Nhập mơn TỐN HỌC TÀI CHÍNH N H À XUẤT BẢ N KHOA HỌC V À KỸ THUẬT TRÂN HÙNG THAO NHẬP MƠN TỐN HỌC TÀI CHÍNH (Tái củ sửa chữa, bô sung) NHÀ XUẤT BẢN KHOA HỌC VÀ KỸ THUẬT HÀ NỊI - 2009 LỜI NĨI ĐẢU CHO LÀN XUÁT BẢN THỨ Theo yêu cầu nhiều bạn đọc, tiến hành tá i sách n ày vói m ộ t s ố chỉnh sửa sai sót cho lần xu ấ t trước Hơn nữa, ỏ lần xu ấ t này, phần đầu Chương - L ý thuyết độ chênh thị già chúng tô i viết lại cho dễ hiểu xá c Tốn học tà i ngày p hát triển m ạnh hơn, k ể từ lần x u ấ t trước tới n a y nhiều phương pháp đời có tính ứng d ụng tính sư p h m cao đưa vào giáo trình tốn học tài chính, khn khổ sách có hạn, hy vọng nội d ung chúng tơi đề cập đến tập ỏ lần tái sau Tàc giả m ong nhận ỷ kiến đóng góp bạn đọc đ ể hồn thiện cho sách Tác giả xin chân thành cảm ơn N hà xu ấ t K hoa học Kỹ thuật tạo điều kiện tố t đ ể sách tà i lần H Nội th n g 8/2009 Nhập môn Tốn học tài LỜI NĨI ĐẦU Cuốn sách cung cấp cho bạn đọc kiến thức ban đầu m ột s ố phương pháp toán học dùng nghiên cứu thị trường tài chính, sỏ đòi hỏi hiểu biết khơng nhiều tốn học, phạm vi hai năm đầu toán đại cương ỏ bậc đại học, nhằm phục vụ đối tượng rộng rãi bạn đọc: sinh viên ngành tốn tài chính, nhà kinh tế, nhà quản lý, nhà nghiên cứu toán học ứng dụng Thực ra, toán học dùng cho nghiên cứu tài chinh gồm nhiều mơn, đó, đóng vai trò lớn phép vi tích phân ngẫu nhiên phương trình vi phân ngẫu nhién Với người bắt đầu, sa đà vào cấc chi tiết kỹ thuật khó Giải tích ngẫu nhiên chóng nản lòng, khơng nắm chất kinh tế-tài chinh vấn đề, người "thấy mà chẳng thấy rừng", mô hình tồn học đặt ch ỉ công cụ đ ể thấy rô cài rừng Cuốn sách muốn khắc phục khó khàn cho bạn đọoNội dung trình bày từ dễ đến khó, với nhiều thí dụ dẫn giải với phương tiện toán học vừa phải đủ sâu sắc để diễn đạt giải vấn đề đặt Nội dung bao qồm hầu hết mơ hình toán học gặp nghiên cứu thị trường tài chinh như: thị trường cổ phiếu, trái phiếu, Quyền Chọn, tiền tệ, lãi suất, loại hợp-đống, vấn đề rủi ro tài chinh, phòng hộ bảo hiểm Các cơng cụ tốn học đưa vào m ột cách tự nhiên đa dạng, không ch ỉ dừng lại ỏ phương pháp Giải tích ngẫu nhiên Về tên gọi, thực môn học nước ngồi người ta gọi "Tài chinh ỉốn học" (Mathematical Finance) với "toán học" dùng tinh ngữ bổ nghĩa cho "Tài chính" Còn ỏ nước ta, chúng tơi thấy tên gọi "Tốn học tài chính" hay "Tốn tài chính" chấp nhận được, vòi nội dung "Các phương pháp toán học dùng cho việc nghiên cứu thị trường tài chính" Trong phần Phụ lục, chúng tơi có nêu tóm tắt số kiện quan trọng (khơng chứng minh) Giải tích ngẫu nhiên đ ể bạn đọc tiện tham khảo LỜI nói đầu Có bảng đối chiếu thuật ngữ ỏ cuối sách, thuật ngữ toán tài chinh, chúng tơi thấy có nhiều việc phải bàn đ â y chúng tơi muốn nói việc xây dựng thuật ngữ tiếng Việt cho môn khoa học mẻ nước ta phải tiến hành thật nghiêm túc co sở vừa mạnh dạn vừa thận trọng Một thuật ngữ phải phản ảnh tối đa nội dung ngữ nghĩa mà mang tải, phải cấu thành sỏ tu từ học (rhetoric) tôn trọng quy tắc tạo từ Hán-Việt Vì thế, chẳng hạn chúng tơi khơng chuyển ngữ từ "arbitrage" thành "cơ lợi", Cuốn sách hình thành sỏ đúc kết kinh nghiệm tác giả qua số năm làm nghiên cứu giảng dạy mơn học nước ngồi Nhản tác giả xin chân thành cám ơn nghiệp giáo sư Christine Thomas (Toulouse, Pháp), Victor Goodman (Indiana, Hoa kỳ) Nguyễn Văn Hữu (Đại học Quốc gia Hà Nội), góp ỷ quan trọng Như nói ỏ trên, trình bày tương đối có hệ thống tương đổi dễ hiểu phương pháp tốn học dùng nghiên cứu thị trường tài mục đích sách Một sổ vấn đề quan trọng mang tính chất thời Tốn học tài vòi cơng cụ tốn học un bác đổi tượng sách chuyên khảo đời tòi Tác giả xin chắn thành cám ơn Nhà Xuất Khoa học Kỹ thuật biên tập chu đáo sách tạo nhiều điều kiện thuận lợi để sách sớm đến tay bạn đọc Hy vọng sách mang lại nhiều ích lợi cho bạn đọc cần đến Toán học tài bước vào lĩnh vực Như bao tác giả khác, trân trọng càm ơn bạn đọc góp ỳ để sửa chữa sai sót tồn sách Hà Nội, tháng năm 2003 Trần Hùng Thao Vié?i Tốn hoc ' MỤC LỤC LỜI N Ĩ I Đ Ầ U C H O L Ầ N X U Ấ T BẢ N T H Ứ LỜI N Ó I Đ Ầ U M ỤC LỤ C CH Ư Ơ NG C Á C T H Ị T R Ư Ờ N G T À I C H ÍN H 23 Thị trường toán h ọ c 23 Cổ phiếu chứng khoán phái sinh 25 2.1 Hợp đồng cổ phiếu ký kết trước {Forward Stock C o n tr a c t) 26 2.2 Đầu tư để bảo h ộ 27 2.3 Mua bán chiến lược đầu t 28 Cơ hội có độ chênh thị g i 29 3.1 Cơ hội thứ n h ấ t 29 3.2 Cơ hội thứ h a i 30 3.3 Phương trình khơng có chênh lệch g i 30 3.4 Đáp ứng để bảo hộ Sự khơng có chênh lệch g i 32 Hợp Quyền Chọn M u a 33 4.1 Định nghĩa 33 4.2 Lời hay lỗ vào lúc đáo h n 33 4.3 Thí dụ hợp đồng kiểu châu  u .34 4.4 Thí dụ vé thực thi sớm (Hợp đồng kiểu M ỹ ) 35 4.5 Giá hợp đồng lựa chọn m u a 35 Các hợp đồng Quyền Chọn B n 36 5.1 Các điều kiện hợp đồng Quyền Chọn B n 37 5.2 Lời hay lỗ vào lúc đáo hạn 37 Nhập mơn Tốn học tài 5.3 Thí dụ 1: Quyền Bán dùng để bảo h ộ .38 5.4 Thí dụ 2: Thực thi s m ') 5.5 Giá Quyền B n ‘) 5.6 Bấn khống {Short S e llin g ) ‘) Định giá "hợp đồng giao sau " () 6.1 Thí dụ 6.2 Thí dụ 41 6.3 Hợp đồng giao sau cổ p h i ế u 41 6.4 Định giá hợp đồng giao sau cổ phiếu 43 Thị trường trái p h i ế u 43 7.1 Khái niệm c h u n g 7.2 Các loại ưái p h i ế u 45 7.3 Tỷ lệ lợi nhuận hay lợi suất (Rate o f R eturn) 4ò 7.4 Thị trường trái phiếu Hoa k ỳ 4S 7.5 Lãi suất lãi suất định tr c 50 7.6 Đường hoa lợ i ] Hợp đồng giao sau vê lãi suất (Interest Rate F u tu res) 52 8.1 Khái niệm c h u n g 52 8.2 Xác định giá Hợp đồng giao s a u 8.3 Hợp giao sau Tín phiếu kho b c 55 Trao đổi ngoại t ệ 55 9.1 Đặt vấn đế 9.2 Tính t o n C H Ư Ơ N G L Ý T H U Y Ế T Đ Ộ C H Ê N H T H Ị G IÁ (A R B IT R A G E ) ,1 Giá xem trình ngẫu n h i é n 59 Thông tin thị t r n g 60 59 Mục ìục ^ 2.1 Trưòng thơng tin -trư n g 60 2.2 Luồng thông tin thị trường 61 2.3 Không gian xác suất l ọ c 62 2.4 Lịch sử diẽn biến giá tài s ả n 62 2.5 Luồng thông tin tổng hợp'cúa thị trư n g 63 2.6 Giả thuyết thị trường hiệu q u ả 63 Các khái niệm c h u n g 64 3.1 Phương án đầu t 64 3.2 Phương án mua b n 65 3.3 Cân đối lại Tự tài t r ợ .65 Cư hội có chênh lệch thị giá nguyên lý AAO 66 4.1 Cơ hội có độ chênh thị g i 66 Nguyên lý Đáp ứng Khái niệm thị trường đầy đủ 67 Định giá phương pháp độ chênh thị giá 68 6.1.Quan hệ nguyên lý AAO nguyên lý đáp ứng 68 6.2 Ý tưởng việc định giá phưcmg pháp độ chênh thị g iá Xác suất rủi ro-trung tính hay độ đo mac-tin-gan 7.1 Định nghĩa 71 7.2 Chú ý ”72 7.3 Giải thích thêm phương pháp rỉii ro trung t í n h 73 C H Ư Ơ N G Đ ỊN H G IÁ M Ộ T SẢ N P H Ẩ M p h i s in h 81 Định giá Quyền Chọn định giá sản phẩm phái sinh nói c h u n g Định giá theo Phưcfng pháp Lý thuyết Trò c h i 82 Cơng thức tổng qt định giá theo Lý thuyết Trò chơi 85 1.3 Định giá theo phưcmg án đầu tư đáp ứ ng 86 Nhập mơn Tốn học tài 1.3.1 Một phươnií án đầu t S6 1.3.2 Định giá giá trị kỳ vọng to n .S8 1.3.3 Xác suất định g i ()0 1.3.4 Phương pháp Xác su ấ t ()2 Sơ rủi ro tài c h í n h 05 C H Ư Ơ N G Đ ỊN H G IÁ Q U Y Ể N chon , M Ơ H ÌN H B L A C K -SC H O L E S VÀ M Ô H ÌN H C O X -R O SS-R U B IN ST E IN Mơ hình B lack -S ch oles 1.1 Giới thiệu mơ hình kết q u ả 99 99 99 1.2 Tại lại dẫn đến phương trình (3 )? 101 1.3 Quá trình chuyển động Brown hình h ọ c 102 1.4 Xác định tham số chuyển động Brown hình học , 102 Công thức Black-Scholes giá hợp đồng Quyền Chọn M u a 105 2.1 Giá Quyền Chọn giá trung bình chiết k h ấ u 2.2 Tính tích phân (2.7) 105 Chú ý 1: Công thức Căp đổi M u a -B n I ]0 Chú ý 2: Quyền Chọn Mua châu Âu sơ h ó a 112 Phương trình đạo hàm riêng Black-Scholes 11 3.1 Khai triển hàm V'(5', t ) 106 1] 3.2 Thay thế, tính tốn bỏ qua số hạng bậc c a o 113 3.3 Tìm Phương án đáu tư (Bước ) IỊ 3.4/C ác điều kiện biên phương trình Black-Scholes I ló 3.5 Giải phương trình Black-Scholes 116 Mơ hình Cox-Ross-Rubinstein 117 4.1 Mơ tả tốn học mơ hình nhị t h ứ c 118 Mục lục *’ 4.1.! Định ngliTa 118 4.1.2 Diẽn biến s 118 4.1.3 Xác suất ITIÌ ro trung tí n h 119 4.2 Định íỊÌá Quyền Chọn kiểuchâu  u 120 4.2.1 Định n£;hĩa ký h iệ u 120 4.2.2 Cây đồ thị 121 4.2.3 Giá quyền c h ọ n 121 4.3 Trường hợp Quyền Chọn kiểu M ỹ 122 CH Ư Ơ N G B Ả O H ộ G IÁ 123 Mử đầu: Bảo hộ giá gì? >23 Bảo hộ d e l t a 124 2.1 Khái niệm mở đ ầ u 124 2.2 Bảo hộ Quy hoạch đ ộ n g 126 2.3 Chú ý 127 2.4 Quy tắc Bảo hộ d e lta 128 2.5 Thí d ụ 130 2.6 Nhược điểm phươiig pháp Bảo hộ d e l t a 131 Các phương pháp bảo hộ giá chứng khoán hay phương án đầu t 3.1 Bảo hộ giá Quyền Chọn B n '32 132 3.2 Bảo hộ giá "bảo đảm lãisuất bị chận" {collars) 132 3.3 Bảo hộ giá biện pháp "mua bán cổ phần cặp đôi" (Paired T d e s ) 133 3.4 Bảo hộ tương q u a n 133 Các tham sô bảo hộ d e l t a 135 4.1 Xác định tham s ố 135 4.2 Về tham số A 136 43 ChươniỊ I Các thị trường tời ố't) Tơi đầu tư khốn tiền 5’n với lãi suất khơng rủi ro r Đến thời điểm T, sô tiền đầu tư nở thành S{) e' ^ Đên lúc nay, tra Su cho người bán hợp đồng giao sau, lấy cổ phiếu chứng khốn tơi đem đưa cho người bán khống để kết thúc vụ việc giao dịch mua bán Và kiếm khoản tiền lời không rủi ro S'oe’-"' - S d - Như thế, người bán hợp đồng giao sau bị vây hãm n£>ười hỏi mua, giá họ mức S() đổn^ điều chỉnh đến S() Và giá cúa hợp 6.4 Định giá hựp đồng giao sau đối vói cổ phiếu Ta biểu diễn giá giao sau (nói tát giá hợp đồng giao sau), với ngày giao nhận cố định T, theo giá thị trường hàng ngày hàng 5( chứng khốn Đó cơng thức Ft = St Chú ý Giả thử người bán hợp đồng giao sau biết chắn cơng ty Elechtrotech gập hồn cảnh khó khăn, nên bán hợp đồng giao sau cổ phiếu Elechtrotech với giá S o < Sữ Bạn mua lấy vài hợp đồng làm theo chiến lược mô tả Đúng dự đoán Elechtrotech bị rớt giá xuống Sr < S d - Bạn kiếm khoản lời 5n e’-^ - S d - Anh chàng bán hợp đồng kiếm khoản lời S d - Sr- Thế bị lỗ? Đó người sở hữu cổ phiếu mà bạn vay bán §7 Thị trường trái phiếu 7.1 Khái niệm chung Cho đến thị trường trái phiếu Mỹ lớn giới, lớn thị trường cổ phiếu Mỹ Năm 1996, thị trường trái phiếu Mỹ có tới 11 nghìn tỷ la Mỹ Nhập mơn Tốn học tài 44 Trái khốn tên gọi chung, phát hành cụ thể thành tờ giấy có mệnh giá gọi trái phiếu , trái khốn trái phiếu có tồn gọi chung tiếng Anh bond Dạng trái phiếu nợ Nó phản ánh lời hứa hẹn n^ười vay - tức người bán trái phiếu, ràng trả lại khoản tiền vay vào thời điểm ấn định, cộng thêm với tiền lãi với lãi suất thỏa thuận Chú ý từ "lời liứa" nằm phạm vi Biên hứa hẹn (promissory note) Thị trường trái phiếu kênh trao đổi phủ công ty cần vay tiền với nhcà đầu tư có vốn cho vay Thị trường trái phiếu tạo nâng toán tiền mặt (monetery liquidity), điều sống tiềrn lực kinh tế Những nhà môi giới trái phiếu hoạt động người trung gian, mua người phát hành trái phiếu bán cho nụtòi mua trái phiến Những hoạt động tạo nên tìĩị trường sư cấp (primary market) trái phiếu Những nhà mơi giới trái phiếu trì thị trường thứ cấp linh hoạt (active secondary market) vể trái phiếu, đật gi Tị), lãi suất định trước cho thời kỳ Ti T2 cho công thức f(TuT,) = " ^ ệ ^ (7.3) 7.6 Đường hoa lợi Đường hoa lợi trái phiếu lãi suất-0 đồ thị lãi suất giao {spot rate) (tức hoa lợi phiếu lãi-0) tương ứng với thời điểm đáo hạn tính theo năm Cũng có đường cong biểu thị lãi suất trái phiếu có trả lãi tương ứng với thời điểm đáo hạn Tờ Nhật báo phô Wail đăng tải hàng ngày đường hoa lợi Kho bạc mặt báo Khi đường hoa lợi cao thời gian đáo hạn lâu dài đường hoa lợi trái phiếu-0 ln cao đường hoa lợi trái phiếu có trả lãi Một trái phiếu có trả lãi tạo khoản thu hoạch trước ngày đáo hạn trái phiếu Những khoản chi trả chiết khấu thu hoạch cuối tạo hoa lợi thấp Nhập mơn Tốn học ĩàì 52 Phương trình (7.3) viết lại thành f ( T , T ) = s + { s - r ) —^ ~ (7,4) Ấ2 — Điều chứng tỏ s > r f > s > V lãi suất định trước lớn hoa ]ợi giao Nếu T tiến dần tới Ti s tiến dần tới r, ta thấy ràng lãi suất định trước, khoảng thời gian ngắn bát đầu từ thời điểm r , HT,T) = r + TỆ^ (7.5) Đó lãi suất định trước tức thời thời gian đáo hạn T §8 Hợp đồng giao sau lãi suất (Interest Rate Futures) 8.1 Khái niệm chung Hợp giao sau lãi suất phổ biến hợp đồng giao sau lãi suất trái phiếu kho bạc buôn bán Hội đồng Thưưng mại Chicago (Chicago Board o f Trade, CBOT) Trong hợp đồng này, người mua đảm bảo nhận trái phiếu phủ với thời gian đáo hạn 15 năm nhận trái phiêíi vào ngàv phát hành Tliực ra, trái phiếu kho bạc mà trao đổi buôn bán với phủ vòng 15 năm kể từ ngày phát hành, thỏa mãn điều kiện hợp đồng loại Giá trái phiếu kho bạc thông báo (qiioied) đô la — đô la Giá thông báo dùng cho Irái phiếu có mệnh giá lậ ỉốo dơ la Một thơng báo 91-05 có nghĩa !à giá chi định írái phiếu với mệnh giá 100000 la 91 156,25 la, vì: 91% 100000 = 91 000 % ;^ X 100.000 = 156,25 oZ Giá định khơng phải ìà người mua phải trả tiền mặt Mốỉ quan hệ giá thông báo (hay giá định) với giá tiển mặt sau: Chươỉiq I Các thị tyườnữ, tài 53 giá tiền mặt = giá thơng báo + lãi tích lũy (accrued interest) k ể từ ngày mua trái phiếu cuối Giá hợp đồng giao sau trái phiếu kho bạc thông báo theo cách giá thân trái phiếu kho bạc Việc giacj trái phiếu theo hợp đồne tiến hành lúc suốt tháng íỊÌao nhận Phía đổi tác bán khống, người giao trái phiếu cho phía mua, nhận niột khoản tiền xác định hệ s ố quy đổi (conversion factor) trái phiếu Hệ số quy đổi giá trị trái phiếu vào ngày tháng giao nhận, với gid thiết lẳng lãi suất tâng 8% (có giá trị vòng nửa năm) Số tiền mạt mà người giao trái phiếu nhân là: giá tiền m ặt = (giá giao sau thông báo) X (hệ sô quy đổi) + ịlãi tich lũy trái phiếu) Lãi tích lũy lãi tính 100 la mênh giá trái phiếu Bất kỳ lúc nào, Hội đồng CBOT có khoảng 30 trái phiếu giao theo hợp đồng trái phiếu giao sau Sơ' trái phiếu thay đổi nhiều theo với lãi suất ngày đáo hạn thay đổi Những người bán khống chọn trái phiếu rẻ trái phiếu có sẩn để giao cho đối tác Đối với họ, giá mua vào trái phiếu để giao sau cho khách là: gm mua vào =(giá thơng báo)+(lãi tích lũy k ể từ trái phiếu cuối cùng) 8.2 Xác định giá Hợp đồng giao sau Giả thử ta biết trước trái phiếu rẻ nhất-để-giao ngày giao Hợp đồng giao sau vể trái phiếu kho bạc hợp đồng giao sau dựa rnột chứng từ bảo đảm cung cấp cho người giữ hợp đồng khoản thu nhập biết trước Ta xác định giá Fị hợp đồng giao sau trái phiếu ta làm ưong §7 hợp đồng giao sau cổ phiếu Gọi c giá trị tất khoản chi trả phiếu lãi dựa Nhập mơn Tốn học tùi 54 trái phiếu Ta biết sô' tiển phải trả thời điểm trả mồi [hiếu lãi, ta tính khấu trừ khoản chi trà để gá trị chúng Gọi p qiá giao n^ay trái phiếu, T thời tiêm đáo hạn hợp giao sau / thời điểm Ta thấy "Ềing Ft - (P - 8.1) r lãi suất khơng rủi ro áp dụng cho thời giar từ t đến T Biểu thức {P - C) có niặt so sánh hai phương án điu íư sau: Phương án Á bao gổm hợp đồng giao sau trị giá / dựa trơn trái íhiếu cộng với khoản tiền mạt Y Phương án B bao ^ổm trái pỉiiếu cộng với khoản vay trỊ gá c với lãi suất không rủi ro Khoản tiền cần để trả cho trái phiếu với phiếu lãi (iùig (tể trả lại cho khoản vay làm cho phương án B có giá trị đơn vị trái phiếu thời điểm T Trong phưc:rng án A, số tiền ĩììặt điu tư với lãi suất không rủi ro nở thành Y thời điểm T iùng để trả cho trái phiếu thời điểm T "riico Nguvên lý Không có độ Cĩẽnh ĩhị giả, hai giá phải thời điểm t: f + A' ^ P -C f =p- c - X Giá giao sau F hợp đồng giá trị A' làin cho / = Lo dó ta F = (P - ơ) 8.i) Họp đồng giao sau Tín phiếu kho bạc Tín phiếu kho bạc có thời hạn năm Tín phiếu kh( bạc c ó thời h n n g ắ n n h ấ t tín p h iế u -n e v T r o n g h ợ p đ n g g ia o SÍU 55 Chươnq I Các thị trường tài Tín phiếu kho bạc, tài sản sở Tín phiếu kho bạc 270-ngày, kể từ lúc hợp có hiệu lực Những hợp đồng xem hợp đồng phụ thuộc vào lãi suất ngắn hạn • Tính giá hợp đồng giao sau phiếu-T Giả thử có hợp đồng giao sau Tín phiếu kho bạcđáo hạn sau nărn tài sản sở đáo h ạn sau r+ T 90 ngày = Tị) n ã m Gọi r m lãi s u ấ t k h ô n g rủi r o c h o n h ữ n g vụ đ ầ u tư đ o h ạn sau T To năm Giá thử tài sản sở Tín phiếu kho bạc có mệnh giá 100 la Giá trị là; V"o = l()Oe“ "“^“ Vì hạp đồng đáo hạn vào năm T tài sản sở không chia cổ tức, ta Ihấy giá giao sau F F = lần giá tài sản sở Do = (8.2) Ta nhắc lại rằng, theo cơng thức (7.3) lãi suất định trước / hai thời điểm T To liên hệ với r ? n bời phương trình /(T T n ) = D(1 đó, ta viết lại giá giao sau F sau F = (8.3) Phương trình (8.3) chứng tỏ rằng: Giá hợp đổnẹ giao sau Tín phiếu kho hạc giá với T-tín phiếu lãi suất 90-ngày vào ngày giao với lãi suất định trước vào ngày §9 Trao đổi ngoại tệ Nội dung chi tiết trao đổi ngoại tệ trình bày Chương 12 đí\y ta giới thiệu vài nét chung Nhập mơn Tốn học tài 56 Các hợp ký kết trước hợp đổne Quyển Chọn thưòíng sử dụng rộng rãi để khống chế rủi ro việc trao đổi ngoại tệ Nhữní; rủi ro nảy sinh cơng ty tham gia vào giao dịch có liên quan đến việc chi trà ngoại tệ Chảng hạn, cơng ty Đức bán sản phẩm họ cho rnột công ty Mỹ nhận tiền trả bằne đô la Mv Họ cần phải chuyển đổi tiền đô la thành tiền euro Số tiền euro mà họ thu vể phụ thuộc vào tỷ giá hối đối phổ biến đô la euro lúc Công ty Đức vào vị trí có rỉii ro, tỷ giá đối thay đổi thất thường Trên thực tế, người ta dùng hỢỊ} đồng ký kết trước hợp đồng Quyền Chọn để khống chế rủi ro tỷ giá hối đoái nhàm đạt khối lượng tiền đảm bảo sau chuyển đổi Q trình g ọ i hảo hộ chống lại rủi ro đ ây ta kh ô iig sâu th ê m v vấn ctế mà giới thiệu hợp đồng giao sau dựa tiền tệ Những vấn đổ khác nêu Chương • Tính tốn Hợp đồng giao sau vé tiền tệ (Currency Futures) 9.1 Đặt vấn đề Xét hợp đồng giao sau liên hệ đồng đô la Mỹ đổngeuro sau Tại thời điểm T, bên A giao euro cho bên Bvà bên B trả cho bên A sô' tiền đô la Vậy giá hợp lý cho hợp eiao sau ỉà bao nhiêu? Bên A phải lấy đô la để giao I euro cho bên B ? 9.2 Tính tốn Giả thử ta có sơ' liệu sau Tỷ giá hối đối hơm nay: la Lãi suất không rủi ro Mỹ Lãi suất không rài ro châu Ẩu = a euro = I'd = r,n- 57 Chtỉc/ní’ I Các thị trường íài Ta xâv dựng sơ đồ sau Đô la T = Thời điểm T l, (''■''^'.1 Euro < - ^ n i ^.Q Ta lý luận sau; Giả thử ta có la Ta thực hai q trình sau : (i) Có thể đầu tư la lãi suất Mỹ (tức đầu tư vào ngân hàng Mỹ với lãi suất không rủi ro r,,), trường hợp tiền biến thành la thời điểm T, hoậc (ii) Có thể chuyển đổi đô la thành tt euro đem đầu tư vào n g â n h n g c h â u  u v i lãi s u ấ t k h ô n g nii ro r„, ; tro n g trư n g h ợ p n y tiền Q euro thời điểm T biến thành Ta tiến hành hai cách Theo hai cách thời điểm T , ta có hai tiền Nhưng thời điểm T = hai tiền có giá trị (mặc dù T, giá trị chúng khác nhau) Tại T = fi e u ro = e ' ' ' ^ đ ô la hay euro = la g(r^~r,„)T a Đó giá hợp lý cho hợp đồng giao sau Theo quan điểm thực hành, bên A vay đô la Anh ta ^ euro vào hôm Đến thời điểm T , sô' tiền chuyển đổi số thành euro biến thành euro Tại thời điểm T, phải trả lại người cho vay la \ Q / tt số tiền mà ta định giá hợp lý ... gọi "Tài chinh ỉoán học" (Mathematical Finance) với "toán học" dùng tinh ngữ bổ nghĩa cho "Tài chính" Còn ỏ nước ta, chúng tơi thấy tên gọi "Tốn học tài chính" hay "Tốn tài chính" chấp nhận được,... thị trường tài chính, sỏ đòi hỏi hiểu biết khơng nhiều tốn học, phạm vi hai năm đầu toán đại cương ỏ bậc đại học, nhằm phục vụ đối tượng rộng rãi bạn đọc: sinh viên ngành tốn tài chính, nhà kinh... khai sinh Toán học tài chinh, ngày mà Lọuis Bachelier (] 870-1946) hảo vệ thành công luận án "Lý thuyết Đầu tài chính" Đại học Sorbonnc (Paris), hướng dẫn Henri Poincaré Năm 2000, giới tốn học lài