BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ HUỆ MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ TÍNH KHƠNG LẶP TRONG TỔ HỢP TRÊN TỪ LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn Ứng dụng HÀ NỘI - 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ HUỆ MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ TÍNH KHƠNG LẶP TRONG TỔ HỢP TRÊN TỪ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán Ứng dụng Mã số: 46 01 12 Người hướng dẫn khoa học: TS.TRẦN VĨNH ĐỨC HÀ NỘI - 2018 Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học sư phạm Hà Nội hướng dẫn TS Trần Vĩnh Đức Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Trần Vĩnh Đức Thầy tận tình hướng dẫn giải đáp thắc mắc, giúp đỡ tác giả hoàn thành luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn tới thầy giáo phòng Sau đại học, thầy giáo khoa Tốn thầy cô giáo giảng dạy lớp thạc sĩ K20 chuyên ngành Toán Ứng dụng trường Đại học Sư phạm Hà Nội đem hết tâm huyết nhiệt tình để giảng dạy, trang bị cho tác giả nhiều kiến thức sở giúp đỡ tác giả suốt trình học tập Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp quan tâm, động viên tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả q trình học tập hồn thành luận văn Hà Nội, ngày 25 tháng 10 năm 2018 Tác giả Nguyễn Thị Huệ Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, hướng dẫn TS Trần Vĩnh Đức, luận văn thạc sĩ chuyên ngành Toán ứng dụng với đề tài " Một số vấn đề tính khơng lặp tổ hợp từ " hoàn thành nhận thức thân tác giả Trong suốt trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, ngày 25 tháng 10 năm 2018 Tác giả Nguyễn Thị Huệ Mục lục Lời cảm ơn Lời cam đoan MỞ ĐẦU Chương Từ ngơn ngữ 1.1 Định nghĩa tính chất 1.2 Các tính chất từ 6 Chương Phương trình từ 2.1 Định nghĩa phương trình từ 2.2 Tính chất phương trình từ 2.3 Một số phương pháp giải phương trình từ 16 16 17 17 Chương Từ không lặp 3.1 Định nghĩa từ lặp, từ không lặp 3.2 Từ vô hạn 2+ -free bảng chữ gồm hai chữ 3.3 Từ vô hạn 2-free bảng chữ gồm ba chữ 3.4 Một vài kết từ không lặp bình phương 26 26 27 30 40 Kết luận 44 Tài liệu tham khảo 45 Phụ lục 45 Python code 45 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Tổ hợp từ có liên hệ với nhiều lĩnh vực tốn học đại với khoa học máy tính Các kết tổ hợp từ có nhiều ứng dụng nhiều lĩnh vực khác như: Lôgic, Số học, Nửa nhóm, Otomat, Một nghiên cứu quan trọng tổ hợp từ tính lặp từ Bài báo quan trọng tổ hợp từ báo A.Thue vào đầu kỉ 20 Năm 1906, A.Thue giới thiệu báo cáo từ khơng lặp bình phương Trong suốt 70 năm sau đó, ngày có nhiều người quan tâm đến từ khơng lặp bình phương từ khơng lặp nói chung Một số ví dụ ứng dụng tính lặp từ Đầu tiên, người ta quan sát thấy từ vô hạn square-free, overlap-free, cube-free thực ví dụ điển hình phản ví dụ cho số trường hợp nhiều lĩnh vực khác Trong động lực học chúng Morse giới thiệu vào năm 1921 Sau đó, số người khác sử dụng cho lý thuyết nhóm Người ta đề cập đến ứng dụng cho ngơn ngữ hình thức: Đó Brzozowski Gabrillian sử dụng từ không lặp cho ngôn ngữ hình thức J.Goldstine sử dụng dãy từ Morse để tính chất bao hàm số ngôn ngữ Trong luận văn này, với tên gọi: Một số vấn đề tính khơng lặp tổ hợp từ, luận văn làm chi tiết cho người đọc hai kết quan trọng Thue, là: Tồn từ (dài) vô hạn 2+ - free bảng chữ gồm hai chữ cái, Tồn từ (dài) vô hạn - free bảng chữ gồm ba chữ Và sau đó, luận văn đưa vài kết thú vị gần liên quan đến từ khơng lặp bình phương Mục đích nghiên cứu • Tìm hiểu kết quan trọng tổ hợp từ • Đưa số ứng dụng từ không lặp Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu khái niệm, tính chất từ, đưa số phương pháp để giải phương trình từ, làm rõ cho người đọc hai kết quan trọng từ Thue từ không lặp đưa số kết thú vị gần liên quan đến tính chất lặp từ Đối tượng phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiên cứu: Từ khơng lặp tổ hợp từ • Phạm vi nghiên cứu: - Nghiên cứu từ tính chất từ - Nghiên cứu tính chất phương trình từ - Nghiên cứu từ không lặp Thue - Nghiên cứu kết gần từ khơng lặp bình phương Phương pháp nghiên cứu • Đọc tổng hợp tài liệu tổ hợp từ • Những kết đưa gần tổ hợp từ Những đóng góp luận văn Hệ thống hóa chi tiết khái niệm, tính chất từ Luận văn làm rõ hai kết quan trọng A.Thue từ không lặp Và đưa số kết thú vị gần liên quan đến tính chất lặp từ Chương Từ ngơn ngữ 1.1 Định nghĩa tính chất Mục trình bày số định nghĩa tính chất cần thiết cho chương sau Tài liệu tham khảo [1] Bảng chữ A tập hữu hạn khác rỗng, phần tử bảng chữ gọi ký tự chữ Ví dụ bảng chữ A = {a, b} Một từ bảng chữ A dãy ký tự lấy từ A Ví dụ dãy w = (a, b, a, a, b) từ bảng chữ A = {a, b} Thông thường ta bỏ qua dấu ngoặc dấu phảy cho gọn Ví dụ, từ w = (a, b, a, a, b) viết w = abaab Từ hữu hạn vơ hạn (sang bên phải) Từ có độ dài vô hạn gọi ω-từ Số chữ từ w gọi độ dài w viết |w| Số chữ a từ w ký hiệu |w|a Dễ thấy |w| = a∈A |w|a Từ có độ dài gọi từ rỗng ký hiệu Ta ký hiệu A∗ , A+ Aω tương ứng tập từ hữu hạn, tập từ hữu hạn khác rỗng, tập từ vơ hạn bảng chữ A Ví dụ, với A = {a, b}, ta có A∗ = {1, a, b, aa, ab, ba, bb, aaa, aab, } Xét hai từ u v bảng chữ A, ta định nghĩa phép ghép hay tích u v từ w thu cách viết liên tiếp dãy u trước, sau đến dãy v Cụ thể, với u = a1 a2 an v = b1 b2 bm từ w w = a1 an b1 bm Rõ ràng, phép tốn ghép · có tính kết hợp từ rỗng đơn vị phép toán Do đó, (A∗ , ·) (A+ , ·) tương ứng có cấu trúc vị nhóm cấu trúc nửa nhóm Hơn nữa, hai cấu trúc tự theo nghĩa sau Một nửa nhóm (hoặc vị nhóm) S gọi tự có tập hợp B cho phần S biểu diễn tích phần tử B Tập B gọi tập sinh tự S, sở S Cho w, u ∈ A∗ , a ∈ A L, K ⊂ A∗ Một từ u thừa số w (tương ứng thừa số trái/tiền tố, thừa số phải/hậu tố) tồn từ x y thỏa mãn w = xuy (tương ứng w = uy, w = xu) Chúng gọi thừa số thực chúng khác w Ta viết u ≤ w (u < w) biểu thị u tiền tố (tiền tố thực sự) w Tập tất tiền tố w ký hiệu pref(w), prefk (w) tập tiền tố w có độ dài k Tương tự, ta có ký hiệu tương ứng cho tập hậu tố suf(w) sufk (w) Nếu u ≤ w tồn y cho w = uy Ở y gọi thương trái w u ký hiệu u−1 w Trong trường hợp u tiền tố w, u−1 w khơng xác định, hàm số (u, w) → u−1 w trở thành xác định phần Tương tự ta có định nghĩa cho thương phải wu−1 Nếu w = a1 an ∈ A phép lấy ngược w viết là: R w = an a1 Một phân tích từ w dãy từ u1 , , un cho w = u1 un (1.1) (1.1) L-phân tích tất ui ∈ L Ta ký hiệu L∗ = {u1 un |n ≥ 0, ui ∈ L}, L+ = {u1 un |n ≥ 1, ui ∈ L} Tập L∗ L+ tướng ứng vị nhóm nửa nhóm A∗ , chúng gọi vị nhóm nửa nhóm sinh L Chú ý với w L∗ có L-phân tích, phân tích L∗ gọi tập tự L sở Ở L gọi code Phân tích mơ tả hình sau đây: Hình sau nghĩa w = xz = zy = ztz Hai từ x y hai từ liên hợp tồn từ u v thỏa mãn x = uv y = vu, tương tự, chúng có quan hệ với qua phép hốn vị vòng c : A∗ → A∗ định nghĩa sau:  c(1) c(w) =1 + = pref−1 (w)wpref1 (w) với w ∈ A , tức x = ck (y) với giá trị k Chú ý hình thứ trang x y hai từ liên hợp Ta ký hiệu quan hệ phép liên hợp ∼; rõ ràng quan hệ tương đương Đặt w = a1 an với ∈ A Số p chu kỳ w = ai+p , i = 1, , n − p Để minh họa cho chu kì ta có hình vẽ sau đây: u = prefp (w) Chu kỳ nhỏ ký hiệu p(x) Các phần tử lớp liên hợp prefp(w) (w) gọi nghiệm vòng w Ví dụ 1: Một từ có nhiều chu kỳ Ví dụ từ abababa aabaabbaabaa có chu kỳ tương ứng 2, 4, 7, 10, 11 Hơn nữa, số lớn độ dài w chu kỳ w Một từ w = gọi từ ngun thủy khơng phải lũy thừa với số mũ nguyên thực (khác 1) nghiệm vòng w Sau đây, ta trình bày số tính chất từ Một đồng cấu h : A∗ → B ∗ (hoặc A+ → B + ) ánh xạ h : A∗ → B ∗ (hoặc A+ → B + ) thỏa mãn: h(ww ) = h(w)h(w ), ∀w, w ∈ A∗ Từ định nghĩa, ta có: • h(1) = • h hoàn toàn xác định từ h(a), a ∈ A Đồng cấu h gọi là: • 1-free h(a) = với a ∈ A, III Mặt khác, ta chưa tìm thuật tốn để xác định đồng cấu h • 3-free, • k-free với k ∈ N IV Cuối cùng, đồng cấu 2+ -free bảng chữ gồm hai chữ phân loại Chúng có dạng T n T n ◦ µ, T đồng cấu Thue-Morse µ hốn vị a → b, b → a Ta có định lý sau Định lý 3.4 Một đẳng cấu h : A∗ → A∗ 2-free đồng cấu 2-free từ 2-free với độ dài tối đa Chứng minh ⇒ Hiển nhiên ⇐ Giả sử h đẳng cấu, tức |h(a)| = |h(b)| với a, b ∈ A h(w) 2-free |w| ≤ w 2-free Ta thấy • h 1-free, • h tiền tố hậu tố (vì khơng ta có h(ab) = h(a)h(b) = h(a)h(a)u) Giả sử w từ 2-free có độ dài ngắn thỏa mãn h(w) = xttz Điều minh họa sau: Từ giả thiết w = tính chất h ta có |h(a)| < |xt| |h(c)| < |tz |, ta viết x h(u)y = t = y h(v)z h(b) = yy , b ∈ A Ta có hai trường hợp I |x | = |y | Ta cần x = y , h(u) = h(v) y = z Do h(abc) = xx yy zz = x(x y)2 z nghĩa abc từ 2-free, tức a = b b = c Hơn h(u) = h(v) h đơn ánh, nên ta phải có u = v Điều tương đương với w = aubvc auauc aubub, tức bao gồm bình phương 33 II x = y p với p = Đặt v = dv với d ∈ A Ta có h(a) = xx = xy p, h(d) = pp Vì vậy, h(ad) bao gồm bình phương, nghĩa ta phải có a = d Điều tương đương với từ h(a) có biên p, vừa tiền tố vừa hậu tố Nếu 2|p| ≥ |h(a)|, h(a) bao gồm bình phương Do ta cần h(a) = pqp với q = Vì q ≤ h(ub) h(aub) = pqpa , điều mâu thuẫn với tính cực tiểu w Ta có điều phải chứng minh Định lý 3.4 khơng thể đảm bảo tồn đẳng cấu 2-free Nó đưa tiểu chuẩn đơn giản để kiểm tra đẳng cấu 2-free Ví dụ 7: Như ứng dụng Định lý 3.4, ta dễ dàng kiểm tra đồng cấu 2-free Ở |h6 (a)| = 22, ta đẳng cấu 2-free nhỏ bảng chữ gồm chữ Ta có kết thú vị sau Định lý 3.5 Bất kỳ bảng chữ A tồn đẳng cấu 2-free h : A∗ → {a, b, c} Chứng minh Với n ≤ 6, đồng cấu h6 hạn chế bảng chữ gồm n chữ thỏa mãn chưa cực tiểu Với n = 12 (và với n ≤ 12) đồng cấu h xây dựng sau Gọi h6 :A∗ → {a, b, c}∗ h6 :A ∗ → {a , b , c }∗ hai h6 định nghĩa bảng chữ rời Định nghĩa g12 : (A ∪ A )∗ → {a, b, c, a , b , c }∗ 34 cách g12 (a) =  h (a) a ∈ A (a) a ∈ A h ¯ ◦ g12 vậy, h ¯ copy h6 định Vì h6 h6 2-free, nên g12 h nghĩa {a, b, c, a , b , c }∗ Do đó, ta xây dựng h thỏa mãn với n = 12 = · 22 Sử dụng trình lặp ta tìm h thỏa mãn với n có dạng · 2k Ta có số khái niệm sau Gọi SFk (n) tập tất từ 2-free với độ dài n bảng chữ gồm k chữ Ở n vơ Ta có Định lý 3.6 i Tồn số α > thỏa mãn |SF3 (n)| ≥ (1/2)αn với n ≥ ii SF3 (∞) không đếm Chứng minh (i) Từ Định lý 3.3, tồn từ 2-free w với độ dài l Gọi τ : {a, b, c}∗ → {a, b, c, a ¯, ¯b, c¯}∗ hữu hạn nghĩa sau τ (x) = x¯ với x ∈ {a, b, c} Khi τ (w) bao gồm 2l từ khác nhau, từ thu từ w cách thêm vạch ngang theo tất khả Rõ ràng, τ (w) ⊆ SF6 (l) Do đó, ta có: h6 (τ (w)) ⊆ SF3 (22l), h6 đồng cấu Ví dụ Vì h3 2-free nên đơn ánh {a, b, c, a ¯, ¯b, c¯} Do số từ 2-free {a, b, c} với độ dài n = 22l 2l = (2 22 )n Tổng quát hơn, chọn n ∈ [22(l − 1), 22l] Khi đó: |SF3 (n)| ≥ 2l−1 = 1 1 · (2 22 )22l ≥ · (2 22 )n 2 Do đó, ta có (i) (ii) Từ chứng minh phần (i): Sau chọn từ 2-free cố định w ta có: • τ (w) khơng đếm • τ (w) ⊆ SF3 (∞), 35 • h6 3-free từ dài vơ hạn, • h6 (như tiền tố) đơn ánh từ dài vơ hạn Ta có vài ý sau Chú ý 1: Từ Định lý 3.6 (ii) hầu hết từ dài vô hạn 2-free thu cách lặp đồng cấu, số đồng cấu đếm Chú ý 2: Số α Định lý 3.6 lớn chút, SF3 (n) không tăng nhanh Các giá trị với n nhỏ là: 3, 6, 12, 18, 30, 42, 60, 78, 108, 144, Chú ý 3: Định lý 3.6 phát biểu cho trường hợp từ 3-tự bảng chữ nhị phân Chứng minh tương tự định lý Chú ý 4: Trường hợp từ 2+ -tự bảng chữ nhị phân • Số từ có độ dài n O(n2 ), • Lực lượng từ dài vô hạn không đếm Bây giờ, ta xét từ Abel không lặp Định lý 3.7 (Dekking, 1979) Tồn từ Abel 4-free vô hạn bảng chữ gồm hai chữ Chứng minh Ý tưởng chứng minh Định lý 3.2 Ta chứng minh từ dài vô hạn ω định nghĩa lặp đồng cấu: h:  a → abb b → aaab (3.4) điểm a Abel 4-free cách từ thừa số Abel bậc ω ta xây dựng thừa số ngắn tương tự Những khối liền bậc giao hốn nhau, khơng nhau, điều làm cho chứng minh trở nên phức tạp Ta thấy từ (i) (iv), ta có bốn tính chất quan trọng h chúng sử dụng trường hợp sau Thứ nhất, ta kết hợp từ u với giá trị nhóm Z5 đồng cấu µ : {a, b}∗ → Z5 sau µ(a) = µ(b) = Điều điều kiện cho h (i) µ(h(w)) = với w ∈ {a, b}∗ , đồng cấu (3.4) thỏa mãn điều kiện Bây giả sử B1 B2 B3 B4 Abel 4-lặp theo ω Cùng với kiện Bi phủ ảnh h (minh họa sau): 36 Điều nghĩa h(α1 · · · α5 ) = v1 B1 B2 B3 B4 v5 vi ∈ A∗ , vi ∈ A+ Vì µ đồng cấu, từ (i) ta có µ(vj+1 ) = µ(Bj ) − µ(h(αj )) − µ(vj ) = µ(Bj ) + µ(vj ) = g + µ(vj ), g số Bj giao hốn Điều dẫn đến dãy µ(v1 ), µ(v2 ), µ(v3 ), µ(v4 ), µ(v5 ) (3.5) cấp số cộng với công sai Ta muốn cho phép cấp số cộng dẫn đến yêu cầu (ii) S = {a ∈ Z5 |∃z ∈ pref{h(a), h(b)} : a = µ(z)} cấp số cộng tự với công sai 5, nghĩa khơng phải cấp số cộng với cơng sai g = Đồng cấu ta thỏa mãn điều kiện vì: {µ(a), µ(ab)} = {1, 3} {µ(a), µ(aa), µ(aaa)} = {1, 2, 3} (3.6) S = {0, 1, 2, 3}, trong Z5 ta có cấp số cộng với cơng sai với g = trùng với Z5 Vì vi (3.5) tiền tố h(a) h(b) ta viết (3.5) theo dạng µ(v1 ) = µ(v2 ) = µ(v3 ) = µ(v4 ) = µ(v5 ) Trong Hình 1, ta muốn Bi trùng với {h(a), h(b)} phân tích ω (có thể sau phép dịch chuyển) Điều đạt từ vi vi trùng Tiếp theo, ta xây dựng điều kiện cho h µ Ta nói µ h-đơn ánh với phân tích vi vi ∈ {h(a), h(b)} với i = 1, , Ta có: (iii) µ(v1 ) = µ(v2 ) = µ(v3 ) = µ(v4 ) = µ(v5 ) ⇒ v1 = v2 = v3 = v4 = v5 v1 = v2 = v3 = v4 = v5 Từ tính tốn (3.6) ta thấy cần kiểm tra trường hợp v1 = ab v2 = aaa, ta có v1 = b = v2 Theo cách chọn µ h µ h-đơn ánh Ta biết từ vi vi trùng Vì vậy, bốn Abel lặp Bi dịch chuyển để trùng với đồng cấu h: Ta xét khối giao hoán Di = vi Bi vi−1 (hoặc Di = vi−1 Bi vi ), i = 1, , 37 Thì tồn từ Ci thỏa mãn h(Ci ) = Di với Π(Di ) = Π(Dj ), i, j = 1, , 4, (3.7) Π ảnh hoán vị từ Nếu Ci giao hốn ta có điều phải chứng minh Thật vậy, ω chứa Abel 4-lặp ngắn hơn, quy nạp ta có aaaa bbbb thừa số Điều xảy Để kết thúc chứng minh ta cần điều kiện cho h, là: |h(a)|a |h(a)|b (iv) M (h) = khả nghịch |h(b)|a |h(b)|b Thì từ (3.7) ta có: Π(Ci ) · M (h) = Π(Di ), i = 1, , 4, điều tương đương với Π(Ci ) = Π(Di ) · M (h)−1 , i = 1, , Tức là, Ci giao hoán Cuối cùng, h khả nghịch M (h) = Ta có điều phải chứng minh Ta đưa điều kiện (i)-(iv) chứng minh trên, sử dụng để chứng minh tồn từ Abel dài vô hạn 3-free bảng chữ với chữ - sử dụng Z7 thay Z5 đồng cấu h:   a   → aabc    c → acc b → bbc Bài toán xác định tồn từ Abel dài vô hạn 2-free bảng chữ với chữ toán mở thời gian dài n nú c gii quyt bi Veikko Keră anen: câu trả lời "có" thu cách lặp đẳng cấu với |h(a)| = 85!! Cuối cùng, ta có bảng tóm tắt kết tồn từ không lặp với độ dài khác nhau: Tiếp theo, ta xét mở rộng từ khơng lặp Bean, Ehrenfeucht McMulty khởi xướng, tính tránh Gọi X tập biến A bảng chữ Một mẫu từ khác rỗng p X + Ta nói mẫu p có tính chất là: i Tránh A tồn từ dài vô hạn w ∈ Aω thỏa mãn với đồng cấu h : X + → A+ , từ h(p) thừa số w, ii Không tránh A ngược lại Từ dài vô hạn (hoặc hữu hạn) w (i) gọi tránh mẫu p Kết ta phát biểu tính khơng tránh theo từ hữu hạn 38 Bổ đề 3.7.1 Một mẫu p không tránh với đồng cấu h : X + → A+ tồn hữu hạn từ hữu hạn tránh từ h(p) Chứng minh ⇐ Hiển nhiên, p tránh tồn từ dài vơ hạn w tránh h(p), với h, với tiền tố hữu hạn w ⇒ Giả sử điều ngược lại: Tồn vô hạn từ hữu hạn, gọi w1 , w2 , tránh h(p) với đồng cấu h Vì A hữu hạn, từ wi bắt đầu vô hạn lần với chung chữ cái, gọi a = α1 Tiếp theo, ta xét từ wi bắt đầu α1 Bằng cách lặp lại lý luận ta có với k ≥ 1, tồn từ αk với độ dài k thỏa mãn: • Vơ hạn từ wi bắt đầu αk , • αj tiền tố αk với j ≤ k Từ kiện thứ hai: α = lim αk k→∞ xác định từ kiện (α tránh h(p)) ta có p tránh được, điều vơ lý Ví dụ 8: Với ký hiệu ta phát biểu lại kết trước (như Ví dụ 1, Định lý 3.2 Định lý 3.3) sau: • Mẫu xx tránh bảng chữ tam phân, không tránh bảng chữ nhị phân • Mẫu xyxyx tránh bảng chữ nhị phân Các kết cho ta thấy tính tránh phụ thuộc vào lực lượng A, khơng phụ thuộc vào A Ví dụ 9: Từ Ví dụ 8, mẫu xx chia tách bảng chữ nhị phân tam phân Tương tự, ta mẫu ABuDCvCAwBAzAC Chia tách bảng chữ gồm chữ cái, tức tránh trường hợp thứ hai khơng thể trường hợp thứ Ví dụ 10: Giả sử X A nhị phân, tức là, ta quan tâm đến mẫu nhị phân tránh bảng chữ nhị phân Bài toán có câu trả lời: tất đỉnh sau tránh được, tất tất mở rộng bên phải tránh Theo nghĩa tất phủ tất mẫu bắt đầu x Số BẢNG cho ta biết độ dài từ nhị phân dài tránh mẫu 39 Phương pháp chứng minh phương pháp Trong trường hợp tránh được, từ dài vô hạn xây dựng cách lặp đồng cấu phù hợp, ánh xạ từ dài vô hạn định nghĩa lặp đồng cấu đồng cấu khác 3.4 Một vài kết từ khơng lặp bình phương Lũy thừa với từ lặp Chỉ có từ khác rỗng khơng lặp bình phương bảng nhị phân, là: 0, 1, 01, 10, 010, 101 Ngược lại, có từ dài vơ hạn khơng lặp bình phương bảng tam phân Dưới đây, quan sát từ m vô hạn khơng lặp bình phương chữ liên quan đến từ Thue- Mosre • Cơng trình I(Braunholtz-1963): Bắt đầu từ trái sang phải từ từ Thue- Mosre t, ghi lại độ dài Blocks 1s t: Do đó, từ m xây dựng từ khơng lặp bình phương Thật vậy, giả sử u = a1 an từ cho uu nhân tố m Khi 40 nhân tố của t Do đó, t overlap, điều mâu thuẫn t từ khơng overlap • Cơng trình II ( Thue-1906): Từ Thue-Mosre t không chứa nhân tố 111 Điều cho phép định nghĩa m ảnh t đồng cấu: γ : (0, 1, 2) → (0, 01, 011) • Cơng trình III( Morse, Hedlund- 1944): Xây dựng từ t’ đọc chữ t lần chuyển đổi từ sở tới sở 4:(00, 01, 10, 11) → (0, 1, 2, 3) Đó là: tn = 2tn + tn+1 Tiếp theo, ta xây dựng t" cách giảm chữ t’ theo modul Bình phương khơng tránh bảng chữ nhị phân, chúng tránh bảng chữ tam Ở từ khơng tránh có nghĩa từ đủ dài có chứa bình phương Trái lại, từ tránh có nghĩa có vơ hạn từ khơng lặp bình phương Do vậy, có câu hỏi giá trị lặp bé tránh bao nhiêu, tương ứng giá trị lặp lớn không tránh bảng chữ cố định gồm k chữ Kí hiệu giá trị lặp lớn không tránh k chữ s(k) Nếu s(k)=r từ đủ dài có lũy thừa r, có từ dài vơ hạn khơng chứa nhân tử có dạng wa với r từ có lũy thừa r a chữ w.Dãy từ Thue-Mosre biểu diễn s(2)=2 (vì bình phương khơng tránh bảng chữ cái) Trên bảng chữ cái, bình phương tránh Do vậy, s(3)