III- Bài tốn Tìm hình dạng thật hình - Ta có A’1B’1C’1là hình dạng, độ lớn thật tam giác ABC x’ B”x B’2 A”x B1 chiếu Muốn vậy, vẽ đường mặt Af Chọn trục x’A1f1  Tìm A’2B’2C’2? phẳng mặt Muốn vậy, chọn trục x’A’2B’2C’2  Tìm A’1B’1C’1? x’’ B’x thống (П1, П’2) (ABC) mặt phẳng thống (П’1, П’2) (ABC) mặt Π’ Π1 Ví dụ : Tìm hình dạng, độ lớn thật tam giác ABC cho đồ thức.(Hình 4.8) Giải: - Thay П2 thành П’2 cho hệ - Thay П1 thành П’1 cho hệ A’1 B’1 C’1 C”x A’2 f1 A’x C’2 11 A1 x Ax C’x Bx Cx C1 Π1 Π2 B2 A2 12 f2 C2 Hình 4.8 Ví dụ 4: Tìm hình dạng thật tam giác ABC Π’ Π’ III- Bài tốn Đường thẳng vng góc với mặt phẳng Đường thẳng cắt mặt phẳng 4.1 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng 4.1.1- Sự vng góc với đường đồng mức x a) Định lý điều kiện góc vng chiếu thành góc vng (Hình 2.20) - Cho mặt phẳng П góc xOy, x’O’y’ hình chiếu vng góc xOy lên mặt phẳng П - Nếu hai ba điều kiện sau thỏa mãn điều kiện lại thỏa mãn: 1) xOy 90 2) x' O' y' 90 3) Ox  , Oy//  O O’ y y’ x’ П a) Hình 2.20 Định lý điều kiện góc vng chiếu thành góc vng b)- Chuyển sang đồ thức - Trên đồ thức, để góc vng khơng gian giữ ngun vng hai cạnh góc phải đường thẳng đồng mức (đường bằng, đường mặt, đường cạnh) Ví dụ 2: (Hình 2.22) Ví dụ 1: (Hình 2.21)  bKf 90  b1K1f1 90   f // 1  aIh 90  a I h 90   h // 2 f1 a1 b1 I1 h1 K1 x x I2 K2 a2 Hình 2.21 Ví dụ h2 f2 b2 Hình 2.22 Ví dụ Ví dụ 4: (Hình 2.24) b f  b1  f1   f // 1 (b f chéo nhau) Ví dụ 3: (Hình 2.23) a  h  a2  h2   h // 2 (a h chéo nhau) f1 b1 a1 h1 x x f2 a2 Hình 2.23 Ví dụ h2 b2 Hình 2.24 Ví dụ c) Đường thẳng mặt phẳng vng góc *- Định nghĩa Một đường thẳng gọi vuông góc với mặt phẳng đường thẳng vng góc với tất đường thẳng nằm mặt phẳng (Hình 3.38.a) l  ()  l  a  () a) l α a *- Định lý b) l Nếu đường thẳng vng góc với hai đường thẳng cắt mặt phẳng đường thẳng b O vng góc với mặt phẳng (Hình 3.38.b) a β *- Chuyển sang đồ thức - Dựa vào định lý, ta chọn hai đường thẳng cắt Hình 3.38 Đường thẳng mặt phẳng đường đồng mức (đường bằng, đường mặt phẳng vng góc mặt, đường cạnh) - Nếu mặt phẳng mặt phẳng chiếu cạnh mà cho vết đứng, vết bằng, ta dùng hai đường thẳng cắt mặt phẳng vết đứng vết M1 4.1.2 Cách dựng đường thẳng l vng góc với mặt phẳng anpha K1 a1 a) Mặt phẳng cho đường thẳng α(a,b) l vng góc với mặt phẳng α : l1┴ f1 l2┴ h2 ( h đường thuộc mặt phẳng α, f đường mặt thuộc mặt phẳng α) Ví dụ: Qua điểm M dựng đường thẳng l vng góc với mặt phẳng α(a,b) h1 11 21 l1 31 f1 b1 l2 b2 l2 32 22 a2 f2 h2 12 M2 K2 4.1.2 Cách dựng đường thẳng l vng góc với mặt phẳng anpha (tiếp) b) Mặt phẳng α mặt phẳng chiếu (α vng góc với Π1 α vng góc với Π2) * Trường hợp α vng góc với Π1 l vng góc với mặt phẳng α : l1┴ α1 l2// x * Trường hợp α vng góc với Π2 l vng góc với mặt phẳng α : l2┴ α2 l1// x Ví dụ: Qua điểm M dựng đường thẳng l vng góc với mặt phẳng α(α1) Π1 l1 α1 n  x α l x l2 Π2 α1 M1 l1 l2 M2 4.1.3 Cách dựng mặt phẳng anpha vng góc với đường thẳng l a) Đường thẳng l h1 M1 Mặt phẳng α vng góc với l xác địn đường h đường mặt f Trong đó: f1┴ l1, f2//x h2┴ l2 , h1//x l1 Ví dụ: Qua điểm M dựng mặt phẳng α vng góc với l l2 f1 f2 M2 h2 4.1.3 Cách dựng mặt phẳng anpha vng góc với đường thẳng l (tiếp) b) Đường thẳng l đường đòng mức * Trường hợp l // Π1 mặt phẳng α vng góc với l α phải vng góc với Π1 , α1 suy biến thành đường thẳng , α1┴ l1 * Trường hợp l // Π2 mặt phẳng α vng góc với l α phải vng góc với Π2, α2 suy biến thành đường thẳng , α2┴ l2 Ví dụ: Qua điểm M dựng mặt phẳng α vng góc với l α1 M1 l1 l2 Π1 l1 α1 n  x α l x l2 Π2 M2 4.2- Đường thẳng cắt mặt phẳng 4.2.1 Tìm giao hai mặt phẳng Vấn đề đặt ra: Vẽ giao tuyến hai mặt phẳng Bái toán: Hãy vẽ giao tuyến g hai mặt phẳng (α) (β) cho trước Ví dụ 1: Cho α(α1) , β(β2) (Hình 3.24) Giải: - (α) mặt phẳng chiếu đứng nên g ≡ α1 - (β) mặt phẳng chiếu nên g ≡ β1 g1 α1 x β2 g2 Hình 3.24 Vẽ giao tuyến g hai mặt phẳng (α) (β) cho trước Cho α(α1) , β(β2) Bái toán: Hãy vẽ giao tuyến g hai mặt phẳng (α) (β) cho trước Ví dụ 2: Cho α(α1) , β(β1) (Hình 3.25) Giải:  ()  1  g  1   ()  1 g1 α1 - (α) mặt phẳng chiếu đứng nên g1 ≡ α1 β1 - (β) mặt phẳng chiếu đứng nên g1 ≡ β1 - Ta có: g đường thẳng chiếu đứng: + g1≡ α1∩ β1 x + g2 x g2 Hình 3.25 Vẽ giao tuyến g hai mặt phẳng (α) (β) cho trước Cho α(α1) , β(β1) Bái toán: Hãy vẽ giao tuyến g hai mặt phẳng (α) (β) cho trước Ví dụ 3: Cho α(α1) , β(ABC) (Hình 3.26) C1 21 Giải: - (α) mặt phẳng chiếu đứng nên g1≡ α1 A1 11 - Để tìm g2 quy tốn đường thẳng thuộc mặt phẳng ≡ α1 g1 B1 A2 22 Hình 3.26 Vẽ giao tuyến g hai mặt phẳng (α) (β) cho trước Cho α(α1) ,β(ABC) g2 C2 12 B2 4.2.2- Đường thẳng mặt phẳng cắt Vấn đề đặt ra: Tìm giao điểm đường thẳng mặt phẳng Bài tốn: Hãy tìm giao điểm đường thẳng l mặt phẳng (α) l1 K1 Ví dụ 1: Cho l(l1,l2), α(α2) (Hình 3.33) x Giải: (α) П2  K2 α2  Mà K2 l2   K l2    K1l1  K(K1,K2) ≡ l ∩(α) α2 l2 K2 Hình 3.33 Ví dụ tìm giao điểm đường thẳng mặt phẳng Cho l(l1,l2), α(α2) Bài tốn: Hãy tìm giao điểm đường thẳng l mặt phẳng (α) Ví dụ 2: Cho l vng góc với П1, mặt phẳng α(a,b) (Hình 3.34) Giải: - l П1  K1 ≡ l1 - Tìm K2 đưa tốn (điểm thuộc mặt phẳng)  K2 ≡ l’2 ∩l2 b1 l’1 a1 21 K1 ≡ l1 11 x a2 Hình 3.34 Ví dụ tìm giao điểm đường thẳng mặt phẳng Cho l П1, α(a,b) 12 b2 K2 l2 22 l’2 4.1.2 Trường hợp tổng qt Ví dụ 3: Tìm giao l(l1,l2) mặt phẳng α(ABC) Giải: - Dùng phương pháp mặt phẳng phụ: (Hình 3.35) + Lấy mặt phẳng (φ) chứa đường thẳng l + Tìm giao tuyến g (φ) (α) + Lấy K ≡ l ∩ g K ≡ l ∩ (α) φ l K g α Chú ý: Áp dụng đồ thức, ta chọn mặt phẳng phụ (φ) mặt phẳng chiếu để dễ dàng tìm giao tuyến phụ g Hình 3.35 Phương pháp mặt phẳng phụ Bài tốn: Hãy tìm giao điểm đường thẳng l mặt phẳng (α) P (P1BC, P2BC): P1ll1 ; P1BCB1C1 ; P2l ≡ P2BC 21 A1 11≡ 11 l ≡ φ1 l1 ≡ K1 P g1 BC B1 l2 12l A2 Trên hình chiếu đứng P1l cao P1BC  hình chiếu P2l thấy, P2BC khuất C1 Ví dụ 4: Cho l(l1,l2), mặt phẳng α(ABC) (Hình 3.36) Giải: - Dùng phương pháp mặt phẳng phụ Tìm K ≡ l ∩ (α) * Xét thấy khuất đường thẳng l với mặt phẳng (ABC) -Xét cặp điểm đồng tia chiếu (P1l,P2l) l 12 g2 22 C2 K2 l BC P P2 P2lK2 thấy - Xét cặp điểm đồng tia chiếu (11,12) (11l,12l ) Trên hình chiếu bằng: 12 xa 12l  hình chiếu đứng : 11 thấy, 11l khuất  11lK1 khuất B2 Hình 3.36 Ví dụ tìm giao điểm đường thẳng l(l1,l2) mặt phẳng α(ABC)  ... phẳng ( ) ( ) cho trước Cho ( 1) , ( 2) Bái toán: Hãy vẽ giao tuyến g hai mặt phẳng ( ) ( ) cho trước Ví dụ 2: Cho ( 1) , ( 1) (Hình 3.25) Giải:  ( )  1  g  1   ( )  1 g1 α1 - ( ) mặt... phẳng ( ) ( ) cho trước Ví dụ 1: Cho ( 1) , ( 2) (Hình 3.24) Giải: - ( ) mặt phẳng chiếu đứng nên g ≡ α1 - ( ) mặt phẳng chiếu nên g ≡ β1 g1 α1 x β2 g2 Hình 3.24 Vẽ giao tuyến g hai mặt phẳng ( )... Cho l(l1,l2), ( 2) (Hình 3.33) x Giải: ( ) П2  K2 α2  Mà K2 l2   K l2    K1l1  K(K1,K2) ≡ l ( ) α2 l2 K2 Hình 3.33 Ví dụ tìm giao điểm đường thẳng mặt phẳng Cho l(l1,l2),