Đang tải... (xem toàn văn)
Khung kết hợp đối ngẫu (Luận văn thạc sĩ)Khung kết hợp đối ngẫu (Luận văn thạc sĩ)Khung kết hợp đối ngẫu (Luận văn thạc sĩ)Khung kết hợp đối ngẫu (Luận văn thạc sĩ)Khung kết hợp đối ngẫu (Luận văn thạc sĩ)Khung kết hợp đối ngẫu (Luận văn thạc sĩ)Khung kết hợp đối ngẫu (Luận văn thạc sĩ)Khung kết hợp đối ngẫu (Luận văn thạc sĩ)Khung kết hợp đối ngẫu (Luận văn thạc sĩ)Khung kết hợp đối ngẫu (Luận văn thạc sĩ)Khung kết hợp đối ngẫu (Luận văn thạc sĩ)Khung kết hợp đối ngẫu (Luận văn thạc sĩ)Khung kết hợp đối ngẫu (Luận văn thạc sĩ)Khung kết hợp đối ngẫu (Luận văn thạc sĩ)Khung kết hợp đối ngẫu (Luận văn thạc sĩ)Khung kết hợp đối ngẫu (Luận văn thạc sĩ)Khung kết hợp đối ngẫu (Luận văn thạc sĩ)Khung kết hợp đối ngẫu (Luận văn thạc sĩ)Khung kết hợp đối ngẫu (Luận văn thạc sĩ)Khung kết hợp đối ngẫu (Luận văn thạc sĩ)Khung kết hợp đối ngẫu (Luận văn thạc sĩ)Khung kết hợp đối ngẫu (Luận văn thạc sĩ)Khung kết hợp đối ngẫu (Luận văn thạc sĩ)Khung kết hợp đối ngẫu (Luận văn thạc sĩ)Khung kết hợp đối ngẫu (Luận văn thạc sĩ)
✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆ ❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼ ✖✖✖✖✖✖✕♦✵♦✖✖✖✖✖✖✕ ◆➷◆● ❚❍➚ ▼❹❨ ❑❍❯◆● ❑➌❚ ❍ÑP ✣➮■ ◆●❼❯ ▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆ ✲ ✷✵✶✾ ✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆ ❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼ ✖✖✖✖✖✖✕♦✵♦✖✖✖✖✖✖✕ ◆➷◆● ❚❍➚ ▼❹❨ ❑❍❯◆● ❑➌❚ ❍ÑP ✣➮■ ◆●❼❯ ❈❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤✿ ●✐↔✐ ❚➼❝❤ ▼➣ sè✿ ✽ ✹✻ ✵✶ ✵✷ ▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ữớ ữợ í ◆●❆ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆ ✲ ✷✵✶✾ ▲í✐ ❝❛♠ ✤♦❛♥ ❚ỉ✐ ①✐♥ ❝❛♠ ✤♦❛♥ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ✧❑❤✉♥❣ ❦➳t ❤ñ♣ ✤è✐ ♥❣➝✉✧ ❧➔ ❝æ♥❣ tr➻♥❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❦❤♦❛ ❤å❝ ✤ë❝ ❧➟♣ ❝õ❛ r✐➯♥❣ tổ ữợ sỹ ữợ ◗✉ý♥❤ ◆❣❛ ✳ ❈→❝ ♥ë✐ ❞✉♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✱ ❦➳t q✉↔ tr♦♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔② ❧➔ tr✉♥❣ t❤ü❝ ✈➔ ❝❤÷❛ tø♥❣ ổ ố ữợ t ý tự trữợ ◆❣♦➔✐ r❛✱ tr♦♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ tỉ✐ ❝á♥ sû ❞ư♥❣ ♠ët sè ❦➳t q✉↔✱ ♥❤➟♥ ①➨t ❝õ❛ ❝→❝ t→❝ ❣✐↔ ❦❤→❝ õ tr ú t ỗ ố ♣❤→t ❤✐➺♥ ❜➜t ❦ý sü ❣✐❛♥ ❧➟♥ ♥➔♦ tæ✐ ①✐♥ ❤♦➔♥ t♦➔♥ ❝❤à✉ tr→❝❤ ♥❤✐➺♠ ✈➲ ♥ë✐ ❞✉♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❝õ❛ ♠➻♥❤✳ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✱ ♥❣➔② ✷✺ t❤→♥❣ ✵✸ ♥➠♠ ✷✵✶✾ ❚→❝ ❣✐↔ ◆æ♥❣ ❚❤à ▼➙② ❳→❝ ♥❤➟♥ ❝õ❛ ❦❤♦❛ ❝❤✉②➯♥ ổ ữớ ữợ ý ◆❣❛ ✐ ▲í✐ ❝↔♠ ì♥ ✣➸ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ✤➲ t➔✐ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ✈➔ ❦➳t t❤ó❝ ❦❤â❛ ❤å❝✱ ✈ỵ✐ t➻♥❤ ❝↔♠ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤✱ tỉ✐ ①✐♥ ❜➔② tä ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥ s➙✉ s tợ trữớ ữ t↕♦ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝❤♦ tỉ✐ ❝â ♠ỉ✐ tr÷í♥❣ ❤å❝ t➟♣ tèt tr♦♥❣ s✉èt t❤í✐ ❣✐❛♥ tỉ✐ ❤å❝ t➟♣✱ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ t trữớ ổ ỷ ỡ tợ ◆❣✉②➵♥ ◗✉ý♥❤ ◆❣❛ ✤➣ ❣✐ó♣ ✤ï tỉ✐ tr♦♥❣ s✉èt q✉→ tr ự trỹ t ữợ tổ t tốt ỗ tớ tổ ❜➔② tä ❧á♥❣ ❝↔♠ ì♥ tỵ✐ t❤➛② ❝ỉ tr♦♥❣ ❑❤♦❛ ❚♦→♥✱ ❜↕♥ ❜➧ ✤➣ ❣✐ó♣ ✤ï✱ t↕♦ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝❤♦ tæ✐ tr♦♥❣ s✉èt q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣ ✈➔ ❤♦➔♥ t❤✐➺♥ ❧✉➟♥ ✈➠♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ ♥➔②✳ ❚æ✐ ①✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝↔♠ ì♥✦ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✱ ♥❣➔② ✷✺ t❤→♥❣ ✵✸ ♥➠♠ ✷✵✶✾ ❚→❝ ❣✐↔ ◆ỉ♥❣ ❚❤à ▼➙② ✐✐ ▼ư❝ ❧ư❝ ▲í✐ ❝❛♠ ✤♦❛♥ ▲í✐ ❝↔♠ ì♥ ▼ư❝ ❧ư❝ ▲í✐ ♠ð ✤➛✉ ✶ ❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à ✐ ✐✐ ✐✐✐ ✶ ✸ ✶✳✶ ❚♦→♥ tû t✉②➳♥ t➼♥❤ ❜à ❝❤➦♥ tr➯♥ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸ ✶✳✷ ❑❤✉♥❣ ✈➔ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺ ✶✳✸ ❑❤✉♥❣ ✤è✐ ♥❣➝✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾ ✷ ❑❤✉♥❣ ❦➳t ❤ñ♣ ✤è✐ ♥❣➝✉ ✶✸ ✷✳✶ ❑❤✉♥❣ ❦➳t ❤ñ♣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✸ ✷✳✷ ❑❤✉♥❣ ❦➳t ❤ñ♣ ✤è✐ ♥❣➝✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✼ ✷✳✷✳✶ ❑❤✉♥❣ ❦➳t ❤ñ♣ ✤è✐ ♥❣➝✉ t❤✉ ✤÷đ❝ tø ❝→❝ ♥❣❤à❝❤ ✤↔♦ tr→✐ ❝õ❛ t♦→♥ tû ♣❤➙♥ t➼❝❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✳✷✳✷ ✷✵ ❑❤✉♥❣ ❦➳t ❤đ♣ ✤è✐ ♥❣➝✉ t❤✉ ✤÷đ❝ tø ❝→❝ ❦❤✉♥❣ ✤è✐ ♥❣➝✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✺ ❑➳t ❧✉➟♥ ✷✼ ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ✷✽ ✐✐✐ ▲í✐ ♠ð ✤➛✉ ❚r♦♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝→❝ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ✈❡❝tì✱ ♠ët tr♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ q✉❛♥ trå♥❣ ♥❤➜t ❧➔ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❝ì sð✱ ♥❤í ✤â ♠é✐ ✈❡❝tì tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❝â t❤➸ ✈✐➳t ♥❤÷ tê ❤đ♣ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝õ❛ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû tr♦♥❣ ❝ì sð✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤➸ trð t❤➔♥❤ ❝ì sð ❦❤→ ❝❤➦t ❝❤➩✱ ❦❤ỉ♥❣ ❝❤♦ ♣❤➨♣ sü ♣❤ư t❤✉ë❝ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❣✐ú❛ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû tr♦♥❣ ❝ì sð✳ ✣✐➲✉ ♥➔② ❧➔♠ ❝❤♦ ❦❤â t➻♠ ❤♦➦❝ t❤➟♠ tr➼ ❦❤æ♥❣ t➻♠ ✤÷đ❝ ❝→❝ ❝ì sð t❤ä❛ ♠➣♥ ♠ët sè ✤✐➲✉ s ỵ ú t ✤✐ t➻♠ ♠ët ❝ỉ♥❣ ❝ư ❦❤→❝ ❧✐♥❤ ❤♦↕t ❤ì♥ ✈➔ ❦❤✉♥❣ ❝❤➼♥❤ ❧➔ ♠ët ❝ỉ♥❣ ❝ư ♥❤÷ ✈➟②✳ ❑❤✉♥❣ ❝❤♦ ♣❤➨♣ ❝❤ó♥❣ t❛ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ♠é✐ ♣❤➛♥ tû tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ♥❤÷ ♠ët tê ❤đ♣ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✭✈ỉ ❤↕♥✮ ❝õ❛ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû tr♦♥❣ ❦❤✉♥❣ ♥❤÷♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ✤á✐ ❤ä✐ t➼♥❤ ✤ë❝ ❧➟♣ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❣✐ú❛ ❝→❝ ♣❤➛♥ tû ❦❤✉♥❣✳ ❑❤✉♥❣ ữủ ợ t ✈➔ ❆✳ ❈✳ ❙❝❤❛❡❢❢❡r tr♦♥❣ ❦❤✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝❤✉é✐ ❋♦✉r✐❡r ❦❤æ♥❣ ✤✐➲✉ ❤á❛✳ ❱➔♦ ♥➠♠ ✶✾✽✵ ❘✳ ❨♦✉♥❣ ✤➣ ✈✐➳t ❝✉è♥ s→❝❤ ❝â ♥❤ú♥❣ ❦➳t q✉↔ ❝ì ❜↔♥ ✈➲ ❦❤✉♥❣✱ ❧↕✐ tr♦♥❣ ♥❣ú ❝↔♥❤ ❝õ❛ ❝❤✉é✐ ❋♦✉r✐❡r ❦❤æ♥❣ ✤✐➲✉ ❤á❛✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥ ♣❤↔✐ ✤➳♥ ♥➠♠ ✶✾✽✻✱ s❛✉ ❜➔✐ ❜→♦ ❝õ❛ s rss r t ỵ tt ợ ữủ q t rở r õ ự tr ỷ ỵ t ỵ tt t ỵ tt ữủ tỷ ỳ ỷ ỵ ởt ố ữủ ợ ỳ t tữớ ọ ❤➺ ❦❤✉♥❣ r❛ t❤➔♥❤ ♥❤ú♥❣ ❤➺ ❝♦♥ ♥❤ä ❤ì♥ ✈➔ tê ❤đ♣ ❧↕✐ ❝→❝ ❞ú ❧✐➺✉ ♠ët ❝→❝❤ ✤à❛ ♣❤÷ì♥❣✳ ❱➻ t❤➳ P✳ ❈❛s❛③③❛ ✈➔ ●✳ ❑✉t②♥✐♦❦ ❬✷❪ ✤➣ ✤÷❛ r❛ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❦❤✉♥❣ ❝õ❛ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ ✭❋r❛♠❡ ♦❢ s✉❜s♣❛❝❡s✮✳ ▼ët t➯♥ ❣å✐ ❦❤→❝ ❝õ❛ ❦❤✉♥❣ ❝õ❛ ❝→❝ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ ❧➔ ❦❤✉♥❣ ❦➳t ❤đ♣ ✭❋✉s✐♦♥ ❢r❛♠❡✮✳ ❑❤✉♥❣ ❦➳t ✶ ❤đ♣ ❝â t❤➸ ①❡♠ ♥❤÷ ❧➔ tê♥❣ q✉→t ❤â❛ ❝õ❛ ❦❤✉♥❣✳ ❑❤✉♥❣ ❦➳t ❤đ♣ ❧➔ ♠ët ❝ỉ♥❣ ❝ư t ỷ ỵ ỳ t ỷ ỵ t➼♥ ❤✐➺✉ ♣❤➙♥ t→♥ ✈➔ tê♥❣ ❤ñ♣ ❞ú ❧✐➺✉✳ ❑❤✉♥❣ ❦➳t ❤ñ♣ ❝❤♦ ♣❤➨♣ ♣❤➙♥ t➼❝❤ t➼♥ ❤✐➺✉ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ sû ❞ư♥❣ ❝→❝ ♣❤➨♣ ❝❤✐➳✉ tr➯♥ ♠ët ❤å ❝→❝ ❦❤ỉ♥❣ ỗ ợ ố t s➙✉ s➢❝ ❤ì♥ ✈➲ ❦❤✉♥❣ ❦➳t ❤đ♣✱ ✤➦❝ ❜✐➺t ❧➔ ❦❤✉♥❣ ❦➳t ❤đ♣ ✤è✐ ♥❣➝✉✱ ❞♦ ✤â tỉ✐ ❝❤å♥ ✤➲ t➔✐ ✏ ❦❤✉♥❣ ❦➳t ❤ñ♣ ✤è✐ ♥❣➝✉✑ ❧➔♠ ✤➲ t➔✐ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❝❛♦ ❤å❝✳ ✷ ❈❤÷ì♥❣ ✶ ❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à ❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔②✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ s➩ ♥❤➢❝ ❧↕✐ ♠ët ✈➔✐ ❦➳t q✉↔ ❝ì ❜↔♥ s➩ ❞ò♥❣ tr♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ s❛✉✳ ◆ë✐ ❞✉♥❣ ❝õ❛ ❝❤÷ì♥❣ ✤÷đ❝ tr➻♥❤ ❜➔② ❞ü❛ tr➯♥ ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ❬✹❪✱ ❬✼❪✳ ✶✳✶ ❚♦→♥ tû t✉②➳♥ t➼♥❤ ❜à ❝❤➦♥ tr➯♥ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt ❚♦→♥ tû t✉②➳♥ t➼♥❤ tø ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt K H ✈➔♦ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt ❧➔ ❧✐➯♥ tö❝ ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ ♥â ❜à tỗ t số C>0 s T x ≤ C x , ∀x ∈ H ❑➼ ❤✐➺✉ B(H, K) K✳ H=K ❑❤✐ ❧➔ t➟♣ ❤ñ♣ t➜t ❝↔ ❝→❝ t♦→♥ tû t✉②➳♥ t➼♥❤ ❜à ❝❤➦♥ tø t❤➻ ❈❤✉➞♥ ❝õ❛ ✭✶✳✶✮ B(H, K) ✤÷đ❝ ❦➼ ❤✐➺✉ ✤ì♥ ❣✐↔♥ ❧➔ H ✈➔♦ B(H)✳ T ∈ B(H, K) ✤÷đ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❧➔ ❤➡♥❣ sè ❈ ♥❤ä ♥❤➜t t❤ä❛ ♠➣♥ ✭✶✳✶✮✳ ◆â✐ ♠ët ❝→❝❤ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣✱ T = sup{ T x : x ∈ H, x ≤ 1} = sup{ T x : x ∈ H, x = 1} ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✳✶✳ ●✐↔ sû H, K, L ❧➔ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ rt T B(H, K) t tỗ t ❞✉② ♥❤➜t ♠ët ♣❤➛♥ tû T ∗ ∈ B(K, H) s❛♦ ❝❤♦ (T ∗ x, y) = (x, T y), x ∈ K, y ∈ H ❍ì♥ ♥ú❛✱ ✭✐✮ (aS + bT )∗ = aS ∗ + bT ∗ ✳ ✭✐✐✮ (RS)∗ = S ∗ T ∗ ✳ ✭✐✐✐✮ (T ∗ )∗ = T ✳ ✭✐✈✮ I ∗ = I tr õ I B(H) t tỷ ỗ ♥❤➜t✳ ✭✈✮ ◆➳✉ ❚ ❦❤↔ ♥❣❤à❝❤✱ t❤➻ T ∗ ❝ô♥❣ ❦❤↔ ♥❣❤à❝❤ ✈➔ (T −1 )∗ = (T ∗ )−1 ✱ tr♦♥❣ ✤â S, T ∈ B(H, K), R ∈ B(K, L) ✈➔ a, b ∈ C✳ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✳✷✳ ●✐↔ sû T ∈ B(H, K) ✈➔ S ∈ B(K, L)✳ ❑❤✐ ✤â ✭✐✮ T x ≤ T x , x ∈ H✳ ✭✐✐✮ ST ≤ S T ✳ ✭✐✐✐✮ T = T ∗ ✳ ✭✐✈✮ T ∗ T = T ❈❤♦ ✳ T ∈ B(H)✳ ❚ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ t♦→♥ tû tü ❧✐➯♥ ❤đ♣ ♥➳✉ ❚ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❞÷ì♥❣ ✭❦➼ ❤✐➺✉ T, K ∈ B(H), T ≥ K ♥➳✉ (T ∗ T x, x) = (T x, T x) ≥ T ≥ 0✮ T − K ≥ 0✳ ✈ỵ✐ ♠å✐ ♥➳✉ (T x, x) ≥ ợ ú ỵ r ợ ộ x H ❉♦ ✤â✱ T ∗T T∗ = T✱ x ∈ H✳ T ∈ B(H) t❤➻ ❧➔ ❞÷ì♥❣✳ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✳✸✳ ❈❤♦ T : H → H ❧➔ t♦→♥ tû t✉②➳♥ t➼♥❤ ❜à ❝❤➦♥ ✈➔ ❣✐↔ sû T x, x = ✈ỵ✐ ♠å✐ x ∈ H✳ ❑❤✐ ✤â ✭✐✮ ◆➳✉ H ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt ♣❤ù❝ t❤➻ T = 0✳ ✭✐✐✮ ◆➳✉ H ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt t❤ü❝ ✈➔ ❚ ❧➔ tü ❧✐➯♥ ❤đ♣ t❤➻ T = ✹ ❇➙② ❣✐í t❛ ❝❤✉②➸♥ s❛♥❣ ♠ët t♦→♥ tû t✉②➳♥ t➼♥❤ ❜à ❝❤➦♥ ✤➦❝ ❜✐➺t✱ ✤â ❧➔ ♣❤➨♣ ❝❤✐➳✉ trü❝ ❣✐❛♦ tr➯♥ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ ✤â♥❣ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt H✳ ❈❤♦ ▼ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ ✤â♥❣ ❝õ❛ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ❞✉② t ữợ M (y + z) = y M (y+z) ✈ỵ✐ ♠å✐ x=y+z H✳ ▼é✐ ♣❤➛♥ tû x ∈ H ✤➲✉ ❝â t❤➸ ✈ỵ✐ y ∈ M, z ∈ M ⊥ ✳ ①→❝ ✤à♥❤ ♠ët t♦→♥ tû t✉②➳♥ t➼♥❤ = y ≤ y 2+ z = y+z P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ πM : H → M ✳ ✳ ❚ø ✤â ❍ì♥ ♥ú❛ πM (y+z) ≤ y+z y ∈ M, z ∈ M ⊥ ✳ ❉♦ ✤â πM = πM ❜à ❝❤➦♥ ✈➔ trø tr÷í♥❣ ❤đ♣ π M ≤ 1✳ M = {0} ❉♦ ✈➔ πM (y) = y P = ợ ú ỵ r y∈M ♥➯♥ πM = πM ✈➔ ∗ π M = πM ✳ ✶✳✷ ❑❤✉♥❣ ✈➔ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ◆ë✐ ❞✉♥❣ ❝õ❛ ♠ư❝ ♥➔② ✤÷đ❝ tr➻♥❤ ❜➔② ❞ü❛ tr➯♥ t➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ❬✹❪✳ ❚ø ✤➙② trð ✈➲ s❛✉ ❝❤ó♥❣ tổ ỵ H ổ rt ✈➔ ■ ❧➔ ♠ët t➟♣ ❝❤➾ sè ❤ú✉ ❤↕♥ ❤❛② ✤➳♠ ✤÷đ❝✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳✶✳ ❝õ❛ H ▼ët ❞➣② ♥➳✉ tỗ t số f {fi }iI ❝→❝ ♣❤➛♥ tû tr♦♥❣ 0 δ > ✈ỵ✐ ♠å✐ i ∈ I i∈I t❤➻ QA,v t❤➻ (V, v) pi {fj }j∈I = A{fj }j∈I i∈I ❧➔ ♠ët ❦❤✉♥❣ ❦➳t ❤ñ♣ ✤è✐ ♥❣➝✉ (W, w)✳ A, (V, v) ❝â ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉ ✤õ ✤➸ ❝❤♦ QA,v ≤ ❱➻ ✈➟② t♦➔♥ t❤➔♥❤ ♣❤➛♥ ❝õ❛ ◆❤➟♥ ①➨t ✷✳✷✳✼✳ ❧➔ t♦→♥ tû t✉②➳♥ t➼♥❤ ❜à ❝❤➦♥ vi Api {fj }j∈I = A vi ∗ ✳ TV,v QA,v = A ∈ LTW,w QA,v ✲❜↔♦ TV,v ❧➔ ❞➣② ❦➳t ❤đ♣ ❇❡ss❡❧✱ ✈➔ QA,v ♥❤÷ tr♦♥❣ ❇ê ✤➲ ✷✳✷✳✻✳ ❈❤ó♥❣ t❛ ❧➔ t♦→♥ tû ❜à ❝❤➦♥ ❤♦➔♥ t♦➔♥ ①→❝ ✤à♥❤✳ ◆➳✉ QA,v ❧➔ t♦→♥ tû ❜à ❝❤➦♥ ❤♦➔♥ t♦➔♥ ①→❝ ✤à♥❤ ✈ỵ✐ A δ ✳ ✣➸ t❤➜② ✤✐➲✉ ữ ỵ r Api {fj }jI vi ❱➼ ❞ö ✷✳✷✳✽✳ ❧➔ ❜↔♦ t♦➔♥ t❤➔♥❤ ♣❤➛♥✳ A ≤ δ pi {fj }j∈I {fj }j∈I ∈ KW i∈I A = {fj }j∈I δ ❇➜t ❦ý ❝ỉ♥❣ t❤ù❝ ❦❤ỉ✐ ♣❤ư❝ ❝â ❞↕♥❣ ❆ ❧➔ ♠ët ♥❣❤à❝❤ ✤↔♦ tr→✐ ❝õ❛ q✉❛ ♠ët ✤è✐ ♥❣➝✉ QA,v ✲❜↔♦ ∗ TW,w ✱ t❤➻ ∗ f = ATW,w f✱ tr♦♥❣ ✤â t❤❡♦ ❇ê ✤➲ ✷✳✷✳✻✱ ❝â t❤➸ ❜✐➸✉ t❤à t❤ỉ♥❣ t♦➔♥ t❤➔♥❤ ♣❤➛♥ ❝õ❛ ✤÷đ❝ ❞ü❛ tr➯♥ q✉❛♥ s→t ♥➔②✳ ✷✷ (W, w)✳ ❱➼ ❞ö ❤✐➺♥ t↕✐ ❱➻ −1 ∗ (SW,w TW,w )TW,w = IH −1 ∗ A = SW,w TW,w ∈ LTW,w ✳ ♥➯♥ ❈❤ó♥❣ t❛ ❝â −1 Api KW = SW,w Wi , ∀i ∈ I ✈➔ −1 −1 SW,w Wi , QA,w {fj }j∈I = {SW,w fi }i∈I QA,w : KW → i∈I ❧➔ t♦→♥ tû ❜à ❝❤➦♥ ❤♦➔♥ t♦➔♥ ①→❝ ✤à♥❤ ✈ỵ✐ −1 QA,w ≤ SW,w ❇ê ✤➲ ✷✳✷✳✻ ❦❤✉♥❣ ❦➳t ❤ñ♣ ✤è✐ ♥❣➝✉ ✤➣ ❣✐ỵ✐ t❤✐➺✉ tr♦♥❣ ❬✷❪✱ ❧➔ ❦❤✉♥❣ ❦➳t ❤đ♣ ố t t ú ỵ r QA,w ♥➔♦ tr➯♥ ❝→❝ trå♥❣ ✳ ❱➻ ✈➟②✱ t❤❡♦ ((S −1 )W,w W, w) (W, w)✳ tr♦♥❣ ✈➼ ❞ö ❧➔ ❜à ❝❤➦♥ ♠➔ ❦❤æ♥❣ ❝➛♥ ❜➜t ❦ý ❤↕♥ ❝❤➳ wi ✳ ❚r♦♥❣ ♣❤➛♥ t✐➳♣ t❤❡♦ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ s➩ ❣å✐ −1 (SW,w W, w) ❧➔ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❝❤➼♥❤ t➢❝ ✈➔ Q∗S −1 W,w TW,w ,w ❧➔ ❤➺ sè ❦❤✉♥❣ ❦➳t ❤ñ♣ ❝õ❛ TS∗−1 W,w W,w ∗ −1 f = TW,w SW,w f ∈ KW f ∈ H✳ ❇ê ✤➲ t✐➳♣ t❤❡♦ ✈➲ sü tè✐ t❤✐➸✉ ❝õ❛ ❝→❝ ❤➺ sè ❦❤✉♥❣ ❦➳t ủ ụ tữỡ tỹ ữ tr ỵ tt ợ ởt ự tữỡ tỹ ❇ê ✤➲ ✷✳✷✳✾✳ ❈❤♦ (W, w) ❧➔ ❦❤✉♥❣ ❦➳t ❤ñ♣ tr♦♥❣ H ✈➔ f ∈ H✳ ❱ỵ✐ ♠å✐ −1 ∗ {fj }j∈I ∈ KW t❤ä❛ ♠➣♥ TW,w {fj }j∈I = f ✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝â TW,w SW,w f ≤ {fj }j∈I ✳ ◆❤➟♥ ①➨t ✷✳✷✳✶✵✳ t❤✐➳t (V, v) ✭✶✮ ❈❤♦ ữợ t r tr ✷✳✷✳✻✱ ❝→❝ ❣✐↔ ❧➔ ♠ët ❞➣② ❦➳t ❤ñ♣ ❇❡ss❡❧ ✈➔ {en }n∈N QA,v ❜à ❝❤➦♥✱ ❦❤ỉ♥❣ t❤➸ ❜ä ✤÷đ❝✿ ❧➔ ♠ët ❝ì sð trü❝ ❝❤✉➞♥ ❝õ❛ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt W1 = span{ek : k ≥ 2} = {e1 }⊥ ✈➔ WK = span{e1 , ek } ✷✸ ✈ỵ✐ H k ≥ 2✳ ✈➔ ①➨t (W, w) ❚❛ ❝â t❤➸ ❦✐➸♠ tr❛ ✤÷ì❝ r➡♥❣ ♥➳✉ ❧➔ ❞➣② ❦➳t ❤đ♣ ❇❡ss❡❧✱ t❤➻ w ∈ l2 (N)✳ ❚❤➟t ✈➟②✱ ❞♦ {(W, w)} ❧➔ t ủ ss t tỗ t↕✐ ❤➡♥❣ sè B>0 s❛♦ ❝❤♦ i=1 ❈❤å♥ ∞ i=2 f = e1 ✳ wi2 ✳ ∞ i=2 wi2 ≤ B ❝ơ♥❣ ❝❤➨♦ ✤è✐ ✈ỵ✐ ∞ i=1 SW,w i=1 en SW,w f = i=1 ✈ỵ✐ ✈ỵ✐ ♠å✐ i = 1, n = ∞ k ∈ N✳ i=1 ❱➟② f ∈ H✳ ∞ = i=2 wi2 πWi e1 = w ∈ l2 (N)✳ ❧➔ ❝❤➨♦ ✤è✐ ✈ỵ✐ {en }n∈N ✈➔ ❞♦ ✤â −1 SW,w wi2 πWi (f ) ✈ỵ✐ ♠å✐ f ∈ H✳ ❚ø ✤â SW,w ek = ◆❤÷♥❣ πW1 (en ) = en πW1 (e1 ) = ✈➔ wi2 πWi (e1 ) = SW,w e1 = ✈ỵ✐ ♠å✐ wi2 πWi e1 wi2 ≤ B + w12 ✳ ∞ wi2 πWi (ek ) ♥➯♥ {en }n∈N ✳ ❚❤➟t ✈➟②✱ t❛ ❝â ∞ ≤B f i=1 ✈➔ ❍ì♥ ♥ú❛✱ t♦→♥ tû ❦❤✉♥❣ ∞ PW e = ❑❤✐ ✤â ❞♦ ❉♦ ✤â wi2 πWi f ∞ i=2 wi2 e1 ✈➔ n=1 πWi (e1 ) = e1 ✈ỵ✐ ✈➔ πWi (en ) = i = 1✳ ❉♦ ✤â ✈➔ ∞ wi2 e1 , ej SW,w e1 , ej = ♥➳✉ = i=2 0 ∞ wi2 ♥➳✉ j=1 ♥➳✉ j=1 i=2 ✈➔ ∞ ∞ wi2 πWi (ek ) SW,w ek = wi2 ek = i=1 ✈ỵ✐ k=1 i=1 ✈➔ ∞ wi2 ek , ej SW,w ek , ej = = i=1 0 ∞ wi2 ♥➳✉ k = 1, j = k ♥➳✉ k = 1, j = k i=1 ❱➻ ✈➟② SW,w ❧➔ t♦→♥ tû ❝❤➨♦✳ ✣➦❝ ❜✐➺t✱ ✤✐➲✉ ♥➔② ❝â ♥❣❤➽❛ ❧➔ ✤â ♥➳✉ −1 A = SW,w TW,w l∞ (N)\l2 (N)✱ t❤➻ (V, v) t❤➻ −1 SW,w Wk = Wk ✈ỵ✐ ♠å✐ −1 Vk := Apk KW = SW,w Wk ✳ ❦❤æ♥❣ ❧➔ ❞➣② ❦➳t ❤đ♣ ❇❡ss❡❧✳ ✷✹ k ∈ N✳ ◆❤÷ v ỗ t trồ wi i SW,w ✳ ◆➳✉ vi −1 QSW,w TW,w v s❛♦ ❝❤♦ (i) {fj }j∈I ∈ pi KW ❦❤æ♥❣ ❜à ❝❤➦♥✳ ❈ö t❤➸✱ ❝❤♦ vi ≤ t❤➻ wi wi −1 (i) (i) SW,w fj ≥ fj vi vi SW,w wi (i) (i) = {fj }j∈I ≥ i {fj }j∈I vi SW,w (i) −1 QSW,w TW,w v {fj }j∈I = ❈❤♦ (W, w) ❧➔ ❦❤✉♥❣ ❦➳t ❤ñ♣ tr♦♥❣ H✳ ❚❤❡♦ ❇ê ✤➲ ✶✳✸✳✹ ♥❣❤à❝❤ ✤↔♦ tr→✐ ❜à ❝❤➦♥ ❝õ❛ ∗ TW,w ❧➔ t♦→♥ tû ❆ ❝â ❞↕♥❣ −1 ∗ −1 A = SW,w TW,w + R IKW − TW,w SW,w TW,w , tr♦♥❣ ✤â R ∈ B(KW , H)✳ ❚ø ✤➙② ✈➔ ❇ê ✤➲ ✷✳✷✳✺ ✈➔ ◆❤➟♥ ①➨t ✷✳✷✳✼ ❝❤♦ t❛ ♠ỉ t↔ s❛✉ ❝❤♦ ❝→❝ ❦❤✉♥❣ ❦➳t ❤đ♣ ✤è✐ ♥❣➝✉ t t ỵ (W, w) ❧➔ ❦❤✉♥❣ ❦➳t ❤ñ♣ tr♦♥❣ H✳ ●✐↔ sû r➡♥❣ vi > δ > ✈ỵ✐ ♠é✐ i ∈ I ✳ ❑❤✐ ✤â✱ ❝→❝ ❦❤✉♥❣ ❦➳t ❤ñ♣ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❜↔♦ t♦➔♥ t❤➔♥❤ ♣❤➛♥ ❝õ❛ (W, w) ❧➔ ❝→❝ ❞➣② ❦➳t ❤ñ♣ ❇❡ss❡❧ (V, v)✱ tr♦♥❣ ✤â −1 ∗ −1 Vi = SW,w TW,w + R IKW − TW,w SW,w TW,w (pi KW ) ✈➔ R ∈ B(KW , H)✳ ✷✳✷✳✷ ❑❤✉♥❣ ❦➳t ❤đ♣ ✤è✐ ♥❣➝✉ t❤✉ ✤÷đ❝ tø ❝→❝ ❦❤✉♥❣ ✤è✐ ỵ s t ữỡ t ữủ t ủ ố ợ {fi }i∈I ⊂ H ci fi ❧➔ ❞➣② ❇❡ss❡❧ ✈ỵ✐ ❝➟♥ ≤β c ✈ỵ✐ ♠å✐ β✱ c ∈ l2 (I) t iI ỵ ợ ộ i ∈ I ✱ ❝❤♦ wi > 0, vi > 0✱ ✈➔ ❝❤♦ Wi, Vi ❧➔ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ ✤â♥❣ ❝õ❛ H✳ ❈❤♦ {fil }l∈Li ❧➔ ♠ët ❦❤✉♥❣ ❝õ❛ Wi ✈➔ {f˜il }l∈Li ❧➔ ♠ët ❦❤✉♥❣ ❝õ❛ Vi ✈ỵ✐ ❝→❝ ❝➟♥ αi , βi , α ˜ i ✈➔ β˜i t÷ì♥❣ ù♥❣✳ ●✐↔ sû < α = ✷✺ infi∈I αi ≤ β = supi∈I βi < ∞ ✈➔ < α ˜ = infi∈I α ˜ i ≤ β˜ = supi∈I β˜i < ∞✳ ❈❤♦ Q : KW → KV , Q{hi }i∈I := { hi , fil f˜il }i∈I ✳ ❈→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉ l∈Li ✤➙② ❧➔ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣✳ ✶✳ {wi fil }i∈I,l∈Li ✈➔ {vi f˜il }i∈I,l∈Li ❧➔ ❝→❝ ❦❤✉♥❣ ✤è✐ ♥❣➝✉ tr♦♥❣ H✳ ✷✳ (V, v) ❧➔ ❦❤✉♥❣ ❦➳t ❤ñ♣ ◗✲✤è✐ ♥❣➝✉ ❝õ❛ (W, w)✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚❛ ❝❤➾ ❝➛♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ t➼♥❤ ✤è✐ ♥❣➝✉✳ ◆➳✉ {hi }i∈I ∈ KW ✱ t❤❡♦ ✭✷✳✹✮ ✈➔ ✭✶✳✷✮✱ hi , fil f˜il i∈I β˜i ≤ i∈I l∈Li | hi , fil |2 l∈Li β˜i βi hi ≤ ˜ ≤ ββ i∈I hi < ∞ i∈I ❱➻ ✈➟② ◗ ❧➔ t♦→♥ tû ❜à ❝❤➦♥ ❤♦➔♥ t♦➔♥ ①→❝ ✤à♥❤✳ ❙û ❞ö♥❣ πWi (f ), fil = f, πWi fil = f, fil ✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝â ✤÷đ❝ ∗ TV,v QTW,w (f ) =TV,v Q({wi πWi (f )})i∈I l ˜l =TV,v wi πWi (f ), fi fi l∈Li i∈I = wi πWi (f ), fil f˜il vi i∈I l∈Li πWi (f ), wi fil vi f˜il = i∈I l∈Li f, wi fil vi f˜il = i∈I l∈Li ❈✉è✐ ❝ò♥❣✱ sè ❤↕♥❣ ❝✉è✐ ❝ò♥❣ ❜➡♥❣ {wi fil }i∈I,l∈Li ✈➔ {vi f˜il }i∈I,l∈Li f ✈ỵ✐ ♠å✐ f ∈ H ❧➔ ❝→❝ ❦❤✉♥❣ ✤è✐ ♥❣➝✉ tr♦♥❣ ✷✻ ♥➳✉ ✈➔ ❝❤➾ ♥➳✉ H✳ ❑➳t ❧✉➟♥ ❚r♦♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔② ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ✤➣ t❤✉ ✤÷đ❝ ♥❤ú♥❣ ❦➳t q✉↔ s❛✉✳ ✲ ❚r➻♥❤ ❜➔② ♠ët ❝→❝❤ ❤➺ t❤è♥❣✱ ❝❤✐ t✐➳t ❝→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ỗ t tỷ t t tr ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt✱ ❦❤✉♥❣ ✈➔ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t✱ ❦❤✉♥❣ ✤è✐ ♥❣➝✉✳ ✲ ▲✉➟♥ ✈➠♥ ✤➣ tr➻♥❤ ❜➔② tê♥❣ q✉❛♥ ✈➲ ❦❤✉♥❣ ❦➳t ❤ñ♣ ✈➔ ❦❤✉♥❣ ❦➳t ❤ñ♣ ✤è✐ ♥❣➝✉✳ ❚r♦♥❣ ✤â ✤✐ s➙✉ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❤❛✐ ✈➜♥ ✤➲ ❝❤➼♥❤ ❧➔✿ • ❑❤✉♥❣ ❦➳t ❤đ♣ ✤è✐ ♥❣➝✉ t❤✉ ✤÷đ❝ tø ❝→❝ ♥❣❤à❝❤ ✤↔♦ tr→✐ ❝õ❛ t♦→♥ tû ♣❤➙♥ t➼❝❤✳ ❑➳t q✉↔ ỵ t ủ ố t ữủ tứ ố ỵ ❝❤♦ t❛ ❦➳t q✉↔ ♥➔②✳ ◆❣♦➔✐ r❛✱ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ✤÷❛ r❛ ♠ët sè ✈➼ ❞ö ❝ö t❤➸ ✤➸ ♠✐♥❤ ❤å❛ ❝❤♦ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❦❤✉♥❣✳ ✷✼ ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ❬✶❪ ▼✳❙✳ ❆s❣❛r✐ ❛♥❞ ❆✳ ❑❤♦sr❛✈✐ ✭✷✵✵✺✮✱ ✏❋r❛♠❡s ❛♥❞ ❜❛s❡s ♦❢ s✉❜s♣❛❝❡s ✐♥ ❍✐❧❜❡rt s♣❛❝❡s✑✱ ❏✳ ▼❛t❤✳ ❆♥❛❧✳ ❆♣♣❧✳ ✸✵✽✱ ◆♦✳✷✱ ✺✹✶✲✺✺✸✳ ❬✷❪ P✳●✳ ❈❛s❛③③❛ ❛♥❞ ●✳ ❑✉t②♥✐♦❦ ✭✷✵✵✹✮✱ ✏❋r❛♠❡s ♦❢ s✉❜s♣❛❝❡s✑✱ ▼❛t❤✳ ❈♦♥t❡♠♣✳ ✸✹✺✱ ✽✼✲ ✶✶✸✳ ❬✸❪ P✳●✳ ❈❛s❛③③❛✱ ●✳ ❑✉t②♥✐♦❦✱ ❛♥❞ ❙✳ ▲✐ ✭✷✵✵✽✮✱ ✏❋✉s✐♦♥ ❢r❛♠❡s ❛♥❞ ❞✐s✲ tr✐❜✉t❡❞ ♣r♦❝❡ss✐♥❣✑✱ ❆♣♣❧✳ ❈♦♠♣✉t✳ ❍❛r♠♦♥✳ ❆♥❛❧✳ ❬✹❪ ❖✳ ❈❤r✐st❡♥s❡♥ ✭✷✵✵✸✮✱ ✷✺✱ ✶✶✹✲✶✸✷✳ ❆♥ ✐♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ❢r❛♠❡s ❛♥❞ ❘✐❡s③ ❜❛s❡s✱ ❇✐r❦❤❛✉s❡r✱ ❇♦st♦♥✳ ❬✺❪ ❙✳❇✳ ❍❡✐♥❡❦❡♥ ❛♥❞ P✳▼✳ ▼♦r✐❧❧❛s ✭✷✵✶✹✮✱ ✏Pr♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ❢✐♥✐t❡ ❞✉❛❧ ❢✉s✐♦♥ ❢r❛♠❡s✑✱ ▲✐♥❡❛r ❆❧❣❡❜r❛ ❆♣♣❧✳ ✹✺✸✱ ✶✲✷✼✳ ❬✻❪ ❙✳❇✳ ❍❡✐♥❡❦❡♥✱ P✳▼✳ ▼♦r✐❧❧❛s✱ ❆✳▼✳ ❇❡♥❛✈❡♥t❡ ❛♥❞ ▼✳■✳ ❩❛❦♦✇✐❝③ ✭✷✵✶✹✮✱ ✏❉✉❛❧ ❢✉s✐♦♥ ❢r❛♠❡s✑✱ ❆r❝❤✳ ▼❛t❤✳ ❬✼❪ ❘✳❱✳ ❑❛❞✐s♦♥ ❛♥❞ ❏✳❘✳ ❘✐♥❣r♦s❡ ✭✶✾✽✸✮✱ ♦♣❡r❛t♦r ❛❧❣❡❜r❛s✱ ✶✵✸✱ ✸✺✺✲✸✻✺✳ ❋✉♥❞❛♠❡♥t❛❧s ♦❢ t❤❡ t❤❡♦r② ♦❢ ❱♦❧✳ ✶✱ ❆❝❛❞❡♠✐❝ Pr❡ss✱ ◆❡✇ ❨♦r❦✳ ✷✽