BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - Nguyễn Cao Thắng NGHIÊN CỨU DAO ĐỘNG NGẪU NHIÊN PHI TUYẾN BẰNG TIÊU CHUẨN SAI SỐ BÌNH PHƯƠNG TRUNG BÌNH ĐỊA PHƯƠNG – TỔNG THỂ Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật Mã số: 52 01 01 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ KỸ THUẬT CƠ KHÍ VÀ CƠ KỸ THUẬT Hà Nội – 2019 Cơng trình hồn thành tại: Học viện Khoa học Công nghệ Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam Người hướng dẫn khoa học: TS Lưu Xuân Hùng GS TSKH Nguyễn Đông Anh Phản biện 1: … Phản biện 2: … Phản biện 3: … Luận án bảo vệ trước Hội đồng đánh giá luận án tiến sĩ cấp Học viện, họp Học viện Khoa học Công nghệ - Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam vào hồi … ’, ngày … tháng … năm 2019 Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thư viện Học viện Khoa học Công nghệ - Thư viện Quốc gia Việt Nam MỞ ĐẦU Lý lựa chọn đề tài Việc tính tốn, thiết kế dao động điều khiển dao động có vai trị quan trọng nhằm trì hiệu năng, hiệu quả, tuổi thọ cơng trình, máy móc Hiện nay, hệ nhiều bậc tự sử dụng hầu hết hệ thống kỹ thuật Như vậy, cần thiết phải nghiên cứu phát triển phương pháp tuyến tính hóa tương đương (TTHTĐ) cho hệ nhiều bậc tự chịu kích động ngẫu nhiên Mục tiêu nghiên cứu luận án Áp dụng cách tiếp cận đối ngẫu để giải việc xác định miền hữu hạn [-rx , + rx] tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương (LOMSEC) Qua đề xuất tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương - tổng thể (GLOMSEC) phương pháp tuyến tính hóa tương đương cho hệ nhiều bậc tự phi tuyến chịu kích động ngẫu nhiên ồn trắng ồn màu Đánh giá sai số tiêu chuẩn thông qua việc so sánh mô men đáp ứng bậc hai gần với giá trị xác thu phương pháp tin cậy khác Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp giải tích, phương pháp số, mơ Monte - Carlo Phương pháp giải tích sử dụng để xây dựng tiêu chuẩn sai số: dựa quan điểm đối ngẫu phân tích đáp ứng hệ phi tuyến (xem xét đồng thời hai chiều khác vấn đề) cho phép khép kín mặt giải tích để xác định giá trị trung bình hệ số tuyến tính hóa Phương pháp số sử dụng để lập trình phần mềm Matlab để tính tốn, phân tích dao động ngẫu nhiên phi tuyến nhiều bậc tự Mô Monte – Carlo để tìm nghiệm mơ đánh giá độ xác lời giải tuyến tính hóa Ý nghĩa khoa học thực tiễn - Đã phát triển phương pháp tuyến tính hóa tương đương - phương pháp sử dụng phổ biến Dao động ngẫu nhiên Cụ thể đề xuất tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương - tổng thể (Global Local Mean Square Error Criterion - GLOMSEC) cho hệ ngẫu nhiên phi tuyến nhiều bậc tự - Đã xây dựng hệ phương trình khép kín để xác định mô men đáp ứng bậc hai Khảo sát đánh giá hiệu tiêu chuẩn nói cho nhiều hệ phi tuyến chịu kích động ồn trắng ồn màu - Kết luận án có khả sử dụng việc tính tốn hệ kỹ thuật phi tuyến chịu kích động ngẫu nhiên Cấu trúc luận án Cấu trúc luận án gồm: phần mở đầu, chương nội dung, phần kết luận, danh mục cơng trình cơng bố, tài liệu tham khảo phụ lục CHƯƠNG GIỚI THIỆU TỔNG QUAN VỀ LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG NGẪU NHIÊN PHI TUYẾN 1.1 Đại lượng ngẫu nhiên đặc trưng xác suất Định nghĩa Xác suất biến cố ngẫu nhiên [29],[69]: Thực n phép thử, biến cố M xuất m lần, xác suất xuất biến cố M, ký hiệu P(M) giới hạn tần suất f(M) = m/n số phép thử n tăng vô hạn lim f ( M )  P ( M ) n  (1.1) Đại lượng ngẫu nhiên X đại lượng mà kết cục r phép thử, ta liên kết với số thực X(r) cho: a) tập hợp X  x thể biến cố M số thực x, b) xác suất biến cố X =   không: PX =  = (1.2) Với x số thực bất kỳ, hàm phân phối xác suất F(x) X xác suất để đại lượng ngẫu nhiên X nhận giá trị nhỏ x: F(x) = P[X  x] (1.3) 1.2 Quá trình ngẫu nhiên Trong mục trình bày nội dung sau: Hàm mật độ xác suất; Mô men bậc cao; Kỳ vọng tốn; Trung bình bình phương; Phương sai; Hàm tự tương quan hiệp phương sai 1.3 Một số trình ngẫu nhiên đặc biệt Trong mục trình bày nội dung sau: Quá trình ngẫu nhiên dừng Ergodic; Quá trình ngẫu nhiên chuẩn hay Gauss; Quá trình ồn trắng; Quá trình ồn màu; Quá trình Wiener trình Markov 1.4 Một số phương pháp giải tích gần phân tích dao động ngẫu nhiên Cùng với phương pháp số, phương pháp giải tích gần phương pháp có hiệu Trong luận án lựa chọn số phương pháp liên quan để trình bày chi tiết [29-31]: - Phương pháp nhiễu (hay phương pháp tham số bé) - Phương pháp phương trình Fokker-Planck-Kolmogorov (FPK) - Phương pháp trung bình hóa ngẫu nhiên - Phương pháp tuyến tính hóa tương đương ngẫu nhiên 1.5 Phương pháp phương trình Fokker – Planck - Kolmogorov (FPK) phương pháp trung bình hóa ngẫu nhiên 1.6 Tổng quan số nghiên cứu dao động ngẫu nhiên Vấn đề dao động ngẫu nhiên nghiên cứu trình bày nhiều sách giáo khoa [26–33] Việc phân tích dao động dựa mơ hình tốn phi tuyến địi hỏi phải có phương pháp thích hợp Trong lý thuyết dao động ngẫu nhiên, phương pháp TTHTĐ ngẫu nhiên thay hệ phi tuyến hệ tuyến tính tương đương phương pháp phổ biến phương pháp bảo tồn số tính chất thiết yếu hệ phi tuyến gốc Phương pháp mô tả nhiều báo tổng quan [42, 43] tóm tắt chuyên khảo [29] [44] Mặc dù độ xác của phương pháp TTHTĐ không cao, điều khắc phục kỹ thuật cải tiến [43] Canor et al [45] viết: Nhờ có kỹ thuật thực dễ dàng nhanh chóng, phương pháp tuyến tính hóa tương đương trở thành cách tiếp cận xác suất chung phổ quát để phân tích cấu trúc phi tuyến kích thước lớn Phương pháp TTHTĐ sử dụng nhiều tài liệu nghiên cứu Một cách TTHTĐ dựa phương pháp giải tích phát triển [46, 47] để phân tích hệ khai thác lượng phi tuyến Hệ dao động phi tuyến thiết diện cánh nghiên cứu [48, 49] cách sử dụng phương pháp TTHTĐ Silva Gonzlez cs [52] sử dụng phương pháp TTHTĐ ngẫu nhiên để nghiên cứu hệ kết cấu phi tuyến tính đàn dẻo chịu tải địa chấn Tại Việt Nam luận án Nguyễn Ngọc Linh [4] phân tích dao động ngẫu nhiên phi tuyến hệ bậc tự phương pháp TTHTĐ ngẫu nhiên theo tiêu chuẩn đối ngẫu có trọng số Trong Luận án Nguyễn Như Hiếu [5] phát triển tiêu chuẩn đối ngẫu phương pháp TTHTĐ cho hệ phi tuyến nhiều bậc tự chịu kích động ngẫu nhiên Nguyễn Minh Triết thực luận án tiến sĩ vấn đề phân tích đáp ứng Profile cánh máy bay theo cách tiếp cận đối ngẫu, nghiên cứu dao động tuần hồn phi tuyến phương pháp TTHTĐ [6] Trong luận án tiến sĩ năm 2002 [7] Lưu Xuân Hùng phát triển tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương (Local Mean Square Error Criterion LOMSEC) dựa ý tưởng thay tích phân miền vơ hạn (-∞, +∞) tích phân miền hữu hạn [-rx , + rx] nơi tập trung đáp ứng hệ Phát triển tiếp tục hướng nghiên cứu này, luận án NCS thực nghiên cứu phát triển tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương - tổng thể (Global-Local Mean Square Error Criterion - GLOMSEC) phương pháp tuyến tính hóa tương đương cho hệ nhiều bậc tự phi tuyến chịu kích động ngẫu nhiên Trong việc phát triển áp dụng cách tiếp cận đối ngẫu để giải việc xác định miền hữu hạn [-rx , + rx] Kết luận chương Chương giới thiệu số khái niệm công thức lý xác suất q trình ngẫu nhiên, số phương pháp phân tích dao động ngẫu nhiên phi tuyến Một số kết nghiên cứu dao động ngẫu nhiên phi tuyến liên quan đến luận án tổng quan phân tích làm sở cho chương CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP TUYẾN TÍNH HĨA TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ TIÊU CHUẨN SAI SỐ BÌNH PHƯƠNG TRUNG BÌNH ĐỊA PHƯƠNG – TỔNG THỂ 2.1 Tiêu chuẩn tuyến tính hóa tương đương kinh điển Ta trình bày phương pháp TTHTĐ cho hệ dao động ngẫu nhiên phi tuyến bậc tự dạng [9, 29, 44]:  x  2hx  02 x  g ( x , x)  (t ) (2.10) x , x x dịch chuyển, vận tốc gia tốc; h hệ số giảm chấn, g ( x, x ) hàm phi tuyến, (t ) kích động ồn trắng dừng Gauss có cường độ  ; 0 tần số dao động riêng ứng với h  , g ( x, x )  Phương trình TTHTĐ (2.10) sau:  x  2hx  02 x  bx  kx  (t ) (2.11) b, k hệ số tuyến tính hóa Sai số phương trình (2.10) (2.11) phải thỏa mãn tiêu chuẩn cực tiểu hóa trung bình bình phương sai số phương trình Caughey [10] đề nghị: (2.14) S   g ( x, x )  bx  kx   kd b, k Từ đó: Skd S  0; kd  b k (2.15) Giả thiết nghiệm trình ngẫu nhiên dừng nên đáp ứng x , x độc lập, nghĩa xx  , giải hệ phương trình (2.15) thu được: b   x, x  xg x ,k  xg  x, x  (2.17) x2 Phương trình (2.11) (2.17) lập thành hệ phương trình xác định ẩn số x(t), b, k Thuật toán lặp thường áp dụng đề xuất Atalik Utku [59] sau: a) Gán giá trị ban đầu cho mô men bậc hai x , x b) Dùng (2.17) để xác định hệ số tuyến tính c) Giải phương trình (2.11) để tìm mơ men bậc hai tức thời x , x d) Lặp lại b) c) đạt độ xác định Ta xét hệ phi tuyến nhiều bậc tự chịu kích động ngẫu nhiên:  + Cx + Kx + Φ  x, x ,  Mx x  = Q t  , (2.20) x - véc tơ gia tốc, x - véc tơ vận tốc x - véc tơ chuyển dịch M   mij  , C   cij  , K   kij  ma n n n n n n trận khối lượng, ma trận cản ma trận độ cứng; Φ  x, x , x  - véc tơ hàm phi tuyến, Q  t  véc tơ trình ồn trắng có trung bình khơng ma trận mật độ phổ S  Sij  Sij  hàm nn mật độ phổ chéo hai phần tử Qi Q j Ta có hệ TTHTĐ sau:  M + M  q   C + C  q   K + K  q  Q  t  , e e e (2.21) M e , Ce , K e ma trận khối lượng, cản độ cứng tương đương Trong phương trình (2.21) ta sử dụng ký hiệu q  t  để nghiệm xấp xỉ x  t  phương trình phi tuyến gốc (2.20) Sai số hệ (2.20) hệ (2.21)  q     M e q  + Ce q + K e q  e  Φ  q, q, (2.22) Tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địi hỏi cực tiểu hóa trung bình bình phương sai số e theo M e , Ce , K e : E  e T e   emin e e M ,C , K (2.24) Trong kỳ vọng vế trái (2.24) tính theo hàm mật độ xác suất đồng thời (2.21) Atalik Utku (1976) [59] cho thấy tiêu chuẩn (2.24) dẫn tới phương trình sau: E  zz T   M e Ce T K e   E  zΦT  z   , (2.25) 2.2 Một số tiêu chuẩn tuyến tính hóa tương đương cải tiến Trong nhiều thập kỷ, nhiều nghiên cứu tiêu chuẩn tuyến tính hóa tương đương đề xuất để nâng cao độ xác phương pháp tuyến tính hóa tương đương [11-24, 20-24, 67, 68] 2.3 Tiêu chuẩn sai số trung bình bình phương địa phương-tổng thể Trong mục ta đề xuất tiêu chuẩn TTH tương đương gọi Tiêu chuẩn sai số trung bình bình phương địa phương-tổng thể Ta xét dao động ngẫu nhiên phi tuyến bậc tự dạng:  x  2hx  02 x  g ( x , x)  (t ) (2.47) ký hiệu dùng trình bày Phương trình tuyến tính hóa tương đương (2.47) có dạng:  x  2hx  02 x   x   x  (t ) (2.48) λ, μ hệ số tuyến tính hóa Sai số phương trình (2.47) (2.48) là: e x , x   g  x , x    x  x (2.49) Tiêu chuẩn kinh điển cho [29, 44]    e   ( x , x )P ( x , x ) dxdx  (2.51)  , Trong P( x, x ) hàm mật độ xác suất (PDF) x x : 12   p  x, x   C exp   x  x   0.5  x  x       d  (3.7) C số chuẩn Nếu Proba  x  a chọn trước vùng  a, a xác định theo công thức: Prob a  x  a   a a     p  x, x  dx dx (3.8) Giả sử ta chọn Proba  x  a  0.98 xét tham số d = tham số phi tuyến  thay đổi Khi thu giá trị a (Bảng 3.2) Từ Bảng 3.2 ta nhận thấy miền hữu hạn [-a, a] đáp ứng tập trung với xác suất 0.98 Các quan sát cho thấy miền đáp ứng co lại tham số phi tuyến  tăng thể Bảng 3.2 Hình 3.2 sau Bảng 3.2 Các giá trị a phụ thuộc theo   0.1 0.5 10 30 50 80 100 a 2.92 2.04 1.78 1.36 1.26 1.15 1.11 1.08 1.07 0.04 p 0.02 0 -4 -2 x 0.4 0.3 p 0.2 0.1 -1 -2 x -4 a  =0.1 -1 x b  =100 Hình 3.2 Đồ thị hàm PDF hệ cản phi tuyến, (  =0.1; 100) x 13 3.2 Các ví dụ ứng dụng tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương-tổng thể (GLOMSEC) 3.2.1 Dao động có cản phi tuyến bậc ba Xét hệ dao động phi tuyến chịu kích động ngẫu nhiên có dạng:  x  h  x   x    o2 x    t  (3.11) h ,  ,  o ,  số thực dương,   t  ồn trắng Hệ phi tuyến thay phương trình tuyến tính tương đương  x   2h  b  x  o2 x    t  (3.12) với b hệ số tuyến tính hóa Đáp ứng dịch chuyển bình phương trung bình (3.12) x2  2  2h  b  o2 (3.13) Hệ số TTH b tính theo tiêu chuẩn kinh điển: b  h  x  (3.15) Hệ số TTH b tính theo tiêu chuẩn GLOMSEC bằng: 1 s T  b  b(r )  2h  x  Lim   2, r dr   2.4119 * 2h  x  (3.22)   s  s T  1,r  Thay hệ số tuyến tính hóa (3.22) vào cơng thức nghiệm (3.13) ta có: x2 GL  h  h  2.4119h 2 * 2.4119ho2 (3.23) Để đánh giá nghiệm xấp xỉ, ta sử dụng nghiệm xác định 14 phương pháp phi tuyến hóa tương đương x ENL [29] Sai số tương đối tính theo phần trăm nghiệm xấp xỉ x so với nghiệm xác x x2 Err( C )  kd x  x2 cx ENL , x2 kd tính theo cơng thức (3.24): x2 *100%, Err( GL )  cx GL x  x2 cx x2 kd *100% (3.24) cx Trong Bảng 3.4, kết cho thấy nghiệm x xác tốt so với nghiệm GL GL có độ , cụ thể sai số lớn GLOMSEC 1.93% Bảng 3.4 Momen bậc hai đáp ứng hệ dao động cản phi tuyến với h  0.05, o  1,   4h , γ thay đổi 0.4603 0.4342 5.61 0.4692 1.93 0.3058 0.2824 7.65 0.3090 1.05 0.2479 0.2270 8.32 0.2495 0.77 0.2025 0.1844 8.99 0.2032 0.35 10 0.1835 0.1667 9.16 0.1839 0.22 kd x2 Err(GL ) x2 ENL x2 Err( C ) γ % GL % 3.2.2 Dao động hệ Van der Pol với kích động ồn trắng Xét dao động Van der Pol mơ tả phương trình  x      x  x  o2 x    t  (3.25) 15  ,  , o ,  số thực dương,   t  kích động ồn trắng Gauss cường độ đơn vị Ta thay hàm phi tuyến lực cản g  x , x    x x hàm tuyến tính bx , b hệ số TTH  x     b  x  o2 x    t  (3.26) Hệ số TTH b tính theo tiêu chuẩn kinh điển b    x  (3.29) Hệ số TTH b tính theo tiêu chuẩn GLOMSEC bằng: 1 s T  b  b(r )    x  Lim   1, r dr   0.8371  x   s   s T  0, r  Dịch chuyển bình phương trung bình x GL (3.34) hệ Van der Pol (3.25) tính theo tiêu chuẩn GLOMSEC: x2 GL  1,6742   2 1,6742          o2     (3.36) Để đánh giá nghiệm xấp xỉ, ta sử dụng nghiệm mô Monte Carlo, [29] Sai số tương đối nghiệm xấp xỉ x , GL x kd so với nghiệm mô x MC tính theo cơng thức (3.24) Bảng 3.5 Đáp ứng bình phương trung bình dao động Van der Pol với α*ε=0.2;  =1;  *  =2; σ2 thay đổi 2 x2 MC x2 Err( C ) kd % x2 Err(GL ) GL % 0.02 0.2081 0.1366 34.33 0.1574 24.32 0.20 0.3608 0.2791 22.46 0.3113 13.52 16 1.00 0.7325 0.5525 24.58 0.6095 16.79 2.00 1.0310 0.7589 26.40 0.8349 19.02 4.00 1.4540 1.0513 27.70 1.1544 20.61 Trong bảng 3.5, kết x x2 có độ xác tốt so với GL , giá trị sai số lớn tương ứng 24.32% so kd với 34.33% 3.2.3 Dao động hệ Duffing với kích động ngẫu nhiên Ta xét hệ dao động Duffing chịu kích động ngẫu nhiên có dạng:  x  2hx  o2 x   x    t  (3.37) Các ký hiệu giống ví dụ trước Nghiệm xác [29, 44]  x2  4h  1  exp   o2 x   x   dx    2    4h  2    exp    o x   x  dx  x cx (3.39) Phương trình tuyến tính hóa tương đương là:  x  2hx  o2 x  kx    t  (3.40) Hệ số TTH k tính theo tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương – tổng thể (GLOMSEC) bằng: 1 s T  1 s  k  k ( r )  Lim   k ( r ) dr   Lim    2, r  x  dr     s s  s    s T1, r  1 s T     x  Lim   2, r dr   2.4119  x   s  s  T1, r  (3.48) 17 Dịch chuyển bình phương trung bình x2 GL hệ Duffing (3.37) tính theo tiêu chuẩn GLOMSEC:: x2 GL  * 2.4119    o  o4  2.4119  h  Sai số tương đối nghiệm xấp xỉ x xác x cx GL , x2 kd     (3.49) với nghiệm tính theo (3.24) trình bày Bảng 3.6 Bảng 3.6 Đáp ứng bình phương trung bình hệ dao động Duffing với o  1, h  0.25,   ;theo hệ số đàn hồi phi tuyến  x2 cx x2 Err( C ) kd % x2  Err(GL ) GL % 0.1 0.8176 0.8054 1.49 0.8327 1.857 1.0 0.4680 0.4343 7.194 0.4692 0.263 10 0.1889 0.1667 11.768 0.1839 2.626 100 0.0650 0.0561 13.704 0.0624 4.076 Kết cho thấy nghiệm xấp xỉ xác định theo tiêu chuẩn kinh điển có độ xác tốt với hệ số đàn hồi phi tuyến  nhỏ, sai số tăng lên 13% hệ số đàn hồi phi tuyến tăng lên Độ xác tiêu chuẩn GLOMSEC tốt với sai số lớn 4.1% 3.2 Hệ Duffing với cản phi tuyến chịu kích động ồn trắng 3.2.5 Dao động tàu thủy Chuyển động lăn tàu sóng ngẫu nhiên xét [55], [56], [57] Phương trình chuyển động tàu có dạng [56-57] (3.63)       2  D  ( t ) 18 Áp dụng TTH tương đương hệ (3.63) thay hệ tuyến tính (3.66)   c e    D  ( t ) Hệ số tuyến tính hóa c e theo tiêu chuẩn GLOMSEC:  s Tt , r  1 s  c e  c e (r )  Lim   c e (r )dr    E{ }1/ Lim   dr   1.49705 E{ }1/  s  s   s s T    1, r  Mô men bậc đáp ứng theo tiêu chuẩn GLOMSEC là: E   GL  E    GL D D D   0.76415   e 1/ c 1.49705 E{ }   2/3 Mô men bậc đáp ứng theo tiêu chuẩn kinh điển là: E    E    C C D D D   0.7323   e 1/2  c 1.5958 E{ }   2/3 Mô men bậc theo tiêu chuẩn phi tuyến hóa tương đương là: E   ENL  E   ENL D  0.765     2/3 Sai số tương đối nghiệm tính theo tiêu chuẩn kinh điển tiêu chuẩn GLOMSEC so với nghiệm tính theo tiêu chuẩn phi tuyến hóa tương đương theo cơng thức (3.24), ta có: Err(C )  4.314%; Err(GL )  0.130% Kết cho thấy lời giải GLOMSEC phù hợp với lời giải ENL Như GLOMSEC mang lại cải thiện đáng kể tính xác lời giải so với tiêu chuẩn kinh điển Kết luận chương Trong chương ứng dụng Tiêu chuẩn GLOMSEC để phân tích mơ men đáp ứng bậc hai cho số hệ dao động phi tuyến ngẫu nhiên bậc tự Các ví dụ áp dụng khẳng định ưu điểm 19 bật kỹ thuật đề xuất tiêu chuẩn GLOMSEC Các kết trình bày [1,3,5], Danh sách cơng bố luận án CHƯƠNG ỨNG DỤNG TIÊU CHUẨN GLOMSEC TRONG PHÂN TÍCH CÁC HỆ DAO ĐỘNG NGẪU NHIÊN PHI TUYẾN NHIỀU BẬC TỰ DO 4.1 Hệ dao động phi tuyến hai bậc tự Ta xét hệ dao động phi tuyến hai bậc tự mô tả hệ phương trình sau [77] x1   1   x1  12 a   x1   1x13  b  x1  x2    w1 (t )  1 0            0 1   2    x2   1  2   x2   a 2   x2   x 32  b  x2  x1    w2 (t )  (4.1) đó: i , a, b, i , i (i=1, 2) số w1 (t ), w2 (t ) trình ồn trắng, trung bình khơng E wi (t ) wi (t   )  2 Si ( ) (i=1, 2),  ( ) hàm Delta Dirac, S1 , S2 = const Hệ phương trình tuyến tính hóa tương đương x1   1  c11e 1     0    e    x2   c21   x1  12  k11e a  k12e   x1   w1 (t )         e e e  1  2  c22   x2   a  k21 2  k22   x2   w2 (t )  c12e (4.4) c , k ; (i, j  1,2) hệ số tuyến tính hóa Sai số e ij e ij hệ phi tuyến gốc hệ tuyến tính hóa tương đương    ( x , x )  C e X  K e X (4.5) 3     1 x1  b  x1  x2    ( x, x )         x 32  b  x2  x1   ce Ce   11e  c21 e  c12e     x1  ; K e   k11 ; X   x  e e c22  2   k21 k12e  ; k22e  x  X   ;  x2  (4.6) 20 Để đơn giản hóa việc tính tốn, ta giả thiết x1 , x2 độc lập với Sử dụng phụ lục lưu ý E  xi2 n 1 x 2j m 1   (i  j ) Áp dụng Tiêu chuẩn GLOMSEC ta xác định: 1 s T  c11e  c11e ( r )  1E  x12  Lim   2,r dr  ,  s   s  T1,r  1 s T  e e c22  c22 ( r )   E  x22  Lim   2,r dr   s   s  T1, r   1 s T  1 s T  k11e  k11e ( r )  b  E  x12  Lim   2,r dr   3E  x22  Lim   1,r dr       s   s s   T1,r   s T0,r     1 s T  1 s T  k12e  k12e (r )  b  E  x22  Lim   2,r dr   3E  x12  Lim   1,r dr      s   s T s   s T  1,r   0,r     1 s T  1 s T  e e k 21  k 21 (r )  b  E  x12  Lim   2, r dr   3E  x22  Lim   1, r dr       s   s s   T1,r   s T0,r     1 s T  1 s T  e k22e  k22 ( r )  b  E  x22  Lim   2,r dr   3E  x12  Lim   1,r dr       s   s s   T1,r   s T0,r    (4.11) Các giới hạn (4.11) bằng: 1 s T   s T1,r  dr   0.83706 lim   2,r dr   2.41189 lim    s  s T s   s T  0r   1,r  , (4.12) Để đánh giá lời giải gần hệ phi tuyến gốc khơng có lời giải xác, ta sử dụng hàm mật độ xác suất gần theo phương pháp phi tuyến hóa tương đương (ENL) [77] Bảng 4.1 trình bày mơ men đáp ứng bậc hai gần sai số tương đối chúng so với lời giải theo phương pháp ENL 21 Bảng 4.1 Các mô men bậc hai đáp ứng x1 , x2 theo 1  với 1  2 12  a b  S0 1 1 , 2 E  x12  0.1 1.573 Err( C ) ENL E x  C % E  x12  GL Err(GL) E  x22  ENL % E  x22  C Err( C ) % E  x22  Err(GL ) GL % 1.216 22.68 1.407 10.54 1.573 1.151 26.83 1.327 15.64 0.496 0.422 15.07 0.488 1.59 0.496 0.370 25.51 0.419 15.50 0.253 0.220 13.19 0.254 0.268 0.253 0.205 19.19 0.234 7.573 10 0.194 0.171 12.07 0.197 1.533 0.194 0.162 16.48 0.186 4.178 Ta thấy GLOMSEC mang lại cải thiện tốt độ xác lời giải, đặc biệt tính phi tuyến vừa mạnh 4.2 Hệ dao động phi tuyến chịu kích động ngẫu nhiên ồn màu Việc đưa hệ bậc tự chịu kích động ồn màu vào Chương trình ngẫu nhiên ồn màu mô tả trình ồn trắng qua lọc vi phân bậc hai Phương trình dao động giải với phương trình lọc xem hệ nhiều bậc tự 4.2.1 Mở rộng GLOMSEC cho trường hợp chịu kích động ngẫu nhiên ồn màu 4.2.2 Hệ Duffing chịu kích động ngẫu nhiên ồn màu Ta xét hệ Duffing chịu kích động ngẫu nhiên ồn màu sau  z   z  2 ( z   z )  f (4.41) với f kích động ngẫu nhiên ồn màu  f   f   2f f   2f w (4.22) Phương trình phi tuyến dược thay phương trình TTHTĐ  (4.27) x  cx  kx  f 22 Ta có hệ số TTH theo tiêu chuẩn GLOMSEC: k  2  2.411892 x2 , c   (4.45) Ta có hệ số TTH theo tiêu chuẩn kinh điển: k    3 2 x2 , c   (4.46) Ta có hệ số TTH theo tiêu chuẩn cân lượng: k  2  2.52 x2 , c   (4.50) Sai số tương đối nghiệm xấp xỉ  x2,GL ,  x2,C so với  x2, E trình bày bảng 4.3 Kết cho thấy nghiệm  x2,GL có độ xác tốt nhiều so với nghiệm  x2,C , cụ thể sai số lớn tương ứng 2.392% so với 11.398% Bảng 4.3 Mô men bậc hai đáp ứng với , 2 ,S, , f2   , thay đổi   x2, E  x2, C ErrC %  x2,GL ErrGL % 0.1 1.86038 1.75024 5.920 1.88195 1.159 0.66376 0.60015 9.583 0.67688 1.977 10 0.16687 0.14855 10.979 0.17072 2.307 100 0.03720 0.03296 11.398 0.03809 2.392 4.2.3 Hệ Duffing có cản phi tuyến chịu kích động ồn màu Ta xét hệ Duffing có cản phi tuyến bậc chịu kích động ngẫu nhiên ồn màu sau  z   z   z3   z  f (4.51) với f kích động ngẫu nhiên ồn màu xác định (4.22) Phương trình phi tuyến thay phương trình TTHTĐ (4.27) 23 Ta có hệ số TTH theo tiêu chuẩn GLOMSEC: k  2  2.41189 x2 , c    2.41189 x2 (4.54) Ta có hệ số TTH theo tiêu chuẩn kinh điển: k  2  3 x2 , c    3 x2 (4.55) Sai số tương đối nghiệm xấp xỉ  x2,GL ,  x2,C so với nghiệm mô Monte Carlo  x , MC trình bày Bảng 4.4 Kết cho thấy nghiệm  x2,GL có độ xác tốt so với nghiệm  x2,C thu phương pháp kinh điển Bảng 4.4 Mô men bậc hai đáp ứng với , ,S, , f  ,  thay đổi  0.1 10 100  x2, MC  x2, C ErrC %  x2,GL ErrGL % 2.62060 0.82554 0.22073 0.05138 2.14097 0.65974 0.16413 0.03502 18.302 20.084 25.642 30.841 2.46218 0.76111 0.19043 0.04067 6.045 7.805 13.727 20.845 Kết luận chương Trong chương ứng dụng tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương – tổng thể (GLOMSEC) để phân tích mơ men đáp ứng bậc hai cho số hệ dao động phi tuyến ngẫu nhiên nhiều bậc tự hệ dao động phi tuyến ngẫu nhiên bậc tự chịu kích động ngẫu nhiên ồn màu dải hẹp Các kết chương trình bày [1,2,4,6] Danh sách cơng bố luận án 24 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận luận án Kết luận chung Phương pháp tuyến tính hóa tương đương (TTHTĐ) phương pháp sử dụng phổ biến nhất, phương pháp hữu hiệu hệ phi tuyến có hệ số phi tuyến yếu Với hệ phi tuyến có hệ số phi tuyến lớn hơn, độ xác phương pháp giảm đáng kể Luận án tập trung nghiên cứu phát triển phương pháp TTHTĐ để cải thiện sai số phân tích dao động phi tuyến Những đóng góp luận án - Đã xây dựng tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương - tổng thể (GLOMSEC) cho hệ dao động phi tuyến nhiều bậc tự chịu kích động ngẫu nhiên ồn trắng - Đã ứng dụng tiêu chuẩn để phân tích mơ men đáp ứng bậc hai cho số hệ dao động phi tuyến nhiều bậc tự chịu kích động ngẫu nhiên ồn trắng - Đã phát triển tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương – tổng thể (GLOMSEC) cho hệ dao động phi tuyến ngẫu nhiên bậc tự chịu kích động ngẫu nhiên ồn màu dải hẹp - Các ví dụ áp dụng khẳng định ưu điểm bật tiêu chuẩn GLOMSEC tiêu chuẩn GLOMSEC cho nghiệm xấp xỉ với sai số nhỏ phân tích mơ men đáp ứng bậc hai cho hệ dao động phi tuyến ngẫu nhiên có tính phi tuyến trung bình lớn Hướng nghiên cứu Các kết nghiên cứu luận án phát triển cho hệ phi tuyến nhiều bậc tự chịu kích động ồn màu, hệ dao động chịu đồng thời kích động ngẫu nhiên kích động tham số, hệ điện tử DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH ĐÃ CƠNG BỐ Luu Xuan Hung, Nguyen Cao Thang, Performance analysis of global-local mean square error criterion of stochastic linearization for nonlinear oscillators, Vietnam Journal of Mechanics, 2019, Vol 41, No 1, pp.1-15, DOI: https://doi.org/10.15625/0866-7136/12015 Luu Xuan Hung, Nguyen Cao Thang, A new stochastic linearization technique for nonlinear oscillators under colored noise excitation, 10th National Conference on Mechanics, 2017, Vol 1, pp.211-220, Hanoi Luu Xuan Hung, Nguyen Cao Thang, Analysis of randomly excited nonlinear oscillators by the global-local mean square error criterion, 4th International Conference on Engineering Mechanics and Automation (ICEMA 4), 2016, pp.197-204, Hanoi Luu Xuan Hung, Nguyen Cao Thang, Extension of Global-local mean square error criterion to nonlinear oscillators under narrow band excitation, J of Multidisciplinary Engineering Science Technology, 2016¸ 3, Iss 11, pp.6000-6005 (Tạp chí quốc tế) Luu Xuan Hung, Nguyen Cao Thang, A new improvement of Gaussian equivalent linearization for stochastic nonlinear oscillators, 2nd National Conference on Mechanical Engineering and Automation, 2016, pp.274-280, Hanoi N.D Anh, L.X Hung, L.D Viet, N.C Thang, Global-local mean square error criterion for equivalent linearization of nonlinear systems under random excitation, Acta Mechanica, 2015, 226, N9, pp.3011-3029, DOI: 10.1007/s00707-015-1332-4 (Tạp chí SCI) ... từ LOMSEC tiêu chuẩn TTH gọi tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương - tổng thể (GLOMSEC) Tiếp theo, ta phát triển tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương - tổng thể (GLOMSEC)... hạn [-rx , + rx] tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương (LOMSEC) Qua đề xuất tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương - tổng thể (GLOMSEC) phương pháp tuyến tính hóa tương... dụng tiêu chuẩn sai số bình phương trung bình địa phương – tổng thể (GLOMSEC) để phân tích mơ men đáp ứng bậc hai cho số hệ dao động phi tuyến ngẫu nhiên nhiều bậc tự hệ dao động phi tuyến ngẫu nhiên