TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ********************** ĐÀO THỊ HỒNG HÂN RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI BÀI TỐN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chun ngành: Phương pháp dạy học mơn Tốn Người hướng dẫn khoa học Th.S ĐÀO THỊ HOA Hà Nội - 2014 LỜI CẢM ƠN Trong thời gian nghiên cứu hồn thành khóa luận, em nhận giúp đỡ nhiệt tình thầy tổ phương pháp bạn sinh viên khoa Qua đây, em muốn gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy cô tổ phương pháp, đặc biệt cô Đào Thị Hoa – người định hướng cho em lựa chọn đề tài, dẫn dắt, bảo tận tình, chu đáo giúp em hồn thành khóa luận Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2014 Sinh viên Đào Thị Hồng Hân LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng em Những số liệu kết khóa luận hồn tồn trung thực Đề tài chưa cơng bố cơng trình khoa học Hà Nội, tháng 05 năm 2014 Sinh viên Đào Thị Hồng Hân MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chương Cơ sở lí luận 1.1 Khái niệm toán lời giải toán 1.2 Vai trò, ý nghĩa việc giải toán 1.3 Phân loại toán 1.4 Phương pháp tìm lời giải tốn: Dựa theo bước G.POLYA 1.5 Một số kĩ thường sử dụng dạy học giải toán 10 Chương Rèn luyện kĩ giải tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số 12 2.1 Khái niệm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số 12 2.2 Các kĩ tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số 12 2.2.1 Kĩ sử dụng đạo hàm 12 2.2.2 Kĩ dùng bất đẳng thức đặc biệt 15 2.2.3 Kĩ sử dụng miền giá trị hàm số 17 2.2.4 Kĩ dùng luỹ thừa với số mũ chẵn 18 2.2.5 Kĩ dùng tính chất hàm lồi, hàm lõm 19 2.2.6 Kĩ sử dụng toạ độ - vectơ 21 2.2.7 Kĩ lượng giác hoá 23 2.3 Hệ thống tập vận dụng 24 KẾT LUẬN 58 TÀI LIỆU THAM KHẢO 59 MỞ ĐẦU LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Mục đích việc giảng dạy mơn tốn phổ thơng trang bị cho học sinh kiến thức mơn tốn, phương pháp giải tốn, rèn luyện kĩ giải toán, giúp học sinh khai thác hoạt động tiềm ẩn nội dung mơn tốn phát triển tư logic cho học sinh Dạy học giải tập tốn góp phần khơng nhỏ vào việc thực mục đích Chương trình tốn trung học có nhiều dạng tốn khác Trong có dạng tốn khó, cụ thể dạng tốn “Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số” Đây dạng tốn khó học sinh phổ thơng tốn phong phú, đa dạng có phạm vi rộng; dạng tốn quan tâm nhiều kì thi đại học, kì thi tuyển chọn học sinh giỏi nước quốc tế Việc giải toán đòi hỏi học sinh phải vận dụng kiến thức hợp lý, nhiều độc đáo bất ngờ, đưa người học lại gần với toán thực tế Chính điều làm học sinh hứng thú dạng toán Tuy nhiên, tập thuộc dạng sách giáo khoa chưa nhiều cách giải chưa hệ thống Với lí với quan tâm, hứng thú thân, em xin lựa chọn đề tài: “RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI BÀI TỐN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ” MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Rèn luyện cho học sinh trung học phổ thơng kĩ giải tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số Thơng qua nâng cao chất lượng hiệu việc dạy học mơn tốn phổ thơng NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU - Nghiên cứu sở lí luận việc giải tốn - Hệ thống kiến thức, kĩ giải dạng tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số - Xây dựng hệ thống tập rèn luyện kĩ giải dạng tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU Nghiên cứu toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số trường trung học phổ thông PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Trong trình nghiên cứu đề tài, em sử dụng số phương pháp sau: Nghiên cứu lí luận Quan sát, điều tra GIẢ THUYẾT KHOA HỌC Nếu học sinh rèn luyện kĩ giải tập tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số học sinh dễ dàng việc giải toán cực trị học sinh thấy hứng thú học tốn CẤU TRÚC KHĨA LUẬN Ngồi phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo khố luận gồm hai chương: Chương Cơ sở lí luận Chương Rèn luyện kĩ giải tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số NỘI DUNG CHƯƠNG CƠ SỞ LÍ LUẬN 1.1 Khái niệm toán lời giải toán 1.1.1 Khái niệm toán Theo G.POLYA, toán việc đặt cần thiết tìm kiếm cách có ý thức phương tiện thích hợp để đạt đến mục đích định trơng thấy rõ ràng đạt Trên sở định nghĩa khái quát G.POLYA cho ta thấy rằng: Bài tốn đòi hỏi phải đạt tới đích Như tốn đồng với số quan niệm khác toán như: đề toán, tập,… 1.1.2 Khái niệm lời giải toán Lời giải toán hiểu tập thứ tự thao tác cần thực để đạt tới mục đích đặt Như vậy, ta thống lời giải, giải, cách giải, đáp án tốn Bài tốn có thể: có lời giải, khơng có lời giải nhiều lời giải Giải tốn hiểu tìm trình bày lời giải tốn trường hợp tốn có lời giải lí giải tốn khơng giải trường hợp khơng có lời giải 1.2 Vai trò, ý nghĩa việc giải tốn 1.2.1 Củng cố kiến thức cho học sinh Trong thực tế, toán chứa đựng nhiều kiến thức khái niệm toán học kết luận tốn học Khi giải tốn đòi hỏi ta phải phân tích kiện tốn, huy động kiến thức cho đề toán kiến thức biết khác có liên quan tới toán, tổng hợp lại đề để kiến thức Và kiến thức tìm lại kiến thức biết trước phân tích, tổng hợp lại để đề kiến thức nữa,…Cuối đến lời giải tốn Như vậy, giải tốn khơng kiến thức có tốn mà hệ thống kiến thức liên quan tới toán củng cố qua lại nhiều lần 1.2.2 Rèn luyện phát triển tư cho học sinh Đặc điểm bật toán học mơn tốn khoa học suy diễn, xây dựng phương pháp tiên đề Do vậy, lời giải toán hệ thống hữu hạn thao tác có thứ tự chặt chẽ để đến mục đích rõ rệt Vì vậy, giải tốn có tác dụng trực tiếp rèn luyện cho ta lực sử dụng phép suy luận logic, suy luận có đúng, suy luận tuân theo quy tắc suy diễn,… Chúng ta biết rằng, khơng thể có phương pháp chung để giải tốn Mỗi tốn có hình vẻ khác nhau, muốn tìm lời giải tốn phải phân tích, phải biết cách dự đoán kết quả, biết cách kiểm tra dự đoán, biết cách liên hệ tới vấn đề tương tự, gần giống nhau, biết cách suy luận tổng hợp, khái quát hoá, … Như vậy, qua việc giải tốn lực tư sáng tạo rèn luyện phát triển 1.2.3 Rèn luyện kĩ vận dụng kiến thức toán học cho học sinh Một yêu cầu việc nắm vững kiến thức môn khoa học hiểu, nhớ vận dụng kiến thức mơn khoa học vào việc giải nhiệm vụ đặt ra, tức giải tốn đặt lĩnh vực khoa học Trong việc giảng dạy toán, toán lại tham vào tình q trình dạy học mơn toán Trong giảng dạy khái niệm toán học, toán sử dụng để tổ chức, gây tình huống, để dẫn dắt học sinh đến định nghĩa khái niệm; toán sử dụng để nêu làm ví dụ phản ví dụ minh hoạ cho khái niệm, toán sử dụng để luyện tập củng cố, vận dụng khái niệm Trong giảng dạy định lí tốn học, tốn sử dụng để tổ chức gây tình dẫn dắt học sinh phát nội dung định lí tốn học, tốn sử dụng học sinh tập sử dụng định lí Đặc biệt việc tổ chức, hướng dẫn học sinh chứng minh định lí việc tổ chức, hướng dẫn học sinh tập tìm lời giải tốn có nhiều ứng dụng phần hay chương mơn học Trong luyện tập tốn học, toán phương tiện chủ yếu tiết luyện tập tốn học Trong người giáo viên phải xây dựng hệ thống tập có liên quan chặt chẽ với để nhằm giúp học sinh củng cố kiến thức hình thành số kĩ 1.2.4 Bồi dưỡng, phát triển nhân cách cho học sinh Đặc điểm tính cách người hoạt động có mục đích rõ ràng Khi giải tốn ta ln có hướng mục đích rõ rệt, việc giải tốn góp phần tích cực vào việc rèn luyện lực hoạt động người Để giải toán, tốn khó người giải phải vượt qua nhiều khó khăn, phải kiên trì, nhẫn nại nhiều người ta phải có tâm lớn để giải tốn Nói theo cách G.POLYA “khát vọng tâm giải toán nhân tố chủ yếu trình giải tốn” Do ta thấy rằng: hoạt động giải tốn nhân tố chủ yếu trình hình thành phát triển nhân cách người 1.3 Phân loại toán Người ta phân loại toán theo nhiều cách khác để đạt mục đích định thường để sử dụng cách thuận lợi 1.3.1 Phân loại theo hình thức tốn Người ta vào kết luận toán: kết luận toán cho hay chưa để phân chia toán thành hai loại: Bài toán chứng minh: toán kết luận đưa cách rõ ràng đề tốn Bài tốn tìm tòi: tốn kết luận chưa có sẵn đề toán 1.3.2 Phân loại theo phương pháp giải toán Người ta vào phương pháp giải tốn: tốn có angorit giải hay chưa để chia toán thành hai loại: Bài tốn có angorit giải: tốn mà phương pháp giải theo angorit mang tính chất angorit Bài tốn khơng có angorit giải: tốn mà phương pháp giải khơng theo angorit khơng mang tính chất angorit 1.3.3 Phân loại theo nội dung toán Người ta vào nội dung toán phát biểu theo thuật ngữ hay vài lĩnh vực chuyên môn hẹp để chia toán thành loại khác như: tốn số học, tốn đại số, tốn hình học Bài Cho x  0, y  Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức  x  y 1 xy  P 1 x 22 1 y Hướng dẫn: Từ: AB  Ta có:  A B   x  y 1 xy  P  1 x 2 1 y 2 Lại có: x  y 1 xy  1 x 2 1 y 2  x  y 1 xy 2 21 x  1 y P 1 x  1 y   2 1 x  1 y   1  1 4y 1 y     y   x  y  0, 1  x  1, y  Vậy max P   x 1, y  4 Do vai trò x, y bình đẳng Mặt khác P    y  x 1 yx P 1  2 1 x  1 y  x  0, y0 P    x  0, y  Vậy P    x  0, y  Khai thác tốn: Ngồi cách giải ta làm sau: P x 1 x   y 1 y  Do x  0, y  nên đặt: x  tan , 2 y  tan  ,   ,    Biến đổi P thành P sin 2  sin 2   4    P   ,   ;  2 Từ ta kết 2 Bài Cho số thực x, y thay đổi thỏa mãn hệ thức: x  y  Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức: P  Hướng dẫn: Nếu y  0, x 1  1 2xy  y x 2t 12t với t   y t  2t  2t 12t f (t)  , t t  2t  Đặt P2 Nếu y  P   x  6xy f '(t)   t   , f '(t) 2t  3t   4 t  2t  32 t  2 Sau lập bảng biến thiên ta P  6, max P  x  y 1 Khai thác toán: Ngồi cách giải ta làm sau: 2 Do x  y  nên đặt x sin  , P y  cos  ,  [0;2 ]  cos 2  sin 2 sin 2  cos 2  Gọi m giá trị tùy ý P Khi phương trình sau (ẩn  ) có nghiệm  cos 2  sin m 2 sin 2  cos 2  Do  sin 2  cos 2  [0;2 ]  sin 2  cos 2   [0; 2 ] 0 Bài tốn trở thành: Tìm m để phương trình   m sin 2  1 m  cos2  2m 1có nghiệm Bài Tìm giá trị nhỏ hàm số 2 y  x  4x  21  x  3x 10 miền xác định Hướng dẫn: Tập xác định D  [  2;5] Vì y  x  4x  21  x  3x 10   x x[  2;5] 11   y  x[2,5] Ta chứng minh y  x [  2;5] Dấu “=” xảy x  Vậy y   x  Khai thác tốn: Ngồi cách giải ta làm sau: x  3x 10    x  4x  21 4  Ta tính y ' 2x 2x    2 x  3x x  4x  21 10 Xét dấu y ' lập bảng biến thiên ta y   x  Bài Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số f (x)  x 1 x 1 [-1;2] Hướng dẫn: Tính f '(x)  x max f (x)  f (1)  1 x 1 x 1 sau lập bảng biến thiên ta 2,min f ( x) 0 Khai thác tốn: Ngồi cách giải ta giải sau: Do x  1 x 1  f (x)  x [ 1;2] Mà f (1)   f (x)  2x Lại có: f (x)   x  2x  1 f (x)   f (x)  x 1 Do x [ 1; 2] 2  max f (x)  mà f (1)  Bài Cho x số thực tùy ý 2 x  4 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ  x  3x hàm số f  x   1 x 2      ;   2   Hướng dẫn: Đặt xtan  , Khi   x  3x 12   sin 2  F 1 x 2    Từ ta có kết max f (x)   x  0, f (x)   x  1 Khai thác tốn: Ngồi cách giải tốn giải sau: + Cách 1: Dùng phương pháp lũy thừa với số mũ chẵn Viết lại f (x)   2x 1 x  x1  Do x 2 x   x   max f (x)   x    x2    4x  2x    2 x 1  f (x)  5 x   f (x)   x  1 2 + Cách 2: Dùng phương pháp đạo hàm Ta có f '(x)  4x  x 1 2  x2 13 , f '(x)     x  1 x  Sau lập bảng biến thiên ta kết + Cách 3: Dùng phương pháp miền giá trị hàm số Gọi m giá trị tùy ý f (x) Khi phương trình sau ( ẩn x ) có nghiệm 3 4x2 3x 1 x  2  m  m x  m  2 x  m   Bài tốn trở thành: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:  m  3 x4   m   x2  m   Từ ta kết Bài Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số sin x  cos x f (x)   sin x  2cos x3 Hướng dẫn: Gọi m giá trị tùy ý hàm số, phương trình sau (ẩn x ) có nghiệm: sin x  cos x   m   m   sin x   2m 1 cos x 1 3m sin x  2cos x  Bài tốn trở thành: Tìm m để phương trình  m  2 sin x   2m 1 cos x 1 3m có nghiệm Ta kết   m  Từ kết luận Khai thác tốn: Ngồi cách giải ta giải sau: + Cách 1: Dùng phương pháp đạo hàm Ta có: f '(x)  , cos x  sin x   sin x  2cos x  3  x  k 2 f '(x)     k x   k 2  Do f (x) hàm tuần hồn với chu kì 2 nên ta xét f (x) với   x   Từ lập bảng biến thiên ta kết + Cách 2: Đặt t  tan x Khi 2 sin x  cos x  4t    F(t) sin x  2cos x  5t  2t 1 Sau ta dùng phương pháp đạo hàm để giải tiếp kết Bài Cho x, y hai số thực thỏa mãn x2  y  Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức P   x3  y   3xy Hướng dẫn: Viết lại P   x  y   xy   3xy , (1) x y    xy  Thay (2) vào (1) đặt t  x  y, x  y  t [  2;2] P  t  ta có: t  6t  Bài tốn trở thành: Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số f (t)  t  t  6t  Ta có: f '(t)  3t  3t  Lập bảng biến thiên ta  1 1 x ;y  13 2 max P  , P  7  x  y  2   1 1 ;y x  2 Khai thác tốn: Ngồi cách giải ta giải sau: Đặt x  sin  , cos y (2)  P   sin   cos 1 sin  cos   6sin  cos 2 t 1  t 1   2;12   P  t   2  Đặt t  sin   cos , Tiếp theo ta dùng phương pháp đạo hàm để giải kết Bài Cho x, y, z số thực thỏa mãn x  y  z  xyz Tìm giá trị lớn biểu thức: P  Hướng dẫn: Đặt u  1 x ,v x  P ,w 1 y 1 y  1 z   uv  vw  wu (1) z u 1 u  v  1 v  w 1 w2 Từ (1)  u 1   u  v  u  w , v2 1   u  v  v w2 1   u  w v   w , w P u u  uv uw v uv v  vw w w uw uw Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: 1 u u v v w w         2 u  v u  w v  u v  w w  u w  v Từ kết luận: max P   x  y  z  P Khai thác tốn: Ngồi cách giải ta giải sau:   Đặt xA, cot yB, cot z  cotC, A, B, C  0;    Khi x  y  z  xyz  A  B  C  Từ ta kết  , P  sin A  sin B  sin C  2 Bài 10 Cho x, y  x  y 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: x 1 x P Hướng dẫn: Viết lại  y 1 y x y x  y 1 Theo bất đẳng thức P  y x x y  y  x,  x2 y  P x y y x 1   x Mặt khác: P  (vì x  y 1 ) yy x Cauchy (1) (2) 1 2  4  2 2P x y xy xy 2 x  y  Từ ta P  Từ (1) (2)  2P  Khai thác tốn: Ngồi cách giải ta giải sau: Đặt: x  sin , y  cos  ,    P  sin   cos 1 sin  cos   sin  cos  t 3  t Đặt t  sin   cos , 1 t pháp đạo hàm với f (t)   2 P t 3  t  t 1  Sau ta dùng phương t 1 , 1 t  Từ ta kết KẾT LUẬN Hệ thống kĩ tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số vấn đề cần thiết Bởi vì, dạng tốn khó phức tạp, cần biết nhiều kĩ để dễ dàng việc giải dạng toán Đây dạng toán giúp phát triển tư cho học sinh tốt Ngồi tốn mà thực tế sống gặp nhiều Nội dung sách giáo khoa chưa hệ thống kĩ giải dạng toán Tuy q trình giải tốn, học sinh hình thành kĩ giải chúng không đầy đủ tính hệ thống dẫn đến mau qn Vì vậy, giáo viên cần hệ thống hoá kĩ để học sinh dựa vào định hướng cho giải Khóa luận hồn thành với kết sau: hệ thống hóa số vấn đề lý luận giải toán kĩ giải toán, hệ thống kĩ thường sử dụng xây dựng hệ thống tập rèn luyện kĩ giải tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số Vì thời gian có hạn nên trình hệ thống lại kĩ giải tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ khơng tránh khỏi thiếu sót Kính mong đóng góp thầy, cơ, bạn bè để khố luận hồn chỉnh TÀI LIỆU THAM KHẢO Dỗn Mạnh Cường (chủ biên), (2003), Tốn ơn thi đại học, NXB Đại học sư phạm Nguyễn Văn Nho, Lê Hồng Phò, (2002), Phương pháp giải tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, NXB Giáo dục Nguyễn Văn Hà, (1999), Giáo trình phương pháp tốn sơ cấp Phan Huy Khải, (2012), Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, NXB Đại học quốc gia Hà Nội Phạm Trọng Thư, (2007), Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số đại số, NXB Đại học sư phạm Ngơ Thúc Lanh (chủ biên), (2000),Giải tích 12, NXB Giáo dục ... học giải toán 10 Chương Rèn luyện kĩ giải tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số 12 2.1 Khái niệm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số 12 2.2 Các kĩ tìm giá trị lớn nhất, giá trị. .. 2.2 Các kĩ tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số Để tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số, sử dụng nhiều kĩ khác Sau kĩ tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số: 2.2.1 Kĩ sử dụng đạo hàm * Cơ... CHƯƠNG RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI BÀI TỐN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 2.1 Khái niệm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số Cho hàm số y  f (x) xác định tập D * Số M gọi giá trị lớn