 ; ; a19 Ta có: a1  a2   1  a1  a2  1; 1  a2  a3  1; ; ; 1  a18  a19  1, cộng vế theo vế ta có 18  a1  a19  18  a1  a19  18 Vậy a1; a2 ; ; a19 số nguyên nên có tối đa 19 số nguyên khác điền vào bảng Có 100 ô vuông bảng, nên theo nguyên lý Dirichle có số xuất bảng 100   19    lần A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12 A13 A14 A15 A16 A17 A18 A19 ...   4a   46  a  11  9n  11  132  9n  121(ktm) n 2a   2.3  Vậy n  1, k  thỏa mãn toán Bài 1 1 1  0;   0;   Áp dụng BĐT Bunhia ta có: a) Ta có :  x 4 y y 4 z z 4 x  1 1