\ DƯƠNG THUỶ VỸ GIÁO TRÌNH IR Ư Ị N íi f) Ạ l IK K lỉẢ C I I K H O A ị l Ả NỘI Pgs Ts DUƠNCi H I U Ỷ V Ỹ (ilÁO TRÌNII PHƯƠNG PHÁP TÍNH Dùnsĩ c h o sin h viêỉì ín rở n ịỊ D i h ọ c B ácli kh o d //i(i C h m Ịĩ í số XẤP xỉ VÀ SAI số §11 s ố XẤP xỉ, SAI SỐ TUYỆT Đốl VÀ TƯƠNG Đốl 1.1 SƠ xấp xỉ Nói chiiniỉ, uicl Irị đại lTng dCinu lri>nu lính íốn khơng đ iiítc bici m ộl cach xác Chdnii hạn: íiiá Irị cúa đại lưcmg nỉnận úiUỊc bang phép đo, hằnu Ihí nuhiệm ; uiá irị srt hCai lỷ l/'3 , 1/7, / , ^iá irị cắc số vơ lỷ c, 7t, ->/2 , V ì lính íotán, clìúnu la lùm việc yếu với giií Irị xấp xì (còn eọi eiíí Irịuần dtánii) cùa đại lưímu Đ ịn h n ịỊh ĩa Ỉ J a lĩọi số XiÍỊì \ ỉ cùa s ố clúnp A , ký hiệu a ^ A, ncii a khác A k hõnu đánii kô điạic clìiniĩ ihay c h o A ironu lính Un Nếii ti < A ihì a uọi ỉà xáp xỉ ihicu ciia A Nốu a > A a uoi xâỉỊì xi ihừa A l Ỉ!Ì (lụ l l Đõì vứi sỏ 7t 3» 14 xấp xi íhiẽii cũa 7Ĩ, 3,15 \ i í p \ i i h a c ú í í 7T, v ì d ễ ( h ấ y r ủ n e : 3,14 < T < 3,13 1.2 S số tuyệt đòi £ > //í// i ì Ị Ị h ĩ a L H i ọ t i Aiằ — A CHUI s o \ a p x i 'i\ T r ị l i i y ộ l t ỉ ó i : - a (h i> ậ c A a = a - A ) uoi s a i s u A = Aa = A - a (1.1) gọi sai số luyộl đối số xấp x ỉ a Tliỏng Ihirìtng, khơng biếl số A , đỏ không xác định sai số tuyCM đối số xấp x ỉ a V ì vậy, V("TÌ khái niệm sai số luyệt đối ngưừi ta đưa vào khái niỌm sai số lưyệl đối giới hạn Đ ịn h nghĩa L Sai sô' luyệl đối giới hạn số xấp xỉ a sò' ỉchơng nhỏ sai số tuyệt đổi số xấp x ỉ a Di^ đỏ, gọi sai sỏ' tuyệl đối giới hạn cùa số xấp x ỉ a thì: A = Aa = A - a 1| xác hctn phcp đo Đê Ihc ứitợc đicu đổ, ngưìTi la đưa vào khái niệm sau: Đ ịn h ng h ĩa 1.4 Sai số lưiíng đối số xấp x ỉ a, ký hiệu s, là: s = A A - a A A (1.5) \'ới gia thiếl A ^ Từ đó: A = A ỏ Đ ịn h ng h ĩa /.5 Sai số Íưítne đỏì giứi hạn số xấp x i a, ký hiệu sử khỏne nhò h(tn sai sỏ iưíTng đối cùa số xấp x ỉ a Do đỏ: ô Ihì thêm vào chữ sỏ giữ lại cuối cùnii bôn phiii m ộ l điiĩx vị; chữ sơ biì đ i đầu !icn < Ihì clc niiuyén chữ số uiữ lại cuối cùnii bẽn phải 'ílìí (lụ 1.5 Quy iròn sỏ' 71 = 3,1415926535 đốn chữ số cỏ nuhĩíi !hứ 5, íhứ Ihứ 3, nhận ctưiic sỏ xấp xỉ ? J ; 3,142 vù ?,14 vríi sai số quy liòn tuyệt đối khơng ịởn h(tn “ 10^, -ỉ- 10^ — A() - Bây uiờ gia sử a số xâp x i cúa sỏ' dúng A VIJÌ sai số tuyệl đõl QÌỚi hạn A^ Ta quy tròn số a thành sơ íỉị Khi đó, ía cỏ: < A - a < + a, - a Vây cổ ihê chon sai sỏ tuyêl đỏi gicti han củu sơ quy Iròn a, là: LX) đổ: > , cỏ !hc Xiiy írưttnu http m ộí chữ số mội hàng nììo đỏ vốn đấng tin , sau quy í ròn lại trở ncn nuhi ngìt 77// (lụ / / ) Cho a = 0.35, Ạ, = ().(K)3 Khi ĩ nhữrìii chữ suđánu tin, Sau quy iròn Ihành :i| = ,4 , 1;i cố: 10 a = p = ỉ , Tị = r = — Khi (6.20), (6 1) Irở thành: k / “ = hỉ(x„y.) (6.24) k:;‘“ = ht'(x, + h, y -h k /" ), i = (),n ~ Nhớ ràna đc nhận đưix: cơng thức ()lc có độ xác cấp mộu người la đà hò qua số hạnc ()(h') khai Iricn Taylu nchiệm v(x,^ị) loán (6.6) X,- () m ục nìĩy, thành lập công thức (6.23) (6.24) nuười la bỏ qua sô hạng O(h^) Ironc khai Iricn Taylo nghiệm y(x,+i) toán (6.6) X, chứnu minh ỚIKỊC sai sô điểm X, là; y “ y (^ i )| - (M = hàng số dưcmg không phụ lhuỌ>c h) Vậy phưcĩne pháp (6.23) (6.24) phintnc pháp Rurme - K utla cổ độ xác cấp hai, Hồn lồn íưtĩng tự, trone khai tricn Taylc) nghiệm y(x,+ị) cùa toán (6.6) x „ ta bỏ qua sơ' hạng (Hh"*) Ihì nhận đưcíc cơng thức Runge - K ulla cỏ độ xác cấp ba (niíhĩa y, - y(x, )| < M h \ M = số dưttng khỏng phụ thuộc h): y, = y , + j ( k , ' ‘’ + 4k,'" + kV“ ) k ,'" = h l(x „ y.) (6.25) k ,"' = h n x , + ^ , y , + k,;" = hf(x, + h y, - k ,'" + k "’), i = ( ) , n - Nếu hi> qua số hạne O(h^) ihì sc nhận ủiKỊc cơng íhức Kungc K ulla cỏ độ xác cấp bi‘'ín (nuhĩa y, “ v(x, )| < Mh"* (6.26), ỈVI = hàne sổ' cỉircmu khônu phụ thiũK' h): 54 ym = y,+ ('^í"’ + 2k,'‘' + k ,- + k ; '’) k |"’ = h f(x „ y.) k "' = hf(x, + ệ , y, + ) (6.27) ^ ểUr k/*' = = hf(Xị + h, Ỵi + k/'^), i = 0, n - Trong cơng thức Runge - Kta nêu trên, người ta hay dùng cơng thức (6.27) có độ xác cao cơng thức tính không phức lạp Chú ý đánh giá (6.26) có giá trị lý thuyết xác định số M phức lạp Trong thực hành,' người ta thường xác định gần sai số cách "lính hai lần": lần đầu tính cơng thức (6.27) với bước h, nhận y„(h) giá trị gần y(X ), sau lính cổng thức (6.27) với bước h/2, nhận y-.„(h/2) giá trị gần y ( X ) sai số xác định bởi: y:n y(x) * 15 y2n y„(h) (6.28) Cơng thức (6.28) nhộn bàng cách lập luận tưìg tự cỏng thức (5.20) chươiig So với hai phưojìg pháp le le cải tiến, phương pháp Runge Kutta (6.27) có độ xác cao hom, tính tốn phức tạp hơii T lií dụ Ố.5 Cho tốn Cơsi sau: y' = X + y, y(0) = Hày tìm nghiệm gđn phương pháp Runge - Kutla (6.27) [0; 0,5), chọn bước h = 0,1 G iíỉi Ta có: X, = , l i ; i = 1, 2, 3, 4, Trước hết, tính y| Xuất phát lừ điều kiện ban đẩu: 155 y(0 ) = = yo clùng cơng thức (6.27), vói i = 0, ta có: k |'‘" = , ( + 1) = 0,1 k / ’' = 0,11(0 + 0,05) + (1 + 0,05) j = ơ, 11 = 0,1((0 + 0,05) + (1 + 0,055)1 = 0,1105 k ; ‘’* = , l [ ( + , l ) + ( l +0,1105)1 = 0,12105 Từ đó; Ayo= - ( , + , 1 + , 1 + , 12105) = ,1103 và: yi =yo + Ayo= +0,1103= 1,1103 Tính y : , y „ y 4và ys hồn tồn tưcmg tự Kết tính toán ghi bảng 6.4 Vậy: y(0,5) s: y, = 1,7974 Để so sánh, nghiệm toán Côsi cho là: y = e * - x - 1, từ đó; y(0,5) = 2e'’ ’ - 0,5 - = V í - 1,5 = 1,79744 Ta thấy kết nhận đến bốn số lề thập phân Thí dụ 6.6 Cho tốn Còsi sau: y’ = x + ^ y , y(0)=l Hãy tìm nghiệm gần X = 0,2 băng phươiig pháp le (6.8), phưomg pháp le cải tiến (6.16) phưcrtig pháp Runge - Kutta có độ xác cấp bốn (6.27) Kết tính tốn ghi bảng 6.5 Chú ý giá trị cùa nghiệm y(0,2) = 1,16722193 156 B ả n Ị ỉ - r- X ()Ậ)5 íì,í)5 0,10 í) 1 ! (M 0,15 0,15 0,20 íì,2 1,682K 1/)9Í»2 l,797() Ay (1,1 Í)J ()J Ií»5 0,1210 (),1()(K» (),22íK) 0,2210 0,1210 0,1210 0,1321 1,3226 0,1443 -.()/>62() = ()JH O f) 0,1210 0,2642 0,2652 0,144? 0,i443 ()J5(>5 (M57Ỉ ()J7(K) - 0,7947 = 0,1324 0,1443 (K?>\M) (U I42 ()J7(K) 1,05 1,055 1J 105 y) o.so 157 BàtĩịỊ 6.5 Phưcmg pháp O lc ()lc cải tiến Rungc - Kutla có độ xác cấp h y{(),2) 0,2 1,I()(XK)(KK) 0,1 1,I32.'S(K)(X) 0,05 1,14956758 0,2 1,1(KXXKXX) 0,1 1,15(XXKXX) 0,05 1,16286242 0,2 1,16722083 0,1 1,167221X6 0,05 1,16722193 Các phưưng pháp Runue - K ulta nêu Irèn cỏ thc áp ciụng cho hệ ihố n g phư(tne trình vi Ịìhủn cấp lĩìộl Khi đỏ, cỈ L i n í ì nhữnịĩ ký hiệu vcclơ §1, cổnu Ihức (6.23), (6.24), (6.25) (6.27) uiải líìán cỏsi (6.4) cỏ úimn sau: (6.29) ỉ|} L "’= , y,+ ), i = (),n - y,., = ỵ, + ^ ( ! i , " ’ + ằ:'") (6.30) k|'" = hKx,, y ,) k :' = - 58 y , + Ịvsis Prentice - H all o f India Private lim ited, Nevv D elhi, 1989 Terrence J Akai A pplied numerical methods fo r engine;ers John W ile y and Sons, Inc., 1994 MỤC LỤC Trang U t i Ị ì ỏ i ( ỉíh t *» f Cỉiư{fìi\ĩ Ị 5>ố xAp xí sai số § Số Xiìp xỉ, sai sồ' luyệl đối tương đối §2 Cách viêì số xấp xỉ §3 Sự quy tròn số sai số quy tròn §4 Xiíc đinh sai số hàm sơ hiêì Siii sơ cùa đối sò 1I Bài lậ|) 16 Điipsồ 17 C h t f n ^ Tính gan nghiệm thực phưcnigtrình đại số 19 siêu việt § I Đật ván đc Ị9 §2 Khoàiig cách ly ngliiệnì 20 §3 I^hirơiií* pháp chia đỏi 24 §4 Phưííng pháp lặp 27 §5 Phương phiip dủy ciing 33 §6 Phương pháp tiếp luyên 41 §7 Giải gáii hệ thòng phươiig trinh phi luyến bầng phirctng pháp Niuiưn 47 Rài lập 52 Đáp sơ 53 CỉiìCíynịị Giải liỌ Ihỏìig phương trình đại số luyến tính 54 § ỉ Đụt viin dé 54 §2 Plurtmg pháp !rực tiõp; plurơiìg pháp Gaoxơ 57 §3 Những phương pháp lặp 80 167 Bìii ĩập ss Đáp sỏ 90 Chtrưtìị>4 i)a Ihức nội siiy phirơng phấp bình phưítng bc nỊiàl i MIV Niu!(tn |{)) §5 Phưtíng phiíp hình phưíyiig bé nlì Ị ỊỊ Rài lập Ị 19 Đáp sỏ 117 C ỉiư o i ỉ ị ĩ Tính gẩn clúnu đạo hàni lích phân xác định 121 § Tú ih gần ng đíu> h;tni Ị1Ị §2 T íiih gán đúiig lích phàn xác định ị 24 Bài lập 137 Đ apsố 139 Cỉit(ơỉiị>(ì Cìiài gấn phưtĩng trình VI phim UuríTiig 140 § I Đặt Víìn tiè 140 §2 Pỉiương pháp ()lc Ị4 ^ Pliinyng phiíp ()lc cài liên 147 § P lì n g p h p U u i i g e - K i i U a Ịs I Rài lập Kì Ị Đúpsố T i iiựtt ị Ị h u ì ì k ỉ i í i o 168 ... 1,3125 1,32813 1,32032 „ /(Xn) 0,01563 §4 PHƯƠNG PHÁP LẶP 4.1 Nội dung phuong pháp Phưcmg pháp lăp mộí nhĩme phưisig pháp quan Irọng để giải gần phưttng trình (2.1) Giả sử (a, b) khoảng cách ly... dung cùa phương pháp lặp sau: đưa phưimii trình (2.1) vổ phưting trình iưimg đưtmg: X = (p(x) (2.5) Có nhiều cách đưa phưimg irìn h (2.1) vc phương Irình (2.5) Cháng hạn, đối Vtlrị phưcíng trình; ... phudng pháp u điểm phơiínu ph^ịỉ^^chia đổi đơn giản, dễ lập chưmìiì trình chạy ưên máy lính, lần áp dụng phiKtng pháp chia đơi, ia phíii lính mội giá trị hàm số lại điủm khoáng Nhưcx* đicm phương pháp