PHƯƠNG PHÁP : BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG Bản chất : Từ giả thiết , ta dùng phép biến đổi tương đương quy đồng , khử mẫu , phân tích đa thức thành nhân từ để điều phải chứng minh ngược lại Đây phương pháp đơn giản phổ biến , áp dụng để giải lượng lớn toán bất đẳng thức mà hay gặp chương trình THCS THPT Sau số ví dụ minh họa cho phương pháp Ví dụ : Giải: Nhận xét : Có thể thấy phép bình phương vế (*) , tức dùng phép tương đương , ta có câu trả lời toán với điều kiện giả thiết cho toán Bài biến đổi từ đpcm đến giả thiết tốn Ta dùng theo chiều ngược lại thấy thích hợp Tuy nhiên, ta nên dùng chiều từ lên ta có nhìn trực quan dễ biến đổi Ví dụ 2: Giải: PHƯƠNG PHÁP : LÀM TRỘI Bản chất : Không cho bất đẳng thức xảy dấu , tức phép biến đổi bất đẳng thức khơng có dấu , làm trội hẳn lên Ta dùng phương pháp cho chứng minh bất đẳng thức mà có dấu > , < mà ko có dấu Rất khó để áp dụng bất đẳng thức Cơ-si , Bunhia , Cauchy swaz , bất đẳng thức phải có dấu xảy Một số ví dụ : Ví dụ : Giải: Ví dụ : Giải: (đpcm) Ví dụ 3: Giải: PHƯƠNG PHÁP : SỬ DỤNG TAM THỨC BẬC Bản chất : Giả sử ta muốn tìm GTLN GTNN biểu thức P = f(x) , tức P biểu thức chứa biến x f(x) có dạng bậc bậc ( bậc chẵn ) Ta tìm GTNN , GTLN cách đưa phương trình có dạng ax^2 + bx + c = với ẩn x , hệ số a , b , c biểu diễn theo P Theo phương trình có nghiệm ∆= 𝑏 − 4𝑎𝑐 ≥0 𝑏2 − 4𝑎𝑐 biểu diễn theo P Từ ta tìm GTNN , GTLN P cách dễ dàng Ví dụ 1: Giải: Xét 𝑦 ≠ , phương trình bậc có nghiệm nên ∆′ ≥ ⇔ −1 ≤ 𝑦 ≤ b) Với a,b không đồng thời 𝑎2 𝑎2 Xét 𝑏 = 𝑎 ≠ 0, bất đẳng thức trở thành ≤ Xét 𝑏 ≠ bất đẳng thức trở thành : Ví dụ 2: ≤ ( ) Giải: Từ abc = => 𝑏𝑐 = Do 𝑎3 > 36 nên a > Bất đẳng thức viết thành: 𝑎  (𝑏 + 𝑐 )2 − (𝑏 + 𝑐)𝑎 − 3𝑏𝑐 + 𝑎2 >0  Đặt t = b + c => f(t) = 𝑡 − 𝑎𝑡 + 𝑎3 3 − 𝑎 Ta có : Vậy f(t) có ∆ < có hệ số t > PHƯƠNG PHÁP : SỬ DỤNG MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Bản chất : Khi giải số bất đẳng thức , không sử dụng bất đẳng thức có ta gặp khó khăn q trình chứng minh Như , để thuận tiện cho việc chứng minh bất đẳng thức , ta cần nằm lòng bất đẳng thức quen thuộc áp dụng chúng để giải bất đẳng thức nâng cao Sau số bất đẳng thức quen thuộc ta cần ghi nhớ: Với số thực a,b,c , ta có : 1) 𝑎2 + 𝑏2 ≥ 2|𝑎𝑏| ≥ 2𝑎𝑏 2) 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐 ≥ 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 1 1 1 3) 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐 ≥ 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 4) (𝑎 + 𝑏 + 𝑐 )2 ≥ 3(𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎) Với số dương x,y,z ta có : 1 1) 𝑥 + 𝑦 ≥ 𝑥+𝑦 2) 1 +𝑦+𝑧 ≥ 𝑥 𝑥+𝑦+𝑧 Trị tuyệt đối 1) 2) 3) 4) |𝑎 | ≥ |𝑎 | ≥ 𝑎 |𝑎 | + |𝑏 | ≥ |𝑎 + 𝑏 | |𝑎| − |𝑏| ≤ |𝑎 − 𝑏| Ví dụ 1: Ví dụ : Cho số thực dương x,y,z thỏa mãn x + 2y + 3z = 18 CMR: Giải: (đpcm) PHƯƠNG PHÁP : PHƯƠNG PHÁP TIẾP TUYẾN Bản chất : Ví dụ 1: 1 4 Chú ý: 𝑓 ′ ( ) 𝑙à đạ𝑜 ℎà𝑚 𝑐ủ𝑎 ℎà𝑚 𝑠ố 𝑓(𝑥 ) = 6𝑥 − 𝑥 𝑣ớ𝑖 𝑡𝑖ế𝑝 đ𝑖ể𝑚 𝑙à 𝑥 = 1 4 Còn 𝑓 ( ) = 6𝑥 − 𝑥 𝑣ớ𝑖 𝑥 = Ta tính 𝑓 ′ ( ) sau: Ta nhập Bấm ta dc 𝑓 ′ ( ) = *** Công thức chung cho phép tiếp tuyến f(x) với cực trị đạt x = x0 : y = 𝑓 ′ (𝑥0 ) (𝑥 − 𝑥0) + 𝑓(𝑥0 ) Giải: Ví dụ 2: Giải: Ví dụ 3: PHƯƠNG PHÁP : SỬ DỤNG AM-GM Ví dụ 1: Giải: Ví dụ 2: Giải: Ví dụ 3: Thỏa mãn a + b + c = Giải: Ta có : = Ta có : = (𝑎 + 𝑏 + 𝑐 )2 ≥ 3(𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎) => Dấu  a=b=c= 1/3 Ví dụ 4: Giải: PHƯƠNG PHÁP : SỬ DỤNG BUNHIACOPXKI ( CAUCHY – SCHWARZ) Bản chất : Dạng phân thức : Ví dụ 1: Tìm GTNN GTLN biểu thức : Giải: Ví dụ 2: Giải: Ví dụ 3: Giải: Ví dụ 4: Giải: Ta tách sau để áp dụng Bunhia dạng phân thức : Ví dụ 5: Cho x,y,z số dương thỏa mãn Tìm GTNN : Giải: ... PHỤ ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Bản chất : Khi giải số bất đẳng thức , không sử dụng bất đẳng thức có ta gặp khó khăn q trình chứng minh Như , để thuận tiện cho việc chứng minh bất đẳng thức ,... cho bất đẳng thức xảy dấu , tức phép biến đổi bất đẳng thức dấu , làm trội hẳn lên Ta dùng phương pháp cho chứng minh bất đẳng thức mà có dấu > , < mà ko có dấu Rất khó để áp dụng bất đẳng thức. .. cho việc chứng minh bất đẳng thức , ta cần nằm lòng bất đẳng thức quen thuộc áp dụng chúng để giải bất đẳng thức nâng cao Sau số bất đẳng thức quen thuộc ta cần ghi nhớ: Với số thực a,b,c ,