ĐẠI H Ọ C Q U Ố C G IA HÀ N Ộ I LÊ VÀN TRỰC - TRẤN VÃN c ú c TOÁN CAO CẤP CHO VẬT LÝ VÀ KỸ THUẬT # • (TẬP I) NHẢ XUẤT BẢN NÔNG N G H IỆ P HÀ NỘI - 2005 L Ờ I N Ĩ I ĐẨ U iáo trình “Toán cao cấp cho Vật lý Kỹ th u ậ t” mà biên soạn dây lù phấn chủ yếu mơn học “Tốn cao cấp ” (cho ngành Vật lý, Khoa học vật liệu, Cơng nghệ hạt nhàn, ) viết theo chương trình Đại học Quốc gia Hà nội thông qua nám í 999 Giáo trình biên soạn chủ yếu dựa giáng cho sinh viên ttqành Vật lỷ thuộc Đại học khoa học tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà nội nam íỊần dãy sỏ giáo trình Tốn cao cấp dã biên soạn trước Chím tới cơ'gắng biên soạn giáo trình phạm vi 15 dan vị học trình chứa nlìữtìíỊ nội diuiiị bân ỉihẩí iỊÌcỉi lích tốn học cổ diểti, phù hợp với dối tượng học n n ìì t o n t ì v s t v i c h n t r ì n h c h i t iế t d ã d ợ c thơiií* q u a d ế m o n g c ỏ s ự th n íỊÌàtĩíỊ dạy Đơi với sinh viên học nqànli Vật lý Kỹ thiiậỉ “Tốn cao cấp ” mơn học khơtìíỊ th ể thiếu, yêu cầu dối với sinh viên biết vận dụng vù xem lủ công cụ d ể phục vụ cho việc học ngành khoa học Vật lý Kv thuật Vì lề dó, troỉìíỊ q trình biên soạn có số mệnh dê, định tỷ mà phần chứng minh phức tạp hay s ổ phẩn lý thú khó, theo chương trình “Tốn cao cấp B ” khởniỊ đồi hỏi phái trình bày, dế dơn giản chúng tơi khơng dưa vào Những phần sình viên có nhu cầu cỏ íhê tham khảo cúc giáo trình biên soạn cho sình viên học nhỏm nỉịìmh ì “Tốn cao cáp A 99 Giáo trình chủ yếu dùng d ể giảng dạy học tập cho sinh victỉ học rúc ngùiih Vợi lý, Kỹ thuật, Công nghệ, nhiên cung cỏ thểdùỉiịị lùm tài liệu tham khao cho sinh viên cúc nhóm ngành khác Giáo trình gồm hai tập Tập I bao gồm chương Bổn chương dầu Lê Văn Trực biên soạn, chiamg lụi Trần Văn Cúc biên soạn Chương l : M đầu vê lý thuyết tập hợp sô thực Chương 2: Giới hạn dày hùm sổ Chương 3: Hừm liên tục biển số Chương 4: Phép tính vi phân cùa hàm biến Chương 5: Tích phản khơng xác đinh Chương ố: Tích phân xác dinh Chương 7: Hàm nhiêu biến Tập II bao gồm chương dtì Trần Văn Cúc biên soạn ChươtiíỊ 8: Phương trình vi phún Chiừỉnạ 9: Chuỗi s ố - Dãy hàm- Chuỗi hàm Chương 10: Tích phân bội Chương 11: Tích phân đường- Tích phân mặt Chươnq 12: Hùm biển phức Cuối chương có tập d ể luyện tập Cuối tập có phần hướtìíị d ầ n vcừà trả lời tập Mặc dù d ã cỏ' í>ắng biên soạn nỉnmg giáo trình nàV chắn nhiéềivu thiếu sót Chúng tơi monỉỊ nhận ỷ kiến đóng góp dồnq nghiệp củdưa dộc giả d ể giáo trình hoàn thiện lần biên soạn vù xuất sau Hù Nội ngày 30 tháng năm 2003 Các tác giá M Ụ C LỤ C T rang Lời nói đầu C h n g l: MỞ ĐAU v ề lý t h u y ế t tập h ợ p v s ố THựC 1.1- Tập hợp lô-gic mệnh đề 5 1.2- Ánh xạ 1.3- Quan hệ tương đương quan hệ thứ tự 11 1.4- Số thực 13 Chương 2: GIỚI HẠN CỦA DÃY VÀ CỦA HÀM s ố 19 - Giới hạn dãy số 19 2.2- 26 Tiêu chuẩn hội tụ 2.3- Khái niệm hàm số biến số thực 34 2.4- Giới hạn hàm sô' 46 Chương 3: HÀM LIÊN TỤC MỘT BIÊN s ố 66 3.1- Định nghĩa liên tục hàm số điểm 66 3.2- Các tính chất hàm liên tục 75 3.3- Điều kiện liên tục hàm đơn điệu hàm số ngược 80 3.4- Khái niệm liên tục 82 Chương 4: PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN s ố 91 4.1 - Đạo hàm cách tính 91 4.2- Các quy tắc tính đạo hàm 92 - Vi phân hàm số 99 4.4- Các định lý hàm khả vi 102 4.5- Đạo hàm vi phân cấp cao 108 4.6- Công thức Taylor 111 4.7- Quy tắc L ’hospital để khử dạng vô định 115 - Khảo sát hàm số 121 C hương TÍCH PHÂN KHƠNG XÁC ĐỊNH 13 5.1- Ngun hàm tích phân khơng xác định 137 5.2- Bảng tích phân khơng xác định 138 5.3- Các phương pháp tính tích phân khơng xác định 138 5.4- Tích phân hàm hữu tỷ 143 5.5 Tích phân biểu thức vơ tỷ 145 5.6 Tích phân hàm lượng giác 147 Chương TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 153 6.1- Định nghĩa tích phân xác định 153 6.2- Các điều kiện khả tích hàm số 154 6.3- Tính chất tích phân xác định 158 6.4- Các lớp hàm khả tích 161 6.5- Cách tính tích phân xác định 163 6.6- Phép đổi biến tích phân xác định 166 6.7- ứng dụng tích phân xác định 170 6.8- Tích phân suy rộng 182 Chương HÀM NHIỀU BIÊN 201 7.1 Một số khái niệm 201 7.2 Hàm nhiều biến 204 7.3 Công thức Taylor 221 7.3 Cực trị hàm hai hiến 222 7.4 ứng dụng hình học phép tính vi phân 229 Hướng dẫn tập đáp sô 251 Tài liệu th a m k h ả o 324 Chương MỞ ĐẦU VỀ LÝ THUYẾT TẬP HỢP VÀ SỐTHựC ■ ■ ■ 1.1- TẬ P H ỢP VÀ LOGIC M ỆNH ĐỂ 1.1.1- Tập hợp Cho tập hợp M, để chí X phần tử tập M ta viết ve M (đọc X thuộc M), để chí X khơng phải phần tử tập M ta viết X Ể M (đọc X không thuộc M) Tập hợp M có phần tử a, kí hiệu {a} Tập hợp M khơng có phần tử gọi tập rỗng, tập rỗng ký hiệu ệ Cho hai tập hợp A B Nếu phần tử A làphđn tử B ta nói A tập B ta viết A cz B Nếu A c B A * D ta nói A tập hợp thực tập hợp B viết A d B ,trong trường hợp tổn phần tử B mà phần từ A Ví dụ tập hợp số nguyên z tập tập hợp số hữu tỷ Q Cho A,B,C ba tập hợp Khi ta có tính chất sau: a) ệdA b) A A c c (1.1.3) (1.1.1) 1 - Một sô tập hợp thường gặp Trong giáo trình đại số trường phổ thơng trung học ta làm quen với tập hợp số tự nhiên N N - {0,1,2, «, } (1.1.4) AT ={l,2, ,w, } (1.1.5) Để xét nghiệm phương trình x+n=0 n e N ta đưa nguyén Z: thêm tập số z= Để xét nghiệm phương trình mx+n=0 m,n z tađưa thêm hữu tỷ Q ( 1.6 ) tập số Ổ = |x|x = —,rt ^ 0,m,« z | (1-1.7) Ta biết bốn phép tính sở (cộng trừ nhân chia) số hữu tỷ cách sấp xếp chúng theo độ lớn (nếu a, b hai số hữu tỷ khác nhau, chúng bé số thứ hai) Tổng a+b, hiêu a-b, tích a.b, thương —(b * 0) hai số hữu tỷ a, b lai số b hữu tỷ, với phép toán khác xét tập số hữu tỷ, điều nói khơng Ví dụ phép lấy phép tốn Ta tìm bậc hai số 2, tức tìm số X mà bình phương hai Ta khẳng định khơng có số hữu tỷ mà bình phương Giả sử số hữu tỷ X tồn tại, ta viết dạng phân số tối giản — , p, q có ước số chung ’)í/>’ + (sin>’+ cos>' + x s i n ^ ) í ] ( xdy - y d x ) X sin • — X d) xdv - ydx X +y e) y 2z x y : ]dx + x y ■ In x.2yzdy + x y : In X.>’2íử 7.12 a) 1,013 7.19 a) = y{ ^ - y ) V 326 V ’ z -xy z' V _■> z -xy exl(l + x)1 -x + z 1(^ + z)I2 e' \ (l + z) ! ' ■ 1(>- + z) Ị ey ị( M I2 e-'ị(1 + z) + z) ■_ z - x ■_ y - x = - , = ->>-z Z -J/ V 11 /*» 2jc 4* V "> 7.24 a) z j = - = = = = ,z b) z -V ■ /2 ■> yjx + y _, / X v = XV / ”> yjx + y 2x X + 2y V l> sjx + y X2 + x v y ^ , z ; = 7—— — = In ( s + J/) + — + —- - g - , z * + >' (* + >0 £ c) _y + x 2x X2 X2 = — - - - - - , z = * + >- (jf + ^ ) (* + y) x ĩ + ( x - y 2)ỵ]x2 + y - T ’ z x , = ( x + y 2) (x + / ) 2 XV z*2 = , 2x2 ’z > ) ( x + y 2f ị x + y]x2 + y Ị’ V2 - X TTấ’V = - 7 (x + / ) »2 x v !\2 (x + / ) 7.25 a) /'(x ,> ’) = F ( x ) + ( } ' ) , F v c hai hàm số tuỳ ý b) / ( x j ) = x F ( x ) + G ( } ') , F G hàm số tuỳ ý c) u ( x , y , z ) = G ( y , z ) + H ( x , z ) + F ( x , y ) , F , G , I Ỉ hàm số tuỳ ý d) f ( x , y ) = x ‘iy - x y (' + x ĩ +\ e) u ( x , y ) = — + "V - x 2y + 3(x,_y) + c 327 a 7.28 g(r) = —+ b,a,b 7.29 y = ^ hàm số tuỳ ý X -Ị _2x~y Đặt F ( x , y ) = arcsin 31——— ———^ - a, F ( x , y ) hàm số bậcO, \ X + y - 3xy nên theo công thức Euler: xF'x +yF'y = Mặt khác Fx + Fyy = => y = — 7.30 Dùng công thức Euler Hàm số tập 17 hàm số thưần bậc nên thoả mãn hệ thức 7.31 7.32 7.33 28 ~3 õu u , — ~ — \a = b = c õr r õu co s{ ĩ,r\ — , triệt tiêu l I r õl 7.34 gradu ( M 0) = - ( - / + } - k ) , ^ ( M 0) = -2 v ’ dl 7.41 a) z naI = ( ,- ) b> zn«n = ° •? '(-1 ,1 ) c) Khơng có cực trị d) mi„ = “ í ,ì - —,-1 , í l J ,2 ’ ỉ lì ? ( —-,1 -,i , l ; u ) e) zmm = (0,0);z„,ot = - đường tròn X2 + y = \ e 7.42 a) Giá trị lớn (2,0),(-2,0) Giá trị bé (0,2),(0,-2) 328 b) Giá trị lớn (2,1) Giá trị bé -64 (4,2) c) Giá trị lớn 17 (1,2) Giá trị bé -3 (1,0) d) Giá trị lớn — (0,1),(0,-1) e Giá trị bé (0,0) e) V3 Giá trị lớn —— Giá trị bé (0,0) 7.43 a) = a 4Ĩ ị - a y Í , - a y / "j,zmax = — [ a y Ị l , a y Ị ĩ Ỵ b) c) "m in = d ) “ 1 3 = c'3 (0,0,±c),wmiit = cr (± a,0,0 ) R 7.44 Hình lập phương có cạnh V3' X2 + y - z = 7.45 x + _y + z =0 z = X +y X + y + X + y , —1- = n0 Như tham số hoá r : X = — 1- + COS/, y = 1+ s in : /,z = — - s i:n ? - c o s í t 2 £ R Từ suy ra: s (/) = \Ỉ2 (l - s ir Ư c o s /)2 và; Ị - s i n / ỉ + COS/7 + (sirư - c o s / ) Ă Ị V (1 - s i r c o s / ) RẢ = -—=■ vớit = - —[2t t] Từ suy ra: _ „ 2 C Ó T / sin2/ s/ 72/ „ , „ 7.46 Ta có: X + y + z = — — + — r—+ — — = 1, vây rđư c vẽ mãt cáu s ch í ch t ch t tâm bán kính / Giả sử e [-1,1] • Tồn t0 e Rduy cho z0 = thtữ Một véctơ tiếp xúc M (t0) với r có toạ độ : f V \ ch t0 Xét vĩ tuyến 1 N (sin t0cht0 +COS tữshtữ), — — (co s t0cht0 + sin t0shí0), — c h í,0 c' ‘u,h‘ í,*0 y w s có vĩ độ z0, tức đường tròn C0 có phương trình X2 + y + z ■> —1l z = thtữ „ cosu sinu chí, chl, Một BDTS cuaC0 là: x = ,J> = — - , z = thtữ,e R C0 M (/0) có toạ độ là: ' Một vectơ tiếp xúc với s i n ^ c o s /0 ' cht0 ’ chtữ ’ y Khi ký hiệu: F = - (sin /0c/?/H+ co s /0.s7?/0) i + (co s tocht0 + sin /0.s7?/0) ý + Ẳ và: = - s i n L / + c o s / 0ý , ta có: * , ị v , Ị y } = - ' /ù Như vậy, r cãt vĩ tuyến mơt góc khơng đổi — Từ dó: /(/)A /(/) =4 r A ^ = iịfl,v ì A A i _ R>0:R = / ( A/ (0 /(') / ( ' ) A/" (0 S' Và r 2t Từ suy : 7’ = 7.48 Í3r /(0 = ì -3/ f 2/ 'ì / ( = /2 - i /3 +3/ V / rn í°ì > / “( = í > / ' ( = Kh bJ /■(,)|| = 3V2(,! + 1) - / ( / ) a / ( Õ 2/ = 18 = V (/2 + l) ự + \) T V ì T V ị T ự ) ] =21 Vậy / ỉ - ( / - + l ) 2, r = ( / + l ) 7.49 a) ^ = V2 (/2+/ + 1^(/2/' + (/ + l)2? + = 3V2 (/2+/ + l) ( ( r + / ) - ( / 2- i ) y - ( / + i)*) N r + / + l) B= /2+ / + ((r + l)7-/7 + (/ + l ) ^ ) ,r = -3(/2+/ + lý 331 b) Ký hiệu c = \Ịa2 +b2 £ , dấu cos —, ta có: , 317 4^ c / 3t asm — i + acos — ì +bk ,/? = —: cos — 2 3Ồ T=— sc / N = -£ CO.S' — z + V 3/ - sin — s— ° c o s —1 B = — bsin~~i - b c o s ^ r i + ak N ,7T -= — c1 2 3b c) Đổi tham số: w = A r c s ì n t e n n 2 ’ T = ụỉ= ^sin w 7+ cosw J' + 3&j,/? = 10cosw /V = c o s u l - s ì n u J , B = —— ị s s i n u i + c o s u ] - Ĩ cỴ t = 10 cos u d) N = - ^ — (tsỉTi + t s Í j + ( \ - t 1) k )Ị / 2/ - \ (/2 + ) = 7 ĩ ( - ĩ + ' + ' ^ ) ’r = - l W e) Ký hiệu £• dấu f : T = - ~ J =-— Ị(.sint.,s'/ỉ/ + cosr.c/rt)7+(sint.c/ư + cos/.s/ư) ý + N = ự=^— Ị ( s int s7ư - cos t.chlỴi + (coi' t s/í/ + sin l c h t ) j + k j £ Ị — —\ chi B = — — s i n / - c o s í ’j - s h t k ) , T = -■-J=r c /ư ' ' V2 — 332 ch2t = eyíĩ—y T = —J =— [ ịy jĩ + sht + ylĩchtỴ i + ị - y / ĩ + sht + y íĩc h tỴ j + ị2cht - y /ĩsh t j k j , R = 6ch 2i N = —— ị ị \ - ^ s h í Ỵ i + Ịl + y Ỉ s h t ) j - ^ k j) B = — —jL — ịịch í - - y fĩs h tỴi + ịcht + - yịĩshtỴ i + ị 2cht + yỊĩsh t j k j , T = 3V 2chrt g) T = —— ị - s ì n í i + c o s n ' + s h t k ) , R = —Ị = c / ỉ 2/ ch í > V2 N = ự i - — ((sirư.s/ư - c o s /.c /ỉ/)7 -( s in /.c /ư - c o s /.s /7 /) + Ã) = - j J - — ( ( c o s / c / + s in / s / / ) + ( s i i c / ỉ / - c o s t s h t ) ] + k ^ , T = ch 2t 7.50 Ta tham số hố r theo hồnh độ cong s ,s chạy khắp khoảng / a) Để tồn mặt cầu r đ ợ c vẽ, cần đủ tồn Q e í j cho : dM V s e /,Q M (s ).— = [ ’ ds Điều kiện quy vể tồn hai ánh xạ u, v: I —» R thuộc lớp c x cho: Q s , y £ /,Q A / = 1/ ( ) i V ( s ) + v ( s ) B ( s ) _T_ đạo hàm : T = u N + u Khi khử w ,vtrong: / = — R B_ R +T -“ T +v B +v ( v " 7’ / = 0,^7 + V = ta hệ thức cần thiết T dR b) a ) Với ký hiêu : Q M = - R N + T —— B ds , ì QM + - II a f d R ' \ds J p ) Phần đảo không đúng, chẳng hạn ví dụ đường dinh ốc tròn có bước cố đinh 333 TÀI LIỆU T H A M KHẢO {1Ị G.M.Phíchtengon: Cơ sở giải tích tốn học Tập 1, 2, Hà Nội 1975 {2} G.M.Phíchtengon: Giáo trình phép tính vi phân tích phân Tập 1, 2, 3, M.1962 (bằng tiếng Nga) {3} Trần Đức Long - Nguyễn Đình Sang - Hồng Quốc Tồn: Giáo trình giải tích Tập 1, 2, NXB ĐHQG Hà Nội 2001 {4} Nguyễn Đình Trí - Tạ Văn Đỉnh - Nguyễn Hồ Quỳnh: Toán học cao cấp Tập 2, NXB Giáo dục 1998 {5 Ị Nguyễn Văn Khuê - Lê Mậu Hải: Hàm biến phức NXB ĐHQG Hà Nội 1997 {6} Nguyễn Thuỷ Thanh : Hướng dẫn giải tập hàm biến phức NXB ĐHQG Hà Nội 2002 {7} Đào Huy Bích - Phạm Huyễn : Cơ học lý thuyết NXB ĐHQG Hà Nội 1999 {8 Ị Hoàng Hữu Đường - Võ Đức Tơn - Nguyễn Thế Hồn: Phương trình vi phân NXB ĐH vaT H C N 1970 {9 Ị Lê Văn Trực : Giáo trình Tốn dùng cho vật lý NXB ĐHTH Hà Nội 1984 {10} Y.Y.Liasko-A.C Boiatruc-IA.G.Gai-G.P.Golovac: Giải tích tốn học Các ví dụ tập NXB ĐH THCN Hà Nội 1979 {11} Jean - Marie Monier: Giáo trình tốn - Tập Hình học Giáo trình 400 tập có lời giải (Bản dịch từ tiếng Pháp) NXB Giáo dục 1999 334 Chịu trách nhiệm xuất N G U Y ỄN CAO DOANH Phụ trách thảo BÍCH HOA - LÊ LÂN Trình bày bìa HẢI NINH In 300 khổ 19 X 27 cm Xưởng in NXB Nông nghiệp Giấy chấp nhận KHĐT số 207/622 XB-QLXB Cục xuất cấp ngày 29/4/2005 In xong nộp lưu chiểu quý 1/2006 NHÀ XUẤT BẢN NÔNG NGHIỆP 6/167, Phương Mai, Đống Đa, Hà Nội ĐT: 8.521940, 5761075; FAX: (04) 5760748 E -m ail: n x b n n @ h n v n n v n CHI NHÁNH NXBNN 58 Nguyễn Bỉnh Khiêm, Q.I, TP Hồ Chí Minh ĐT: 8297157, 8299521 FAX: (08) 9101036 ... HÀ N Ộ I LÊ VÀN TRỰC - TRẤN VÃN c ú c TOÁN CAO CẤP CHO VẬT LÝ VÀ KỸ THUẬT # • (TẬP I) NHẢ XUẤT BẢN NƠNG N G H IỆ P HÀ NỘI - 2005 L Ờ I N Ĩ I ĐẨ U iáo trình “Tốn cao cấp cho Vật lý Kỹ th u ậ t”... A) tập hợp định nghĩa C aB - { x x e A vàx Ể B} (1. 1 .12 ) (ArB)nC = A n{B nC ) (1. 1 .13 ) ii) (Au B)u C = A (1. 1 .14 ) iii) ( A n B ) u C =(À'uC)n(BuC) (1. 1 .15 ) iv) ụ u B)n c =(AnC )u(BnC) (1. 1 .16 )... dẫn tập đáp sô 2 51 Tài liệu th a m k h ả o 324 Chương MỞ ĐẦU VỀ LÝ THUYẾT TẬP HỢP VÀ SỐTHựC ■ ■ ■ 1. 1- TẬ P H ỢP VÀ LOGIC M ỆNH ĐỂ 1. 1 .1- Tập hợp Cho tập hợp M, để chí X phần tử tập M ta viết ve