Đang tải... (xem toàn văn)
Mục đích của luận án nhằm đề xuất cải tiến lý thuyết biến dạng cắt bậc ba đầy đủ 12 ẩn số chuyển vị về lý thuyết biến dạng cắt bậc cao tám ẩn chuyển vị để phân tích ứng xử cơ học của tấm dày FGM. Sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao tám ẩn chuyển vị đề xuất, xây dựng các hệ thức quan hệ và phương trình chủ đạo để phân tích ứng xử tĩnh, ổn định và dao động riêng của tấm chữ nhật FGM bằng phương pháp giải tích và phương pháp phần tử hữu hạn
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC XÂY DỰNG Nguyễn Văn Long PHÂN TÍCH TĨNH, ỔN ĐỊNH VÀ DAO ĐỘNG RIÊNG CỦA TẤM CHỮ NHẬT FGM SỬ DỤNG LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG CẮT TÁM ẨN Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật Mã số: 62520101 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ Hà Nội - Năm 2018 Cơng trình hồn thành T ƣờng Đ i học X y dựng Người hướng dẫn khoa học 1: PGS TS T ần Minh Tú - Trường Đại học Người hướng dẫn khoa học 2: PGS TS T ần Hữu Quốc - Trường Đại học d ng d ng Phản biện 1: Phản biện 2: Phản biện 3: Luận án bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án tiến sĩ cấp Nhà nước họp Trường Đại học d ng vào hồi ', ngà tháng năm 2018 Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thư viện Quốc gia - Thư viện Trường Đại học d ng - Bộ môn Sức bền Vật liệu - Trường Đại học d ng DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GI LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN Trần Hữu Quốc, Trần Minh Tú, Nguyễn Văn Long, Dương Thành Hu n (2013) Tính tốn FGM chịu uốn theo mơ hình Reissner-Mindlin phương pháp Phần tử hữu hạn Hội nghị Khoa học toàn quốc Cơ học Vật rắn biến dạng lần thứ XI, Đại học Tôn Đức Thắng, TP Hồ Chí Minh (7-9/11/2013) Tran Huu Quoc, Tran Minh Tu, Nguyen Van Long (2014) Free vibration analysis of Reissner - Mindlin functionally graded plates by finite element method The 3rd International Conference of Engineering Mechanics and Automation (ICEMA3), University of Engineering and Technology - Vietnam National University (15/08/2014) Tran Minh Tu, Tran Huu Quoc, Duong Thanh Huan, Nguyen Van Long (2014) Vibration analysis of functionally graded plates using various shear deformation plate theories 3rd International Conference of Engineering Mechanics and Automation (ICEMA3), University of Engineering and Technology - Vietnam National University (15/08/2014) Thinh, T I., Tu, T M., Quoc, T H., & Long, N V (2016) Vibration and Buckling Analysis of Functionally Graded Plates Using New Eight-Unknown Higher Order Shear Deformation Theory Latin American Journal of Solids and Structures, 13(3), 456-477, DOI: http://dx.doi.org/10.1590/1679-78252522 Van Long, N., Quoc, T H., & Tu, T M (2016) Bending and free vibration analysis of functionally graded plates using new eight-unknown shear deformation theory by finiteelement method International Journal of Advanced Structural Engineering, 8(4), 391399, DOI: doi 10.1007/s40091-016-0140-y Ngu en Van Long, Tran Minh Tu, Tran Huu Quoc (2016) Ph n tích dao động riêng FGM theo lý thuyết biến dạng cắt bậc có xét ảnh hưởng nhiệt độ Hội nghị Khoa học toàn quốc-Vật liệu kết cấu composite: Cơ học, công nghệ ứng dụng, Đại học Nha Trang, TP Nha Trang (28-29/7/2016) Nguyen Van Long, Tran Minh Tu, Tran Huu Quoc (2016) Vibration analysis of functionally graded plates using the eight-unknown higher order shear deformation theory in thermal environments Hội nghị Khoa học toàn quốc-Vật liệu kết cấu composite: Cơ học, công nghệ ứng dụng, Đại học Nha Trang, TP Nha Trang (2829/7/2016) Tran Minh Tu, Nguyen Van Long, Tran Huu Quoc (2016) Thermoelastic bending analysis of functionally graded sandwich plates using the eight-unknown higher order shear deformation theory The 4th International Conference on Engineering Mechanics and Automation (ICEMA 4), University of Engineering and Technology - Vietnam National University (25-26/08/2016) Tran Minh Tu, Tran Huu Quoc and Nguyen Van Long (2017) Bending analysis of functionally graded plates using new eight-unknown higher order shear deformation theory Structural Engineering and Mechanics, 62 (3), 311-324, DOI: https://doi.org/10.12989/sem.2017.62.3.311 MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Vật liệu có tính biến thiên (Functionally Graded Material - FGM) loại vật liệu composite tiên tiến, không mức độ vi mô, cấu thành từ hai nhiều hai pha vật liệu với tỷ lệ thể tích vật liệu thành phần biến đổi liên tục Các đặc trưng học vật liệu biến đổi trơn liên tục, nên tránh s bong tách, s tập trung ứng suất bề mặt tiếp xúc thường xả vật liệu composite tru ền thống Để tối ưu hóa cơng tác tính toán thiết kế kết cấu tấm/vỏ vật liệu FGM cần hiểu rõ qu luật ứng xử học vật liệu kết cấu Việc phát triển mơ hình phương pháp tính kết cấu vật liệu FGM ln thu hút s quan t m nhà khoa học nước Trên sở luận án l a chọn đề tài: “Ph n tích tĩnh, ổn định dao động riêng chữ nhật FGM sử dụng lý thuyết biến d ng cắt tám ẩn” Mục đích nghiên cứu luận án Đề xuất cải tiến lý thuyết biến dạng cắt bậc ba đầ đủ 12 ẩn số chuyển vị lý thuyết biến dạng cắt bậc cao tám ẩn chuyển vị để phân tích ứng xử học dày FGM Sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao tám ẩn chuyển vị đề xuất, xây d ng hệ thức quan hệ phương trình chủ đạo để phân tích ứng xử tĩnh, ổn định dao động riêng chữ nhật FGM phương pháp giải tích phương pháp phần tử hữu hạn Viết chương trình tính Matlab để khảo sát ảnh hưởng tham số vật liệu, kích thước hình học, điều kiện biên đến độ võng, thành phần ứng suất, tải trọng tới hạn tần số dao động riêng FGM Đối tƣợng ph m vi nghiên cứu luận án Đối tượng nghiên cứu luận án chữ nhật FGM chiều dà không đổi với dạng điều kiện biên khác Phạm vi nghiên cứu luận án tốn phân tích tuyến tính: xác định độ võng, thành phần ứng suất, tải trọng tới hạn tần số dao động riêng chữ nhật FGM với dạng điều kiện biên khác Phƣơng pháp nghiên cứu Phương pháp giải tích: Sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao tám ẩn thiết lập phương trình chủ đạo, thuật tốn chương trình tính nhằm phân tích ứng xử học FGM bốn biên t a khớp Phương pháp phần tử hữu hạn: Xây d ng mơ hình, thuật tốn phần tử hữu hạn chương trình tính nhằm phân tích ứng xử học FGM với dạng điều kiện biên khác sở lý thuyết biến dạng cắt bậc cao tám ẩn chuyển vị Những đóng góp Luận án Đề xuất cải tiến lý thuyết biến dạng cắt bậc ba 12 ẩn chuyển vị thành lý thuyết bậc ba với tám ẩn số chuyển vị cho kết cấu tấm, thỏa mãn điều kiện biên ứng suất cắt ngang mặt 0; thể s biến đổi biến dạng dài theo phương chiều dày, phù hợp với dày Thiết lập hệ thức phương trình chủ đạo cho tốn phân tích tuyến tính tĩnh, ổn định dao động riêng chữ nhật FGM sở lý thuyết đề xuất Thiết lập lời giải giải tích cho bốn biên t a khớp sử dụng dạng nghiệm Navier; xây d ng mơ hình phần tử hữu hạn để phân tích tuyến tính tĩnh, ổn định dao động riêng FGM với lý thuyết đề xuất Viết chương trình tính Matlab để kiểm chứng độ tin cậy thuật tốn mơ hình tính đề xuất; khảo sát số đánh giá ảnh hưởng tham số vật liệu, kích thước hình học đến độ võng, thành phần ứng suất, tải trọng tới hạn tần số dao động riêng chữ nhật FGM với điều kiện biên khác Bố cục luận án Luận án gồm: Mở đầu, Bốn chương chính, Kết luận kiến nghị, Tài liệu tham khảo Phụ lục CHƢƠNG TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU Chương nà giới thiệu tóm tắt vật liệu có tính biến thiên (FGM) - tính chất học vật liệu; kết cấu vật liệu FGM ứng dụng; tổng quan tình hình nghiên cứu ngồi nước phân tích tĩnh động kết cấu FGM Trên sở phân tích mơ hình tính thấy rằng, lý thu ết cổ điển sở giả thiết Kirchhoff, bỏ qua biến dạng cắt ngang nên phù hợp với mỏng Lý thu ết biến dạng cắt bậc kể đến biến dạng cắt ngang không phản ánh qu luật ph n bố ứng suất cắt ngang dạng parabol th c tế chịu uốn Hệ số hiệu chỉnh cắt đưa vào, tu nhiên việc xác định xác hệ số nà phức tạp Các lý thu ết biến dạng cắt bậc cao khắc phục nhược điểm lý thu ết bậc không cần hệ số hiệu chỉnh cắt Tu nhiên lý thu ết bậc cao không thỏa mãn điều kiện ứng suất phương chiều dà không mặt tính tốn Kể đến điều Redd cải tiến lý thu ết biến dạng cắt bậc ba đơn giản ẩn số chu ển vị lý thu ết biến dạng cắt bậc ba ẩn số chu ển vị thỏa mãn điều kiện biên ứng suất cắt ngang bề mặt Các lý thu ết bậc cao nói chung lý thu ết bậc ba Redd lại bỏ qua biến dạng pháp tu ến theo phương chiều dà , coi thành phần độ võng khơng phụ thuộc tọa độ chiều dà Chính vậ sử dụng lý thu ết bậc cao tính tốn cho dà thường cho sai lệch đáng kể so với nghiệm lý thu ết đàn hồi, thành phần ứng suất cắt ngang Từ ph n tích kể tác giả luận án nhận thấ rằng, việc phát triển thêm mô hình phương pháp tính hướng nghiên cứu quan t m, đ động l c để đề xuất cải tiến mơ hình tính tốn cho dà luận án CHƢƠNG LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG CẮT BẬC CAO TÁM ẨN CHUYỂN VỊ - PHÂN TÍCH TĨNH, ỔN ĐỊNH VÀ DAO ĐỘNG RIÊNG CỦA TẤM CHỮ NHẬT FGM BẰNG PHƢƠNG PHÁP GI I TÍCH 2.1 Mở đầu Trong chương nà , tác giả luận án đề xuất cải tiến trường chu ển vị lý thu ết biến dạng cắt bậc ba đầ đủ 12 ẩn số chu ển vị thành lý thu ết biến dạng cắt bậc cao tám ẩn Lý thu ết nà khắc phục nhược điểm lý thu ết biến dạng cắt bậc cao nói chung: thỏa mãn điều kiện ứng suất cắt ngang không mặt tấm, đồng thời có kể đến biến dạng pháp tu ến ( z ) Do kể đến biến dạng pháp tu ến nên lý thu ết nà mơ tả tính làm việc ba chiều kết cấu tấm, vậ kết tính tốn cho dà FGM phù hợp so sánh với lý thu ết đàn hồi ba chiều Trên sở trường chu ển vị đề xuất, tác giả tiến hành x d ng hệ thức phương trình chủ đạo cho chữ nhật FGM theo lý thu ết biến dạng cắt bậc cao tám ẩn chu ển vị Phương trình chu ển động điều kiện biên thiết lập cho toán tổng quát d a ngu ên lý lượng toàn phần c c tiểu, thành phần biến dạng phi tu ến von Kármán kể đến Trong ph n tích tu ến tính thành phần biến dạng phi tu ến bỏ qua 2.2 Lý thuyết biến d ng cắt bậc cao tám ẩn chuyển vị 2.2.1 Trường chuyển vị Hình 2.1 Hình dạng hình học có biên cong ét vật liệu FGM với mặt trung bình trước biến dạng A Miền khảo sát thể tích V Biên bao gồm bề mặt (z = h/2), bề mặt (z = - h/2) mặt bên Trong trường hợp tổng quát, mặt cong với pháp tu ến nˆ nx eˆx ny eˆy ; với nx , ny cosin phương véc tơ pháp tu ến đơn vị nˆ (xem Hình 2.1) Trường chu ển vị lý thu ết biến dạng cắt bậc ba đầ đủ 12 ẩn chu ển vị [5]: u ( x, y, z, t ) u0 ( x, y, t ) z x ( x, y, t ) z 2u0* ( x, y, t ) z 3 x* ( x, y, t ); v( x, y, z, t ) v0 ( x, y, t ) z y ( x, y, t ) z 2v0* ( x, y, t ) z 3 y* ( x, y, t ); (2.1) w( x, y, z, t ) w0 ( x, y, t ) z z ( x, y, t ) z w ( x, y, t ) z ( x, y, t ) Từ trường chu ển vị lý thu ết biến dạng cắt bậc ba 12 ẩn, kết hợp với điều kiện ứng suất cắt h h ngang: xz z zz z , ta nhận trường chu ển vị với ẩn chu ển vị: 2 2 * * z u u0 z x * * z w z z w c1 z c2 x ; x x x x w* * z w z z c1 z c2 y ; y y y y w w0 z z z w0* z 3 z* v v0 z y h2 , c2 h 2.2.2 Trường biến dạng Các thành phần biến dạng có kể đến biến dạng phi tu ến hình học von Kármán: L + NL Các thành phần biến dạng tu ến tính: xL x0 L 1x L x2 L x3 L L 0L 1L 2L 3L y y y y y z z(0) z(1) z(2) L L L z 1L z L z L xy xy xy xy xy (0) (1) (2) xz xz xz xz xz(3) (1) (2) (3) yz yz yz yz yz Các thành phần biến dạng phi tu ến: i iNL z x NL x i 61 NL i iNL y z y i 1 NL NL xy z i xyiNL i 1 (2.2) đó: c1 2.2.3 Trường ứng suất x Q11 Q12 y Q21 Q22 Q Q z 31 32 xy xz 0 yz Q13 Q23 Q33 0 0 0 Q44 0 0 0 Q66 0 x y z Q xy xz Q55 yz (2.3.1) (2.3.2) (2.3.3) (2.4) 2.2.4 Các thành phần nội lực Với lý thu ết biến dạng cắt bậc cao tám ẩn chu ển vị, ta định nghĩa thành phần nội l c sau: N x M x N x* M x* x * * Ny M y Ny M y y N x* M x* N x** h / x N z M z N z* M z* h / z 1 z z z dz; N *y M *y N ** (2.5.1) y y z z z dz * * N M N M xy xy xy xy h / xy * * ** h / N xy M xy N xy xy Q S Q* S * xz xz xz xz* xz* Qyz S yz Qyz S yz yz và: Rxz Qxz c2Qxz* , Ryz Qyz c2Qyz* ;Txz c1S xz S xz* ,Tyz c1S yz S yz* ; (2.5.2) c2 * c c M x , Pxy M xy M xy* , Py M y M y* 3 2.2.5 Các phương trình chuyển động a Nguyên lý lượng toàn phần cực tiểu Nguyên lý lượng toàn phần c c tiểu sử dụng để thiết lập phương trình chu ển động FGM [10], với dạng toán học sau: (2.6) U W W * * đó: U , W , W biến ph n biến dạng đàn hồi, công ngoại l c cơng l c qn tính Khai triển biểu thức lượng, nhóm thành phần biến ph n chu ển vị u0 , v0 , w0 , x , y , z , w0* , z* , ta nhận hệ phương trình Euler-Lagrange: Px M x N x N xy I * I w w* I 0u0 J1 x z c1 z c2 ; x y x x x x N xy x N y y I v0 J1 y I z z* I w0 w0* c c2 ; y y y y M xy* M y* Rxz Ryz c2 M x* (1) N NL qz I w0 I1 z I w0* I 3 z* 2 x xy y x y y c2 I c I u v c J I c2 I cI x z 2 z* w0 w0* ; x y x y 6 9 Px Pxy J z c1 J z* c2 J w0 J w0* Rxz J1u0 K 2 x ; x y x x x x Pxy x Py y Ryz J1v0 K 2 y J z c1 J z* c2 J w0 J w0* ; y y y y N xy* N y* v I u N x* h (2) N z N NL qz I1w0 I 2 z 2 x xy y 2 x y y J I * I cI * c I * I3 w x I 4 z z z w0 w0 ; x y 4 6 (2.7.1) (2.7.2) (2.7.3) (2.7.4) (2.7.5) (2.7.6) * M xy* M y* I u v M x* h2 (3) M N qz I w0 I 3 z z NL 2 x xy y x y y I cI * c I I * J * I4w x I 5 z z z w0 w0 ; x y 6 9 (2.7.7) * N xy* N *y c1 N x* x xy y Txz Tyz h3 * (4) N N qz z NL x y c1 I u0 v0 c1 J x y cI (2.7.8) I w0 I 4 z z x y x y I cI c2 I 2 z* w0 w0* I w0* I 6 z* 6 2 toán tử Laplacian hệ tọa độ Cartesian cho toán toán chiều; x y (1) (2) (3) (4) toán tử phi tu ến: NL trình bà phụ lục D luận án , NL , NL , NL Từ hệ phương trình (2.7), sử dụng liên hệ nội l c - chu ển vị (2.3-2.5), ta nhận hệ phương trình chuyển động theo chuyển vị 2.3 Phân tích tuyến tính tĩnh, ổn định dao động riêng kết cấu vật liệu có tính biến thiên 2.3.1 Đặt vấn đề Trong phần này, luận án tập trung ph n tích tu ến tính ba tốn bao gồm: tốn tĩnh, ổn định dao động riêng chữ nhật vật liệu FGM bốn biên t a khớp tiếp cận giải tích sử dụng lời giải Navier Các thành phần biến dạng phi tu ến hình học von Kármán quan hệ biến dạngchu ển vị thành lập phần 2.2 bỏ qua 2.3.2 Các hệ thức a Trường biến dạng Trong ph n tích tu ến tính, trường biến dạng lý thu ết biến dạng cắt bậc cao tám ẩn chu ển vị trở thành: (2.8.1) L Các thành phần biến dạng tu ến tính có dạng (2.3.2) viết dạng: (0) + z (1) z (2) z3 (3) (2.8.2) Để thuận tiện, ta biểu diễn trường biến dạng theo hai thành phần: - Biến dạng màng-uốn: mu mu(0) + z mu(1) z mu(2) z3 mu(3) - Biến dạng cắt: c c(0) + z c(1) z c(2) z3 c(3) (2.9.1) (2.9.2) b Trường ứng suất Trường ứng suất xác định theo (2.4) với thành phần biến dạng cơng thức (2.8), ta biểu diễn dạng: Q (0) + z Q (1) z Q (2) z3 Q (3) (2.10) Tương t trường biến dạng, trường ứng suất tách làm hai thành phần: - Ứng suất màng-uốn: mu Qmu mu(0) + z Qmu mu(1) z Qmu mu(2) z3 Qmu mu(3) (2.11.1) - Ứng suất cắt ngang: c Qc c(0) + z Qc c(1) z Qc c(2) z3 Qc c(3) (2.11.2) c Quan hệ nội lực-biến dạng Từ biểu thức định nghĩa thành phần nội l c theo (2.5), biểu diễn ứng suất qua biến dạng theo (2.10), ta nhận quan hệ thành phần nội l c biến dạng: (0) N Au Bu Cu Du mu M B C D E (1) Dtmu εmu M mu * u u u u mu (2.12.1) (2) N Cu Du Eu Fu mu (3) M * Du Eu Fu Gu mu Q Ac Bc Cc Dc γc(0) S B C D E (1) γ Qc * c c c c c(2) Dtc γc (2.12.2) Q Cc Dc Ec Fc γc S * Dc Ec Fc Gc γc(3) đó: Dtmu ma trận độ cứng màng-uốn vật liệu tấm; Dtc ma trận độ cứng cắt vật liệu Các ma trận nà sử dụng trình thiết lập ma trận độ cứng kết cấu 2.3.3 Lời giải Navier cho chữ nhật vật liệu có tính biến thiên bốn biên tựa khớp Hình 2.2 Mơ hình chữ nhật làm vật liệu FGM Đối tượng nghiên cứu chữ nhật vật liệu FGM có chiều dà khơng đổi h, chiều dài a chiều rộng b (xem Hình 2.2) liên kết khớp chu vi a Phân tích tĩnh ét chữ nhật FGM chịu uốn tác dụng tải trọng ph n bố qz đặt lên bề mặt (xem Hình 2.3) Hình 2.3 Mơ hình chữ nhật chịu uốn Các điều kiện biên toán uốn bao gồm: Tại x = x = a: w N x 0; v0 0; w0 0; M x* 0; 0; Px 0; y 0; y (2.13.1) w* z * 0; w0* 0; 0; z* 0; z y y y Tại y = y = b: w N y 0; u0 0; w0 0; M y* 0; 0; Py 0; x 0; x (2.13.2) w* * z 0; N y* 0; z 0; w0* 0; 0; z* 0; z x x x Hệ phương trình c n theo chu ển vị cho toán uốn su từ hệ phương trình chu ển (1) (2) (3) (4) động nhận từ (2.7) bỏ qua toán tử phi tu ến NL thành phần gia tốc , NL , NL , NL Chọn dạng nghiệm Navier để thoả mãn điều kiện biên (2.13): z 0; N x* 0; u0 x, y u0 mn cos x sin y; v0 x, y v0 mn sin x cos y; m 1 n 1 m 1 n 1 w0 x, y w0 mn sin x sin y; x x, y xmn cos x sin y; m 1 n 1 m 1 n 1 y x, y ymn sin x cos y; z x, y zmn sin x sin y; m 1 n 1 (2.14) m 1 n 1 * w0* x, y w0*mn sin x sin y; z* x, y zmn sin x sin y m 1 n 1 m 1 n 1 m n * hệ số cần tìm; m, n số , ; u0mn , v0 mn , w0 mn , xmn , ymn , zmn , w0*mn , zmn a b số hạng sử dụng khai triển chuỗi lượng giác kép Tải trọng tác dụng qz ( x, y) khai triển theo chuỗi lượng giác kép - Fourier: đó: qz ( x, y ) qmn sin x sin y m 1 n 1 (2.15) Thay (2.14) (2.15) vào hệ phương trình c n theo chu ển vị tốn uốn, nhóm hệ số để hệ phương trình đại số tu ến tính: kc Kmn Qmn Fmn (2.16) kc thể phụ lục F luận án Các số hạng sij ma trận độ cứng kết cấu K mn 8x8 Nghiệm hệ phương trình đại số tu ến tính nà véc tơ hệ số chu ển vị * từ xác định trường chu ển vị, biến dạng, ứng Qmn u0mn , v0mn , w0mn , xmn , ymn , zmn , w0*mn , zmn suất, nội l c toán ph n tích tĩnh b Phân tích ổn định ét chữ nhật FGM liên kết khớp chu vi tác dụng tải trọng nén mặt trung bình, ph n bố cạnh theo hai phương x, y (xem Hình 2.4): Trên cạnh x = 0, a: N x0 N0 ; N xy0 0; Trên cạnh y = 0, b: N y0 N0 ; N yx0 Hình 2.4 Mơ hình chữ nhật chịu nén theo hai phương x, y Các điều kiện biên toán ổn định bao gồm: Tại x = x = a: w N x Nˆ x ; v0 0; w0 0; M x* Mˆ x* ; 0; Px Pˆx ; y 0; y (2.17.1) w0* z* * z * * ˆ z 0; N N x ; 0; w0 0; 0; z 0; 0 y y y Tại y = y = b: w N y Nˆ y ; u0 0; w0 0; M y* Mˆ y* ; 0; Py Pˆy ; x 0; x (2.17.2) w0* z* * * z * * ˆ z 0; N y N y ; 0; w0 0; 0; z 0; 0 x x x Hệ phương trình c n phi tu ến FGM nhận sau bỏ qua thành phần gia tốc (2.7) Để thiết lập hệ phương trình c n ổn định, ta sử dụng tiêu chuẩn c n l n cận [1] Từ hệ phương trình c n phi tu ến theo chu ển vị nhận từ (2.7), bỏ qua tác dụng tải trọng qz đồng * x (1) (2) (3) (4) thời tha toán tử phi tu ến NL thành phần tương ứng trạng thái màng , NL , NL , NL (1) (2) (3) (4) LL , LL , LL , LL luận án Các điều kiện biên tốn ổn định tu ến tính tương t ph n tích tĩnh (2.13) Chọn dạng nghiệm Navier để thoả mãn điều kiện biên (2.13): u0 x, y u0 mn cos x sin y; v0 x, y v0 mn sin x cos y; w0 x, y w0 mn sin x sin y; x x, y xmn cos x sin y; y x, y ymn sin x cos y; z x, y zmn sin x sin y; (2.18) * w0* x, y w0*mn sin x sin y; z* x, y zmn sin x sin y Thay (2.18) vào hệ phương trình c n ổn định, nhóm hệ số để hệ phương trình đại số tu ến tính dạng ma trận thu gọn: 10 diễn chu ển vị màng u0 ,v0 góc xoay x , y Hàm nội su Hermite H ij , để biểu diễn chu ển vị uốn w0 , z ,w0* , z* Với ph n tích đ , chu ển vị nút thứ i phần tử bao gồm 16 bậc t do: u0i ,v0i , xi , yi ,w0i ,w0, xi ,w0, yi , zi , z , xi , z , yi ,w0*i ,w0,* xi ,w0,* yi , zi* , z*, xi , z*, yi Để phù hợp với chương trình má tính mà số bậc t nút lớn mà đảm bảo độ xác cần thiết, luận án l a chọn sử dụng phần tử chữ nhật nút, nút 16 bậc t (xem Hình 3.1) (a) Hệ tọa độ th c (b) Hệ tọa độ t nhiên Hình 3.1 Phần tử chữ nhật nút hệ tọa độ th c hệ tọa t nhiên Véc tơ chu ển vị nút phần tử biểu diễn bởi: qe q1 , q2 , q3 , q4 T đó: qi u0i ,v0i , xi , yi ,w0i ,w0, xi ,w0, yi , zi , z , xi , z , yi ,w0*i ,w0,* xi ,w0,* yi , zi* , z*, xi , z*, yi T 3.2.2 Các phương trình a Trường chuyển vị Véc tơ chu ển vị điểm mặt trung bình: d0 16 x1 B 16 x 64 qe 64 x1 Như vậ , ta viết lại trường chuyển vị dạng ma trận sau: d3x1 H d0 H 3 x16 B16 x64 qe 64 x1 d 3 x64 qe 64 x1 b Trường biến dạng b1 Các thành phần biến dạng tuyến tính (0) (0) mu Bmu (1) (1) Bmu (2) qe Bmu 16 x 64 qe 64 x1 ; mu mu (2) mu Bmu (3) (3) mu Bmu c(0) Bc(0) (1) (1) B c c(2) c(2) qe Bc 8 x 64 qe 64 x1 c Bc c(3) Bc(3) b2 Các thành phần biến dạng phi tuyến T T T xNL qe Bbl1 hbl hbl Bbl1 qe ; T T T yNL qe Bbl hbl hbl Bbl qe ; T T T NL xy qe Bbl hbl hbl Bbl qe c Trường ứng suất - Để khái quát hóa vấn đề, ứng suất toàn phần định nghĩa [11]: (3.1) (3.2) (3.3) (3.4) (3.5) (3.6) 11 đó: x0 y0 xy0 0 T ứng suất ban đầu (do tải trọng nén cạnh gây ra); ứng suất bổ sung, xác định theo (2.10) 3.2.3 Các liên hệ tọa độ Các liên hệ tọa độ, quan hệ đạo hàm riêng hệ toạ độ th c hệ toạ độ t nhiên sử dụng để tính tốn tích ph n số trình thành lập ma trận độ cứng kết cấu, ma trận độ cứng hình học, ma trận khối lượng véc tơ l c nút phần tử 3.2.4 Phương trình phần tử hữu hạn Trong phương pháp phần tử hữu hạn, phương trình chu ển động phần tử FGM thu cách sử dụng ngu ên lý Hamilton cho hệ bảo toàn, viết dạng [10]: T U e We Te dt (3.7.1) Hay: T U e We Te dt (3.7.2) đó: U e biến dạng đàn hồi phần tử; Te động của phần tử; We công ngoại l c phần tử Từ đ ta nhận phương trình Lagrange loại theo chu ển vị [17]: We d Te U e 0 (3.8) dt qe qe qe a Thế biến dạng đàn hồi phần tử xác định [11]: U e U eL U eNL Thế biến dạng đàn hồi thành phần biến dạng tu ến tính: 1 T T T U eL qe keu qe qe kec qe qe kekc qe 2 Thế biến dạng đàn hồi thành phần biến dạng phi tu ến: T U eNL N0 qe kehh qe b Công ngoại lực tác dụng tải trọng phân bố qz viết dạng: (3.9.1) (3.9.2) (3.9.3) (3.10) We qe fe c Động phần tử xác định bởi: T Te qe me qe (3.11) d Phương trình chuyển động: Thay biểu thức (3.9-3.11) vào (3.8), phương trình chu ển động cho phần tử FGM thu có dạng: me qe kekc N0 kehh qe fe (3.12) T Bằng phép ghép nối ma trận thơng thường, ta nhận phương trình phần tử hữu hạn cho toàn tấm: M Q Kkc N0 Khh Q F K kc , K hh , M , Q F (3.13) tương ứng ma trận độ cứng kết cấu, ma trận độ cứng hình học, ma trận khối lượng, véc tơ chu ển vị nút véc tơ l c nút tổng thể Phương trình tổng quát (3.13) sử dụng để giải chuỗi tốn uốn, ph n tích dao động riêng, ph n tích ổn định Các phương trình giải sau áp đặt điều kiện biên hệ kết cấu 3.2.5 Tích phân số Trình bà cách th c tích ph n số nhằm tính tốn ma trận độ cứng kết cấu, ma trận độ cứng hình học, ma trận khối lượng véc tơ l c nút phần tử 3.2.6 Điều kiện biên Một số dạng điều kiện biên cho cạnh chữ nhật FGM bao gồm: 12 - Biên ngàm (C): Tại x = 0; a y = 0; b: u0i v0i xi yi w0i w0, xi w0, yi zi z , xi z , yi w0*i w0,* xi w0,* yi zi* z*, xi z*, yi - Biên khớp (S): Tại x = 0; a: v0i yi w0i w0, yi zi z , yi w0*i w0,* yi zi* z*, yi ; Tại y = 0; b: u0i xi w0i w0, xi zi z , xi w0*i w0,* xi zi* z*, xi - Biên t (F): Tại x = 0; a y = 0; b: u0i v0i xi yi w0i w0, xi w0, yi zi z , xi z , yi w0*i w0,* xi w0,* yi zi* z*, xi z*, yi (3.14) (3.15.1) (3.15.2) (3.16) 3.2.7 Sơ đ khối c a chương trình tính phương pháp phần tử hữu hạn Từ biểu thức quan hệ hệ phương trình chu ển động thiết lập trên, chương trình tính viết Matlab viết nhằm kiểm chứng toán tu ến tính cho chữ nhật P-FGM với số điều kiện biên khác Sơ đồ thuật toán để giải toán sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn trình bày luận án 3.3 Ví dụ kiểm chứng thuật tốn chƣơng t ình phần tử hữu h n Nhằm kiểm chứng mơ hình thuật toán phần tử hữu hạn theo lý thuyết biến dạng cắt bậc cao tám ẩn chuyển vị, luận án th c toán sau: 3.3.1 Kiểm chứng toán uốn Bài toán 1: Kiểm chứng độ võng, ứng suất cho đẳng hướng cho hai trường hợp điều kiện biên: ngàm cạnh (CCCC) khớp cạnh (SSSS) Các kết luận án so sánh với Civalek [3], Liew cộng s [7] Bài toán 2: Kiểm chứng độ võng cho P-FGM (Al/ZrO2-1) cho hai trường hợp điều kiện biên: ngàm cạnh (CCCC) khớp cạnh (SSSS) Các kết luận án so sánh với Gilhoole cộng s [4], Nguyen- uan cộng s [9], Lee cộng s [6]; Thai Choi [14] 3.3.2 Kiểm chứng toán ổn định Bài toán 1: Kiểm chứng tải trọng tới hạn cho đẳng hướng điều kiện biên SSSS Các kết tính tốn luận án so sánh với Uymaz Aydogdu [19] Bài toán 2: Kiểm chứng tải trọng tới hạn cho P-FGM (Al/SiC) Các kết luận án so sánh với Thai Choi [13], Mohammadi cộng s [8], Bodaghi Saidi [2] 3.3.3 Kiểm chứng toán dao động riêng Kiểm chứng tần số dao động riêng không thứ ngu ên ˆ cho P-FGM (Al/ZrO2-2) cho ba trường hợp điều kiện biên: SSSS, SCSC, CCCC Các kết luận án kiểm chứng với U maz Aydogdu [18] 3.4 Kết luận chƣơng Các kết mà chương th c bao gồm: Xây d ng mơ hình phần tử hữu hạn sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao tám ẩn chuyển vị cho chữ nhật FGM, sở thiết lập phương trình phần tử hữu hạn để giải tốn tuyến tính cho phân tích ứng xử học Viết chương trình tính tốn số Matlab: Lời giải phần tử hữu hạn cho chữ nhật FGM với dạng điều kiện biên xây d ng (các kết thể báo số danh mục cơng trình khoa học công bố tác giả) Đã th c ví dụ kiểm chứng cho ba tốn phân tích tuyến tính: uốn, ổn định dao động riêng chữ nhật FGM Có thể thấy việc xây dựng lời giải phần tử hữu hạn sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao tám ẩn chuyển vị cho kết tốt phù hợp với kết 3D, mơ hình ESL với lời giải giải tích trường hợp điều kiện biên khớp cạnh (SSSS) CHƢƠNG 13 KH O SÁT SỐ 4.1 Mở đầu Trong chương nà , luận án sử dụng chương trình t viết để khảo sát ảnh hưởng tham số vật liệu (chỉ số tỷ lệ thể tích), tham số kích thước hình học, điều kiện biên đến độ võng, thành phần ứng suất, tải trọng tới hạn tần số dao động riêng chữ nhật FGM có chiều dà không đổi sử dụng đồng thời phương pháp: giải tích phần tử hữu hạn Trong khảo sát tiếp theo, dày chữ nhật (Hình 2.2) vật liệu P-FGM với vật liệu thành phần Al/Al2O3-1 sử dụng Mô đun đàn hồi, hệ số Poisson, khối lượng riêng kim loại (Al): Em = 70 GPa, νm = 0.3, ρm = 2702 kg/m3; gốm (Al2O3-1): Ec = 380 GPa, νm = 0.3, ρm = 3800 kg/m3 Ba dạng toán đ th c hiện: Phân tích ứng xử uốn chữ nhật vật liệu FGM; Phân tích ổn định chữ nhật vật liệu FGM chịu nén cạnh; Ph n tích dao động riêng chữ nhật vật liệu FGM 4.2 Ph n tích tĩnh Xét chữ nhật vật liệu P-FGM tác dụng tải trọng phân bố q0 104 N/m2 tác dụng lên bề mặt (Hình 2.3) Để thuận tiện, kết số độ võng, ứng suất thể dạng không thứ ngu ên đ : E a b 1 w( z ) c w , , z , x ( z ) x a0 , b0 , z , y ( z ) y a0 , b0 , z , q0 a 2 q0 q0 xy ( z ) 1 xy a1 , b1 , z , xz ( z ) xz a1 , b0 , z , yz ( z ) yz a0 , b1 , z ; q0 q0 q0 E a b h h w c w , ,0 , x x a0 , b0 , , xy xy a1 , b1 , , xz xz a1 , b0 ,0 q0 a 2 q0 2 q0 2 q0 a b a b a0 25 0 , b0 25 0 ; a1 1 0 , b1 1 0 ; 48 48 48 48 đó: 0 0 0.3399810436 tọa độ điểm Gauss hệ tọa độ t nhiên (4.1) 4.2.1 Khảo sát biến thiên c a độ võng, ứng suất điểm theo phương chiều dày Xét chữ nhật vật liệu P-FGM t a khớp chu vi với a = 1m, h/a = 0.2, b/a = Biến thiên độ võng không thứ nguyên w thành phần ứng suất không thứ nguyên x , y , xy , xz , yz dọc theo chiều dày (z/h = -0.5 ÷ 0.5) với giá trị khác số tỷ lệ thể tích p (p = 0, 0.5, 1, 2, 5) tính tốn thể qua đồ thị Hình 4.1 Các đồ thị biểu diễn s biến thiên w x , y , xy , xz , yz theo chiều dà với hai phương pháp: giải tích (GT) phần tử hữu hạn (PTHH) gần nhau, điều nà khẳng định thêm độ tin cậ mô hình thuật tốn Quan sát đồ thị nà ta thấ : Độ võng w tha đổi phi tu ến theo chiều cao tấm, tu nhiên s tha đổi không nhiều; độ võng mặt nhỏ mặt trên; p tăng, tính phi tu ến độ võng rõ rệt, độ võng không thứ ngu ên tăng lượng ceramic vật liệu FGM giảm; Các ứng suất màng x , y , xy tha đổi tu ến tính khơng mặt trung bình p = (vật liệu ceramic đẳng hướng), tha đổi phi tu ến p ≠ điểm có ứng suất khơng khơng nằm mặt trung bình dịch chu ển phía bề mặt giàu ceramic; Các ứng suất cắt ngang xz , yz tha đổi phi tu ến theo chiều cao tấm, không đổi dấu, triệt tiêu mặt dưới; đạt c c trị mặt trung bình p = 0, dịch chu ển khỏi mặt trung bình p ≠ 14 w x y xy xz yz Hình 4.1 Biến thiên độ võng thành phần ứng suất không thứ nguyên theo chiều dày chữ nhật FGM 4.2.2 Khảo sát ảnh hưởng c a số tỷ lệ thể tích p Xét chữ nhật vật liệu P-FGM t a khớp chu vi với a = 1m, h/a = 0.2, b/a = Độ võng không thứ nguyên w thành phần ứng suất không thứ nguyên x , xy , xz chữ nhật FGM với giá trị khác số tỷ lệ thể tích p tính tốn nghiệm giải tích nghiệm PTHH thể Bảng 4.1 Các kết số cho thấy lời giải phần tử hữu hạn cho kết sát với lời giải giải tích (sai số lớn 1.7436%) Bảng 4.1 Độ võng thành phần ứng suất không thứ nguyên chữ nhật FGM với giá trị p khác Phương pháp p 10 GT w 15.3946 30.5606 39.5501 48.5904 54.1601 PTHH 15.3982 30.5660 39.5582 48.6033 54.1763 Sai số (%) 0.0231 0.0177 0.0204 0.0266 0.0298 GT x 15.5272 24.0255 28.1121 33.0255 39.4227 PTHH 15.5973 24.1199 28.2192 33.1531 39.5736 Sai số (%) 0.4515 0.3928 0.3811 0.3863 0.3827 GT xy 4.4726 3.8815 3.4631 3.6729 3.7531 PTHH 4.4542 3.8726 3.4538 3.6613 3.7417 Sai số (%) -0.4118 -0.2305 -0.2679 -0.3182 -0.3049 GT xz 3.3409 3.3248 3.0383 2.6771 2.9388 PTHH 3.3377 3.3140 3.0266 2.6704 2.9344 Sai số (%) -0.0974 -0.3232 -0.3854 -0.2527 -0.1495 Biến thiên độ võng không thứ nguyên w thành phần ứng suất không thứ nguyên x , xy , xz theo số tỷ lệ thể tích p thể qua đồ thị Hình 4.2 Quan sát đồ thị ta thấy, p tăng: Độ võng w ứng suất x tha đổi nhiều tăng, giá trị chúng tăng nhanh khoảng p = ÷ 2, sau tốc độ tăng chậm dần; vậ chúng đạt giá trị nhỏ gốm nhất, lớn chuyển sang kim loại nhất; Ứng suất xy tha đổi ít, ban đầu tăng nhẹ khoảng p = ÷ 0.2, đạt giá trị lớn p 0.2, sau giảm đạt c c tiểu p , tăng lại với tốc độ tăng chậm; 15 Ứng suất xz biến đổi tương t xy , tăng khoảng p = ÷ 0.5, sau giảm khoảng p = 0.5 ÷ 5, lại tăng dần với tốc độ tăng chậm, xz đạt giá trị lớn p 0.5 đạt giá trị nhỏ p w x xy xz Hình 4.2 Biến thiên độ võng thành phần ứng suất không thứ nguyên chữ nhật FGM theo số tỷ lệ thể tích p 4.2.3 Khảo sát ảnh hưởng c a tỷ số kích thước h/a Xét vuông vật liệu P-FGM t a khớp chu vi với p = 3, a = b = 1m Biến thiên độ võng không thứ nguyên w thành phần ứng suất màng không thứ nguyên x , y , xy theo tỷ số h/a thể qua đồ thị Hình 4.3 Quan sát đồ thị ta thấy: h/a tăng có nghĩa dày, độ võng w thành phần ứng suất màng uốn x , y , xy giảm nhiều giảm nhanh khoảng h/a = 0.05 ÷ 0.1, sau tốc độ giảm chậm dần đạt độ dày định w x xy xz Hình 4.3 Biến thiên độ võng thành phần ứng suất không thứ nguyên vuông FGM theo tỷ số h/a 16 Biến thiên thành phần ứng suất cắt ngang không thứ nguyên xz theo tỷ số h/a thể qua đồ thị Hình 4.3 Quan sát đồ thị ta thấy: h/a tăng (tấm dày), thành phần ứng suất cắt ngang giảm, tu nhiên lượng tha đổi không nhiều 4.2.4 Khảo sát ảnh hưởng c a tỷ số kích thước cạnh b/a Xét chữ nhật vật liệu P-FGM t a khớp chu vi với p = 3, a = 1m, h/a = 0.2 w x xy xz Hình 4.4 Biến thiên độ võng thành phần ứng suất không thứ nguyên chữ nhật FGM theo tỷ số b/a Hình 4.4 biểu diễn s biến thiên độ võng không thứ nguyên w thành phần ứng suất không thứ nguyên x , xy , xz theo tỷ số b/a Quan sát đồ thị ta thấy, b/a tăng: Độ võng w thành phần ứng suất x , xy , xz tha đổi phi tu ến, tăng nhanh khoảng b/a = 0.5 ÷ 2, sau tốc độ tăng chậm dần, ứng suất xy gần không tha đổi b/a ≥ 4.2.5 Khảo sát ảnh hưởng c a điều kiện biên w x xy xz Hình 4.5a Biến thiên độ võng thành phần ứng suất không thứ nguyên chữ nhật FGM với điều kiện biên số tỷ lệ thể tích p khác 17 Xét chữ nhật vật liệu P-FGM, tham số hình học vật liệu giữ ngu ên tốn trình bà phần 4.2.2-4.2.4 Bốn dạng điều kiện biên: CCCC, SCSC, SSSS, SFSC khảo sát Biến thiên độ võng không thứ nguyên w thành phần ứng suất không thứ nguyên x , xy , xz với dạng điều kiện biên khác nhau: CCCC, SCSC, SSSS, SFSC sử dụng lời giải phần tử hữu hạn, tính tốn thể đồ thị Hình 4.5a-4.5c Quan sát đồ thị ta thấy ảnh hưởng điều kiện biên đến đại lượng nghiên cứu rõ rệt, phản ánh tư du kỹ thuật w x xy xz Hình 4.5b Biến thiên độ võng thành phần ứng suất không thứ nguyên vuông FGM với điều kiện biên tỷ số h/a khác w xy x xz Hình 4.5c Biến thiên độ võng thành phần ứng suất không thứ nguyên chữ nhật FGM với điều kiện biên tỷ số b/a khác 4.2.6 Nhận xét chung Với vật liệu P-FGM số tỷ lệ thể tích p biến thiên làm tha đổi độ cứng kết cấu tha đổi tỷ phần thể tích gốm/kim loại Khi p ≠ 0, mặt trung hịa khơng trùng với mặt trung bình, biến thiên thành phần ứng suất theo tọa độ chiều dà phi tu ến Thành phần ứng suất cắt ngang thỏa mãn điều kiện không mặt tấm; 18 Khi h/a tăng, độ võng không thứ ngu ên w thành phần ứng suất không thứ ngu ên x , xy , xz giảm phi tu ến với quy luật khác với điều kiện biên cụ thể; giảm rõ rệt khoảng h/a ≤ 0,1 sau chậm dần; Khi b/a tăng, độ võng khơng thứ ngu ên w thành phần ứng suất tha đổi đáng kể tính chất làm việc hai chiều dần chu ển thành chiều Điều kiện biên ảnh hưởng đến trị số đại lượng khảo sát mà làm tha đổi qu luật biến thiên chúng 4.3 Ph n tích ổn định Xét chữ nhật vật liệu P-FGM với vật liệu thành phần Al/Al2O3-1 Tấm chịu tác dụng tải trọng nén cạnh theo hai phương: N x0 Nmn , N y0 Nmn , N xy0 (Hình 2.4) Để thuận tiện, giá trị tải trọng tới hạn thể dạng không thứ ngu ên đ 12 c Nth 10 Nth aEc [15]: (4.2) 4.3.1 Khảo sát ảnh hưởng c a số tỷ lệ thể tích p Xét chữ nhật vật liệu P-FGM t a khớp chu vi với a = 1m, b/a = 2, h/a = 0.1 Tấm chịu tác dụng tải trọng nén cạnh hai trường hợp: theo phương y (γ1 = 0, γ2 = 1); theo hai phương x, y (γ1 = 1, γ2 = 1) p 0, 0, p 0, 1, p 5, 0, p 5, 1, Hình 4.6a Dạng ổn định chữ nhật FGM với giá trị p khác 0, 1 N th 1, 1 N th Hình 4.6b Biến thiên tải trọng tới hạn không thứ nguyên N th chữ nhật FGM theo số tỷ lệ thể tích p Hình 4.6a thể số mode vồng cho trường hợp số tỷ lệ thể tích (p = 0, 1, 2, 5) Biến thiên tải trọng tới hạn N th theo số tỷ lệ thể tích biểu diễn qua đồ thị Hình 4.6b Quan sát dạng ổn định Hình 4.6a đồ thị biến thiên Hình 4.6b ta thấy, p tăng đồng nghĩa với tăng hàm lượng kim loại vật liệu: 19 Với hai trường hợp tải trọng nén, biến thiên số tỷ lệ thể tích p khơng làm tha đổi mode vồng tấm; Tải trọng tới hạn N th giảm hai trường hợp đặt tải, giảm nhanh khoảng p = ÷ 2, sau tốc độ giảm chậm dần gần khơng tha đổi p đủ lớn (xấp xỉ giá trị p = 10) 4.3.2 Khảo sát ảnh hưởng c a tỷ số kích thước h/a Xét vng vật liệu P-FGM t a khớp chu vi với p = 3, a = b = 1m Tấm chịu tác dụng tải trọng nén cạnh hai trường hợp: theo phương y (γ1 = 0, γ2 = 1); theo phương x, y (γ1 = 1, γ2 = 1) 0, 1 N th 1, 1 N th Hình 4.7a Biến thiên tải trọng tới hạn không thứ nguyên N th vuông FGM theo tỷ số h/a Biến thiên tải trọng tới hạn không thứ nguyên N th theo tỷ số h/a biểu diễn qua đồ thị Hình 4.7a, số mode vồng minh họa Hình 4.7b Quan sát đồ thị Hình 4.7a dạng ổn định Hình 4.7b ta thấy, h/a tăng: Mode vồng cho hai trường hợp đặt tải trọng nén không đổi, điều chứng tỏ dạng ổn định không phụ thuộc vào dày hay mỏng; Với hai trường hợp tải trọng nén, tải trọng tới hạn N th tăng, h/a lớn, dà tải trọng tới hạn N th tăng nhanh h/a 0.05, 0, h/a 0.2, 0, h/a 0.05, 1, h/a 0.2, 1, Hình 4.7b Dạng ổn định vuông FGM với tỷ số h/a khác 4.3.3 Khảo sát ảnh hưởng c a tỷ số kích thước cạnh b/a Xét chữ nhật vật liệu P-FGM t a khớp chu vi với p = 3, a = 1m, h/a = 0.1 Tấm chịu tác dụng tải trọng nén cạnh theo phương hai phương: theo phương y (γ1 = 0, γ2 = 1); theo hai phương x, y (γ1 = 1, γ2 = 1) 20 b/a 0.5, 0, b/a 0.5, 1, b/a 3, 0, b/a 3, 1, Hình 4.8a Dạng ổn định chữ nhật FGM với tỷ số b/a khác Hình 4.8a biểu diễn số mode vồng ổn định cho trường hợp tỷ số kích thước cạnh (b/a = 0.5, 1, 2, 3); biến thiên tải trọng tới hạn N th theo tỷ số b/a thể Hình 4.8b Quan sát dạng ổn định Hình 4.8a đồ thị Hình 4.8b ta thấy, b/a tăng: Mode vồng cho trường hợp tải trọng nén theo hai phương không đổi, trường hợp tải trọng nén theo phương (phương y) có s tha đổi; điều chứng tỏ kích thước cạnh phát triển theo phương tải trọng nén có ảnh hưởng lớn đến dạng ổn định trường hợp chịu nén theo phương; Với trường hợp chịu tác dụng tải trọng nén theo phương y: tải trọng tới hạn N th biến đổi phức tạp, biến thiên phi tu ến khoảng giá trị tỷ số b/a; Với trường hợp chịu tác dụng tải trọng nén theo phương x, y: tải trọng tới hạn N th liên tục giảm, giảm nhanh khoảng b/a = 0.5 ÷ 1.5, sau tốc độ giảm chậm dần 0, 1 N th 1, 1 N th Hình 4.8b Biến thiên tải trọng tới hạn không thứ nguyên N th chữ nhật FGM theo tỷ số b/a 4.3.4 Khảo sát ảnh hưởng c a điều kiện biên Xét chữ nhật vật liệu P-FGM cho trường hợp điều kiện biên: SCSC, SSSC, SSSS, SFSC Các tham số hình học vật liệu giữ ngu ên toán trình bà phần 4.3.1-4.3.3 Tấm chịu tác dụng tải trọng nén cạnh hai trường hợp: theo phương y (γ1 = 0, γ2 = 1); theo hai phương x, y (γ1 = 1, γ2 = 1) Biến thiên tải trọng tới hạn không thứ nguyên N th với dạng điều kiện biên khác nhau: SCSC, SSSC, SSSS, SFSC sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn tính tốn thể qua đồ thị hình (4.9a-c) Quan sát đồ thị ta thấy: 21 1) Tải trọng tới hạn N th giảm phi tu ến theo số tỷ lệ thể tích p tăng phi tu ến theo tỉ số a/h với điều kiện biên dạng tải trọng nén khác nhau; điều kiện biên SCSC có tải trọng tới hạn N th lớn nhất, sau đến điều kiện biên SSSC, tiếp đến điều kiện biên SSSS, cuối điều kiện biên SFSC; 2) Đối với chữ nhật vật liệu P-FGM, b/a tăng: điều kiện biên SCSC có tải trọng tới hạn N th lớn nhất, sau đến điều kiện biên SSSC, tiếp đến điều kiện biên SSSS, cuối điều kiện biên SFSC; ngồi có s khác hai dạng tải trọng nén: Với trường hợp chịu tác dụng tải trọng nén cạnh theo phương y: tải trọng tới hạn N th tha đổi phức tạp với dạng điều kiện biên, xuất mode vồng khác nhau; Với trường hợp chịu tác dụng tải trọng nén cạnh theo phương x, y: tải trọng tới hạn N th biến đổi phức tạp với trường hợp điều kiện biên SCSC, xuất nhiều dạng mode vồng khác nhau; tải trọng tới hạn N th giảm với trường hợp điều kiện biên SSSC, SSSS SFSC; 0, 1 N th 1, 1 N th Hình 4.9a Biến thiên l c nén tới hạn không thứ nguyên N th chữ nhật FGM với điều kiện biên số tỷ lệ thể tích p khác 0, 1 1, 1 N th N th Hình 4.9b Biến thiên tải trọng tới hạn khơng thứ nguyên N th vuông FGM với điều kiện biên tỷ số h/a khác 1, 1 N th 0, 1 N th Hình 4.9c Biến thiên tải trọng tới hạn không thứ nguyên N th chữ nhật FGM với điều kiện biên tỷ số b/a khác 4.3.5 Nhận xét chung Khi p tăng (tăng hàm lượng kim loại), mode vồng không đổi, tải trọng tới hạn không thứ nguyên N th giảm với trường hợp tải trọng nén tất dạng điều kiện biên; 22 Khi h/a tăng (tấm dày lên), mode vồng không đổi, tải trọng tới hạn không thứ nguyên N th tăng với trường hợp tải trọng nén tất dạng điều kiện biên; Khi b/a tăng (tăng kích thước theo phương y chữ nhật), dạng ổn định có s tha đổi, tải trọng tới hạn không thứ nguyên N th biến thiên với quy luật phức tạp với trường hợp tải trọng nén phụ thuộc tr c tiếp vào điều kiện biên; Điều kiện biên có ảnh hưởng tr c tiếp đến dạng ổn định; giá trị tải trọng N th , điều kiện biên SCSC có kết tải trọng N th lớn nhất, đến điều kiện biên SSSC, SSSS SFSC 4.4 Ph n tích dao động iêng Xét chữ nhật vật liệu P-FGM với vật liệu thành phần Al/Al2O3-1 Các dạng điều kiện biên tính tốn khảo sát bao gồm: điều kiện biên SSSS sử dụng lời giải giải tích dạng điều kiện biên khác nhau: SCSC, SSSC, SSSS, SFSC sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn Để thuận tiện, kết khảo sát tần số dao động riêng thể dạng không thứ ngu ên đ [15]: cb a c Ec (4.3) 4.4.1 Khảo sát ảnh hưởng số tỷ lệ thể tích p cho số điều kiện biên Xét chữ nhật vật liệu P-FGM với a = 1m, h/a = 0.1, b/a = Hình 4.10a Biến thiên tần số dao động riêng không thứ nguyên chữ nhật FGM với điều kiện biên số tỷ lệ thể tích p khác SCSC, Mode SCSC, Mode SCSC,Mode SFSC, Mode SFSC,Mode SFSC,Mode Hình 4.10b Một số mode dao động chữ nhật FGM với điều kiện biên khác Biến thiên tần số dao động riêng không thứ nguyên theo số tỷ lệ thể tích p biểu diễn qua đồ thị Hình 4.10a Quan sát đồ thị ta thấy, p tăng: Tần số giảm với dạng điều kiện biên, giảm nhanh khoảng p = ÷ 2, sau tốc độ giảm chậm dần tha đổi p đủ lớn (gần giá trị p = 10), Điều kiện biên SFSC có tần số gần khơng đổi p ≥ 3; 23 Điều kiện biên SCSC có tần số lớn nhất, sau đến điều kiện biên SSSC, SSSS SFSC Hình 4.10b minh họa hình ảnh ba mode dao động tương ứng với dạng điều kiện biên khác nhau: SCSC, SSSC, SSSS, SFSC p = Quan sát kết Hình 4.10b ta thấy: Với dạng điều kiện biên khảo sát, mode dao động (mode 1) ứng với trường hợp m = 1, n = Tần số dao động tương ứng với mode dao động có giá trị nhỏ đặc trưng dao động quan trọng ph n tích động Vì vậ , ph n tích dao động riêng, luận án tập trung xác định đặc trưng nà ; mode dao động (mode 2, mode 3) có hình dạng phụ thuộc nhiều điều kiện biên 4.4.2 Khảo sát ảnh hưởng c a tỷ số kích thước h/a cho số điều kiện biên Xét vuông vật liệu P-FGM với p = 3, a = b = 1m Tần số dao động riêng không thứ nguyên với giá trị khác tỷ số kích thước h/a tính tốn thể Bảng 4.8 Hình 4.11 Biến thiên tần số dao động riêng không thứ nguyên vuông FGM với điều kiện biên tỷ số h/a khác Biến thiên tần số dao động riêng không thứ nguyên theo tỷ số h/a thể qua đồ thị Hình 4.11 Quan sát đồ thị ta thấy, h/a tăng: Tần số tăng với dạng điều kiện biên; dạng điều kiện biên SCSC, SSSC SSSS tăng đồng nhanh, điều kiện biên SFSC tỏ tăng chậm hơn; điều kiện biên SCSC có tần số lớn nhất, sau đến điều kiện biên SSSC, tiếp đến điều kiện biên SSSS, cuối điều kiện biên SFSC 4.4.3 Khảo sát ảnh hưởng c a tỷ số kích thước cạnh b/a cho số điều kiện biên Xét chữ nhật vật liệu P-FGM với p = 3, a = 1m, h/a = 0.1 Biến thiên tần số dao động riêng không thứ nguyên theo tỷ số b/a = 0.5 ÷ biểu diễn qua đồ thị Hình 4.11 Quan sát đồ thị ta thấy, b/a tăng: Tần số giảm với dạng điều kiện biên, giảm nhanh khoảng b/a = 0.5 ÷ 1.5, sau tốc độ giảm chậm dần; điều kiện biên SCSC có tần số lớn nhất, sau đến điều kiện biên SSSC, SSSS SFSC Hình 4.12 Biến thiên tần số dao động riêng không thứ nguyên chữ nhật FGM với điều kiện biên tỷ số b/a khác 4.4.4 Nhận xét chung Khi p b/a tăng, tần số dao động riêng không thứ ngu ên giảm; Khi h/a tăng, tần số dao động riêng không thứ ngu ên tăng; Qu luật biến thiên tần số theo điều kiện biên khơng có s tha đổi, trật t chúng ln là: điều kiện biên SCSC có kết tần số lớn nhất, đến điều kiện biên SSSC, SSSS SFSC 24 4.5 Kết luận chƣơng Trên sở chương trình tính Matlab t viết, d a lý thu ết HSDT-8, ví dụ số th c nhằm: Khảo sát s biến thiên độ võng thành phần ứng suất theo phương chiều dà Đánh giá ảnh hưởng tham số vật liệu, hình học điều kiện biên đến độ võng, thành phần ứng suất cho chữ nhật FGM chịu tải trọng uốn ph n bố đều; Đánh giá ảnh hưởng tham số vật liệu, hình học điều kiện biên đến tải trọng tới hạn cho chữ nhật FGM chịu nén chu tu ến mặt trung bình trường hợp: theo phương theo phương; Đánh giá ảnh hưởng tham số vật liệu, hình học điều kiện biên đến tần số dao động riêng chữ nhật vật liệu FGM Các khảo sát số cho thấ nghiệm giải tích PTHH theo lý thu ết HSDT-8 mà luận án x d ng cho dà FGM liên kết khớp chu vi trùng khớp (sai số nhỏ khơng đáng kể) Các kết nà dùng làm tài liệu tham khảo hữu ích tính toán thiết kế kết cấu FGM KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Những đóng góp luận án 1) Đề xuất lý thu ết biến dạng cắt bậc cao với tám ẩn số chu ển vị cho dà FGM, thỏa mãn điều kiện ứng suất cắt ngang mặt không, đồng thời có kể đến biến dạng pháp tu ến theo phương chiều dà Thiết lập hệ thức phương trình chủ đạo FGM theo lý thu ết biến dạng cắt bậc cao đề xuất, làm sở để giải tốn ph n tích tu ến tính tĩnh, ổn định dao động riêng 2) Thiết lập lời giải giải tích với dạng nghiệm Navier d a lý thu ết biến dạng cắt bậc cao đề xuất cho chữ nhật FGM điều kiện biên khớp chu vi để ph n tích tu ến tính tốn: tĩnh, ổn định dao động riêng 3) d ng mơ hình thuật toán phần tử hữu hạn theo lý thu ết biến dạng cắt bậc cao đề xuất để phân tích tu ến tính tốn: tĩnh, ổn định dao động riêng FGM 4) Khảo sát ảnh hưởng tham số vật liệu, kích thước hình học, điều kiện biên đến: độ võng, thành phần ứng suất, tải trọng tới hạn tần số dao động riêng chữ nhật vật liệu FGM Từ rút số kết luận có ý nghĩa khoa học giúp ích cho người thiết kế l a chọn thông số kết cấu phù hợp với th c tế Các kết luận án kết công bố báo tạp chí quốc tế có 02 thuộc danh mục ISI, 01 thuộc danh mục Scopus; 06 báo lại cơng bố tạp chí, kỷ ếu Hội nghị khoa học chu ên ngành u tín nước Kiến nghị nghiên cứu 1) Nghiên cứu phi tu ến tốn ph n tích tĩnh, ổn định dao động cho FGM d a lý thu ết biến dạng cắt bậc cao tám ẩn chu ển vị 2) Nghiên cứu FGM có g n gia cường chịu tải cơ, tải nhiệt - nhiệt kết hợp d a lý thu ết biến dạng cắt bậc cao tám ẩn chu ển vị 3) Ph n tích tốn tĩnh, ổn định dao động riêng FGM hình dạng hình học phức tạp với điều kiện biên khác nhau, làm việc mơi trường có xét đến ảnh hưởng nhiệt độ ... tích tĩnh, ổn định dao động riêng chữ nhật FGM sử dụng lý thuyết biến d ng cắt tám ẩn? ?? Mục đích nghiên cứu luận án Đề xuất cải tiến lý thuyết biến dạng cắt bậc ba đầ đủ 12 ẩn số chuyển vị lý. .. t m, đ động l c để đề xuất cải tiến mơ hình tính tốn cho dà luận án CHƢƠNG LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG CẮT BẬC CAO TÁM ẨN CHUYỂN VỊ - PHÂN TÍCH TĨNH, ỔN ĐỊNH VÀ DAO ĐỘNG RIÊNG CỦA TẤM CHỮ NHẬT FGM BẰNG... CHƢƠNG PHÂN TÍCH TĨNH, ỔN ĐỊNH VÀ DAO ĐỘNG RIÊNG CỦA TẤM CHỮ NHẬT FGM BẰNG PHƢƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN 3.1 Mở đầu Trong chương nà , d a lý thuyết biến dạng cắt bậc cao tám ẩn số chuyển vị, nhiên luận