ễn thi H v C Thy Giỏo V Hong Sn B i 4 : Phơng trình và hệ PT lợng giác Một số kiến thức cần nhớ 1. Các công thức biến đổi lợng giác a) Công thức cộng: cos(a - b) = cosacosb + sinasinb cos(a + b) = cosacosb - sinasinb sin(a + b) = sinaccosb + cosasinb sin(a - b) = sinacosb - cosasinb ( ) 1 tga tgb tg a b tgatgb = m b) Công thức nhân đôi, nhân ba cos2a = cos 2 a - sin 2 a = 2cos 2 a - 1 = 1- 2sin 2 a; sin2a = 2sinacosa; 2 2 2 , 2 4 2 1 tga tg a a k a k tg a = + + ữ 3 3 sin 3 3sin 4sin ; cos 3 4cos 3cos ;a a a a a a = = c) Công thức hạ bậc 2 2 1 cos 2 1 cos 2 cos ; sin ; 2 2 a a a a + = = d) Công thức chia đôi Đặt ( ) 2 2 x t tg x k = + . Ta có: 2 2 2 2 2 2 1 2 sin ; cos ; 1 1 1 t t t x x tgx t t t = = = + + ; e) Công thức biến đổi * Đổi tích thành tổng: [ ] [ ] [ ] 1 cos cos cos( ) cos( ) 2 1 sin sin cos( ) cos( ) 2 1 sin cos sin( ) sin( ) 2 a b a b a b a b a b a b a b a b a b = + + = + = + + * Đổi tổng thành tích: cos cos 2 cos cos ; 2 2 cos cos 2sin sin ; 2 2 sin sin 2sin cos ; 2 2 sin sin 2 cos sin ; 2 2 a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b + + = + = + + = + = f) Một số công thức hay dùng: sin cos 2 sin 2 cos 4 4 sin cos 2 sin 2 cos 4 4 x x x x x x x x + = + = ữ ữ = = + ữ ữ 1 1 ; ; 4 1 4 1 tgx tgx tg x tg x tgx tgx + + = = ữ ữ + 2. Một số phơng trình lợng giác thờng gặp a) phơng trình lợng giác cơ bản: + sinx = a 1 ễn thi H v C Thy Giỏo V Hong Sn 1 2 1 (sin ) 2 PTVN PT có ngh a x k a a x k > = + = = + + cosx = a 1 1 2 (cos ) PTVN PT có ngh a a x k a > = + = + tgx = a ĐK: 2 x k + , x = k + (tg = a). + cotgx = a, ĐK: x k , x = k + (cotg = a). b) Phơng trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lợng giác. * Phơng trình bậc nhất: [ ] ( ) ( ) 2 sin ( ) sin ( ) ; ( ) ( ) 2 cos ( ) cos ( ) ( ) ( ) 2 ; ( ) ( ) ( ) ( ) ; ( ) ( ) ( ) ( ) ; sin ( ) sin ( ) sin ( ) sin ( ) ; cos ( ) cos ( ) cos ( tg tg cotg cotg f x g x k f x g x f x g x k f x g x f x g x k f x g x f x g x k f x g x f x g x k f x g x f x g x f x g x f x = + + = = + + = = + + = = + + = = + + = = + = [ ] ) cos ( ) ; sin ( ) cos ( ) sin ( ) ; 2 g x f x g x g x = + = * Phơng trình bậc 2: 2 sin sin 0a x b x c+ + = đặt t = sinx ( 1t ). 2 cos cos 0a x b x c+ + = đặt t = cosx ( 1t ). 2 2 0; 0; atg x btgx c acotg x bcotgx c + + = + + = Ví dụ: 2.ẹHNHaứng. 5 cos2 4cos 0 2 x x + = c) Phơng bậc nhất đối với sinx và cosx. asinx + bcosx = c. Cách giải: + Cách 1: chia cả hai vế cho 2 2 a b+ ; đặt: 2 2 2 2 cos , sin a b a b a b = = + + ta đợc PT: 2 2 sin( ) c x a b + = + ; *) Chú ý: Phơng trình có nghiệm 2 2 2 c a b + . + Cách 2: Đặt b tg a = ta đợc phơng trình: sin( ) cos c x a + = . Ví dụ: ẹHHueỏ 99. 3 sin 2 cos 2 2x x + = d) Phơng trình đẳng cấp đối với sinx và cosx 2 2 sin sin cos cosa x b x x c x d+ + = Cách giải: * Cách 1: Thử với cos 2 x = 0 sinx = 1 nếu nghiệm đúng pt thì đặt cosx làm thừa số chung. Với cos 2 x 0 chia cả hai vế cho cos 2 x ta đợc: atg 2 x + btgx + c = d(1 + tg 2 x). 2 ễn thi H v C Thy Giỏo V Hong Sn * Cách 2: Hạ bậc đa về phơng trình bậc nhất đối với sin2x và cos2x. Ví dụ:ẹHVLang 96D. 2 2 2cos 5sin cos 6sin 1x x x x + + = e) Phơng trình đối xứng đối với sinx và cosx *) Đối xứng: a(sinx + cosx) + bsinxcosx = c Đặt sinx + cosx = t, điều kiện 2t 2 2 1 2 2 0 2 t at b c bt at b c + = + = ữ * Giả đối xứng: a(sinx - cosx) + bsinxcosx = c Đặt sinx - cosx = t, điều kiện 2t 2 2 1 2 2 0 2 t at b c bt at b c + = + = ữ . Ví dụ .HVCTQG.00: ( ) 2sin 2 2 sin cos 1 0x x x + + = 3. Một số phơng pháp thờng dùng khi giải các phơng trình lợng giác: + áp dụng các hằng đẳng thức; + áp dụng các công thức biến đổi; + Đổi biến số, đặt ẩn phụ; + Biến đổi về tích bằng 0; + Đánh giá: dùng BĐT, tập giá trị của hàm số y = sinx; y = cosx, dùng đạo hàm; + Biến đổi về tổng bình phơng bằng 0. 4. Các ví dụ: Giải các phơng trình sau: Bài 1: x x tgxgx 2sin 4cos.2 cot += . ĐS: 3 x k = + . Bài 2: )1(sin 2 1 3 2 cos 3 cos 22 += ++ + xxx ĐS: 5 ; 2 ; 2 6 6 x k x k x x k = = + = = + . Bài 3: 2 sin 2sin 2sin sin 2 2 2 2 =+ x x x x . ĐS: 2 2 ; 2 3 3 x k x x k = + = = + . Bài 4: 8 1 3 . 6 3cos.cos3sin.sin 33 = + + xtgxtg xxxx HD:- Đặt ĐK rút gọn MS=1 AD công thức nhân 3 ĐS: 6 x k = + . Bài 5: 0cos.6)sin.2(3 =++ xxtgxtgx HD: Biến đổi theo sin và cos.ĐS: 3 x k = + . Bài 6: 3. 6sin 2sin( ) (1) 2 2sin 6sin( ) (2) 2 y tg x y x y tg x y x + = = + HD: nhân (1) với (2) rút gọn y y tg 22 sin4 2 = . 3 Ơn thi ĐH và CĐ Thầy Giáo Vũ Hồng Sơn ®Ỉt 2 y t tg   =  ÷   ⇒ t = 0, t = ± 3 . Bµi 7: xxxxxx cos13sin. 2 1 sin.4cos2sin.3cos ++=− HD : B§ tÝch thµnh tỉng rót gän. Bµi 8: 2 1 5cos4cos3cos2coscos −=++++ xxxxx HD: nh©n 2 vÕ víi 2.sin(x/2) chó ý xÐt trêng hỵp b»ng 0. NhËn xÐt: Trong bµi to¸n chøa tỉng nxxxT nxxxT sin 2sinsin cos 2coscos +++= +++= thùc hiƯn rót gän b»ng c¸ch trªn. Bµi 9: )cos.sin2(cos3sin.2sin. 22 xxxxxtgx +=− HD: B§ vỊ d¹ng: 2 2 (sin cos )(sin 3cos ) 0x x x x+ − = 5. Mét sè ph¬ng tr×nh cã tham sè: Bµi 1. T×m m ®Ĩ pt: sin2x + m = sinx + 2mcosx cã ®óng 1 nghiƯm 3 [0; ] 4 x π ∈ . HD: PT ⇔ (sinx - m)(2cosx - 1) = 0. Bµi 2. T×m m ®Ĩ ph¬ng tr×nh: (2sinx - 1)(2cos2x + 2sinx + m) = 3- 4cos 2 x cã ®óng 2 nghiƯm x ∈ [0; π]. HD: PT ⇔ (2sinx - 1)(2cos2x + m - 1) = 0. Bµi 3. T×m m ®Ĩ pt: mcos 2 2x - 4sinxcosx + m - 2 = 0 cã nghiƯm x ∈ [0 ; π/3]. Bµi 4: Cho ph¬ng tr×nh 02sin24cos)cos.(sin2 44 =++++ mxxxx T×m m ®Ĩ ph¬ng tr×nh cã Ýt nhÊt mét nghiƯn thc ®o¹n 0; 2 π       .HD: [-10/3;-2] Bµi 5: Cho ph¬ng tr×nh 3cos2sin 1cossin2 +− ++ = xx xx a 1) Gi¶i ph¬ng tr×nh khi a=1/3. 2) T×m a ®Ĩ ph¬ng tr×nh cã nghiƯm. HD: §a vỊ d¹ng (2-a)sinx+(2a+1)cosx=3a+1 §S [-1/2,2] Bµi 6: T×m nghiƯm trong kho¶ng (0, π)       −+=− 4 3 cos212cos.3 2 sin4 22 π xx x PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC -§Ị thi ®¹i häc I.Phương trình đưa về pt một hàm số lượng giác. 1.ĐHĐNẵng 97. cos 2 3cos 2 0x x+ + = 2. ĐHQGHN 97D. 2 cos2 5sinx x+ = − 3. ĐH CSND 99. 2 1 5sin 2cos 0x x− + = 4. ĐHYHP97. 2 cos2 sin 2cos 1 0x x x + − + = 5.ĐHHuế 2001. 4 4 1 sin cos sin 2 2 x x x + = − 6.ĐHCĐoàn 2001. 4 4 sin cos 1 2 sin 4 4 x x x+ = − 7.ĐHBK 96. 4 4 sin cos cos 2x x x + = 8.HVBCVTHCM 2001. 6 6 sin cos sin 2x x x + = 4 Ơn thi ĐH và CĐ Thầy Giáo Vũ Hồng Sơn 9. ĐHQGHN 98. 6 6 2 13 cos sin cos 2 8 x x x − = 10. ĐHHuế 99. 6 6 7 sin cos 16 x x + = 11.CĐSPNHà 97. 2 3 2 3 cos tg x x + = − 12.ĐHNHàng 2000. 1 3 2sin 2tgx x + = II.Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x 13.ĐHHuế 99. 3 sin 2 cos 2 2x x + = 14.ĐHKTế 97. cos 7 3 sin 7 2x x− = − 15.ĐHMT 96. cos 7 .cos5 3 sin 2 1 sin 7 sin 5x x x x x − = − 16.ĐHBPhòng 97. sin 2 sin 1 4 x x π   + − =     III.Pt đẳng cấp bậc hai đối với sin x và cos x . 17.ĐHCNghiệp HCM 00. 2 2 cos 3 sin 2 1 sinx x x − = + 18.ĐHTSản NT 00. 2 2 cos sin cos 2 sin 1 0x x x x − − − = 19.ĐHCThơ 97D. 2 cos 3 sin cos 1 0x x x + − = 20.ĐHGT 01. ( ) 2 2 2 sin cos cos 3 2 cosx x x x + = + 21.ĐHDLĐĐô 97A. ( ) cot 2 sin 2 cos 2tgx gx x x + = + IV.Phương trình đối xứng với sin x và cos x 22.ĐHHuế. sin cos 2sin 2 cos 2x x x x+ + = 23.ĐHDLHVương 97. sin cos 2 sin 2 0x x x + + = 24.HVCTQG.00: ( ) 2sin 2 2 sin cos 1 0x x x − + + = 25.CĐLĐXH 97: cos sin 1 sin 2 0x x x + + + = 26.ĐHKTCN 96: ( ) sin 2 12 sin cos 12 0x x x − − + = 27.ĐHDLĐĐô 96B: ( ) sin 2 4 cos sin 4x x x + − = 28.ĐHNNgữ 00. sin 2 2 sin 1 4 x x π   + − =     29.ĐHMỏ 99. 1 2 2 sintgx x + = 30.ĐHQGHNội 97A. cos sin cos sin 1x x x x + + = 31. sin cos sin 2 1x x x+ + = 32.ĐH 89. cos sin 2sin 2 1x x x − + = 33.ĐHNNgữ HN 97. cot sin cosgx tgx x x − = + 34. ĐHY Hnội 2001: 3 3 cos sin cos 2x x x + = 35.ĐHQG HCM 2000: 3 3 cos sin 1x x − =− 36.ĐHCSND 2000 : 3 3 cos sin 2sin 2 sin cosx x x x x + = + + 6. C¸c bµi tËp lun tËp: 1) 2 1 3sin.2sin.sin3cos.2cos.cos =− xxxxxx . 2) 2cos.3sincos.3sin =+++ xxxx . 3) x x x x cos 1 3cos.2 sin 1 3sin.2 +=− . 5 Ôn thi ĐH và CĐ Thầy Giáo Vũ Hoàng Sơn 4) x x xg 2sin 2cos1 2cot1 2 − =+ . 5) 2)1.2(cos2cos 2 =−+ xtgxx . 6) 03cos2cos84cos3 26 =++− xx . 7) 1 1cos2 3sin 42 sin2cos)32( 2 = − +       −−− x x x x π . 8) 02cos2sincossin1 =++++ xxxx . Mét sè ®Ò thi tõ n¨m 2002 1) T×m nghiÖm thuéc kho¶ng ( ) 0; 2 π cña ph¬ng tr×nh 32cos 2sin21 3sin3cos sin5 +=       + + + x x xx x . KA 2002 2) Gi¶i pt x xx xtg 4 2 4 cos 3sin)2sin2( 1 − =+ (DB 2002) 3) T×m nghiÖm thuéc kho¶ng ( ) 0; 2 π cña ph¬ng tr×nh x xtgxxg 2sin 2 2sin42cot =+− KB 2003 4) T×m x nghiÖm ®óng thuéc kho¶ng [ ] 0;14 cña pt cos 3 4cos 2 3cos 4 0x x x− + − = KB 2003 5) Gi¶i ph¬ng tr×nh 4 4 sin cos 1 1 cot 2 5sin 2 2 8sin 2 x x g x x x + = − DB 2002 6) Gi¶i ph¬ng tr×nh 2 cos cos sin 1 . 2 x tgx x x x tgx tg   + − = +  ÷   (DB 2002) 7) Cho ph¬ng tr×nh 2sin cos 1 (1) sin 2cos 3 x x a x x + + = − + a) Gi¶i ph¬ng tr×nh (2) khi 1 3 a = b) T×m a ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm 8) Gi¶i ph¬ng tr×nh 2 1 sin 8cos x x = (DB 2002) 9) Gi¶i ph¬ng tr×nh 2 cos 2 1 cot 1 sin sin 2 1 2 x gx x x tgx − = + − + (KA 2003) 10) Gi¶i ph¬ng tr×nh ( ) 3 2sin 6 cos 0tgx tgx x x− + + = (DBKA 2003) 11) Gi¶i pt ( ) 2 cos 2 cos 2 1 2x x tg x= − = (DBKA 2003) 12) Gi¶i ph¬ng tr×nh 6 2 3cos 4 8cos 2 cos 3 0x x x− + + = (DBKB 2003) 13) Gi¶i ph¬ng tr×nh ( ) 2 2 3 cos 2sin 2 4 1 2cos 1 x x x π   − − −  ÷   = − (DBKB 2003) 14) Gi¶i ph¬ng tr×nh 2 2 2 sin . cos 0 2 4 2 x x tg x π     − − =  ÷  ÷     (KD 2003) 15) Gi¶i pt ( ) ( ) 2 cos cos 1 2 1 sin cos sin x x x x x − = + + (DBKD 2003) 16) Gi¶i ph¬ng tr×nh 2sin 4 cot sin 2 x gx tgx x = + (DBKD 2003) 17) Gi¶i pt ( ) 2 5sin 2 3 1 sin tx x g x− = − (KB 2004) 18) Gi¶i ph¬ng tr×nh : ( ) ( ) 2cos 1 2sin cos sin 2 sinx x x x x− + = − KB 2004. 19.Gi¶i ph¬ng tr×nh(§Ò CT- khèi A n¨m 2008) : 1 1 7 4sin . 3 sin 4 sin 2 x x x π π   + = −  ÷     −  ÷   6 Ôn thi ĐH và CĐ Thầy Giáo Vũ Hoàng Sơn 20. (§Ò CT- K B - 08)Gi¶i ph¬ng tr×nh : sin 3 - 3 cos 3 x = sinxcos 2 x - 3 sin 2 xcosx. 22. (§Ò CT- K D - 08) Gi¶i ph¬ng tr×nh : 2sinx(1+cos2x) +sin2x= 1+2cosx. 23. (KA - 07)Gi¶i ph¬ng tr×nh : ( 1 + sin 2 x) cosx + ( 1 + cos 2 x)sinx = 1 + sin2x 24. (KB - 07)Gi¶i pt : 2sin 2 2x +sin7x -1 = sinx 25. (KD - 07)Gi¶i pt: 2 sin cos 3 cos 2 2 2 x x x   + + =  ÷   26. (DBKA - 07)Gi¶i pt: Sin2x +sinx - 1 1 2cot 2 2sin sin 2 g x x x − = . 27.(DBKA - 07)Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2 cos 2 x + 2 3 sin x cos x +1= 3( sin x + 3 cos x) 28. (DBKB - 07)Gi¶i ph¬ng tr×nh : 5 3 cos 2 cos 2 4 2 4 2 x x x Sin π π     − − − =  ÷  ÷     29.(DBKB - 07)Gi¶i pt: x x cos 2sin + x x sin 2cos = tgx- cot gx . 30. (DBKD - 07)Gi¶i pt: 2 2 sin       − 12 π x cosx = 1. 31. (DBKD - 07)Gi¶i pt : (1– tgx)( 1+ sin2x) = 1+tgx. 32.(KA - 06)Gi¶i ph¬ng tr×nh : 6 6 2(cos sin ) sin cos 0 2 2sin x x x x x + − = − 33. (DBKA - 06)Gi¶i ph¬ng tr×nh : cos3x cos 3 x - sin3x.sin 3 x = 2 3 2 . 8 + 34. (DBKA - 06)Gi¶i pt : 2sin(2x- ) 6 π +4 sinx +1 = 0. 35. (KB - 06) Gi¶i pt : cotgx + sinx 4 2 .1 =       + x tgtgx 36. (DBKB - 06) ( 2sin 2 x - 1)tg 2 2x + 3(2cos 2 x - 1) = 0. 37. (DBKB - 06) Gi¶i ph¬ng tr×nh : cos2x +( 1+2cosx) (sinx - cosx) = 0. 38. (KD - 06) Gi¶i pt : cos3x +cos2x - cosx -1 = 0 39. (DBKD - 06) Gi¶i pt: cos 3 x +sin 3 x +2sin 2 x = 1. 40. (DBKD - 06) : 4sin 3 x +4sin 2 x +3sin2x +6cosx = 0. 41. (KA - 05) Gi¶i pt : Cos 2 3x cos2x - cos 2 x = 0. 42. (DBKA - 05)Gi¶i ph¬ng tr×nh : 3 2 2 cos x 3cosx sin x 0. 4 π   − − − =  ÷   43. (DBKA - 05)Gi¶i pt : 3 sin x tg x 2. 2 1 cosx π   − + =  ÷ +   44.(KB - 05) : 1 + sinx + cosx + sin2x +cos2x = 0. 45. (DBKB - 05) : sin2x + cos2x + 3sinx – cosx – 2 = 0. 46.(DBKB-05) x sin cos x cos x . 2 2 3 4 3 2 1 2 2 4 π   − = + −  ÷   47.(KD - 05) cos 4 x +sin 4 +cos(x - 4 π )sin(3x- 4 π ) - 3 2 = 0. 48. (DBKD - 05)sinxcos2x +cos 2 x(tg 2 x-1) +2sin 3 x = 0. 7 Ôn thi ĐH và CĐ Thầy Giáo Vũ Hoàng Sơn 49. (DBKD - 05)Gi¶i ph¬ng tr×nh : π cos x tg x tg x . cos x 2 2 2 1 3 2 −   + − =  ÷   50.Gi¶i ph¬ng tr×nh: 4( sin 3 x +cos 3 x) = cosx +3sinx. 51. . (KA - 09) Gpt (1 2sin x) cos x 3 (1 2sin x)(1 sin x) − = + − . 52.(KB-09)Gpt. 3 sin x cos x sin 2x 3 cos 3x 2(cos 4x sin x + + = + 53. .(KD-09)Gpt. 3 cos5x 2sin 3x cos 2x sin x 0− − = 54.(CD--09) 2 (1 2sin x) cos x 1 sin x cos x+ = + + 8 . 0x x− + = 4. ĐHYHP97. 2 cos2 sin 2cos 1 0x x x + − + = 5.ĐHHuế 2001. 4 4 1 sin cos sin 2 2 x x x + = − 6.ĐHCĐoàn 2001. 4 4 sin cos 1 2 sin 4 4 x x x+ =. cos x cos x . 2 2 3 4 3 2 1 2 2 4 π   − = + −  ÷   47 .(KD - 05) cos 4 x +sin 4 +cos(x - 4 π )sin(3x- 4 π ) - 3 2 = 0. 48 . (DBKD - 05)sinxcos2x +cos