Đang tải... (xem toàn văn)
Đề thi HSG môn Toán 11 năm 2018-2019 có đáp án - Cụm trường THPT chuyên DHĐB Bắc bộ giúp các bạn học sinh có thêm tài liệu ôn tập, luyện tập giải đề nhằm nắm vững được những kiến thức, kĩ năng cơ bản, đồng thời vận dụng kiến thức để giải các bài tập một cách thuận lợi. Chúc các bạn thi tốt!
KỲ THI HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ LẦN THỨ XII, NĂM 2019 ĐỀ THI MƠN: TỐN HỌC 11 Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 20/4/2019 ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 01 trang) Câu (4 điểm) Cho dãy số ( u n ) n 1 bị chặn thoả mãn điều kiện un un 1 un , 5 n 1, 2, 3, Chứng minh rẳng dãy u n có giới hạn hữu hạn Câu (4 điểm) Cho ABC có đường tròn nội tiếp I tiếp xúc với BC , CA, AB D, E , F Đường thẳng qua A song song BC cắt DE , DF M , N Đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN cắt đường tròn I điểm L khác D a) Chứng minh A, K , L thẳng hàng b) Tiếp tuyến với đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN M , N cắt EF U , V Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác UVL tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN Câu (4 điểm) Tìm tất đa thức trình cho với số nguyên dương, phương có nghiệm nguyên Câu (4 điểm) Cho p số nguyên tố có dạng 12 k 11 Một tập S tập M {1; 2; 3;; p 2; p 1} gọi “tốt” tích tất phần tử S khơng nhỏ tích tất phần tử M \ S Ký hiệu S hiệu hai tích Tìm giá trị nhỏ số dư chia S cho p xét tập tốt M có chứa p 1 phần tử Câu (4 điểm) Cho đa giác lồi n đỉnh A0 A1 An1 n Mỗi cạnh đường chéo đa giác tô k màu cho khơng có hai đoạn thẳng xuất phát từ đỉnh màu Tìm giá trị nhỏ k HẾT -(Thí sinh khơng sử dụng tài liệu máy tính cầm tay Cán coi thi khơng giải thích thêm) Họ tên thí sinh: Số báo danh: ĐÁP ÁN Câu Nội dung trình bày Điểm 4,0 Đề xuất trường THPT chuyên Biên Hòa, Hà Nam Cho dãy số ( u n ) n 1 bị chặn thoả mãn điều kiện un un 1 un , 5 n 1, 2, 3, Chứng minh rẳng dãy u n có giới hạn hữu hạn 5 5 Ta có u n u n 1 u n un un 1 un1 un , n 1, 2,3, (1) Đặt v n un 1 un , n 1, 2,3, từ (1) ta có v n 1 v n , n 1, 2,3, 1,0 (2) Vì dãy số ( u n ) n 1 bị chặn nên tồn số M cho un M , n 1, 2,3, suy M M M , n 1, 2,3, 5 (3) 0,5 Từ (2) (3) ta thấy dãy (v n ) không giảm bị chặn Do đó, dãy hội tụ Đặt lim v n a b 5a Ta chứng minh lim u n b Thật vậy, lim v n a nên nhỏ tùy ý, n0 N * cho a , n n0 Khi đó, nhờ có đánh giá 3 8b , un 1 b un b (un 1 b) (un b) un 1 un 5 5 1,0 ta thu un 1 b un b , n n0 5 Từ kiện ta suy un0 1 b un0 b ; 5 3 3 un0 b un0 1 b uu0 b ; 5 5 5 un0 k hay k k 1 k 2 3 3 b uu0 b 1 5 5 1,0 k un0 k 3 1 k k 3 5 3 u b b uu0 b n0 1 5 5 Do u n k b với k đủ lớn tức u n b với n đủ lớn nhỏ tuỳ ý Vậy lim u n b Hay dãy u n có giới hạn hữu hạn (đpcm) 0,5 Đề xuất trường THPT chuyên Lào Cai, tỉnh Lào Cai Cho ABC có đường tròn nội tiếp I tiếp xúc với BC , CA, AB D, E , F Đường thẳng qua A song song BC cắt DE , DF M , N Đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN cắt đường tròn I điểm L khác D a) Chứng minh A, K , L thẳng hàng b) Tiếp tuyến với đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN M , N cắt EF U ,V Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác UVL tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN 4,0 a) Trước hết ta chứng minh K trực tâm MDN Thật vậy: ANF FDB Do AN BC nên Do D, E , F tiếp điểm I BC , CA, AB nên BD BF BFD BDF ANF BFD AFN ANF cân A AN AF Chứng minh tương tự ta có AM AE mà AE AF nên AN AF AE AM NEM vuông E ; NFM vuông F NE MD; MF ND mà NE MF K suy K trực tâm MDN -Bây ta chứng minh A, K , L thẳng hàng: + Gọi T tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN Gọi D ' điểm đối xứng D qua T Ta có ND ' KM (vì vng góc với ND ), MD ' KN (vì vng góc với MD ) Do ND ' MK hình bình hành Do A trung điểm MN nên K trung điểm KD’ Do D’, A, K thẳng hàng (1) + Hơn nữa, tứ giác DFKL nội tiếp đường tròn đường kính DK nên DL vng góc với LK Mặt khắc DD’ đường kính đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN nên DL vng góc với LD’ Do L, K, D’ thẳng hàng (2) Từ (1) (2) suy A, K , L thẳng hàng (đpcm) 1,0 1,0 b) Gọi P giao UL DMN P L ; Q giao LV DMN Q L DNM Lại có MEU FNM (do Do MU tiếp xúc DMN M nên DMU UEM UME cân NMEF nội tiếp đường tròn đường kính MN ) nên UME 1,0 U UM UE UE UL UEP ULE (c.g.c) UP UE UEL 1800 UPE 1800 UEL EPL LEF (3) UPE Ta có UM UP.UL UP.UL UE 1800 LDF (do LEFD nội tiếp) LPN 1800 LDN (do LPND Lại có LEF LEF (3) nội tiếp) nên LPN EPL P; E ; N thẳng hàng Từ (3) (4) suy LPN Chứng minh tương tự ta có Q; E ; M thẳng hàng NPQ Do MNQP nội tiếp nên NMQ 1,0 Do NMEF nội tiếp nên NMF NEF EF PQ UV PQ Do NEF NPQ Do LQP tiếp xúc với LUV L suy UVL tiếp xúc với DMN L (đpcm) Đề xuất trường THPT chuyên Lê Quý Đôn, tỉnh Quảng Trị Tìm tất đa thức cho với số ngun dương, phương trình 4,0 có nghiệm ngun Rõ ràng deg( P ) Đặt deg( P ) m hệ số bậc cao không tổng quát, coi Gọi 1,0 nghiệm nguyên lớn phương trình Dễ thấy nên Hơn nữa, ước nên với số tự nhiên Suy 1,0 Do đó, dãy phải hội tụ đến (nguyên) Kéo theo Do đó, Đặt đa thức Từ thỏa mãn 1,0 phải ta suy với Từ đó, ta tìm tất số nguyên 1,0 tùy ý Đề xuất trường THPT chuyên Bình Long, tỉnh Bình Phước 4,0 Cho p số nguyên tố có dạng 12 k 11 Một tập S tập M {1; 2; 3;; p 2; p 1} gọi “tốt” tích tất phần tử S khơng nhỏ tích tất phần tử M \ S Ký hiệu S hiệu hai tích Tìm giá trị nhỏ số dư chia S cho p xét tập tốt M có chứa p 1 phần tử p 1 p , ,, p 2, p 1 rõ ràng S tập tốt Trước hết, xét tập S S ( 1) p 1 p 1 p 1 p 1 ! ! 2 ! 2a (mod p ) , 1,0 p 1 a ! thỏa mãn p | a theo định lý Wilson Ta xét trường hợp: - Nếu a (mod p) S (mod p ) p 1 p 1 p 1 (mod p ) 2 dễ thấy dấu S thay đổi thành Khi đó, hai trường hợp, ta - Nếu a 1 (mod p) tập S , thay 1,0 tập tốt có S (mod p ) Ta chứng minh không tồn S tốt cho S (mod p ) Xét tập tốt S gọi a, a tích phần tử S , M \ S Theo định lý Wilson aa ( p 1)! 1 (mod p) 1,0 Khi đó, a a (mod p) p | a , vơ lý ta biết a khơng có ước nguyên tố 3 dạng k Còn a a (mod p) (2a 1)2 3 (mod p ) , vơ lý 1 p theo giả thiết p 11 (mod12) 1,0 Vậy giá trị nhỏ cần tìm Đề xuất trường THPT chuyên Lê Quý Đôn, tỉnh Bình Định Cho đa giác lồi n đỉnh A0 A1 An1 n Mỗi cạnh đường chéo đa giác tô k màu cho khơng có hai đoạn thẳng xuất phát từ đỉnh màu Tìm giá trị nhỏ k Dễ thấy kmin n , k < n -1 hiển nhiên có hai đoạn thẳng xuất phát từ đỉnh tô màu TH1 Nếu n số chẵn gọi màu cần tơ 0,1, , n Ta tô màu sau: Ai Aj tô màu i j mod(n 1) i, j n Ai An1 tô màu 0,5 1,0 2i mod(n 1) i n Cách tô màu thỏa mãn đề Thật 0,5 + Nếu Ai Aj , Ai Ak i, j, k n tơ màu j k mod(n 1) Vơ lí ! + Nếu Ai An1 , Ai Aj i, j n tô màu i j mod(n 1) Vơ lí ! + Ai An 1 , Aj An 1 i, j n Nếu màu 2i j mod(n 1) i j mod(n 1) Vơ lí ! Vậy cách thỏa mãn yêu cầu toán Như kmin n (1) TH2: Nếu n số lẻ giả sử tơ với n – màu 0,1, , n Khi đó, tất đoạn thẳng có màu 1, , n xóa hết lại đoạn thẳng có màu Suy deg Ai n 1 deg A n i 0 i ( Vì tổng số bậc lần số cạnh) Điều vơ lí 1,0 Do k n Với k = n ta tô màu sau: Gọi n màu cần tô 0,1, , n Ai Aj tơ màu i j mod n Cách tô thỏa mãn yêu cầu toán Thật Ai Aj , Ai Ak tơ màu i j mod n vơ lí Như kmin n (2) n 1 Từ (1) (2) suy kmin 1,0 ...ĐÁP ÁN Câu Nội dung trình bày Điểm 4,0 Đề xuất trường THPT chuyên Biên Hòa, Hà Nam Cho dãy số ( u n ) n 1 bị chặn thoả mãn... đủ lớn nhỏ tuỳ ý Vậy lim u n b Hay dãy u n có giới hạn hữu hạn (đpcm) 0,5 Đề xuất trường THPT chuyên Lào Cai, tỉnh Lào Cai Cho ABC có đường tròn nội tiếp I tiếp xúc với BC , CA,... ta suy với Từ đó, ta tìm tất số nguyên 1,0 tùy ý Đề xuất trường THPT chuyên Bình Long, tỉnh Bình Phước 4,0 Cho p số nguyên tố có dạng 12 k 11 Một tập S tập M {1; 2; 3;; p 2; p 1} gọi